江苏省徐州市(市区部分学校)2021届高三9月学情调研考试数学试题(含答案解析)

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1、徐州市徐州市 2021 届高三学情调研考试届高三学情调研考试数学数学试卷试卷 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A1,2,3,Bx|x2x20 且 xZ,则 AB A1 B1,2 C0,1,2,3 D1,0,1,2,3 2某大学 4 名大学生利用假期到 3 个山村参加基层扶贫工作,每名大学生只去 1 个山 村,每个山村至少有 1 人去,则不同的分配方案共有 A6 种 B24 种 C36 种 D72 种 3甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时,甲说:“我没去过”,乙说:“丁去 过”,丙说:“乙去过”

2、,丁说:“我没去过”,假定四人中只有一人说的是假话,由此 可判断一定去过长城的是 A甲 B乙 C丙 D丁 4天文学中为了衡量天体的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名 依巴谷) 在公元前二世纪首先提出了星等这个概念 星等的数值越小, 天体就越亮; 星等的数值越大,天体就越暗到了 1850 年,由于光度计在天体光度测量中的应 用, 英国天文学家普森 (M.R.Pogson) 又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念 天 体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5(lg E2lg E1), 其中星等为mi的的星的亮度为Ei (i1, 2) 已知“心

3、宿二”的星等是1.00, “天津四”的星等是 1.25“心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍,则 r 的近似值为(当|x| 较小时,10 x12.3x2.7x2) A1.23 B1.26 C1.51 D1.57 5设 a,b,c 为单位向量,且 a b0,则(ac) (bc)的最小值为 A2 B 22 C1 D1 2 6我国古代数学家刘徽于公元 263 年在九章算术注中提出“割圆术”:“割之弥细, 所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”即通过圆内接 正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的 圆周率如果用圆的内接正 n 边形逼近圆,算得圆周率的

4、近似值记为 n,那么用圆 的内接正 2n 边形逼近圆,算得圆周率的近似值 2n可以表示为 A 180 cos n n B 360 cos n n C 180 sin n n D 90 sin n n 7用一平面截正方体,所得截面的面积最大时,截面的几何形状为 A正六边形 B五边形 C矩形 D三角形 8定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f (x),若xR,都有 2f(x)xf (x)2,则使 x2f(x)f(1)x21 成立的实数 x 的取值范围是 Ax|x1 B(1,0)(0,1) C(1,1) D(,1)(1,) 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题

5、给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分。 9若 0c1,ab1,则 Alogaclogbc Babcbac Calogbcblogac Da(bc)b(ac) 10下列四个命题中,真命题为 A若复数 z 满足 zR,则z R B若复数 z 满足 1 zR,则 zR C若复数 z 满足 z2R,则 zR D若复数 z1,z2满足 z1 z2R,则 12 zz 11已知抛物线 C:y22px (p0)的焦点 F 到准线的距离为 2,过点 F 的直线与抛物线 交于 P,Q 两点,M 为线段 PQ 的中点,O 为坐标原点,则 AC 的准线方程

6、为 y1 B线段 PQ 长度的最小值为 4 CM 的坐标可能为(3,2) DOP OQ 3 12 黄金螺旋线又名等角螺线, 是自然界最美的鬼斧神工 在 一个黄金矩形(宽长比约等于 0.618)里先以宽为边长做 正方形, 然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形, 如此循环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一圆 弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄金螺旋线”达 芬 奇的蒙娜丽莎,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符 合这个曲线现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形 所围成的扇形半径设为 an (nN*), 数列an满足 a1a21, anan1an2 (n3) 再 将扇形面积设为 bn (nN*),则

7、A4(b2020b2019)a2018 a2021 Ba1a2a3a2019a20211 Ca12a22a32(a2020)22a2019 a2021 Da2019 a2021(a2020)2a2018 a2020(a2019)20 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13某公司的广告费支出 x (单位:万元)与营业额 y (单位:万元)之间呈线性相关关系, 收集到的数据如下表: 广告费支出 x (单位: 万元) 10 20 30 40 50 营业额 y (单位:万元) 62 68 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程为0.67yxa,则a的值为_ 14已知

