1、第 1 页 共 18 页 2020 届北京市平谷区高三第二学期阶段性测试（二模）数学试题届北京市平谷区高三第二学期阶段性测试（二模）数学试题 一、单选题一、单选题 1已知集合已知集合1,0,1A ， 2 1Bx x ，则，则AB （ ） A1,1 B 1,0,1 C11xx D1x x 【答案】【答案】C 【解析】【解析】集合1,0,1A ， 2 1 | 11Bx xxx 所以11ABxx . 故选 C. 2若角若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） Asin( +) 2 Bs( +) 2 co Csin() Ds()co 【答
2、案】【答案】D 【解析】【解析】利用诱导公式化简选项，再结合角的终边所在象限即可作出判断. 【详解】 解：角的终边在第二象限，sin+ 2 cos0，A 不符； s+ 2 co sin0，B 不符； sinsin0，C 不符； scosco0，所以，D 正确 故选 D 【点睛】 本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键 3在下列函数中，值域为在下列函数中，值域为R的偶函数是（的偶函数是（ ） ） A f xx B f xln x C 22 xx f x D f xxcosx 【答案】【答案】B 【解析】【解析】通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确
3、定正确选项. 第 2 页 共 18 页 【详解】 对于 A选项，函数 f xx的定义域为0,，故为非奇非偶函数，不符合题意. 对于 B选项， f xln x的定义域为|0 x x ，且 lnfxxf x，所以 f x为偶函数，由于 0 x ，所以 f xln x的值域为R，符合题意. 对于 C选项， 11 22 22 22 xx xx f x ，故 22 xx f x 的值域不为R. 对于 D选项， cosf xxx的定义域为R，且 coscosfxxxxxf x，所以 cosf xxx为奇函数，不符合题意. 故选：B 【点睛】 本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题. 4若等差数列若等
4、差数列 n a的前的前n项和项和为为 n S，且，且 13 0S， 34 21aa，则，则 7 S的值为（的值为（ ） ） A21 B63 C13 D84 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d， 1 a， 然后结合等差数列的求和公式即可求解 【详解】 解：因为 13 0S， 34 21aa， 所以 1 1 1313 60 2521 ad ad ，解可得，3d ， 1 18a ， 则 7 1 7 1876( 3)63 2 S 故选：B 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题 5若抛物线若抛物线 y22px（p0）上任
5、意一点到焦点的距离恒大于）上任意一点到焦点的距离恒大于 1，则 ，则 p的取值范围是（的取值范围是（ ） Ap1 Bp1 Cp2 Dp2 【答案】【答案】D 第 3 页 共 18 页 【解析】【解析】根据抛物线的几何性质当 P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值 2 p ，列不等式求解. 【详解】 设 P为抛物线的任意一点， 则 P 到焦点的距离等于到准线：x 2 p 的距离， 显然当 P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值 2 p 1 2 p ，即 p2 故选：D 【点睛】 此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 6已知已知 ，xyR
6、，且 ，且0 xy ，则（则（ ） A 11 0 xy B0cosxcosy C 11 0 22 xy Dln0 xy 【答案】【答案】C 【解析】【解析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项. 【详解】 取2,1xy，则 1 10 2 ，所以 A选项错误. 取4 ,2xy，则cos4cos21 10 ，所以 B选项错误. 由于 1 2 x y 在R上递减，而0 xy，所以 1111 0 2222 xyxy ，故 C选项正确. 取2,1xy，则ln 2 10，所以 D选项错误. 故选：C 【点睛】 本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题. 第 4 页 共 18 页
7、 7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A 2 3 B 4 3 C2 D 8 3 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形， 且两直角边分别为1和2，所以底面面积为 1 1 21 2 S 高为2h的三棱锥，所以三棱锥的体积为 112 1 2 333 VSh ，故选 A 8设设, a b是向量，是向量，“a ab”是是“0b ”的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】B 【
