1、徐州市徐州市 2021 届高三学情调研考试届高三学情调研考试数学数学试卷试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A1，2，3，Bx|x2x20 且 xZ，则 AB A1 B1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2，3 2某大学 4 名大学生利用假期到 3 个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去 1 个山 村，每个山村至少有 1 人去，则不同的分配方案共有 A6 种 B24 种 C36 种 D72 种 3甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去 过”，丙说：“乙去过”
2、，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此 可判断一定去过长城的是 A甲 B乙 C丙 D丁 4天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名 依巴谷） 在公元前二世纪首先提出了星等这个概念 星等的数值越小， 天体就越亮； 星等的数值越大，天体就越暗到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应 用， 英国天文学家普森 （M.R.Pogson） 又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念 天 体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5(lg E2lg E1)， 其中星等为mi的的星的亮度为Ei (i1， 2) 已知“心
3、宿二”的星等是1.00， “天津四”的星等是 1.25“心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则 r 的近似值为（当|x| 较小时，10 x12.3x2.7x2） A1.23 B1.26 C1.51 D1.57 5设 a，b，c 为单位向量，且 a b0，则(ac) (bc)的最小值为 A2 B 22 C1 D1 2 6我国古代数学家刘徽于公元 263 年在九章算术注中提出“割圆术”：“割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”即通过圆内接 正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的 圆周率如果用圆的内接正 n 边形逼近圆，算得圆周率的
4、近似值记为 n，那么用圆 的内接正 2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值 2n可以表示为 A 180 cos n n B 360 cos n n C 180 sin n n D 90 sin n n 7用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为 A正六边形 B五边形 C矩形 D三角形 8定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f (x)，若xR，都有 2f(x)xf (x)2，则使 x2f(x)f(1)x21 成立的实数 x 的取值范围是 Ax|x1 B(1，0)(0，1) C(1，1) D(，1)(1，) 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题
5、给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9若 0c1，ab1，则 Alogaclogbc Babcbac Calogbcblogac Da(bc)b(ac) 10下列四个命题中，真命题为 A若复数 z 满足 zR，则z R B若复数 z 满足 1 zR，则 zR C若复数 z 满足 z2R，则 zR D若复数 z1，z2满足 z1 z2R，则 12 zz 11已知抛物线 C：y22px (p0)的焦点 F 到准线的距离为 2，过点 F 的直线与抛物线 交于 P，Q 两点，M 为线段 PQ 的中点，O 为坐标原点，则 AC 的准线方程
6、为 y1 B线段 PQ 长度的最小值为 4 CM 的坐标可能为(3，2) DOP OQ 3 12 黄金螺旋线又名等角螺线， 是自然界最美的鬼斧神工 在 一个黄金矩形（宽长比约等于 0.618）里先以宽为边长做 正方形， 然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形， 如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆 弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”达 芬 奇的蒙娜丽莎，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符 合这个曲线现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形 所围成的扇形半径设为 an (nN*)， 数列an满足 a1a21， anan1an2 (n3) 再 将扇形面积设为 bn (nN*)，则
