山东省济南市市中区2021届高三第一次诊断考试10月数学试题(含答案)

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1、山东省实验中学山东省实验中学 202l202l 届高三第一次诊断考试届高三第一次诊断考试数学试题数学试题 202010 (本试卷共 6 页,22 题;全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟) 注意事项: 1答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上 2选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号 3非选择题的作答:用 0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效 第 I 卷(共 80 分) 一、单项选择题:本题包括 8 小题,每小题 5 分,

2、共 40 分,每小题只有一个选项符合题意 1已知全集UR,集合31 ,1MxxNx x,则阴影部分表示的集合是 A1,1 B3,1 C3, 1 D, 31, 2已知函数 log10,1 a f xxaaa 且,则“1a ”是“ 3f x在 , 上是增函数”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3公元前十一世纪,周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五” 。 周髀算经中记录着商高同周公的一 段对话。商高说: “故折矩,勾广三,股修四,径隅五。 ”大意为“当直角三角形的两条直角边分别为 3(勾) 和 4(股)时,径隅(弦)则为 5” 。以后人们就把这个事实说

3、成“勾三股四弦五” ,根据该典故称勾股定理为商高 定理。勾股数组是满足 222 abc的正整数组 , ,a b c若在不超过 10 的正整数中,随机选取 3 个不同的 数,则能组成勾股数组的概率是 A 1 10 B 1 5 C 1 60 D 1 120 4已知函数 xx f xee (P 为自然对数的底数),若 0.5 0.5 0.7,log0.7,ab 0.7 log5c ,则 A f bf af c B f cf bf a C f cf af b D f af bf c 5已知, 是两个不重合的平面,,m n是两条不重合的直线,则下列命题不正确的是 A若, / /mn mn,则 B若, /

4、 /mn,则mn C若/ / ,m,则/ /m D/ / ,/ /mn,则m与所成的角和n与所成的角相等 6.已知 3312 sin,sin 45413 ,则cos 4 A 5 13 B 12 65 C 16 65 D 56 65 7对于函数 f x,若在定义域内存在实数 0 x满足 00 fxf x,则称函数 f x为“倒戈函数” , 设 31,0 x f xmmR m是定义在1,1上的“倒戈函数” ,则实数 m 的取值范围是 A. 2 ,0 3 B. 21 , 33 C. 2 ,0 3 D. ,0 8已知 22 111221212 ln20,262ln20=xxyxyMxxyy,记,则 A

5、M 的最小值为 2 5 BM 的最小值为 4 5 CM 的最小值为 8 5 DM 的最小值为16 5 二、多项选择题:本题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,每小题至少有两个选项符合题意,全对得 5 分, 漏选得 3 分,选错不得分 9新高考方案规定,普通高中学业水平考试分为合格性考试(以下称合格考)和选择性考试(以下称选择考), 其中“选择考”成绩将计入高考总成绩,即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进 行排序,评定为 A,B,C,D,E 五个等级某试点高中 2019 年参加“选择考”的总人数是 2017 年参加“选 择考”的总人数的 2 倍,为了更好地分析该校学

6、生“选择考”的水平情况,现统计了该校 2017 年和 2019 年“选择考”的成绩等级结果,得到如下图表: 针对该校“选择考”情况,2019 年与 2017 年相比,下列说法正确的是 A获得 A 等级的人数减少了 B获得 B 等级的人数增加了 1.5 倍 C获得 D 等级的人数增加了了一半 D获得 E 等级的人数相同 10己知函数 2sin 20f xx,若将函数 f x的图象向右平移 6 个单位长度后,所得 图象关于原点对称,则下列结论中正确的是 A 6 B,0 6 是 f x图象的一个对称中心 C. 2f D 12 xf x 是图象的一条对称轴 11设函数 ln,0, 1 ,0, x xx

7、 f x exx 若函数 g xf xb有三个零点,则实数 b 可取的值可能是 A0 B 1 3 C 1 2 D1 12 已知边长为 2 的等边ABC, 点 D、 E 分别是边 AC、 AB 上的点, 满足 DEBC 且0,1 AD AC , ADE将沿直线 DE 折到ADE的位置,在翻折过程中,下列结论成立 的是 A在边AE上存在点 F,使得在翻折过程中,满足 BF/平面ACD B 存在 1 0, 2 , 使得在翻折过程中的某个位置, 满足平面ABC平 面 BCDE C若 1 2 ,当二面角ADEB 等于60时, 7 2 A B D在翻折过程中,四棱锥ABCDE 积的最大值记为 ,ff的最大

8、值为 2 3 9 第卷(非选择题,共 70 分) 三、填空题:本题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知 2 sin2sin tan3, 1 cos2 则的值为_ 14一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,得 0 分的概率 , ,0,1c a b c,已 知他投篮一次得分的数学期望为 2,则 11 2ab 的最小值为_ 15已知定义在 R 上的函数 f x的周期为 4,当2,2x 时, 1 4 3 x f xx , 则 33 log 6log 54ff_ 16 6 2 1 2x x 的展开式中,常数项是_;系数最大的项是_(本小题第一空 2 分,

