1、 平行四边形的判定 第16讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1. 平行四边形的判定 2.平行四边形判定和性质的综合运用 教学目标 1.理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用 2.运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法 教学重点 平行四边形判定方法的综合运用 教学难点 平行四边形的性质和判定的综合运用 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握平行四边形的判定，应用平行四边形的性质与应用进行解题，难 点内容是动点问题。 学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难： 1. 平行四边形的
2、判定。 2. 几何动点。 【知识导图】【知识导图】 平行四边形的判定 平行四边形的判定 平行四边形判定和性质的综合运用 概述 【教学建议】【教学建议】 有关平行四边形的判定，难度不大，重点是性质与判定的综合，尤其是结合动点问题，难度较大，教师在 授课过程中需要有重点讲解。 一、平行四边的判定方法： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 二、第一环节 复习引入： 问题1（多媒体展示问题） 平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 平行四边形有那些性质? 3判定四边形是平行四边形的方法有哪些？ 目的： 教师提出问题,由学
3、生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用.总结出平行四边形的性质和判定四边 形是平行四边形的几个条件 问题2 （多媒体展示问题） 在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长? 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 平行四边形的判定 你能说明理由吗?与同伴交流. 目的: 从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活. 将生活中的问题抽象成数学问题: 已知，直线 a/b，过直线 a 上任两点 A，B 分别向直线 b 作垂线，交直线 b 于点 C，点 D，如图， （1）线段 AC，BD 所在直线有什么样的位置关系？ （2）比较线段 AC，BD 的长。 A （学生思考、交流）
4、 B （师生归纳） 解（1）由 ACb，BDb，得 AC/BD。 （2）a/b，AC/BD，四边形 ACDB 是平行四边形 AC=BD 归纳： 若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离。 即平行线间的距离相等。 议一议： 夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？ 结论:夹在平行线间的平行线段一定相等. 活动目的： 通过对平行四边形性质的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的生活实例的应用，深 化对知识的理解。 活动效果及注意： 1在引入平行线之间的距离概念中，先引入点到直线的距离，再通过点到直线的距离来刻画平行线间的距 离。 2在应
5、用平行四边形性质的同时深入知识、效果很好，学生易于接受。 、 第二环节 探索活动 做一做: 如图6-15,以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明的画得方法和其中的道理. 目的： 通过网格中学生画平行四边形并说理,进一步让学生掌握平行四边形的判定定理. 注意事项 在此活动中，教师应重点关注： （1）学生实验操作的准确性； （2）学生能否运用不同的判定方法对所画得图形进行说明； （3）学生使用几何语言的规范性和严谨性 平行四边形的综合应用重点在于性质与判定的应用，难点在于动点问题。 【题干】【题干】如图所示，在 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 边上的一点，若添加一个条件 ，则四边
6、形 EBFD 为平行四边形 知识点 2 平行四边形判定和性质的综合运用 三、例题精析 例题 1 【答案】【答案】AE=FC 或ABE=CDF 【解析】【解析】根据平行四边形的判定可得 【题干】【题干】已知ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的一个动点（点 D 不与 B，C 重合）ADF 是以 AD 为边的等 边三角形，过点 F 作 BC 的平行线交射线 AC 于点 E，连接 BF （1）如图 1，求证：AFBADC； （2）请判断图 1 中四边形 BCEF 的形状，并说明理由； （3）若 D 点在 BC 边的延长线上，如图 2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明 理由
