1、2020-2021 学年学年扬州市江都区邵樊片九年级上扬州市江都区邵樊片九年级上第一次质检数学试卷第一次质检数学试卷 一、选择题（共 8 小题）. 1（3 分）下列方程中，是一元二次方程是（ ） A2x+3y4 Bx20 Cx22x+10 Dx+2 2（3 分）已知O 的半径为 5，若 PO4，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外 D无法判断 3（3 分）下列说法中，正确的是（ ） A弦是直径 B半圆是弧 C过圆心的线段是直径 D圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 4（3 分）一元二次方程 x2+px+q0 的两根为 3、4，那么二次三项
2、式 x2+px+q 可分解为（ ） A（x+3）（x4） B（x3）（x+4） C（x3）（x4） D（x+3）（x+4） 5（3 分）不解方程，判别方程 2x23x3 的根的情况（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个实数根 D无实数根 6（3 分）若 a、b 是一元二次方程 x2+3x60 的两个不相等的根，则 a23b 的值是（ ） A3 B15 C3 D15 7 （3 分）如图，O 过点 B、C，圆心 O 在等腰 RtABC 的内部，BAC90，OA1，BC8则O 的半径为（ ） A5 B C D 8（3 分）我们把 b24ac0 称为一元二次方程 ax2+bx+
3、c0（其中 a0）的共轭判别式，我们知道当 b2 4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c0（其中 a0）有两个相等的实数根：x1x2；那么其共轭 判别式b2+4ac0时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 （其中 a0） 的根 x_， 下列选项中正确的是 （ ） A B C D 二填空题（共 10 小题）. 9（3 分）若 x290，则 x 10（3 分）如果（m+2）x|m|+x20 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为 11（3 分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，共有 个队参加比赛 12（3 分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*ba
4、2b2，根据这个规则，方程（x+1）*30 的解为 13（3 分）设 m 是一元二次方程 x2x20190 的一个根，则 m2m+1 的值为 14（3 分）一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm，则圆的半径为 15（3 分）一元二次方程 x2+6x10 与 x2x+70 的所有实数根的和等于 16（3 分）若（a2+b2）23a23b24，则 a2+b2的值是 17（3 分）若关于 x 的方程（k2）x24x+30 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 18（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC3，D 是以点 A 为圆心 2 为半径的圆上一 点，连接
5、BD，M 为 BD 的中点，则线段 CM 长度的最小值为 三解答题（共 10 小题，满分 96 分） 19（8 分）解下列方程： （1）x22x240 （2）用配方法解方程：x2+6x10 20（8 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a10 （1）当该方程的一个根为3 时，求 a 的值及该方程的另一根 （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个实数根 21（8 分）某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，并且两次降价的百分率相 同 （1）求该种商品降价的百分率； （2）若两次降价共售出此种商品 100 件，销售总额为 33480 元，问第一次降价后售出
6、该种商品多少件？ 22（8 分）高致病性禽流感是比 SARS 病毒传染速度更快的传染病 （1）某养殖场有 8 万只鸡，假设有 1 只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第 2 天将新 增病鸡 10 只，到第 3 天又将新增病鸡 100 只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第 4 天，共有多 少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点 3 千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点 3 至 5 千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理现 有一条毕直的公路 AB 通过禽流感病区，
7、如图，O 为疫点，在扑杀区内的公路 CD 长为 4 千米，问这条公 路在该免疫区内有多少千米？ 23（8 分）在等腰ABC 中，三条边分别是 a，b，c，其中 b5若关于 x 的一元二次方程 x2+（a+2）x 0 有两个相等的实数根，求ABC 的周长 24（10 分）如图，在O 中，直径为 MN，正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM、OP 以及O 上， 并且POM45，若 AB1 （1）求 OD 的长； （2）求O 的半径 25（10 分）一家水果店以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售 出 100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低