8、 , 是两个不同的平面,m,n 是平面 及 之外的两条不同直线,给出下面 四个论断:mn;n;m以其中的三个论断作为条件,余 下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:_ 15已知 P 是直线 3x4y100 上的动点,PA,PB 是圆 x2y22x4y40 的两 条切线,C 为圆心,A,B 为切点,则四边形 PACB 的面积的最小值为_ 16在 ABC 中,sin (AB)sin Csin B,则 cos A_;点 D 是 BC 上靠近 点 B 的一个三等分点,记 sin ABD sin BAD,则当取最大值时,tan ACD _(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 四、解答题:本题共 6

9、 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 记 Sn为等比数列an的前 n 项和,已知 S22,S36 (1)求an的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列 18(本小题满分 12 分) 在离心率为 3,且经过点(3,4);一条准线方程为 x4,且焦距为 2这两个 条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的直线 l 存在,求出 l 的方程;若问 题中的直线 l 不存在,说明理由 问题:已知曲线 C:mx2ny21(m,n0)的焦点在 x 轴上,_,是否存 在过点 P(1,1)的直线 l,与曲线 C 交于 A,

10、B 两点,且 P 为线段 AB 的中点? 注:若选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分 19(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 m(2sin (xA),sin A),n (cos x,1),f(x)m n,且对任意 xR,都有 f(x)f( 5 12) (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 a2 3,sin Bsin C 6 2,求 ABC 的面积 20(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 EABCD 中,底面 ABCD 是圆内接四边形, CBCDCE1,ABADAE 3,ECBD (1)证明:平面 BED平面 ABCD;

11、 (2)若点 P 在侧面 ABE 内运动,且 DP平面 BEC,求直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值 21(本小题满分 12 分) 已知 ( )ln a f xxxx x ,其中 aR (1)讨论 f(x)的极值点的个数; (2)当 nN*时,证明: 2222 341 ln 2lnlnln 2324 nn nn 22(本小题满分 12 分) 某中学开展劳动实习,学生前往电子科技产业园,学习加工制造电子元件已知学 生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是 p (0p1), 且各个电子元件正常工作的 事件相互独立现要检测 k (kN*)个这样的电子元件,并将它们串联成元件组进行筛选

12、 检测,若检测出元件组正常工作,则认为这 k 个电子元件均正常工作;若检测出元件组 不能正常工作,则认为这 k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作,须再 对这 k 个电子元件进行逐一检测 (1)记对电子元件总的检测次数为 X,求 X 的概率分布和数学期望; (2)若 p0.99,利用(1) (0 1,N*)的二项展开式的特点,估算当 k 为何值 时,每个电子元件的检测次数最小,并估算此时总的检测次数; (3)若不对生产出的电子元件进行筛选检测,将它们随机组装入电子系统中,不考虑 组装时带来的影响已知该系统配置有 2n1(nN*)个电子元件,如果系统中有多于一 半的电子元件正常工作,

13、该系统就能正常工作将系统正常工作的概率称为系统的可靠 性,现为了改善该系统的性能,拟向系统中增加两个电子元件试分析当 p 满足什么条 件时,增加两个电子元件能提高该系统的可靠性? 数学试题解析 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A1,2,3,Bx|x2x20 且 xZ,则 AB A1 B1,2 C0,1,2,3 D1,0,1,2,3 【解析】由题意 Bx|1x2 且 xZ=0,1,所以 AB1, 故答案选 A. 2某大学 4 名大学生利用假期到 3 个山村参加基层扶贫工作,每名大学生只去 1 个山 村

14、,每个山村至少有 1 人去,则不同的分配方案共有 A6 种 B24 种 C36 种 D72 种 【解析】由题意可知先把 4 名大学生分成三组然后再分配到每个山村,则由分布计数原 理有, 故答案选 C 3甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时,甲说:“我没去过”,乙说:“丁去过”, 丙说:“乙去过”,丁说:“我没去过”,假定四人中只有一人说的是假话,由此可判 断一定去过长城的是 A甲 B乙 C丙 D丁 【解析】由题意可知乙与丁说的话矛盾,故说假话的人必然在他们二人之中,再由题意 只有一个人说的话为假话,则丙必定说了真话,则可判断一定去过长城的是乙, 故答案选 B. 4天文学中为了衡量天体的明暗

