1、江江苏苏省省22 00 22 00 - 22 00 22 11 学学年年度度第第一一学学期期新新高高考考质质量量检检测测模模拟拟试试题题 高三数学试题 考生注意： 1 本试卷分第卷( 选择题) 和第卷( 非选择题) 两部分，共 4页 2 答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上 3 本次考试时间 1 2 0分钟，满分 1 5 0分 4 请在密封线内作答，保持试卷清洁完整 第卷( 选择题共 6 0分) 一、单项选择题( 本大题共 8小题，每小题 5分，共 4 0分) 1 设全集为 RR ，集合Ax2 x x 0 | ，Bx|x1 ，则AB等于() A
2、 x| 0 x1 B x| 0 x 1 C x| 1 x 2 D x| 0 xpnB pnmC pmnD npm 4 在公比为q的正项等比数列an 中，a41 ，则当 2a2a6取得最小值时，l o g2q等于() A . 1 4 B 1 4 C . 1 8 D 1 8 5 . 如图，在正方体A B C DA1B1C1D1中，E，F分别为棱A B，C C1的中点，在平面A D D1A1 内且与平面D1E F平行的直线() A 不存在B 有 1条C 有 2条D 有无数条 6 在A B C中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且as i n2Bbs i nA0 ，若a c2 ，则边b的最小
3、值为() A .2B 3 3C 2 3D .3 7 已知双曲线x 2 a 2 y 2 b 2 1 (a 0 ，b 0 ) 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为2 4 7 的直线与 双曲线在第一象限的交点为A， 若(F2F1 F 2A ) F1A 0 ， 则此双曲线的标准方程可能为() A . x 2 4 y 2 3 1B . x 2 3 y 2 4 1 C . x 2 1 6 y 2 9 1D . x 2 9 y 2 1 6 1 8 已知函数f(x) xl nxa x 3 ，g(x) x 3 x 2 ，若x1，x2 1 3 ，2 ，f(x1) g(x2) 0 ，则实 数a的取值范围为(
4、) A 4 ，) B 3 ，) C 2 ，) D 1 ，) 二、多项选择题( 本大题共 4小题，每小题 5分，共 2 0分全部选对的得 5分，部分选对的 得 3分，有选错的得 0分) 9 将函数f(x) s i n 3x的图象向右平移 6 个单位长度后得到函数g(x) 的图象，则() A g(x) 在 0 ， 2 上的最小值为 0 B g(x) 在 0 ， 2 上的最小值为1 C g(x) 在 0 ， 2 上的最大值为 0 D g(x) 在 0 ， 2 上的最大值为 1 1 0 如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是() A y2 x x 2 1B y2xs i nx C y x l n
5、x D y(x 2 2x) e x 1 1 已知函数f(x) xx，g(x) ac o sx2 ，x0 ， x 2 2a，x 0 ， 则使f(a) 1成立的a的值是_ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 已知x n a0a1(x1 ) a2(x1 ) 2 an(x1 ) n (nNN * ) 对任意xRR恒成立，则a0 _ _ _ _ _ _ _ _ ；若a4a50 ，则n_ _ _ _ _ _ _ _ . ( 本题第一空 2分，第二空 3分) 1 5 若一个圆柱的轴截面是面积为 4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 已知数列an 的前n项和为Sn，且满