7、 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明： （1）ABC 和ADF 都是等边三角形， AF=AD，AB=AC，FAD=BAC=60， 又FAB=FADBAD，DAC=BACBAD， FAB=DAC， 在AFB 和ADC 中， AFAD BAFCAD ABAC ， AFBADC（SAS） ； （2）由得AFBADC， ABF=C=60 又BAC=C=60， ABF=BAC， FBAC， 又BCEF， 例题 2 四边形 BCEF 是平行四边形； （3）成立，理由如下： ABC 和ADE 都是等边三角形， AF=AD，AB=AC，FAD=BAC=60， 又FAB=FADBAD，DAC=BACB
8、AD， FAB=DAC， 在AFB 和ADC 中， AFAD BAFCAD ABAC ， AFBADC（SAS） ； AFB=ADC 又ADC+DAC=60，EAF+DAC=60， ADC=EAF， AFB=EAF， BFAE， 又BCEF， 四边形 BCEF 是平行四边形 【题干】【题干】 如图 1， 在ABC中， AB=AC， ABC =， D 是 BC 边上一点， 以 AD 为边作ADE， 使 AE=AD，DAE +BAC=180 （1）直接写出ADE 的度数（用含的式子表示） ； （2）以 AB，AE 为边作平行四边形 ABFE， 如图 2，若点 F 恰好落在 DE 上，求证：BD=C
9、D； 如图 3，若点 F 恰好落在 BC 上，求证：BD=CF 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 （1）ADE =90 （2）证明：四边形 ABFE 是平行四边形， ABEF 例题 3 EDC=ABC= 由（1）知，ADE =90 ， 90ADCADEEDC ADBC AB=AC， BD=CD 证明： AB=AC，ABC =， CB 四边形 ABFE 是平行四边形， AEBF,AE=BF EACC 由（1）知， 2DAE ， DAC DACC AD=CD AD=AE=BF， BF=CD BD=CF 【题干】【题干】.如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6cm，射线 AGBC，点 E
10、从点 A 出发沿射线 AG 以 1cm/s 的速度 例题 4 运动，点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度运动如果点 E、F 同时出发，当四边形 AEFC 是平行四边 形时，运动时间 t 的值为 （ ） A2s B6s C8s D2s 或 6s 【答案】【答案】B 【解析】【解析】当 AE=FC 时，四边形 AEFC 是四边形，本题不是分类讨论，要和“以 A、E、F、C”为顶点的四边 形是平行四边形区分开 【题干】【题干】如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，90B，AD=8cm，BC=10cm， AB=6cm， ，点 Q 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 D 运
11、动，点 P 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 C 运动，P、Q 两点同时出发，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动若设运动时间为 t（s） （1）直接写出：QD= ，PC= ； （用含 t 的式子表示） （2）当 t 为何值时，四边形 PQDC 为平行四边形? （3）若点 P 与点 C 不重合，且 DQDP，当t为何值时，DPQ是等腰三角形？ 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解： （1）QD=8 t，PC=102t； （2）若四边形PCDQ是平行四边形，则需DQCP 8102tt 解得2t （3）若PQPD，如图 1， 过P作PEAD于E 例题 5 则8QDt， 11 (
12、8) 22 QEQDt 11 (8)(8) 22 AEAQQEttt AEBP 1 (8)2 2 tt解得 8 3 t 若QDQP，如图 2，过Q作QFBC于F 则6QF ，2FPttt Rt QPF在中，由勾股定理得 222 QFFPQP 即 222 6 +(8)tt解得 7 4 t 综上所述，当 8 3 t 或 7 4 t 时DPQ是等腰三角形 1. 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形 ABCD 是平行四边形，并予以证 明 （写出一种即可） 关系：ADBC，AB=CD，A=C，B+C=180 已知：在四边形 ABCD 中， ， ； 求证：四边形 ABCD 是平
13、行四边形 【答案】【答案】； （此题答案不唯一） 【解析】【解析】证明：因为B+C=180，所以 ABDC，又因为 ADBC，所以四边形 ABCD 是平行四边形 2.已知：在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N、P、Q 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点。 求证：四边形 MNPQ 是平行四边形。 四 、课堂运用 基础 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：M、N、P、Q 分别是 OA、OB、OC、OD 的中点， MNAB,MN=1 2AB;PQCD,PQ= 1 2CD. 又ABCD 是平行四边形， ABCD，AB=CD. MNPQ，MN=PQ. 四边形