15、程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依 巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小,天体就越亮; 星等的数值越大,天体就越暗到了 1850 年,由于光度计在天体光度测量中的应 用, 英国天文学家普森 (M.R.Pogson) 又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念 天 体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5(lg E2lg E1), 其中星等为mi的的星的亮度为Ei (i1, 2) 已知“心宿二”的星等是1.00, “天津四”的星等是 1.25“心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍,则 r 的近似值为(当|x| 较小时,10 x

16、12.3x2.7x2) A1.23 B1.26 C1.51 D1.57 【解析】该题为文化题,由题意可设“心宿二”的星等是 m1, “天津四”的星等是 m2, “心宿二”的亮度是 E1,“天津四”的亮度是 E2,则 m1=1.00,m2=1.25,E1=rE2,因为 两颗星的星等与亮度满足 m1-m2=2.5(lgE2-lgE1),所以 1-1.25=2.5(lgE2-lgrE2),lgr=0.1, 所以 r=100.11+2.30.1+2.7(0.1)2=1+0.23+0.027=1.257,所以与 r 最接近的是 1.26, 故答案选 B. 5设 a,b,c 为单位向量,且 a b0,则(

17、ac) (bc)的最小值为 A2 B 22 C1 D1 2 【解析】由题意可知 ab,|a+b|=,(ac) (bc)=a b-(a+b) c+c2=0(a+b) c+1 =1|a+b| |c|cos=1cos1, 故答案选 D. 6我国古代数学家刘徽于公元 263 年在九章算术注中提出“割圆术”:“割之弥细, 所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”即通过圆内接 正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的 圆周率如果用圆的内接正 n 边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为 n,那么用圆 的内接正 2n 边形逼近圆,算得圆周率的近似值 2n可以表示为

18、 A 180 cos n n B 360 cos n n C 180 sin n n D 90 sin n n 【解析】该题为文化题,由题意可得,所以,又 ,所以, 故答案选 A. 7用一平面截正方体,所得截面的面积最大时,截面的几何形状为 A正六边形 B五边形 C矩形 D三角形 【解析】 由题意用一平面截正方体, 所得截面可以为正六边形、 五边形、 矩形、 三角形, 而当截面为矩形时,为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形,可知该截面为最大面积. 故答案选 C. 8定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f (x),若xR,都有 2f(x)xf (x)2,则使 x2f(x)f(1)x21

19、成立的实数 x 的取值范围是 Ax|x1 B(1,0)(0,1) C(1,1) D(,1)(1,) 【解析】由题意当 x0 时,由 2f(x)xf (x)2 可知 2xf(x)x2f (x)2x0, 令 g(x)=x2f(x)x2,g(x)=2xf(x)+x2f (x)2x, 又 g(x)0 在(0,)上恒成立,所以 g(x)在(0,)上单调递减 因为 x2f(x)f(1)x21,所以 x2f(x)x2f(1)1,即 g(x)1;同理当 x0 时,得 x,即 0logaclogbc,则选项 A 正确;由题意 y=xc-1为 减函数,所以 bc-1ac-1,且 ab0,则由不等式的基本性质得 a

20、bcbac,则选项 B 正确; 由题意 0logaclogbc, 又 ab1, 则 alogbcblogac, 则选项 C 错误; 由题意 acbc, acbc,所以 abacabbc,即 a(bc)b(ac),则选项 D 错误; 法二:由题意可取 a=3,b=2,c= ,则 logac=log31,logbc=log2=1,则 logac logbc 则选项 A 正确;abc=,bac=,则选项 B 正确;alogbc=3log2= 3,blogac=2log32,则 alogbcblogac,则选项 C 错误;a(bc)=3(2 )= ,b(a c)=2(3 )=5,则 a(bc)b(ac

21、),则选项 D 错误;故答案选 AB. 10下列四个命题中,真命题为 A若复数 z 满足 zR,则z R B若复数 z 满足 1 zR,则 zR C若复数 z 满足 z2R,则 zR D若复数 z1,z2满足 z1 z2R,则 12 zz 【解析】若复数 z 满足 zR,设 z=a,其中 aR,则z R,则选项 A 正确;若复数 z 满足 1 zR, 设 1 z=a, 其中 aR, 且 a0, 则 z= R, 则选项 B 正确; 若复数 z 满足 z 2R, 设 z=i,则 z2=1R,但 z=i R,则选项 C 错误;若复数 z1,z2满足 z1 z2R,设 z1=i, z2=i,则 z1