6、足：a11 ，a22 ，Sn1 an2an1(nNN * ) ，若 不等式 Snan恒成立，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ 四、解答题( 本大题共 6小题，共 7 0分) 1 7 ( 1 0分) 已知等差数列an 的公差不为零，a12 5 ，且a1，a1 1，a1 3成等比数列 ( 1 ) 求an 的通项公式； ( 2 ) 设bn( 1 ) n an，求数列bn 前 20 2 0项的和 1 8 ( 1 2分) 在A B C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bs i nBcs i nCa 2 s i nBs i nC s i nA s i nA () . ( 1 ) 求
7、A的大小； ( 2 ) 若a2 ，B 3 ，求A B C的面积 1 9 . ( 1 2分) 如图，在五边形A B S C D中，四边形A B C D为长方形，S B C为边长为 2的正三角 形，将S B C沿B C折起，使得点S在平面A B C D上的射影恰好在A D上 ( 1 ) 当A B2 时，证明：平面S A B平面S C D； ( 2 ) 若A B1 ，求平面S C D与平面S B C所成二面角的余弦值的绝对值 2 0 ( 1 2分) 某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂 6 0元，对于提供的软件服务每次 1 0元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂
8、 2 0 0元，若每日软件服务不超过 1 5次，不另外收费， 若超过 1 5次，超过部分的软件服务每次收费标准为 2 0元 ( 1 ) 设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式； ( 2 ) 该工厂对过去 1 0 0天的软件服务的次数进行了统计， 得到如图所示的条形图， 依据该统计 数据， 把频率视为概率， 从节约成本的角度考虑， 从两个方案中选择一个， 哪个方案更合适？ 请说明理由 2 1 . ( 1 2分) ( 2 0 2 0 济南模拟) 已知椭圆C：x 2 a 2 y 2 b 2 1 (ab 0 ) 的离心率为 3 2，焦距为 2 3 . ( 1 ) 求
9、C的方程； ( 2 ) 若斜率为1 2 的直线l与椭圆C交于P，Q两点( 点P，Q均在第一象限) ，O为坐标原点 证 明：直线O P，P Q，O Q的斜率依次成等比数列 2 2 ( 1 2分) 已知函数f(x) l nx，g(x) x1 . ( 1 ) 当k为何值时，直线yg(x) 是曲线yk f(x) 的切线； ( 2 ) 若不等式g(x) a f(x) 在 1 ，e 上恒成立，求a的取值范围 江江苏苏省省22 00 22 00 - 22 00 22 11 学学年年度度第第一一学学期期新新高高考考质质量量检检测测模模拟拟试试题题 高三数学试题 答答案案精精析析 1 C 2 . A 3 . B
10、 4 . A 5 . D 6 . D 7 D 由(F2F1 F 2A ) F1A 0 ，可知F1F2F2A2c， 又A F2的斜率为2 4 7 ，所以易得 c o s A F2F1 7 2 5 ， 在A F1F2中，由余弦定理得A F11 6 5 c， 由双曲线的定义得1 6 5 c2c2a， 所以ec a 5 3 ，则ab3 4 ， 所以此双曲线的标准方程可能为x 2 9 y 2 1 6 1 . 8 D 由题意知，对于x1，x2 1 3 ，2 ， f(x1) g(x2) 0 ，可得f(x) 在 1 3 ，2 上的最小值不小于g(x) 在 1 3 ，2 上的最大值， 由g(x) x 3 x 2
11、 ，则g(x) 3x 2 2x3xx2 3 () ， 可得当x 1 3 ，2 3 ) 时，g(x) 0 ，g(x) 单调递增， 又由g1 3 () 2 2 7 ，g( 2 ) 4 ， 即g(x) 在区间 1 3 ，2 上的最大值为 4 ， 所以f(x) xl nxa x 3 4在 1 3 ，2 上恒成立， 即axx 2 l nx在 1 3 ，2 上恒成立， 令h(x) xx 2 l nx，x 1 3 ，2 ， 则h(x) 1 2xl nxx， 令p(x) 1 2xl nxx，则p(x) 3 2 l nx， 当x 1 3 ，2 时，p(x) 0 ，函数p(x) 单调递减， 即h(x) 在 1 3