14、 PQMN 是平行四边形。 3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点 E. F在AC上，且AE=CF. 求证：四边形BEDF是平行四边形。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：如图，连接 BD 设对角线交于点 O. 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC，OB=OD. AE=CF，OAAE=OCCF， OE=OF. 四边形 BEDF 是平行四边形。 1.如图是一种儿童的游乐设施儿童荡板小明想验证这个荡板上方的四边形是否是平行四边形，现在手 头只有一根足够长的绳子，请你帮助他设计一个验证方案，并说明理由 巩固 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】方案：先用绳子测量出四边形
15、ABCD 的边 AB 的长，并在绳子上做上标记；然后再用这根绳子测量 出 CD 的长做上标记，比较 AB 与 CD 的长短用同样的方法比较 BC、AD 的长短如果 AB=CD，BC=AD，则四 边形 ABCD 是平行四边形 （也可以通过测量对角线得出，合理即可得分） 理由：两组对边对应相等的四边形是平行四边形 2.如图，在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=BC，连结 DE，CF。 （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）若 AB=4，AD=6，B=60，求 DE 的长。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）证明：在 ABCD 中，ADBC
16、，且 AD=BC F 是 AD 的中点， DF= 1 2 AD 又CE= 1 2 BC， DF=CE，且 DFCE， 四边形 CEDF 是平行四边形； 如图，过点 D 作 DHBE 于点 H 在 ABCD 中，B=60， DCE=60 AB=4， CD=AB=4， CH= 1 2 CD=2，DH=23 在 CEDF 中，CE=DF= 1 2 AD=3，则 EH=1 在 RtDHE 中，根据勾股定理知 DE= 2 (2 3)113 3.如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(-3，0)，(0，6).动点 P 从点 O 出发，沿 x 轴正方向 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 C
17、 从点 B 出发，沿射线 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动，以 CP， CO 为邻边构造 PCOD，在线段 OP 延长线上取点 E，使 PE=AO，设点 P 运动的时间为 t 秒. (1)当点 C 运动到线段 OB 的中点时，求 t 的值及点 E 的坐标. (2)当点 C 在线段 OB 上时，求证：四边形 ADEC 为平行四边形 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 (1)OB=6，C 是 OB 的中点， ， 2t=3 即， ，E(，0)； (2)如图，连接 CD 交 OP 于点 G， 在 PCOD 中，CG=DG，OG=PG， AO=PE， AG=EG， 四边形 ADEC 是平行四
18、边形. 1.如图， 直线 l1的解析表达式为 y=3x3， 且 l1与 x 轴交于点 D， 直线 l2经过点 A， B， 直线 l1， l2交于点 C （1）求点 D 的坐标； （2）求ADC 的面积； （3）在直线 l2上存在异于点 C 的另一点 P，使得ADP 与ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标； （4）在坐标平面内是否存在这样的点 H，使以 A，D，C，H 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接 写出满足条件的点 H 的个数 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）令 y=0，则 x=1， D（1，0） ； （2）设直线 l2的解析式为 y=kx+b（k0） ， A
19、（4，0） ，B（3， 3 2 ） ， 04 3 3 2 kb kb ，解得 3 2 6 k b ， 直线 l2的解析式为 y= 3 2 x+6， 33 3 6 2 yx yx ，解得 2 3 x y ， 拔高 C（2，3） AD=41=3， SADC= 1 2 33= 9 2 ； （3）ADP 与ADC 的底相同， 其高相等， 当 y=3 即 3 2 x+6=3 时，x=6， P（6，3） ； （4）存在 设 H（a，b） ， 当 AD 为平行四边形的边时， ADCH，AD=CH=3，A（4，0） ，D（1，0） ，C（2，3） ， H1（5，3） ，H2（1，3） ； 当 AD 为平行四边