22、z2=1R,而=iz1,则选项 D 错误;故答案选 AB. 11已知抛物线 C:y22px (p0)的焦点 F 到准线的距离为 2,过点 F 的直线与抛物线 交于 P,Q 两点,M 为线段 PQ 的中点,O 为坐标原点,则 AC 的准线方程为 y1 B线段 PQ 长度的最小值为 4 CM 的坐标可能为(3,2) DOP OQ 3 【解析】焦点 F 到准线的距离为 p=2,所以抛物线 C 的焦点为(1,0),准线方程为 x= 1, 则选项 A 错误; 当 PQ 垂直于 x 轴时长度最小, 此时 P(1, 2), Q(1, 2), 所以|PQ|=4, 则选项 B 正确;设 P(x1,y1),Q(x

23、2,y2),直线 PQ 的方程为 x=my+1,联立 x=my+1,y2 2px , 消去 y 可得 x2(4m2+2)x+1=0, 消去 x 可得 y24my4=0, 所以 x1+x2=4m2+2, y1+y2=4m,当 m=1 时,可得 M(3,2),则选项 C 正确;又 x1x2=1,y1y2=4,所以OP OQ x1x2+y1y2=3,则选项 D 正确;故答案选 BCD. 12 黄金螺旋线又名等角螺线, 是自然界最美的鬼斧神工 在 一个黄金矩形(宽长比约等于 0.618)里先以宽为边长做正方 形,然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形,如此循 环下去,再在每个正方形里画出一段四分之一

24、圆弧,最后顺次连接,就可得到一条“黄 金螺旋线”达 芬奇的蒙娜丽莎,希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线 现 将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为 an (nN*), 数列an满足 a1a21,anan1an2 (n3)再将扇形面积设为 bn (nN*),则 A4(b2020b2019)a2018 a2021 Ba1a2a3a2019a20211 Ca12a22a32(a2020)22a2019 a2021 Da2019 a2021(a2020)2a2018 a2020(a2019)20 【解析】由题意得 bn an2,则 4(b2020b2019)4( a20202 a

25、20192)(a2020a2019)(a2020 a2019)a2018 a2021, 则选项 A 正确; 又数列an满足 a1a 21, anan1an2 (n3), 所以 an2anan1(n3),a1a2a3a2019(a3a2)(a4a3)(a5a4) (a2021a2020)a2021a2a20211,则选项 B 正确;数列an满足 a1a21,anan1 an2 (n3),即 an1an2an,两边同乘 an 1 ,可得 an12an1 an2an1 an,则 a12 a22a32(a2020)2a12(a2a1a2a3)(a3a2a3a4)(a 2020a2019a2020a20

26、21)a12 a2020a20211a2020a2021, 则选项 C 错误; 由题意 an 1anan2, 则 a2019 a2021(a2020)2 a2018 a2020(a2019)2a2019 (a2021a2019)a2020 (a2018a2020)a 2019 a2020a2020 (a2019) 0,则选项 D 正确;故答案选 ABD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13某公司的广告费支出 x (单位:万元)与营业额 y (单位:万元)之间呈线性相关关系, 收集到的数据如下表: 广告费支出 x (单位: 万元) 10 20 30 40 50 营

27、业额 y (单位:万元) 62 68 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程为0.67yxa,则a的值为_ 【解析】由线性回归方程的定义及表数据可得=30,=75,所以a=54.9 答案为:54.9 14已知 , 是两个不同的平面,m,n 是平面 及 之外的两条不同直线,给出下面 四个论断:mn;n;m以其中的三个论断作为条件,余 下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:_ 【解析】由题意若mn;n;则 m,又因为m,所以;即 ;若;n,则 n,又因为m,所以mn,即 . 答案为:若 mn,n,m,则 (或若 ,n,m,则 mn) 15已知 P 是直线 3x4y100 上的动点,PA

28、,PB 是圆 x2y22x4y40 的两 条切线,C 为圆心,A,B 为切点,则四边形 PACB 的面积的最小值为_ 【解析】由题意圆的标准方程为(x1)2+(y+2)2=1,圆心为 C(1,2),半径为 r=1,若 四边形 PACB 的面积最小, 则当圆心 C 与点 P 的距离最小, 即距离为圆心到直线的距离 时, 切线长 PA, PB 最小.所以四边形 PACB 的面积等于 2SPAC.因为 SPAC= |PA|AC|= |PA|=,又因为|PC|=3,所以 SPAC=,所以四边形 PACB 的面 积的最小值为 2SPAC=2 答案为:2 2 16在 ABC 中,sin (AB)sin C