8、解析】【解析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案. 【详解】 当 1 2 ab 时， 11 22 abbbba ，推不出0b 当0b 时， 0b ，则0abaa 即“aab”是“0b ”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】 本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题. 9溶液酸碱度是通过溶液酸碱度是通过pH计算的，计算的，pH的计算公式为 的计算公式为pHlg H ，其中 ，其中H 表示溶液中氢离子的表示溶液中氢离子的 浓度，单位是摩尔浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为升，若人体胃酸中氢离子的浓度为 2 2.5 10摩尔摩尔/升，则胃酸的升，则胃酸的p
9、H是（是（ ） （参考数） （参考数 第 5 页 共 18 页 据：据：20.3010lg） A1.398 B1.204 C1.602 D2.602 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据对数运算以及pH的定义求得此时胃酸的pH值. 【详解】 依题意 2 2.5100 lg 2.5 10lglglg40 1002.5 pH lg 4 10lg4lg102lg2 12 0.3010 1 1.602 . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查对数运算，属于基础题. 10 如图， 点如图， 点O为坐标原点， 点为坐标原点， 点 (1,1)A ， 若函数， 若函数 x ya及及logbyx的图象与线段的
10、图象与线段OA分别交于点分别交于点M，N， 且且M，N恰好是线段恰好是线段OA的两个三等分点，则的两个三等分点，则a，b满足满足 A1ab B1ba C1ba D1ab 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由,M N恰好是线段OA的两个三等分点，求得,M N的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解 析式，求得, a b的值，即可求解. 【详解】 由题意知(1,1)A，且,M N恰好是线段OA的两个三等分点，所以 1 1 , 3 3 M ， 2 2 , 3 3 N ， 把 1 1 , 3 3 M 代入函数 x ya，即 1 3 1 3 a，解得 1 27 a ， 第 6 页 共 18 页 把 2
11、2 , 3 3 N 代入函数logbyx，即 22 log 33 b ，即得 3 2 22 6 39 b ，所以1ab. 故选 A. 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析 式求得, a b的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题二、填空题 11 如图所示， 在复平面内， 网格中的每个小正方形的边长都为如图所示， 在复平面内， 网格中的每个小正方形的边长都为 1, 1,点点 A,BA,B 对应的复数分别是对应的复数分别是 12 ,z z， 则， 则 2 1 z z _. 【答案】【答案】12i 【解析】
12、【解析】 由题意，根据复数的表示可知 12 ,2zi zi，所以 2 1 2(2) () 1 2 () ziii i ziii 12已知函数已知函数 1 f xcosx x ，给出下列结论：给出下列结论： f x在在0，上有最小值，无最大值；上有最小值，无最大值； 设设 F xf xfx，则则 F x为偶函数；为偶函数； f x在在0 2，上有两个零点上有两个零点 其中正确结论的序号为其中正确结论的序号为_.（写出所有正确结论的序号）（写出所有正确结论的序号） 【答案】【答案】 【解析】【解析】利用导函数 fx进行判断；根据奇偶性的定义进行判断. 利用函数图像进行判断. 【详解】 第 7 页
13、共 18 页 ，由于0,x，所以 2 1 sin0fxx x ，所以 f x在0,上递减，所以 f x在0,上有 最小值，无最大值，故正确. ， 依题意 11 coscosF xf xfxxx xx 2 x ，由于 FxF x，所以 F x 不是偶函数，故错误. ，令 0f x 得 1 cosx x ，画出 cosyx 和 1 y x 在区间0,2上的图像如下图所示，由图可知 cosyx 和 1 y x 在区间0,2上的图像有两个交点，则 f x在0，2上有两个零点，故正确. 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数的判断，考查数形结合 的
14、数学思想方法，属于中档题. 13地铁某换乘站设有编号为地铁某换乘站设有编号为A BCD E， ， ， ， 的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散 1000名乘客所需的时间如下：名乘客所需的时间如下： 安全出口编号安全出口编号 A B， B C， CD， DE， A E， 疏散乘客时间（疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是_. 【答案】【答案】D 第 8 页 共 18 页 【解析】【解析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出
15、口的编号. 【详解】 同时开放AE，需要200秒；同时开放DE，需要140秒；所以D疏散比A快. 同时开放AE，需要200秒；同时开放AB，需要120秒；所以B疏散比E快. 同时开放AB，需要120秒；同时开放BC，需要220秒，所以A疏散比C快. 同时开放BC，需要220秒；同时开放CD，需要160秒，所以D疏散比B快. 综上所述，D疏散最快. 故答案为：D 【点睛】 本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题. 三、双空题三、双空题 14在在ABC中，中， 4 A ， 222 abcab，3c ，则，则C_ ；a_. 【答案】【答案】 3 6 【解析】【解析】由已知利用余弦定理可求 cosC