7、A4(b2020b2019)a2018 a2021 Ba1a2a3a2019a20211 Ca12a22a32(a2020)22a2019 a2021 Da2019 a2021(a2020)2a2018 a2020(a2019)20 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13某公司的广告费支出 x (单位：万元)与营业额 y (单位：万元)之间呈线性相关关系， 收集到的数据如下表： 广告费支出 x (单位： 万元) 10 20 30 40 50 营业额 y (单位：万元) 62 68 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程为0.67yxa，则a的值为_ 14已知
8、 ， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出下面 四个论断：mn；n；m以其中的三个论断作为条件，余 下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 15已知 P 是直线 3x4y100 上的动点，PA，PB 是圆 x2y22x4y40 的两 条切线，C 为圆心，A，B 为切点，则四边形 PACB 的面积的最小值为_ 16在 ABC 中，sin (AB)sin Csin B，则 cos A_；点 D 是 BC 上靠近 点 B 的一个三等分点，记 sin ABD sin BAD，则当取最大值时，tan ACD _（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6
9、 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 记 Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 S22，S36 （1）求an的通项公式； （2）求 Sn，并判断 Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列 18（本小题满分 12 分） 在离心率为 3，且经过点(3，4)；一条准线方程为 x4，且焦距为 2这两个 条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线 l 存在，求出 l 的方程；若问 题中的直线 l 不存在，说明理由 问题：已知曲线 C：mx2ny21(m，n0)的焦点在 x 轴上，_，是否存 在过点 P(1，1)的直线 l，与曲线 C 交于 A，
10、B 两点，且 P 为线段 AB 的中点？ 注：若选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 19（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量 m(2sin (xA)，sin A)，n (cos x，1)，f(x)m n，且对任意 xR，都有 f(x)f( 5 12) （1）求 f(x)的单调递增区间； （2）若 a2 3，sin Bsin C 6 2，求 ABC 的面积 20（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是圆内接四边形， CBCDCE1，ABADAE 3，ECBD （1）证明：平面 BED平面 ABCD；
11、 （2）若点 P 在侧面 ABE 内运动，且 DP平面 BEC，求直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值 21（本小题满分 12 分） 已知 ( )ln a f xxxx x ，其中 aR （1）讨论 f(x)的极值点的个数； （2）当 nN*时，证明： 2222 341 ln 2lnlnln 2324 nn nn 22（本小题满分 12 分） 某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件已知学 生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是 p (0p1)， 且各个电子元件正常工作的 事件相互独立现要检测 k (kN*)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选
12、 检测，若检测出元件组正常工作，则认为这 k 个电子元件均正常工作；若检测出元件组 不能正常工作，则认为这 k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再 对这 k 个电子元件进行逐一检测 （1）记对电子元件总的检测次数为 X，求 X 的概率分布和数学期望； （2）若 p0.99，利用(1) (0 1，N*)的二项展开式的特点，估算当 k 为何值 时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数； （3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑 组装时带来的影响已知该系统配置有 2n1(nN*)个电子元件，如果系统中有多于一 半的电子元件正常工作，