29、sin B,则 cos A_;点 D 是 BC 上靠近 点 B 的一个三等分点,记 sin ABD sin BAD,则当取最大值时,tan ACD _(本题第一空 2 分,第二空 3 分) 【解析】 因为 sin (AB)sin Csin B, 所以 sin Bsin Csin (AB), 即 sin Bsin (A+B) sin (AB),整理得 sin B2cos Asin B,又因为 sin B0,所以 cos A1 2;设 BD=x, BAD , (0, ),则 DC=2x,sin Btsin , 由正弦定理可得 AD=tx,sinC=, 又 sinC= , 由 = ,得 cos B=

30、t 因为 sin 2B+cos2B=t2sin2+t2cos2 =1 , 所以 t2= , 因为 (0, ),所以 ( , ),所以当=0 时,t 取得最大值 +1 , 此时 sin B=( +1) ,所以 B ,tan ACDtan ( )=2 3 答案为: 1 2 2 3 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17(本小题满分 10 分) 记 Sn为等比数列an的前 n 项和,已知 S22,S36 (1)求an的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn1,Sn,Sn2是否成等差数列 【解析】考点:数列的通项、性质,难度很小 解答过程:(1)设

31、an的公比为 q,则 ana1 qn1, 由已知得 11 2 132 2 8 aa q a qSS ,解得 a12,q2, 所以an的通项公式为 an(2)n 5 分 (2)由(1)得 21 ( 2) 22 ( 2) 1 ( 2)33 n n n S , 所以 1 1 2224 ( 2)( 2) 3333 nn n S , 2 2 2228 ( 2)( 2) 3333 nn n S , 则 12 44 ( 2)2 33 n nnn SSS , 所以 Sn1,Sn,Sn2成等差数列10 分 18(本小题满分 12 分) 在离心率为 3,且经过点(3,4);一条准线方程为 x4,且焦距为 2这两个

32、 条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的直线 l 存在,求出 l 的方程;若问 题中的直线 l 不存在,说明理由 问题:已知曲线 C:mx2ny21(m,n0)的焦点在 x 轴上,_,是否存 在过点 P(1,1)的直线 l,与曲线 C 交于 A,B 两点,且 P 为线段 AB 的中点? 注:若选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分 【解析】考点:圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,难度一 般 解答过程: 选条件:由题设得曲线 C 为焦点在 x 轴上的双曲线, 2 分 设 2 1 m a , 2 1 n b (a0,b0),所以 C 的方程为 22 22 1 xy

33、ab (a0,b0), 由题设得 22 2 22 3 916 1 ab a ab ,解得 a21,b22,所以 C 的方程为 2 2 1 2 y x ,4 分 1 当直线l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为x1, 与曲线C 有且仅有一个交点(1, 0),不符合题意;6 分 2 当直线 l 的斜率存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y1k(x1),即 yk(x1)1,代入 2 2 1 2 y x 得(2k2)x22k(k1)x(k22k3)0 (*), 若 2k20,即 k 2时,方程(*)有且仅有一解,不符合题意;8 分 若 2k20,即 k 2时,其判别式

34、 2k(k1)24(k22)(k22k3) 8(2k3)0,则 3 2 k , 所以方程(*)有两个不同实数解时, 3 2 2 kk 且 , 10 分 于是 122 2 (1) 2 ( 1)2 2 k k xx k ,解得 k2,与 3 2 2 kk 且 矛盾! 所以,不存在直线 l,与曲线 C 交于 A,B 两点,且 P 为线段 AB 的中点 12 分 选条件:由题设得曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆, 2 分 设 2 1 m a , 2 1 n b (ab0),所以 C 的方程为 22 22 1 xy ab (ab0), 由题设得 2 22 22 4 22 a ab ab ,解得 a24