12、 ，2 上单调递减， 又由h( 1 ) 0 ，所以h(x) 在 1 3 ，1 ) 上大于 0 ，在( 1 ,2 上小于 0 ， 所以h(x) 在 1 3 ，1 ) 上单调递增，在( 1 , 2 上单调递减， 所以h(x) 在 1 3 ，2 上的最大值为h( 1 ) 1 ，所以a1 . 9 B D 将函数f(x) s i n3x的图象向右平移 6 个单位长度后得到函数g(x) s i n3x 2 () c o s 3x， x 0 ， 2 ， 0 3x3 2 ， 1 c o s 3x1 . 1 0 A B C 由图象可知当x 0 ， 而 A中函数当x1时，y1 2 2 3 2 0 ，x1 ，与图象
13、不符，故 C不可能 1 1 A C D f(x) 1 xl n2 1 ， 对任意x 2 ，) ，f(x) 0 ， 则f(x) 在 2 ，) 上单调递增， 所以f(x) 在 2 ，) 上的值域是 1 ，) 由题意可得 1 ，) 是g(x) 的值域的子集， 当a0时，g(x) 的值域是( 0 ，) ，符合题意； 当a 0时，g(x) 的值域是 a2 ，a2 ( 2a，) ， 要符合题意， 则 2aa2 ， a2 1 或 2a 1 ， 解得 1 a2或 0 a 1 2 ， 综上可得实数a的取值范围是a an Sn 1 2 1 2 n1 恒成立， 只需 1 2 1 2 n1 () ma x， 当n1时
14、， 1 2 1 2 n1 取得最大值 1 ， 1 . 1 7 解( 1 ) 设等差数列an 的公差为d(d0 ) ， 则 a12 5 ， a 2 1 1a1a1 3， 即 a12 5 ， a11 0d 2 a1a11 2d ， 解得 a12 5 ， d2 ， an 的通项公式为an2 7 2n(nNN * ) ( 2 ) bn 的前 20 2 0项的和 S20 2 0b1b2b3b4b20 1 9b20 2 0(a2a1) (a4a3) (a20 1 8a20 1 7) (a20 2 0 a20 1 9) ( 2 ) 20 2 0 2 20 2 0 . 1 8 解( 1 ) 因为bs i nB
15、cs i nCa 2 s i nBs i nC s i nA s i nA () ， 由正弦定理可得，b 2 c 2 a2 b c aa () ， 即b 2 c 2 a 2 2b c， 再由余弦定理可得 2b cc o sA2b c， 即 c o sA 2 2，所以 A 4 . ( 2 ) 因为B 3 ，所以 s i nCs i n (AB) 6 2 4 ， 由正弦定理 a s i nA b s i nB ，可得b3 . 所以SA B C1 2 a bs i nC 3 3 4 . 1 9 ( 1 ) 证明作S OA D，垂足为O，依题意得S O平面A B C D， S OA B，S OC D，
16、 又A BA D，S OA DO，S O，A D平面S A D， A B平面S A D，A BS A，A BS D. 利用勾股定理得S AS B 2 A B 2 4 2 2 ， 同理可得S D2 . 在S A D中，A D2 ，S AS D2 ，S A 2 S D 2 A D 2 ， S AS D， 又S AA BA，S A，A B平面S A B，S D平面S A B， 又S D平面S C D，平面S A B平面S C D. ( 2 ) 解连结B O，C O， S BS C，R t S O BR t S O C， B OC O，又四边形A B C D为长方形， R t A O BR t D O
17、 C，O AO D. 取B C中点为E，连结O E，得O EA B，连结S E， S E3 ， 其中O E1 ，O AO D1 ，O S3 1 2 2 ， 由以上证明可知O S，O E，A D互相垂直，不妨以直线O A，O E，O S为x，y，z轴建立空间 直角坐标系 O( 0 , 0 , 0 ) ，D( 1 , 0 ,0 ) ，C( 1 ,1 ,0 ) ， S( 0 , 0 ，2 ) ，B( 1 , 1 ,0 ) ， D C ( 0 ,1 ,0 ) ，S C ( 1 ,1 ，2 ) ， B C ( 2 ,0 ,0 ) ， 设mm(x1，y1，z1) 是平面S C D的法向量， 则有 mmD