13、该系统就能正常工作将系统正常工作的概率称为系统的可靠 性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件试分析当 p 满足什么条 件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？ 数学试题解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A1，2，3，Bx|x2x20 且 xZ，则 AB A1 B1，2 C0，1，2，3 D1，0，1，2，3 【解析】由题意 Bx|1x2 且 xZ=0，1，所以 AB1， 故答案选 A. 2某大学 4 名大学生利用假期到 3 个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去 1 个山 村
14、，每个山村至少有 1 人去，则不同的分配方案共有 A6 种 B24 种 C36 种 D72 种 【解析】由题意可知先把 4 名大学生分成三组然后再分配到每个山村，则由分布计数原 理有， 故答案选 C 3甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说：“我没去过”，乙说：“丁去过”， 丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”，假定四人中只有一人说的是假话，由此可判 断一定去过长城的是 A甲 B乙 C丙 D丁 【解析】由题意可知乙与丁说的话矛盾，故说假话的人必然在他们二人之中，再由题意 只有一个人说的话为假话，则丙必定说了真话，则可判断一定去过长城的是乙， 故答案选 B. 4天文学中为了衡量天体的明暗
15、程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus，又名依 巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等的数值越小，天体就越亮； 星等的数值越大，天体就越暗到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应 用， 英国天文学家普森 （M.R.Pogson） 又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念 天 体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m1m22.5(lg E2lg E1)， 其中星等为mi的的星的亮度为Ei (i1， 2) 已知“心宿二”的星等是1.00， “天津四”的星等是 1.25“心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则 r 的近似值为（当|x| 较小时，10 x
16、12.3x2.7x2） A1.23 B1.26 C1.51 D1.57 【解析】该题为文化题，由题意可设“心宿二”的星等是 m1， “天津四”的星等是 m2， “心宿二”的亮度是 E1，“天津四”的亮度是 E2，则 m1=1.00，m2=1.25，E1=rE2，因为 两颗星的星等与亮度满足 m1-m2=2.5(lgE2-lgE1)，所以 1-1.25=2.5(lgE2-lgrE2)，lgr=0.1， 所以 r=100.11+2.30.1+2.7(0.1)2=1+0.23+0.027=1.257，所以与 r 最接近的是 1.26， 故答案选 B. 5设 a，b，c 为单位向量，且 a b0，则(
17、ac) (bc)的最小值为 A2 B 22 C1 D1 2 【解析】由题意可知 ab，|a+b|=，(ac) (bc)=a b-(a+b) c+c2=0(a+b) c+1 =1|a+b| |c|cos=1cos1， 故答案选 D. 6我国古代数学家刘徽于公元 263 年在九章算术注中提出“割圆术”：“割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”即通过圆内接 正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的 圆周率如果用圆的内接正 n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为 n，那么用圆 的内接正 2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值 2n可以表示为
18、 A 180 cos n n B 360 cos n n C 180 sin n n D 90 sin n n 【解析】该题为文化题，由题意可得，所以，又 ，所以， 故答案选 A. 7用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为 A正六边形 B五边形 C矩形 D三角形 【解析】 由题意用一平面截正方体， 所得截面可以为正六边形、 五边形、 矩形、 三角形， 而当截面为矩形时，为体对角线为长、正方体棱长为宽的矩形，可知该截面为最大面积. 故答案选 C. 8定义在 R 上的偶函数 f(x)的导函数为 f (x)，若xR，都有 2f(x)xf (x)2，则使 x2f(x)f(1)x21
19、成立的实数 x 的取值范围是 Ax|x1 B(1，0)(0，1) C(1，1) D(，1)(1，) 【解析】由题意当 x0 时，由 2f(x)xf (x)2 可知 2xf(x)x2f (x)2x0， 令 g(x)=x2f(x)x2，g(x)=2xf(x)+x2f (x)2x， 又 g(x)0 在(0，)上恒成立，所以 g(x)在(0，)上单调递减 因为 x2f(x)f(1)x21，所以 x2f(x)x2f(1)1，即 g(x)1；同理当 x0 时，得 x，即 0logaclogbc，则选项 A 正确；由题意 y=xc-1为 减函数，所以 bc-1ac-1，且 ab0，则由不等式的基本性质得 a