20、形的对角线时， 142 22 a ， 3 0 2 b ，解得 a=3，b=3， H3（3，3） 满足条件的点 H 的个数是 4 个 2.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，且 AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点 P 从 A 点出发， 以每秒 2cm 的速度沿线段 AD 向点 D 运动；动点 Q 从 C 点出发以每秒 3cm 的速度沿 CB 向 B 点运动，当 P 点 到达 D 点时，动点 P、Q 同时停止运动，设点 P、Q 同时出发，并运动了 t 秒，回答下列问题： （1）BC= cm； （2）当 t 为多少时，四边形 PQCD 成为平行四边形？ （3）是否存
21、在 t，使得DQC 是等腰三角形？若存在，请求出 t 的值；若不存在，说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则 PD=AD-PA=12-2t （1）如图，过 D 点作 DEBC 于 E，则四边形 ABED 为矩形， DE=AB=8cm，AD=BE=12cm， 在直角CDE 中，CED=90，DC=10cm，DE=8cm， EC= 22 DCDE=6cm， BC=BE+EC=18cm （2）ADBC，即 PDCQ， 当 PD=CQ 时，四边形 PQCD 为平行四边形， 即 12-2t=3t， 解得 t=12 5 秒， 故当 t=12 5 秒时四边形
22、 PQCD 为平行四边形； （3）DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论： 当 QC=DC 时，即 3t=10， t=10 3 ； 当 DQ=DC 时， 3 6 2 t t=4； 当 QD=QC 时，3t 6 5 10 t= 25 9 故存在 t，使得DQC 是等腰三角形，此时 t 的值为10 3 秒或 4 秒或 25 9 秒 平行四边的判定方法： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 课堂小结 扩展延伸 基础 1.如图,在平行四边形 ABCD 中,ABD=30，AB=4，BD=5 3，将BCD 沿BD方向平移，得
23、到EFG 连结 AE、DF，求证：四边形 AEFD 为平行四边形 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】ABC 是等边三角形， AB=BC, ABC=ACB=60 0. FCD 由BEC 旋转得到的，CD=CE,DF=BC. AB=DF CDE 是等边三角形. EDC=60 0.EDC=ABC. DFAB. 四边形 ABDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 2. 如图，由 25 个点构成的 55 的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是 1 个单位定义： 由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形图中以 A，B 为顶点，面积为 2 的阵点平行四边形 的
24、个数为（ ） A3 B6 C7 D9 【答案答案】D 【解析解析】画出图形即可，注意分类谈论，以 AB 为边，以 AB 为对角线 3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在 AD、BC 边上，且 AE=CF G E FC B D A 求证： （1）ABECDF； （2）四边形 BFDE 是平行四边形 【答案答案】见解析 【解析解析】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形，A=C，AB=CD， 在ABE 和CDF 中，AB=CD，A=C，AE=CF， ABECDF（SAS） （2）四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC AE=CF，ADAE=BCCF，即 DE=BF
25、 四边形 BFDE 是平行四边形 1.已知：如图，平行四边形 ABCD 中，ABAC，对角线 AC、BD 交于 O 点，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转， 分别交 BC、AD 于点 E、F O F A B C D E (1) 当旋转角为 90时，求证：四边形 ABEF 是平行四边形； (2) 求证：在旋转过程中，AF=EC 【答案答案】见解析 【解析解析】解析： （1）AOF=90， ABAC， ABEF ABCD 是平行四边形， AFBE ABEF 是平行四边形 (2)ABCD 是平行四边形， AFBE，AO=CO FAO=ECO， 又AOF=COE， AOFCOE 巩固 AF=CE 2.