35、,b23,所以 C 的方程为 22 1 43 xy ,4 分 1 当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x1, 代入 22 1 43 xy 得 3 2 y , P(1, 1)不是线段 AB 的中点,不符合题意; 6 分 2 当直线 l 的斜率存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y1k(x1),即 yk(x1)1,代入 22 1 43 xy 得(34k2)x28k(k1)x4(k22k2)0, 其判别式 8k(k1)24 (34k2) 4(k22k2)16(5k26k6)0, 于是 122 8 (1) 2 ( 1)2 34 k k xx k ,解得 3

36、 4 k ,9 分 故 337 (1) 1 444 yxx ,即 3x4y70, 所以存在直线 l:3x4y70,与曲线 C 交于 A,B 两点,且 P 为线段 AB 的中点 12 分 19(本小题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 m(2sin (xA),sin A),n (cos x,1),f(x)m n,且对任意 xR,都有 f(x)f( 5 12) (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 a2 3,sin Bsin C 6 2,求 ABC 的面积 【解析】考点:三角函数的图象与性质、解三角形基本应用,难度较小 解答过程: (1)由

37、题意得 f(x)m n2sin (xA) cos xsin A 2(sin x cos Acos x sin A) cos xsin A 2sin x cos x cos A2cos2x sin Asin A 2sin x cos x cos A(2cos2x1) sin A sin 2x cos Acos 2x sin Asin (2xA), 2 分 由题意知 55 ()sin()1 126 fA,所以 5 2 62 Ak(kZ), 因为 A(0,),所以 5 5 (,) 666 A ,所以 5 62 A ,即 3 A ,4 分 所以 ( )sin(2) 3 f xx ,令 2 22 232

38、 kxk(k Z), 解得 5 1212 kxk (k Z), 所以 f(x)的单调递增区间为 5 , 1212 kk(k Z)6 分 (2)在ABC 中由正弦定理得 sinsinsin abc ABC ,于是 2 3 sinsin6 sin 3 2 bcbc BC , 解得2 6bc,即 22 224bcbc, 8 分 在ABC 中由余弦定理得 222 2cosbcabcA,于是 22 12bcbc,10 分 解得 bc4,所以ABC 的面积为 113 sin43 222 bcC 12 分 20(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 EABCD 中,底面 ABCD 是圆内接四边形,CBCD

39、 CE1,ABADAE 3,ECBD (1)证明:平面 BED平面 ABCD; (2)若点 P 在侧面 ABE 内运动,且 DP平面 BEC,求直线 DP 与 平面 ABE 所成角的正弦值的最大值 【解析】考点:立体几何证明垂直于平行、用空间向量解线面角问题,难度中等,考查 计算基本功 解答过程: (1)如图,在四棱锥 EABCD 中,连接 AC,交 BD 于点 O, 连接 EO,ADAB,CDCB,ACAC,ADCABC, 易得 ADOABO,AODAOB90 ,ACBD, 又 ECBD,ECACC,EC,AC平面 AEC,BD平面 AEC, 又 OE平面 AEC,OEBD,2 分 又底面

40、ABCD 是圆内接四边形,ADCABC90 , 在 Rt ADC 中,由 AD 3,CD1,可得 AC2,AO 3 2, AEC90 , AE AC AO AE 3 2,易得AEOACE,AOEAEC90 , 即 EOAC,又 AC,BD平面 ABCD,ACBDO,EO平面 ABCD,4 分 又EO平面BED, 平面BED平面ABCD 5分 (2) 如图,取 AE 的中点 M,AB 的中点 N, 连接 MN,ND,DM,则 MNBE,由(1)知, DACBAC30 ,即DAB60 ,ABD 为正三角形, DNAB,又 BCAB,DN,CB平面 ABCD, DNCB,6 分 又 MNDNN,BE

41、BCB,MN,DN平面 DMN,BE,BC平面 EBC,平面 DMN 平面 EBC, 点 P 在线段 MN 上7 分 以O为坐标原点, 以OA OB OE ,为正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则 3 ( ,0,0) 2 A , 3 (0,0) 2 B, 3 (0,0,) 2 E, 43 ( ,0,) 34 M, 3 (0,0) 2 D, 33 ( ,0) 44 M, 33 (,0) 22 AB , 33 (,0,) 22 AE , 333 ( ,) 424 DM , 33 (0,) 44 MN ,8 分 设平面 ABE 的法向量为 n(x,y,z), 则 0 0 AB AE