16、 1 2 ，结合范围 C（0，） ，可求 C的值，进而根据正弦定理可得 a 的值 【详解】 a2+b2c2ab， 可得 cosC 222 1 222 abcab abab ， C（0，） ， C 3 ， 4 A ，c3， 由正弦定理 ac sinAsinC ，可得： 3 23 22 a ，解得：a 6 故答案为 3 ，6 【点睛】 第 9 页 共 18 页 本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题在解与三角形 有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定 理， 应注意用哪一个定理更方便、 简捷一般来说 ,
17、当条件中同时出现ab 及 2 b 、 2 a 时， 往往用余弦定理， 而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角 的正余弦公式进行解答. 15如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，2AB ， 1BC ，O为为AB的中点的中点. . 当点当点P在在BC边上时，边上时，AB OP 的值为的值为 _；当点；当点P沿着沿着BC，CD与与DA边运动时，边运动时，AB OP 的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】2 2 【解析】【解析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可. 【详解】 以 A 为原点建立平面直角坐标系， 则 A（0,0）
18、 ，O（1,0） ，B（2,0） ，设 P（2，b） ， （1）AB OP2,02（） (1,b)； （2）当点 P 在 BC 上时，AB OP2； 当点 P 在 AD 上时，设 P（0，b） ，A BO P（2，0） （1，b）2； 当点 P 在 CD 上时，设点 P（a，1） （0a2） AB OP（2,0） （a1，1）2a2， 因为 0a2，所以，22a22，即( 2,2)AB OP 综上可知，AB OP的最小值为2. 故答案为-2. 第 10 页 共 18 页 【点睛】 (1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可 以解决某些函数问
19、题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结 合的一类综合问题.通过向量的运算， 将问题转化为解不等式或求函数值域， 是解决这类问题的一般方法;(3) 向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学 问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 四、解答题四、解答题 16已知函数已知函数 3 2cossin 32 f xxx ，_，求，求 f x在在, 6 6 的值域的值域. 从从若若 12 2f xf x ， 12 xx的最小值为的最小值为 2 ； f x两条相邻对称轴之间的距离为两条相邻对称轴
20、之间的距离为 2 ； 若若 12 0f xf x， 12 xx的最小值为的最小值为 2 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 【答案】【答案】1,0 【解析】【解析】根据三个条件求得半周期，由此求得，进而求得 f x在 6 6 ， 上的值域. 【详解】 由于 3 2 32 f xcos xsinx 133 2cossincos 222 xxx 13 sin2cos2sin 21,1 223 xxx . 所以，任选一个作为条件，均可以得到 f x的半周期为 2 T 2 ，则1 22 . 所以， sin 2 3 f xx . 由于 66 x ，
21、2 20 33 x ， 所以 1,0f x ，即 f x的值域为1,0. 第 11 页 共 18 页 【点睛】 本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题. 17某市旅游管理部门为提升该市某市旅游管理部门为提升该市 26 个旅游景点的服务质量，对该市个旅游景点的服务质量，对该市 26 个旅游景点的交通、安全、环保、 个旅游景点的交通、安全、环保、 卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分 0 分，最高分分，最高分 100 分，每个景点总分为这五项得分之和，分，每个景点总分为这五项得分之和， 根据考核评分结果，
22、绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下： 请根据图中所提供的信息，完成下列问题：请根据图中所提供的信息，完成下列问题： （I）若从交通得分前）若从交通得分前 6 名的景点中任取名的景点中任取 2 个，求其安全得分都大于个，求其安全得分都大于 90 分的概率；分的概率； （II） 若从景点总分排名前） 若从景点总分排名前 6 名的景点中任取名的景点中任取 3 个， 记安全得分不大于个， 记安全得分不大于 90 分的景点个数为分的景点个数为， 求随机变量， 求随机变量 的分布列和数学期望；的分布列和数