26、如图，将ABCD 沿过点 A 的直线l折叠，使点 D 落到 AB 边上的点D处，折痕l交 CD 边于点 E，连接 BE （1）求证：四边形BCED是平行四边形 （2）若 BE 平分ABC，求证： 222 BEAEAB 【答案答案】见解析 【解析解析】 （1）将 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处， DAE=DAE，DEA=DEA，D=ADE， DEAD，DEA=EAD，DAE=EAD=DEA=DEA，DAD=DED， 四边形 DADE 是平行四边形，DE=AD， 四边形 ABCD 是平行四边形，AB DC，CE DB，四边形 BCED是平行四边形； （
27、2）BE 平分ABC，CBE=EBA， ADBC，DAB+CBA=180， DAE=BAE，EAB+EBA=90，AEB=90，AB 2=AE2+BE2 3.如图，已知 D 是ABC 的边 AB 上一点，CEAB，DE 交 AC 于点 O，且 OA=OC，猜想线段 CD 与线段 AE 的大 小关系和位置关系，并加以证明 【答案答案】见解析 【解析解析】 解：猜想线段 CD 与线段 AE 的大小关系和位置关系是：相等且平行 理由：CEAB， DAO=ECO， 在ADO 和ECO 中 EOCAOD OCAO ECODAO ADOECO（ASA） ， AD=CE， 四边形 ADCE 是平行四边形，
28、CDAE 且 CD=AE 1.如图， 在直角坐标系中， 四边形 OABC 的 OA， OC 两边分别在 x， y 轴上， OABC， BC=15cm， A 点坐标为 （16， 0） ，C 点坐标为（0，4） 点 P，Q 分别从 C，A 同时出发，点 P 以 2cm/s 的速度由 C 向 B 运动，点 Q 以 4cm/s 的速度由 A 向 O 运动，当点 Q 到达点 O 时，点 P 也停止运动，设运动时间为 t 秒（0t4） （1）求当 t 为多少时，四边形 PQAB 为平行四边形？ （2）求当 t 为多少时？PQ 所在直线将四边形 OABC 分成左右两部分的面积比为 1：2； （3）直接写出在
29、（2）的情况下，直线 PQ 的函数关系式 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）ts 后，BP=（152t）cm，AQ=4t cm 由 BP=AQ，得 152t=4t，t=2.5（s） 又OABC， 当 t=2.5s 时，四边形 PQAB 为平行四边形 （2）点 C 坐标为（0，4） ，点 A 坐标为（16，0） ， OC=4cm，OA=16cm S梯形 OABC= 2 1 （OA+BC） OC= 2 1 （16+15）4=62（cm 2） t 秒后，PC=2tcm，OQ=（164t）cm， S四边形 PQOC=ttt4324)4162 2 1 （， 又PQ 所在直线将四边形 OABC
30、分成左右两部分的面积比为 1：2， 62 3 1 432 t，解得 6 17 t（s） 拔高 当 6 17 t（s）时，直线 PQ 将四边形 OABC 分成左右两部分的面积比为 1：2 （3）当 6 17 ts 时，P（ 3 17 ，4） ，Q（ 3 14 ，0） 设直线 PQ 的解析式为：y=kx+b（k0） ，则 bk bk 3 14 0 3 17 4 ， 解得 3 56 4 b k 所以，此时直线 PQ 的函数关系式为 3 56 4 xy 2.已知，矩形ABCD中，cmAB6，cmBC18，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC 于点E、F， 垂足为O.AE=AF=FC=EC （1）如图
31、262，动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿AFB和CDE各边匀速运动一周.即点P自 AFBA停止，点Q自CDEC停止.在运动过程中. 已知点P的速度为每秒 10cm，点Q的速度为每秒 6cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q 四点为顶 点的四边形是平行四边形时，求t的值. 若点P、Q的运动路程分别为x、y （单位:cm，0 xy） ，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形 是平行四边形，求x与y满足的函数关系式. 【答案答案】见解析 【解析解析】 （1）显然当P点在AF上时,Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在AB上时， Q 点在DE或CE上， 也不能构成平
32、行四边形.因此只有当P点在BF上、 Q 点在ED上 时，才能构成平行四边形 以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时, PCQA 点P的速度为每秒 10cm，点Q的速度为每秒 6cm，运动时间为t秒 tQAtPC624,10 , tt62410 ，解得 2 3 t 以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时, 2 3 t 秒. 由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上. 分三种情况: i）如图 1，当P点在AF上、Q点在CE上时， APCQ , yx 24 ，即 xy 24 ii）如图 2，当P点在BF上、Q点在DE上时， AQCP , xy 24 ，即 xy 24 iii）如图 3，当P点在AB上、Q点在CD上时， APCQ , yx 24 ，即 xy 24 综上所述，x与 y 满足的函数关系式是 xy 24 A B C DE F P Q A B DE F P Q C A B C DE F P Q 图 1 图 2 图 3 教学反思 A B C DE FP Q