20、bcbac，则选项 B 正确； 由题意 0logaclogbc， 又 ab1， 则 alogbcblogac， 则选项 C 错误； 由题意 acbc， acbc，所以 abacabbc，即 a(bc)b(ac)，则选项 D 错误； 法二：由题意可取 a=3，b=2，c= ，则 logac=log31，logbc=log2=1，则 logac logbc 则选项 A 正确；abc=，bac=，则选项 B 正确；alogbc=3log2= 3，blogac=2log32，则 alogbcblogac，则选项 C 错误；a(bc)=3(2 )= ，b(a c)=2(3 )=5，则 a(bc)b(ac
21、)，则选项 D 错误；故答案选 AB. 10下列四个命题中，真命题为 A若复数 z 满足 zR，则z R B若复数 z 满足 1 zR，则 zR C若复数 z 满足 z2R，则 zR D若复数 z1，z2满足 z1 z2R，则 12 zz 【解析】若复数 z 满足 zR，设 z=a，其中 aR，则z R，则选项 A 正确；若复数 z 满足 1 zR， 设 1 z=a， 其中 aR， 且 a0， 则 z= R， 则选项 B 正确； 若复数 z 满足 z 2R， 设 z=i，则 z2=1R，但 z=i R，则选项 C 错误；若复数 z1，z2满足 z1 z2R，设 z1=i， z2=i，则 z1
22、z2=1R，而=iz1，则选项 D 错误；故答案选 AB. 11已知抛物线 C：y22px (p0)的焦点 F 到准线的距离为 2，过点 F 的直线与抛物线 交于 P，Q 两点，M 为线段 PQ 的中点，O 为坐标原点，则 AC 的准线方程为 y1 B线段 PQ 长度的最小值为 4 CM 的坐标可能为(3，2) DOP OQ 3 【解析】焦点 F 到准线的距离为 p=2，所以抛物线 C 的焦点为(1，0)，准线方程为 x= 1， 则选项 A 错误； 当 PQ 垂直于 x 轴时长度最小， 此时 P(1， 2)， Q(1， 2)， 所以|PQ|=4， 则选项 B 正确；设 P(x1，y1)，Q(x
23、2，y2)，直线 PQ 的方程为 x=my+1，联立 x=my+1，y2 2px ， 消去 y 可得 x2(4m2+2)x+1=0， 消去 x 可得 y24my4=0， 所以 x1+x2=4m2+2， y1+y2=4m，当 m=1 时，可得 M(3，2)，则选项 C 正确；又 x1x2=1，y1y2=4，所以OP OQ x1x2+y1y2=3，则选项 D 正确；故答案选 BCD. 12 黄金螺旋线又名等角螺线， 是自然界最美的鬼斧神工 在 一个黄金矩形（宽长比约等于 0.618）里先以宽为边长做正方 形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循 环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一
24、圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄 金螺旋线”达 芬奇的蒙娜丽莎，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线 现 将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为 an (nN*)， 数列an满足 a1a21，anan1an2 (n3)再将扇形面积设为 bn (nN*)，则 A4(b2020b2019)a2018 a2021 Ba1a2a3a2019a20211 Ca12a22a32(a2020)22a2019 a2021 Da2019 a2021(a2020)2a2018 a2020(a2019)20 【解析】由题意得 bn an2，则 4(b2020b2019)4( a20202 a
25、20192)(a2020a2019)(a2020 a2019)a2018 a2021， 则选项 A 正确； 又数列an满足 a1a 21， anan1an2 (n3)， 所以 an2anan1(n3)，a1a2a3a2019(a3a2)(a4a3)(a5a4) (a2021a2020)a2021a2a20211，则选项 B 正确；数列an满足 a1a21，anan1 an2 (n3)，即 an1an2an，两边同乘 an 1 ，可得 an12an1 an2an1 an，则 a12 a22a32(a2020)2a12(a2a1a2a3)(a3a2a3a4)(a 2020a2019a2020a20
26、21)a12 a2020a20211a2020a2021， 则选项 C 错误； 由题意 an 1anan2， 则 a2019 a2021(a2020)2 a2018 a2020(a2019)2a2019 (a2021a2019)a2020 (a2018a2020)a 2019 a2020a2020 (a2019) 0，则选项 D 正确；故答案选 ABD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13某公司的广告费支出 x (单位：万元)与营业额 y (单位：万元)之间呈线性相关关系， 收集到的数据如下表： 广告费支出 x (单位： 万元) 10 20 30 40 50 营