23、学期望； （III） 记该市） 记该市 26 个景点的交通平均得分为个景点的交通平均得分为 1 x，安全平均得分为安全平均得分为 2 x， 写出， 写出 1 x和和 2 x的大小关系？ （只写出结果）的大小关系？ （只写出结果） 【答案】【答案】 （I） 2 5 ； （II）分布列见解析，期望为1； （III） 12 xx 【解析】【解析】 （I）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. （II）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望. （III）根据两种得分的数据离散程度进行判断. 【详解】 （I）由图可知，交通得分前6名的景点中，安全得分大于90分的景点有4个，所以从交通得分前6名的景
24、 点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率为 2 4 2 6 62 155 C C . （II）结合两个图可知，景点总分排名前6的的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，所以的可能 取值为0,1,2. 32112 44242 333 666 012 131 , 555 CC CC C PPP CCC . 第 12 页 共 18 页 所以的分布列为: 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 所以 131 0121 555 E . （III） 由图可知，26个景点中， 交通得分全部在80分以上， 主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80 分附近，且80分一下的景点接近一半，故 12
25、xx. 【点睛】 本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题. 18如图，由直三棱柱如图，由直三棱柱 111 ABCABC和四棱锥和四棱锥 11 DBBCC构成的几何体中，构成的几何体中， 0 11 90 ,1,2,5BACABBCBBC DCD，平面，平面 1 CC D 平面平面 11 ACC A （）求证：）求证： 1 ACDC； （）在线段）在线段BC上是否存在点上是否存在点P，使直线，使直线DP与平面与平面 1 BB D所成的角为所成的角为 3 ？若存在，求？若存在，求 BP BC 的值，若不的值，若不 存在，说明理由存在，说明理由 【答案】【答
26、案】()见解析；()见解析. 【解析】【解析】试题分析： （1）由条件中 0 90BAC ，平面 1 CC D 平面 11 ACC A，结合线面垂直的性质定理， 可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据题意计算是否存在点 满足要求 解析：()证明:在直三棱柱中,平面 ABC,故, 第 13 页 共 18 页 由平面平面,且平面平面, 所以平面, 又平面,所以 ()证明:在直三棱柱中,平面 ABC, 所以, 又,所以,如图建立空间直角坐标系, 根据已知条件可得, , 所以, 设平面的法向量为, 由即 令,则,于是, 平面的法向量为 设, 则, 若直线 DP 与
27、平面成角为,则 第 14 页 共 18 页 , 计算得出, 故不存在这样的点. 点睛： 方法总结： 由面面垂直线面垂直线线垂直， 这里需要用到垂直的性质定理进行证明， 难度不大， 但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相关知识，计算法向量然后再求 解 19已知函数已知函数 ( )sincosf xxxaxx ，Ra . （1）当）当1a时，求曲线时，求曲线( )yf x在点在点(0,(0)f处的切线方程；处的切线方程； （2）当）当=2a时，求时，求 ( )f x在区间 在区间0, 2 上的最大值和最小值；上的最大值和最小值； （3）当）当2a时，若方程时，若方程(
28、)30f x 在区间在区间0, 2 上有唯一解，求上有唯一解，求a的取值范围的取值范围. 【答案】【答案】 （1）1yx； （2）最大值为( ) 2 f ，最小值为(0)2f； （3）23a 【解析】【解析】 【详解】试题分析： （1）由 01 f 可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程； （2）由 sincos1fxxxx，可得 0fx ，所以 f x在区间0, 2 上单调递增，从而可得最 值； （3）当2a时， 1sincos1fxaxxx.设 1sincos1h xaxxx， 2cossinh xaxxx，分析可知 h x在区间0, 2 上单调递减，且 010h ， 1120 2 haa
29、，所以存在唯一的 0 0, 2 x ，使 0 0h x，即 0 0fx，结合函数单调 性可得解. 试题解析： （1）当1a时， sincosf xxxxx， 所以 2sincos1fxxxx， 01f. 第 15 页 共 18 页 又因为 01f， 所以曲线 yf x在点 0,0f处的切线方程为1yx. （2）当2a时， sin2cosf xxxxx， 所以 sincos1fxxxx 当0, 2 x 时，1 sin0 x，cos0 xx， 所以 0fx . 所以 f x在区间0, 2 上单调递增 因此 f x在区间0, 2 上的最大值为 2 f ，最小值为 02f. （3）当2a时， 1sin
30、cos1fxaxxx. 设 1sincos1h xaxxx， 2cossinh xaxxx， 因为2a，0, 2 x ,所以 0h x . 所以 h x在区间0, 2 上单调递减 因为 010h ，1120 2 haa ， 所以存在唯一的 0 0, 2 x ，使 0 0h x，即 0 0fx. 所以 f x在区间 0 0,x上单调递增，在区间 0 2 x ， 上单调递减 因为 0 =fa， 2 f ，又因为方程 30f x 在区间0, 2 上有唯一解， 所以23a. 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单 第 16 页 共 18 页 调性、