8、0.1 元，每天可多售出 20 斤 （1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是多少斤（用含 x 的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，且保证每天至少售出 260 斤，那么水果店需将每斤的售价降低 多少元？ 26（12 分）例：解方程 x47x2+120 解：设 x2y，则 x4y2， 原方程可化为：y2+7y+120，解得 y13，y24 当 y3 时，x23，x，当 y4 时，x24，x2 原方程有四个根是：x1，x2，x12，x22 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题 （1）解方程：（x2+x2）（x2
9、+x3）2； （2）已知 a、b、c 是 RtABC 的三边（c 为斜边），SABC6，且 a、b 满足（a2+b2）221（a2+b2） 1000，试求 RtABC 的周长 27（12 分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 r用角尺的较短边紧靠O，角尺的顶点 B（ B90），并使较长边与O 相切于点 C （1）如图，ABr，较短边 AB8cm，读得 BC 长为 12cm，则该圆的半径 r 为多少？ （2） 如果AB8cm， 假设角尺的边BC 足够长， 若读得BC 长为 acm， 则用含 a 的代数式表示 r 为 28（12 分）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E
10、 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连 接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 （1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形 状，并说明理由； （3）拓展延伸：把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面积的最 大值 参考答案参考答案 一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 1（3 分）下列方程中，是一元二次方程是（ ） A2x+3y4 Bx20 Cx22x+10 Dx+2
11、解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程； B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； C、含有不等号，不是一元二次方程； D、含有分式，不是一元二次方程 故选：B 2（3 分）已知O 的半径为 5，若 PO4，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外 D无法判断 解：O 的半径为 5，若 PO4， 45， 点 P 与O 的位置关系是点 P 在O 内， 故选：A 3（3 分）下列说法中，正确的是（ ） A弦是直径 B半圆是弧 C过圆心的线段是直径 D圆心相同半径相同的两个圆是同心圆 解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误； B、半圆是
12、弧，正确； C、过圆心的弦是直径，故错误； D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误， 故选：B 4（3 分）一元二次方程 x2+px+q0 的两根为 3、4，那么二次三项式 x2+px+q 可分解为（ ） A（x+3）（x4） B（x3）（x+4） C（x3）（x4） D（x+3）（x+4） 解：若一元二次方程 x2+px+q0 的两根为 3、4， 那么倒数第二步为：（x3）（x4）0， x2+px+q（x3）（x4），故选 C 5（3 分）不解方程，判别方程 2x23x3 的根的情况（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个实数根 D无实数根 解：方程整理得 2x2
13、3x30， （3）242（3）18+240， 方程有两个不相等的实数根 故选：B 6（3 分）若 a、b 是一元二次方程 x2+3x60 的两个不相等的根，则 a23b 的值是（ ） A3 B15 C3 D15 解：a、b 是一元二次方程 x2+3x60 的两个不相等的根， a2+3a60，即 a23a+6，a+b3， 则 a23b3a+63b 3（a+b）+6 3（3）+6 9+6 15， 故选：D 7 （3 分）如图，O 过点 B、C，圆心 O 在等腰 RtABC 的内部，BAC90，OA1，BC8则O 的半径为（ ） A5 B C D 解：延长 AO 交 BC 于点 D，连接 OB，由对
14、称性及等腰 RtABC，得到 ADBC， D 为 BC 的中点，即 BDCDBC4，ADBC4， OA1， ODADOA413， 在 RtBOD 中，根据勾股定理得：OB5， 则O 的半径为 5 故选：A 8（3 分）我们把 b24ac0 称为一元二次方程 ax2+bx+c0（其中 a0）的共轭判别式，我们知道当 b2 4ac0 时，一元二次方程 ax2+bx+c0（其中 a0）有两个相等的实数根：x1x2；那么其共轭 判别式b2+4ac0时， 一元二次方程 ax2+bx+c0 （其中 a0） 的根 x_， 下列选项中正确的是 （ ） A B C D 解：b2+4ac0， b24ac， b24
15、ac2b20， x； 故选：D 二填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 9（3 分）若 x290，则 x 3 解：x290， x29， x3 故答案为：3 10（3 分）如果（m+2）x|m|+x20 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为 2 解：由题意得：|m|2 且 m+20， 解得 m2，m2， m2， 故答案为：2 11（3 分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，共有 10 个队参加比赛 解：设共有 x 个队参加比赛， 根据题意得：2x（x1）90， 整理得：x2x900， 解得：x10 或 x9（舍去） 故答案为：10 12（3