18、C 0 ， mmS C 0 ， 即 y10 ， x1y12z10 ， 令z11得mm( 2 ，0 , 1 ) ， 设nn(x2，y2，z2) 是平面S B C的法向量， 则有 nnB C 0 ， nnS C 0 ， 即 2x20 ， x2y22z20 ， 令z11得nn( 0 ，2 ，1 ) 则| c o s mm，nn| |mmnn| |mm| |nn| 1 3 3 1 3 ， 所以平面S C D与平面S B C所成二面角的余弦值的绝对值为1 3 . 2 0 解( 1 ) 由题意可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y1 0 x6 0 ，xNN ， 方案二中的日收费y与x的函数关系式为y
19、 2 0 0 ，x1 5 ，xNN ， 2 0 x1 0 0 ，x 1 5 ，xNN . ( 2 ) 设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的概率分布为 X1 9 02 0 02 1 02 2 02 3 0 P0 . 10 . 40 . 10 . 20 . 2 所以E(X) 1 9 0 0 . 1 2 0 0 0 . 4 2 1 0 0 . 1 2 2 0 0 . 2 2 3 0 0 . 2 2 1 0 . 方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的概率分布为 Y2 0 02 2 02 4 0 P0 . 60 . 20 . 2 E(Y) 2 0 0 0 . 6 2 2 0 0 . 2 2 4 0
20、0 . 2 2 1 2 . 所以从节约成本的角度考虑，选择方案一 2 1 ( 1 ) 解由题意可得 c a 3 2， 2c2 3 ， 解得 a2 ， c3 ， 又b 2 a 2 c 2 1 ， 所以椭圆C的方程为x 2 4 y 2 1 . ( 2 ) 证明设直线l的方程为y1 2 xm， P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ， 由 y1 2 xm， x 2 4 y 2 1 ， 消去y，得x 2 2mx2 (m 2 1 ) 0 ， 则4m 2 8 (m 2 1 ) 4 ( 2 m 2 ) 0 ， 且x1x22m 0 ，x1x22 (m 2 1 ) 0 ， 故y1y2 1 2 x1m () 1
21、2 x2m () 1 4 x1x21 2 m(x1x2) m 2 m 2 1 2 ， kO PkO Qy 1y2 x1x2 m 2 1 2 2 m 2 1 1 4 k 2 P Q， 即直线O P，P Q，O Q的斜率依次成等比数列 2 2 解( 1 ) 令n(x) k f(x) kl nx，n(x) k x ， 设切点为(x0，y0) ，则k x0 1 ，x01 kl nx0， 则 l nk1 k 1 . 令F(x) l nx1 x ，F(x) 1 x 1 x 2 x 1 x 2 ， 则函数yF(x) 在( 0 , 1 ) 上单调递减，在( 1 ，) 上单调递增， 且F( 1 ) 1 ，所以k
22、1 . ( 2 ) 令h(x) a f(x) g(x) al nxx1 ， 则h(x) a x 1 2x 2ax 2x ， 当a0时，h(x) 0时，令h(x) 0 ，得x4a 2 ， 所以当x( 0 ,4a 2 ) 时，h(x) 0 ， 当x( 4a 2 ，) 时，h(x) 0 . 所以函数h(x) 在( 0 , 4a 2 ) 上单调递增，在( 4a 2 ，) 上单调递减 ( ) 当 4a 2 e ，即a e 2时，h (x) 在 1 ，e 上单调递增， 所以h(x) h( e ) ae 1 0 ， 所以ae 1 ，此时无解 ( ) 当 1 4a 2 e ，即1 2 a e 2时，函数 h(x) 在( 1 , 4a 2 ) 上单调递增，在( 4a 2 ，e ) 上单调递减 所以h(x) h( 4a 2 ) al n ( 4a 2 ) 2a1 2al n ( 2a) 2a1 0 . 设m(x) 2xl n ( 2x) 2x11 2 x 0 ， 所以m(x) 在 1 2 ， e 2 () 上单调递增， m(x) m 1 2 () 0 ，不满足题意 ( ) 当 0 4a 2 1 ，即 0 a1 2 时，h(x) 在 1 ，e 上单调递减， 所以h(x) h( 1 ) 0 ，所以 0 a1 2 满足题意 综上所述，a的取值范围为 ，1 2 ( .