27、业额 y (单位：万元) 62 68 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程为0.67yxa，则a的值为_ 【解析】由线性回归方程的定义及表数据可得=30，=75，所以a=54.9 答案为：54.9 14已知 ， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出下面 四个论断：mn；n；m以其中的三个论断作为条件，余 下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 【解析】由题意若mn；n；则 m，又因为m，所以；即 ；若；n，则 n，又因为m，所以mn，即 . 答案为：若 mn，n，m，则 （或若 ，n，m，则 mn） 15已知 P 是直线 3x4y100 上的动点，PA
28、，PB 是圆 x2y22x4y40 的两 条切线，C 为圆心，A，B 为切点，则四边形 PACB 的面积的最小值为_ 【解析】由题意圆的标准方程为(x1)2+(y+2)2=1，圆心为 C(1，2)，半径为 r=1，若 四边形 PACB 的面积最小， 则当圆心 C 与点 P 的距离最小， 即距离为圆心到直线的距离 时， 切线长 PA， PB 最小.所以四边形 PACB 的面积等于 2SPAC.因为 SPAC= |PA|AC|= |PA|=，又因为|PC|=3，所以 SPAC=，所以四边形 PACB 的面 积的最小值为 2SPAC=2 答案为：2 2 16在 ABC 中，sin (AB)sin C
29、sin B，则 cos A_；点 D 是 BC 上靠近 点 B 的一个三等分点，记 sin ABD sin BAD，则当取最大值时，tan ACD _（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 【解析】 因为 sin (AB)sin Csin B， 所以 sin Bsin Csin (AB)， 即 sin Bsin (A+B) sin (AB)，整理得 sin B2cos Asin B，又因为 sin B0，所以 cos A1 2；设 BD=x， BAD ， (0， )，则 DC=2x，sin Btsin ， 由正弦定理可得 AD=tx，sinC=， 又 sinC= ， 由 = ，得 cos B=
30、t 因为 sin 2B+cos2B=t2sin2+t2cos2 =1 ， 所以 t2= ， 因为 (0， )，所以 ( ， )，所以当=0 时，t 取得最大值 +1 ， 此时 sin B=( +1) ，所以 B ，tan ACDtan ( )=2 3 答案为： 1 2 2 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 记 Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 S22，S36 （1）求an的通项公式； （2）求 Sn，并判断 Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列 【解析】考点：数列的通项、性质，难度很小 解答过程：（1）设
31、an的公比为 q，则 ana1 qn1， 由已知得 11 2 132 2 8 aa q a qSS ，解得 a12，q2， 所以an的通项公式为 an(2)n 5 分 （2）由（1）得 21 ( 2) 22 ( 2) 1 ( 2)33 n n n S ， 所以 1 1 2224 ( 2)( 2) 3333 nn n S ， 2 2 2228 ( 2)( 2) 3333 nn n S ， 则 12 44 ( 2)2 33 n nnn SSS ， 所以 Sn1，Sn，Sn2成等差数列10 分 18（本小题满分 12 分） 在离心率为 3，且经过点(3，4)；一条准线方程为 x4，且焦距为 2这两个
32、 条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线 l 存在，求出 l 的方程；若问 题中的直线 l 不存在，说明理由 问题：已知曲线 C：mx2ny21(m，n0)的焦点在 x 轴上，_，是否存 在过点 P(1，1)的直线 l，与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P 为线段 AB 的中点？ 注：若选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】考点：圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，难度一 般 解答过程： 选条件：由题设得曲线 C 为焦点在 x 轴上的双曲线， 2 分 设 2 1 m a ， 2 1 n b (a0，b0)，所以 C 的方程为 22 22 1 xy
33、ab (a0，b0)， 由题设得 22 2 22 3 916 1 ab a ab ，解得 a21，b22，所以 C 的方程为 2 2 1 2 y x ，4 分 1 当直线l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程为x1， 与曲线C 有且仅有一个交点(1， 0)，不符合题意；6 分 2 当直线 l 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 yk(x1)1，代入 2 2 1 2 y x 得(2k2)x22k(k1)x(k22k3)0 (*)， 若 2k20，即 k 2时，方程(*)有且仅有一解，不符合题意；8 分 若 2k20，即 k 2时，其判别式