16、分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 a*ba2b2，根据这个规则，方程（x+1）*30 的解为 x12，x24 解：（x+1）*30， （x+1）2320， （x+1）29， x+13， 所以 x12，x24 故答案为 x12，x24 13（3 分）设 m 是一元二次方程 x2x20190 的一个根，则 m2m+1 的值为 2020 解：把 xm 代入方程得：m2m20190，即 m2m2019， 则原式2019+12020， 故答案为：2020 14（3 分）一个点到圆的最大距离为 11cm，最小距离为 5cm，则圆的半径为 3cm 或 8cm 解：当点 P 在圆内时，最近点的距离
17、为 5cm，最远点的距离为 11cm，则直径是 16cm，因而半径是 8cm； 当点 P 在圆外时，最近点的距离为 5cm，最远点的距离为 11cm，则直径是 6cm，因而半径是 3cm 故答案为：3cm 或 8cm 15（3 分）一元二次方程 x2+6x10 与 x2x+70 的所有实数根的和等于 6 解：方程 x2+6x10 的根的判别式6241（1）400， 方程 x2+6x10 有两个不相等的实数根； 方程 x2x+70 的根的判别式（1）2417270， 方程 x2x+70 没有实数根 一元二次方程 x2+6x10 与 x2x+70 的所有实数根的和等于6 故答案为：6 16（3 分
18、）若（a2+b2）23a23b24，则 a2+b2的值是 4 解：设 a2+b2为 x，可得：x23x40， 解得：x14，x21（不合题意舍去）， 所以 a2+b2的值是 4， 故答案为：4 17（3 分）若关于 x 的方程（k2）x24x+30 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k且 k 2 解：关于 x 的方程（k2）x26x+90 有两个不相等的实数根， ， 解得：k且 k2 故答案为：k且 k2 18（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC3，D 是以点 A 为圆心 2 为半径的圆上一 点，连接 BD，M 为 BD 的中点，则线段 CM 长度的最小值为
19、1.5 解：作 AB 的中点 E，连接 EM、CE 在直角ABC 中，AB5， E 是直角ABC 斜边 AB 上的中点， CEAB2.5 M 是 BD 的中点，E 是 AB 的中点， MEAD1 2.51CM2.5+1，即 1.5CM3.5 最小值为 1.5， 故答案为：1.5 三解答题（共 10 小题，满分 96 分） 19（8 分）解下列方程： （1）x22x240 （2）用配方法解方程：x2+6x10 解：（1）分解因式得：（x+4）（x+6）0， 可得 x+40 或 x+60， 解得：x14，x26； （2）x2+6x+910，即（x+3）210， 开方得：x+3， 解得：x13+，x
20、23 20（8 分）已知关于 x 的方程 x2+ax+a10 （1）当该方程的一个根为3 时，求 a 的值及该方程的另一根 （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个实数根 【解答】（1）解：将 x3 代入原方程，得：93a+a10， 解得：a4， 方程的另一根为a（3）4+31 答：a 的值为 4，方程的另一根为1 （2）证明：a24（a1）a24a+4（a2）20，即0， 不论 a 取何实数，该方程都有两个实数根 21（8 分）某种商品的标价为 400 元/件，经过两次降价后的价格为 324 元/件，并且两次降价的百分率相 同 （1）求该种商品降价的百分率； （2）若两次降价共售出此种
21、商品 100 件，销售总额为 33480 元，问第一次降价后售出该种商品多少件？ 解：（1）设该种商品降价的百分率为 x， 依题意，得：400（1x）2324， 解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去） 答：该种商品降价的百分率为 10% （2）设第一次降价后售出该种商品 y 件，则第二次降价后售出该种商品（100y）件， 依题意，得：400（110%）y+324（100y）33480， 解得：y30 答：第一次降价后售出该种商品 30 件 22（8 分）高致病性禽流感是比 SARS 病毒传染速度更快的传染病 （1）某养殖场有 8 万只鸡，假设有 1 只鸡得了禽流感，如果不采取任何
22、防治措施，那么，到第 2 天将新 增病鸡 10 只，到第 3 天又将新增病鸡 100 只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第 4 天，共有多 少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点 3 千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点 3 至 5 千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理现 有一条毕直的公路 AB 通过禽流感病区，如图，O 为疫点，在扑杀区内的公路 CD 长为 4 千米，问这条公 路在该免疫区内有多少千米？ 解：（1）由题意可知，到第 4 天得禽流感病鸡数为 1+10+1
23、00+10001111， 到第 5 天得禽流感病鸡数为 10000+111111111 到第 6 天得禽流感病鸡数为 100000+1111111111180000 所以，到第 6 天所有鸡都会被感染； （2）过点 O 作 OECD 交 CD 于 E，连接 OC、OA OECD， CECD2 在 RtOCE 中，OE232225（2 分） 在 RtOAE 中， ACAECE ACBD AC+BD 答：这条公路在该免疫区内有（）千米 23（8 分）在等腰ABC 中，三条边分别是 a，b，c，其中 b5若关于 x 的一元二次方程 x2+（a+2）x 0 有两个相等的实数根，求ABC 的周长 解：方
24、程有两个相等的实数根， 0， 即（a+2）241（a+7）0， a18，a23， a 是正数， a3 在等腰ABC 中， b5 为底时，则 ac3， ABC 的周长11； b5 为腰时，cb5 ABC 的周长5+5+313 综上可知ABC 的周长为 11 或 13 24（10 分）如图，在O 中，直径为 MN，正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM、OP 以及O 上， 并且POM45，若 AB1 （1）求 OD 的长； （2）求O 的半径 解：（1）如图， 四边形 ABCD 为正方形， DCBCAB1，DCOABC90， DCO45， CODC1， ODCO； （2）BOBC+COBC+