42、 n n ,即 30 30 xy xz ,不妨令1x ,则 n(1, 3, 3),9 分 设MP MN (01),则 33333 ( ,) 42444 DPDMMP, 10 分 设直线 DP 与平面 ABE 所成的角为 , 则 2 |12 sin|cos,| | | 424 DP DP DP n n n , 11 分 因为 01,所以当 0 时,sin 取得最大值 42 7 , 故直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值为 42 7 12 分 21(本小题满分 12 分) 已知 ( )ln a f xxxx x ,其中 aR (1)讨论 f(x)的极值点的个数; (2)当 nN*时,

43、证明: 2222 341 ln 2lnlnln 2324 nn nn 【解析】考点:函数与导数综合应用:极值点分类讨论、构造不等式放缩证明,难度中 等以上,尤其是第二问 解答过程: (1)f(x)的定义域为(0,),则 22 ( )ln1 1ln aa fxxx xx , 令 2 ( )ln a g xx x ,x0,则 2 33 122 ( ) axa g x xxx ,1 分 当0a时, ( )lnfxx ,令 ( )0fx ,则1x , 当 0 x1 时, ( )0fx ,f(x)单调递减, 当 x1 时, ( )0fx ,f(x)单调递增, 所以 f(x)在(0,)上有且仅有一个极值点

44、2 分 当0a时, ( )0g x ,所以 g(x)在(0,)上单调递增, 又 (1)0ga , 22 1 (e )(1)0 ee a aa a gaa 所以 g(x)在(1,ea)上存在唯一零点,记为 x0,列表: x (0,x0) x0 (x0,) f (x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)在(0,)上有且仅有一个极值点4 分 当0a时,令 ( )0g x ,得2xa, 当 0 x2a时, ( )0g x ,g(x)单调递减,当 x2a时, ( )0g x ,g(x)单调递增, 所以 g(x)ming(2a) 1 ln2 2 a , 当 a 1 2e 时,g(x)min0,故 f (

45、x)0,f(x)在(0,)上单调递增, 所以 f(x)在(0,)上无极值点,5 分 当 1 2e a0 时,g(x)ming(2a) 1 ln2 2 a 0,又 (1)0ga , 0221aa ,下面证 1 ( 2 )ln( 2 )0 4 gaa a ,6 分 令 1 ( )ln( 2 ) 4 aa a ( 1 2e a0), 222 2 1 2141 e ( )0 2444 a a aaaa , 所以 ( )a 在( 1 2e ,0)上单调递增,所以 11ee ( 2 )( )()ln10 2ee22 gaa , 所以 g(x)在(0,)上有且仅有两个零点,记为 ,() ,列表: x (0,

46、) (,) (,) f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在(0,)上有且仅有两个极值点7 分 综上所述,当 a 1 2e 时,f(x)无极值点;当 1 2e a0 时,f(x)有两个极值点; 当 a0 时,f(x)有一个极值点8 分 (2)由(1)知,当 a0 时,f(x)f(1)1,所以ln1xxx ,10 分 即 1 ln1x x ,所以 22 1 ln(1)x x ,令 1n x n 得 故 22 111111 ln() 11212 n nnnnnn , 11111111 2334122224 n nnnn 12 分 22(本小题满分 12 分) 某中学开展劳动实

47、习,学生前往电子科技产业园,学习加工制造电子元件已知学 生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是 p (0p1), 且各个电子元件正常工作的 事件相互独立现要检测 k (kN*)个这样的电子元件,并将它们串联成元件组进行筛选 检测,若检测出元件组正常工作,则认为这 k 个电子元件均正常工作;若检测出元件组 不能正常工作,则认为这 k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作,须再 对这 k 个电子元件进行逐一检测 (1)记对电子元件总的检测次数为 X,求 X 的概率分布和数学期望; (2)若 p0.99,利用(1) (0 1,N*)的二项展开式的特点,估算当 k 为何值 时,每个电子元件的检测次数最小,并估算此时总的检测次数; (3)若不对生产出的电子元件进行筛选检测,将它们随机组装入电子系统中,不考虑 组装时带来的影响已知该系统配置有 2n1(nN*)个电子元件,如果系统中有多于一 半的电子元件正常工作,该系统就能正常工作将系统正常工作的概率称为系统的可靠 性,现为了改善该系统的性能,拟向系统中增

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