34、 2k(k1)24(k22)(k22k3) 8(2k3)0，则 3 2 k ， 所以方程(*)有两个不同实数解时， 3 2 2 kk 且 ， 10 分 于是 122 2 (1) 2 ( 1)2 2 k k xx k ，解得 k2，与 3 2 2 kk 且 矛盾！ 所以，不存在直线 l，与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P 为线段 AB 的中点 12 分 选条件：由题设得曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆， 2 分 设 2 1 m a ， 2 1 n b (ab0)，所以 C 的方程为 22 22 1 xy ab (ab0)， 由题设得 2 22 22 4 22 a ab ab ，解得 a24
35、，b23，所以 C 的方程为 22 1 43 xy ，4 分 1 当直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程为 x1， 代入 22 1 43 xy 得 3 2 y ， P(1， 1)不是线段 AB 的中点，不符合题意； 6 分 2 当直线 l 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 yk(x1)1，代入 22 1 43 xy 得(34k2)x28k(k1)x4(k22k2)0， 其判别式 8k(k1)24 (34k2) 4(k22k2)16(5k26k6)0， 于是 122 8 (1) 2 ( 1)2 34 k k xx k ，解得 3
36、 4 k ，9 分 故 337 (1) 1 444 yxx ，即 3x4y70， 所以存在直线 l：3x4y70，与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P 为线段 AB 的中点 12 分 19（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设向量 m(2sin (xA)，sin A)，n (cos x，1)，f(x)m n，且对任意 xR，都有 f(x)f( 5 12) （1）求 f(x)的单调递增区间； （2）若 a2 3，sin Bsin C 6 2，求 ABC 的面积 【解析】考点：三角函数的图象与性质、解三角形基本应用，难度较小 解答过程： （1）由
37、题意得 f(x)m n2sin (xA) cos xsin A 2(sin x cos Acos x sin A) cos xsin A 2sin x cos x cos A2cos2x sin Asin A 2sin x cos x cos A(2cos2x1) sin A sin 2x cos Acos 2x sin Asin (2xA)， 2 分 由题意知 55 ()sin()1 126 fA，所以 5 2 62 Ak(kZ)， 因为 A(0，)，所以 5 5 (,) 666 A ，所以 5 62 A ，即 3 A ，4 分 所以 ( )sin(2) 3 f xx ，令 2 22 232
38、 kxk(k Z)， 解得 5 1212 kxk (k Z)， 所以 f(x)的单调递增区间为 5 , 1212 kk(k Z)6 分 （2）在ABC 中由正弦定理得 sinsinsin abc ABC ，于是 2 3 sinsin6 sin 3 2 bcbc BC ， 解得2 6bc，即 22 224bcbc， 8 分 在ABC 中由余弦定理得 222 2cosbcabcA，于是 22 12bcbc，10 分 解得 bc4，所以ABC 的面积为 113 sin43 222 bcC 12 分 20（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是圆内接四边形，CBCD
39、 CE1，ABADAE 3，ECBD （1）证明：平面 BED平面 ABCD； （2）若点 P 在侧面 ABE 内运动，且 DP平面 BEC，求直线 DP 与 平面 ABE 所成角的正弦值的最大值 【解析】考点：立体几何证明垂直于平行、用空间向量解线面角问题，难度中等，考查 计算基本功 解答过程： （1）如图，在四棱锥 EABCD 中，连接 AC，交 BD 于点 O， 连接 EO，ADAB，CDCB，ACAC，ADCABC， 易得 ADOABO，AODAOB90 ，ACBD， 又 ECBD，ECACC，EC，AC平面 AEC，BD平面 AEC， 又 OE平面 AEC，OEBD，2 分 又底面
40、ABCD 是圆内接四边形，ADCABC90 ， 在 Rt ADC 中，由 AD 3，CD1，可得 AC2，AO 3 2， AEC90 ， AE AC AO AE 3 2，易得AEOACE，AOEAEC90 ， 即 EOAC，又 AC，BD平面 ABCD，ACBDO，EO平面 ABCD，4 分 又EO平面BED， 平面BED平面ABCD 5分 （2） 如图，取 AE 的中点 M，AB 的中点 N， 连接 MN，ND，DM，则 MNBE，由（1）知， DACBAC30 ，即DAB60 ，ABD 为正三角形， DNAB，又 BCAB，DN，CB平面 ABCD， DNCB，6 分 又 MNDNN，BE
41、BCB，MN，DN平面 DMN，BE，BC平面 EBC，平面 DMN 平面 EBC， 点 P 在线段 MN 上7 分 以O为坐标原点， 以OA OB OE ,为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则 3 ( ,0,0) 2 A ， 3 (0,0) 2 B， 3 (0,0,) 2 E， 43 ( ,0,) 34 M， 3 (0,0) 2 D， 33 ( ,0) 44 M， 33 (,0) 22 AB ， 33 (,0,) 22 AE ， 333 ( ,) 424 DM ， 33 (0,) 44 MN ，8 分 设平面 ABE 的法向量为 n(x，y，z)， 则 0 0 AB AE