9、 第二空 3 分) 四、解答题(本题包括 6 小题。共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17(10 分) 已知函数 1 1lnf xaxax x (1)当2a 时,求曲线 1yf xx在处的切线方程; (2)若0a,讨论函数 f x的单调性 18(12 分) 己知函数 sin0,0 2 f xxm 满足下列 4 个条件中的 3 个,4 个条件依次是: 3 2 ,周期T,过点0,0 3 32 f (1)写出所满足的 3 个条件的序号(不需要说明理由),并求 f x的解析式 (2)求函数 f x的图像与直线1y 相邻两个交点间的最短距离 19(12 分) 近年来,国资委党委高度重

10、视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县 全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块 土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示: 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示: (1)求 y 关于 x 的线性回归方程,(计算结果保留两位小数) (2)是否有 99.9的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性? 参考公式: 1 2 1 1 n ii i n i xxyy baybx xx , 2 2 n adbc knabcd abcdacbd ,其中 临界值表: 20(12

11、 分) 如图四棱锥PABCD, 底面ABCD是等腰梯形, CDAB, AC平分BAD 且,ACBC PC平面 ABCD,平面 PAB 与平面 ABCD 所成角为 60 (1)求证:PABC (2)求二面角 DPAC 的余弦值 21(12 分) 公元 2020 年春, 我国湖北武汉出现了新型冠状病毒, 人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等,严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播,我国科研人员, 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中,利用小白鼠进行科学试验为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出 现 Z 症状的情况,决定对小白鼠进行做接种试验该试验的设计为: 参加试验的每只小白鼠每天接

12、种一次;连续接种三天为一个接种周期; 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为 1 4 ,假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无 关 (1)若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验,求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率; (2)若某只小自鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状,则在这个接种周期结束后,对其终止试验设 一只小白鼠参加的接种周期数为 X,求 X 的分布列及数学期望 22(12 分) 已知函数 2 21 4ln3,4ln x f xxag xx x (1)求证: 2 1 1f xa x ; (2)用max, p q表示,

13、p q中的最大值,记 max,h xf x g x,讨论函数 h x零点的个数。 高三一诊数学试题参考答案 选择题答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D A D A D BC ABC BCD CD 三、三、 填空题填空题 13. 1 3 ; 14.14. 9 2 15. 3 2 16. 60 ; 6 240 x 四四、解答题解答题 17.解(1)当 a2 时,f(x)2x1 xln x,f(x)2 1 x2 1 x,又 f(1)0,f(1)3, 所以曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y3.4 分 (2)f(x)a1 x2 1a x ax

14、21ax1 x2 2 (1)(1)xax x (x0), 6 分 当 a0 时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增; 当1a0 时,f(x)在(0,1)和 1 a, 上单调递减,在 1,1 a 上单调递增; 当 a1 时,f(x)在(0,)上单调递减; 当 a1 时,f(x)在 0,1 a 和(1,)上单调递减,在 1 a,1 上单调递增.10 分 19.解:依题意: 123458 10 132524 3,16 55 xy 2 分 故 5 1 ()()( 2) ( 8)( 1) ( 6) 1 92 847 i xxyy 55 22 11 ()4 1 1410,()643698

15、1 64254 ii xxyy 4 分 则 1 2 1 47 0.19 254 n ii i n i i xxyy b xx 15.44 aybx y 关于x的回归方程为:y=0.19x+15.44 8 分 (2)依题意,女性不愿意参与管理的人数为 50 人9 分 计算得 2 k的观测值为 2 2 300 (150 5050 50)300 5000 5000 18.7510.828 200 100 200 100200 100 200 100 k 故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性。 12 分 20.解 (1)证明:因为PC平面ABCD,所以PCBC. 又因为BCA

16、C,所以BC平面PCA, PA平面PCA,所以BCPA.4 分 (2)证明:等腰梯形ABCD中,设=BC. 因为BCAC且AC平分BAD, 所以 o 2=60CBA=CAB, 所以2AB=,3AC=. VDCA中CDAD, o =30DAC=DCA, 所以1CD.5 分 以C为原点, 以CB,CA,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.(0,0,0)C, (1,0,0)B,(0, 3,0)A,(,0) D,(0,0, )Pa, 平面ABCD法向量 0= n(),设平面PAB法向量为 1= n ()x y z 有 1 1 =0 =0 n n uuu v uuu v PB AB ,

17、所以 1= n33 ()a a, o 12 2 31 cos60 =|cos|= 2 4+3 n n, a , 所以 3 2 a(几何法求出也对应给分)8 分 平面PAC法向量 2= 1,0,0n(),平面PAD法向量 3= , ,n()x y z, 3 3 =0 =0 n n uuu v uuu v PD PA ,所以 3= -3, 3,2n().10 分 23 33 |cos|= 4 9+3+4 n n,, 所以二面角DPAC的余弦值为 3 4 .12 分 21.解(1)已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为 1 , 4 每次试验间相互独立 , 所以,一只小白鼠第一天出现 Z 症状的概率为 1 1 4 p 第二天出现 Z 症状的概率为 2 133 4416 p 22. 2 分 7 分 9 分 12 分

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