25、CD1+12， 连接 AO， 则ABO 为直角三角形， 于是 AO 即O 的半径为 25（10 分）一家水果店以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售 出 100 斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤 （1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是多少斤（用含 x 的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，且保证每天至少售出 260 斤，那么水果店需将每斤的售价降低 多少元？ 解：（1）将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 100+20100+200 x（斤）； （2）
26、根据题意得：（42x）（100+200 x）300， 解得：x1，x21， 当 x时，销售量是 100+200200260； 当 x1 时，销售量是 100+200300（斤） 每天至少售出 260 斤， x1 答：水果店需将每斤的售价降低 1 元 26（12 分）例：解方程 x47x2+120 解：设 x2y，则 x4y2， 原方程可化为：y2+7y+120，解得 y13，y24 当 y3 时，x23，x，当 y4 时，x24，x2 原方程有四个根是：x1，x2，x12，x22 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题 （1）解方程：（x2+x2）（
27、x2+x3）2； （2）已知 a、b、c 是 RtABC 的三边（c 为斜边），SABC6，且 a、b 满足（a2+b2）221（a2+b2） 1000，试求 RtABC 的周长 解：（1）设 yx2+x2，则 y2y20，解得 y11，y22， 当 x2+x21 即 x2+x10 时，解得：x ； 当 x2+x22 即 x2+x40 时，解得：x ； 综上所述，原方程的解为 x1，2，x3，4； （2）设 ya2+b2，则 y221y1000， 整理，得：（y25）（y+4）0， 解得 y15，y24（舍去）， 故 a2+b225 c5， 又SABC6， ab6， ab12， 又 a2+b2
28、25，即（a+b）22ab25， （a+b）249， a+b7， a+b+c12，即ABC 的周长为 12 27（12 分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 r用角尺的较短边紧靠O，角尺的顶点 B（ B90），并使较长边与O 相切于点 C （1）如图，ABr，较短边 AB8cm，读得 BC 长为 12cm，则该圆的半径 r 为多少？ （2）如果 AB8cm，假设角尺的边 BC 足够长，若读得 BC 长为 acm，则用含 a 的代数式表示 r 为 0 r8 时，ra；当 r8 时，ra 2+4 解：（1）如图 1，连接 OC、OA，作 ADOC，垂足为 D则 ODr8 在 RtAOD 中，
29、r2（r8）2+122 解得：r13； 答：该圆的半径 r 为 13； （2）如图 2，易知，0r8 时，ra； 当 r8 时， 如图 1：连接 OC，连接 OA，过点 A 作 ADOC 于点 D， BC 与O 相切于点 C， OCBC， 则四边形 ABCD 是矩形，即 ADBC，CDAB 在 RtAOD 中，OA2OD2+AD2， 即：r2（r8）2+a2， 整理得：ra2+4 故答案为：0r8 时，ra；当 r8 时，ra 2+4 28（12 分）如图 1，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连 接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC
30、，BC 的中点 （1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 PMPN ，位置关系是 PMPN ； （2）探究证明：把ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断PMN 的形 状，并说明理由； （3）拓展延伸：把ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD4，AB10，请直接写出PMN 面积的最 大值 解：（1）点 P，N 是 BC，CD 的中点， PNBD，PNBD， 点 P，M 是 CD，DE 的中点， PMCE，PMCE， ABAC，ADAE， BDCE， PMPN， PNBD， DPNADC， PMCE， DPMDCA， BAC90，
31、 ADC+ACD90， MPNDPM+DPNDCA+ADC90， PMPN， 故答案为：PMPN，PMPN； （2）PMN 是等腰直角三角形 由旋转知，BADCAE， ABAC，ADAE， ABDACE（SAS）， ABDACE，BDCE， 利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE， PMPN， PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PMCE， DPMDCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNCDBC， DPNDCB+PNCDCB+DBC， MPNDPM+DPNDCE+DCB+DBC BCE+DBCACB+ACE+DBC ACB+ABD+DBCACB+ABC， BAC90， ACB+ABC90， MPN90， PMN 是等腰直角三角形； （3）方法 1：如图 2，同（2）的方法得，PMN 是等腰直角三角形， MN 最大时，PMN 的面积最大， DEBC 且 DE 在顶点 A 上面， MN 最大AM+AN， 连接 AM，AN， 在ADE 中，ADAE4，DAE90， AM2， 在 RtABC 中，ABAC10，AN5， MN最大2+5 7， SPMN最大 PM2MN2（7）2 方法 2：由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，PMPNBD， PM 最大时，PMN 面积最大， 点 D 在 BA 的延长线上， BDAB+AD14， PM7， SPMN最大 PM272