42、 n n ，即 30 30 xy xz ，不妨令1x ，则 n(1， 3， 3)，9 分 设MP MN (01)，则 33333 ( ,) 42444 DPDMMP， 10 分 设直线 DP 与平面 ABE 所成的角为 ， 则 2 |12 sin|cos,| | | 424 DP DP DP n n n ， 11 分 因为 01，所以当 0 时，sin 取得最大值 42 7 ， 故直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值为 42 7 12 分 21（本小题满分 12 分） 已知 ( )ln a f xxxx x ，其中 aR （1）讨论 f(x)的极值点的个数； （2）当 nN*时，
43、证明： 2222 341 ln 2lnlnln 2324 nn nn 【解析】考点：函数与导数综合应用：极值点分类讨论、构造不等式放缩证明，难度中 等以上，尤其是第二问 解答过程： （1）f(x)的定义域为(0，)，则 22 ( )ln1 1ln aa fxxx xx ， 令 2 ( )ln a g xx x ，x0，则 2 33 122 ( ) axa g x xxx ，1 分 当0a时， ( )lnfxx ，令 ( )0fx ，则1x ， 当 0 x1 时， ( )0fx ，f(x)单调递减， 当 x1 时， ( )0fx ，f(x)单调递增， 所以 f(x)在(0，)上有且仅有一个极值点
44、2 分 当0a时， ( )0g x ，所以 g(x)在(0，)上单调递增， 又 (1)0ga ， 22 1 (e )(1)0 ee a aa a gaa 所以 g(x)在(1，ea)上存在唯一零点，记为 x0，列表： x (0，x0) x0 (x0，) f (x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)在(0，)上有且仅有一个极值点4 分 当0a时，令 ( )0g x ，得2xa， 当 0 x2a时， ( )0g x ，g(x)单调递减，当 x2a时， ( )0g x ，g(x)单调递增， 所以 g(x)ming(2a) 1 ln2 2 a ， 当 a 1 2e 时，g(x)min0，故 f (
45、x)0，f(x)在(0，)上单调递增， 所以 f(x)在(0，)上无极值点，5 分 当 1 2e a0 时，g(x)ming(2a) 1 ln2 2 a 0，又 (1)0ga ， 0221aa ，下面证 1 ( 2 )ln( 2 )0 4 gaa a ，6 分 令 1 ( )ln( 2 ) 4 aa a ( 1 2e a0)， 222 2 1 2141 e ( )0 2444 a a aaaa ， 所以 ( )a 在( 1 2e ，0)上单调递增，所以 11ee ( 2 )( )()ln10 2ee22 gaa ， 所以 g(x)在(0，)上有且仅有两个零点，记为 ,() ，列表： x (0，
46、) (，) (，) f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在(0，)上有且仅有两个极值点7 分 综上所述，当 a 1 2e 时，f(x)无极值点；当 1 2e a0 时，f(x)有两个极值点； 当 a0 时，f(x)有一个极值点8 分 （2）由（1）知，当 a0 时，f(x)f(1)1，所以ln1xxx ，10 分 即 1 ln1x x ，所以 22 1 ln(1)x x ，令 1n x n 得 故 22 111111 ln() 11212 n nnnnnn ， 11111111 2334122224 n nnnn 12 分 22（本小题满分 12 分） 某中学开展劳动实
47、习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件已知学 生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是 p (0p1)， 且各个电子元件正常工作的 事件相互独立现要检测 k (kN*)个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选 检测，若检测出元件组正常工作，则认为这 k 个电子元件均正常工作；若检测出元件组 不能正常工作，则认为这 k 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再 对这 k 个电子元件进行逐一检测 （1）记对电子元件总的检测次数为 X，求 X 的概率分布和数学期望； （2）若 p0.99，利用(1) (0 1，N*)的二项展开式的特点，估算当 k 为何值 时，每个电子元件的检测次数最小，并估算此时总的检测次数； （3）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装入电子系统中，不考虑 组装时带来的影响已知该系统配置有 2n1(nN*)个电子元件，如果系统中有多于一 半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作将系统正常工作的概率称为系统的可靠 性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增
