1、 一定是直角三角形吗 第 2 讲 适用学科 初中数学 适用年级 初二 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1、直角三角形的判定 2、勾股数 3、求四边形的面积 教学目标 1理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念； 2能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形； 3经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力； 4体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、 用数学的兴趣； 教学重点 理解勾股定理逆定理的具体内容. 教学难点 理解勾股定理逆定理的具体内容. 【教学建议】【教学建议】 本节课通过探索得到勾股定理的逆定理，注
2、意勾股定理与其逆定理的区别与联系，了解勾股数. 【知识导图】【知识导图】 一定是直角三角形吗一定是直角三角形吗 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 勾股数勾股数 概 述 在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？ (1)情境引入 1直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？ 2如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？ 意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。 效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好 的基础. (2)实验观察 1、 用一根打了 13 个等距离结的细绳子，在小黑板上
3、，用钉子钉在第一个结上，再钉在第 4 个结上， 再钉在第 8 个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起然后用三角板量出最大角的度数可以发现 这个三角形是直角三角形。（这是古埃及人画直角的方法） 2、 用圆规、刻度尺作ABC，使 AB=5 ，AC=4 ，BC=3 ，量一量C。 再画一个三角形，使它的三边长分别是 5 、12 、13 ，这个三角形有什么特征？ 为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？ 猜想： 如果一个三角形的三边长 cba, 满足下面的关系 222 cba ， 那么这个三角形是直角三角形。 （3）探究新知 教学过程 考点 1 勾股定理的逆
4、定理（直角三角形的判定） 二、知识讲解 一、导入 1、探究：在下图中，ABC 的三边长a，b，c满足 222 cba 。如果ABC 是直角三角形，它应 该与直角边是a，b的直角三角形全等。实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形 ,C BA， ， 使 , C =90， , CA， =b， ,C B =a。把画好的 ,C BA， 剪下，放到ABC 上，它们重合吗？ 2、用三角形全等的方法证明这个命题。（由于难度较大，由教师示范证明过程） 已知：在ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b，并且 222 cba ，如上图（1）。 求证：C=90。 证明 : 作ABC，使C=90，AC=b， BC=a，
5、如上图（2）， 那么 AB 2 = 22 ba （勾股定理） 又 222 cba（已知） AB 2 = 2 c ，AB=c (AB0) 在ABC 和ABC中， BC=a=BC CA=b=CA AB=c=AB ABCABC(SSS) C=C=90， ABC 是直角三角形 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。如勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。如 果三角形三边长果三角形三边长 a,b,c 满足满足 a + b = c ,那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。 【强调说明】（1）勾
6、股定理及其逆定理的区别。 （2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理. 应用举例 1、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形: （1） 15a ， 8b ， 17c ； （2） 13a ， 14b ， 15c . 2、像 15、8、17 这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。 你还能举出其它一组勾股数吗？ 提问： 1同学们还能找出哪些勾股数呢？ 2今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？ 3到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢? 4通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？ 意图：进一步让学
7、生认识该定理与勾股定理之间的关系 类型一 勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） （A）1.5，2，2.5 （B）7，24，25 考点 2 勾股数 三 、例题精析 例题 1 满足满足 a + b = c 的三个正整数，称为勾股数的三个正整数，称为勾股数 （C）8，12，15 （D）6，8，10 【解析】C 【总结与反思】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 为 CD 上一点，且 1 4 CFCD，试判断AEF 是否是直角三角形？试 说明理由 【解析】AEF 是是直角三角形 试题分析：可设正方形的
8、边长为 4a，由已知条件可得 CF=a，DF=3a，CE=BE=2a根据勾股定理可求出 AF， AE 和 EF 的长度如果它们三个的长度满足勾股定理的逆定理，则AEF 为直角三角形，否则不是直角三角 形. 试题解析：解：设正方形的边长为 4a, E 是 BC 的中点，CDCF 4 1 , CF=a，DF=3a，CE=BE=2a. 由勾股定理得：AF=AD+DF=16a+9a=25a，EF=CE+CF=4a+a=5a，AE=AB+BE=16a+4a=20a， AF=EF+AE， AEF 为直角三角形. 【总结与反思】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 四边形 ABCD 中，ADDC，AD=
9、8，DC=6，CB=24，AB=26.求四边形 ABCD 的面积. 【解析】1. 答案：144 例题 2 例题 3 试题分析：连接 AC，根据勾股定理求出 AC，根据勾股定理的逆定理求出ACB=90，求出区域的面积，即可 求出答案 试题解析：连结 AC， 在 RtACD 中，ADC=90，AD=8 米，CD=6 米，由勾股定理得：AC=1086 2222 CDAD（米）， 222222 262410ABBCAC，ACB=90， 该区域面积 S= ADCACB SS = 2 1 68+ 2 1 1024=144（平方米）， 【总结与反思】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）及图形面积的综合应