31、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底 还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 20已知点已知点 3 (1, ) 2 P在椭圆在椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 上，上， (1,0)F 是椭圆的一个焦点是椭圆的一个焦点 （）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程； （） 椭圆） 椭圆 C上不与上不与P点重合的两点点重合的两点D，E关于原点关于原点 O对称， 直线对称， 直线PD，PE分别交分别交y轴于轴于M，N两点 求两点 求 证：以证：以MN为直径的圆被直线为直径的圆被直线 3 2 y 截得的弦长是定
32、值截得的弦长是定值 【答案】【答案】 （） 22 1 43 xy （）见解析 【解析】【解析】 【详解】试题分析： （）依题意，得到1c，利用定义得到2a，即可求解椭圆的标准方程； （） 设( , )Dmn，(,)Emn， 根据直线方程， 求解,M N的坐标， 可得GMGN， 利用 0GM GN ， 求得t的值，即可得到弦长为定值 试题解析： （）依题意，椭圆的另一个焦点为1,0F ，且1c 因为 22 22 33 2204 22 a ， 所以2a， 22 3bac ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （）证明：由题意可知D，E两点与点P不重合 因为D，E两点关于原点对称， 所以设
33、,D m n， ,Emn，1m 设以MN为直径的圆与直线 3 2 y 交于 33 ,(0) 22 G tHtt 两点， 所以GMGN 直线PD： 3 3 2 1 21 n yx m 第 17 页 共 18 页 当0 x时， 3 3 2 12 n y m ，所以 3 3 2 0, 12 n M m 直线PE： 3 3 2 1 21 n yx m 当0 x时， 3 3 2 12 n y m ，所以 3 3 2 0, 12 n N m 所以 3 2 , 1 n GMt m ， 3 2 , 1 n GNt m ， 因为GMGN，所以 0GM GN ， 所以 2 2 2 49 0 41 n GM GNt
34、 m 因为 22 1 43 mn ，即 22 3412mn， 22 4933nm， 所以 2 3 0 4 t ，所以 3 2 t 所以 3 3 , 22 G ， 3 3 , 22 H ， 所以3GH 所以以MN为直径的圆被直线 3 2 y 截得的弦长是定值 3 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用, ,a b c的关 系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元 二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式 子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较
35、好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解 决问题的能力等 21已知项数为已知项数为 * 2m mNm， 的数列的数列 n a满足如下条件：满足如下条件： * 1,2, n aNnm； 12 . m aaa 若数列若数列 n b满足满足 12* 1 mn n aaaa bN m ，其中其中 1,2,nm 则称则称 n b为为 n a的的 第 18 页 共 18 页 “伴随数列伴随数列”. （I）数列）数列13579， ， ， ，是否存在是否存在“伴随数列伴随数列”，若存在，写出其，若存在，写出其“伴随数列伴随数列”；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由； （II）若）若 n b
36、为为 n a的的“伴随数列伴随数列”，证明：，证明： 12 m bbb ； （III）已知数列）已知数列 n a存在存在“伴随数列伴随数列” n b ，且且 1 12049 m aa，求求m的最大值的最大值. 【答案】【答案】 （I）不存在，理由见解析； （II）详见解析； （III）33. 【解析】【解析】 （I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论. （II）利用差比较法判断出 n b的单调性，由此证得结论成立. （III）利用累加法、放缩法求得关于 m a的不等式，由此求得m的最大值. 【详解】 （I）不存在.理由如下：因为 * 4 1 35797 5 1 bN ，所以数列1,3,5,7
37、,9不存在“伴随数列”. （II）因为 * 1 1 ,11, 1 nn nn aa bbnmnN m ， 又因为 12m aaa， 所以 1 0 nn aa ， 所以 1 1 0 1 nn nn aa bb m ， 即 1nn bb ， 所以 12 m bbb 成立. （III）1ijm ，都有 1 jj ij aa bb m ，因为 * i bN， 12m bbb， 所以 * ij bbN，所以 * 1 1 2048 11 m m aa bbN mm . 因为 * 1 1 1 nn nn aa bbN m ， 所以 1 1 nn aam . 而 111221 111 mmmmm aaaaaaaammm 2 1m，即 2 2049 11m ， 所以 2 12048m，故46m. 由于 * 2048 1 N m ，经验证可知33m.所以m的最大值为33. 【点睛】 本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.