10、用. 类型二 勾股数 1.有五组数：（1）25、7、24（2）8、15、17（3）0.3、0.4、0.5（4） 、 、 （5） 、 、 属于 勾股数组的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【解析】B 【总结与反思】主要考查勾股数的概念 下列各组数能够构成勾股数的是（ ） 6,8,10 0.3,0.4,0.5, n-1，2n，n+1（n 是大于 1 的整数） 5 3 ， 5 4 ,1 【解析】 【总结与反思】主要考查勾股数的概念 1.下列各组数中不是勾股数的是（ ） A5,12,13 B.7,24,25 C.8,12,15 D.3k,4k,5k（k 为正整数） 2.给出下列几组数：6，7，8；
11、8，15，6；n1，2n，n+1；2+1，21，6其中能组成 直角三角形的三条边长是（ ） A B C D 四 、课堂运用 例题 1 例题 2 3如图所示的一块地，已知 AD=4m,CD=3m， ADDC，AB=13m,bc=12m，求这块地的面积. 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】主要考查勾股数的概念 2.【答案】D 【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 3【答案】144 【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 试题分析：连接 AC，根据勾股定理求出 AC，根据勾股定理的逆定理求出ACB=90，求出区域的面积，即可 求出答案 试题解析：连结 AC， 在 R
12、tACD 中，ADC=90，AD=4 米，CD=3 米，由勾股定理得：AC= 22 43 =5（米）， AC+BC=5+12=169，AB=13=169，AC+BC=AB，ACB=90， 该区域面积 S= ADCACB SS -= 2 1 512 2 1 34=24（平方米）， 1.已知 a、b、c 是三角形的三边长，如果满足（a6）+108cb=0，则三角形的形状是（ ） A.底与腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A三内角之比 1:2:3 B三边长的平方之比为 1:2:3 C三边长之比为 3:4:5 D
13、三内角之比为 3:4:5 3如图,在四边形 ABCD 中,AB=2cm,BC=5cm,CD=5cm,AD=4cm,B=90，求四边形 ABCD 的面积 A D C B 巩固 答案与解析答案与解析 1.【答案】D 【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） 2.【答案】D 【解析】综合考查直角三角形的判定 3.【答案】 2 )65(cm 【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）及图形面积的综合应用 试题分析：连接 AC，由勾股定理求出 AC 的值，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD 的形状，根据三角形 的面积公式求解即可 连接 AC， 在 ABCRt 中， cmBCABAC3 22
14、 在 ACD 中, 25169 22 ADAC 25 2 CD 222 CDADAC ACD 直角三角形 1.在ABC 中，已知 AB=12cm,AC=9cm,BC=15cm 则ABC 的面积等于 . 2.若三角形的三边长分别是 2n+1,2n+2n, 2n+2n +1（n为正整数），则三角形的最大内角等于_度 3.一个三角形的三边长的比为 3：4：5，且其周长为 60cm，则其面积为 答案与解析答案与解析 1.【答案】54cm 【解析】考查勾股定理的定理及分类讨论思想 2.【答案】90 【解析】考查勾股定理的逆定理 3.【答案】150cm 【解析】考查勾股定理的逆定理及面积 五 、课堂小结
15、拔高 本节讲了 2 个重要内容： 1.勾股定理的逆定理 2勾股数 1.下列三条线段不能构成直角三角形的是（） A.1、3、2 B 5 1 4 1 3 1 ， C.5、12、13 D.9、40、41 2.如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 的形状为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 2.如图，AD=4,CD=3,ADC=90，AB=13,BC=12求四边形 ABCD 的面积 答案与解析 1.【答案】B 【解析】勾股定理的逆定理 2. 【答案】A 【解析】勾股定理的逆定理 3.【答案】24 【解析】 试题分析： 根据 AD=4,CD=3
16、,ADC=90可首先想到利用勾股定理， 故需联结 AC， 求出 AC 长； 又根据 AB,AC,BC 的长度关系得到ACB=90，所以四边形的面积可根据两个直角三角形面积之差来求. 试题解析：联结 AC AD=4,CD=3,ADC=90 543 22 AC 又AB=13,BC=12 ACB=90 2463043 2 1 125 2 1 ACDRtABCRtABCD SSS 四边形 基础 巩固 1.满足下列条件的ABC 不是直角三角形的是（ ） A.a=1,b=2,c=3, Babc=345 CAB=C DABC=345 2.已知ABC 三边 a,b,c 满足 a+b+c=10a+24b+26c
17、-338，请你判断 ABC 的形状，并说明理由 3.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中A 和DBC 都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺 寸，BC=4，AB=3，AC=5,AD=13，CD=12 那么这个零件符合要求吗？求出四边形 ABCD 的面积 答案与解析答案与解析 1.D 【解析】直角三角形判定 2.【答案】直角三角形. 【解析】试题分析：根据题意讲其化成三个完全平方公式，求出 a.b.c 的值，然后判断三角形的性质. 试题解析：ABC 是直角三角形 理由如下：a+b+c=10a+24b+26c-338 a-10a +25+b-24b+144+c-26c+169=0 即（a-5
18、）+(b-12) +(c-13) =0 a=5,b=12,c=13 5+12=13 ABC 是直角三角形 3.【答案】36. 【解析】 试题分析：根据勾股定理的逆定理，判断出ABC、ADC 的形状，从而判断这个零件是否符合要求；这个 零件的面积=ABC 的面积+ADC 的面积，再根据三角形面积公式即可求解 试题解析：BC=4，AB=3，AC=5，DC=12，AD=13， AB2+BC2=AC2，AC2+CD2=AD2， ABA、DAC 是直角三角形， B=90，ACD=90， 这个零件的面积=ABC 的面积+ADC 的面积 =342+5122， =6+30， =36 拔高 1 观察一下几组勾股
19、数，并寻找规律：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；请你写 出有以上规律的第组勾股数:_ 2 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是 17 和 8，则第三个数是 . 答案与解析答案与解析 1.【答案】11，60，61 【解析】试题分析：根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数 3=21+1，4=21（1+1），5=21（1+1）+1， 5=22+1，12=22（2+1），13=22（2+1）+1， 7=23+1，24=23（3+1），25=23（3+1）+1， 第 n 组勾股数为： a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1， 第组勾股数为 a=25+1=11，b=25（5+1）=60，c=25（5+1）+1=61，即 11，60，61 解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答 2. 【答案】15 【解析】设第三个数是 a，若 a 为最长边，则353178 22 a，不是整数，不符合题意； 若 17 为最长边，则15817 22 a，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为：15 七 、教学反思
