1、 1 唐山市唐山市 20202021 学年度高二第一学期质量检测数学试卷学年度高二第一学期质量检测数学试卷 本试卷分第 I 卷(12 页，选择题)和第 II 卷(38 页，非选择题)两部分，共 150 分，考 试用时 120 分钟。 第 I 卷(选择题，共 60 分) 注意事项： 1.答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试卷科目用 2B 铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净，再涂其它答案，不能答在试题卷上。 3.考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5
2、 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项符合题目要求。 1.已知向量 a(4，2)，b(m，3)，若 a/b，则 m A.6 B.6 C. 3 2 D. 3 2 2.在ABC 中，已知 BC2，AC1，B45，则 A A.45 B.60 C.90 D.135 3.同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为 6 的概率为 A. 1 12 B. 1 9 C. 1 6 D. 5 36 4.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1000a10211，则 S2020 A.2020 B.1021 C.1010 D.1002 5.设 x，y 满足约束条件 xy4 3xy2 xy2 ，
3、则 z3xy 的最大值为 A.4 B.6 C.8 D.10 6.右图是一个边长为 2 的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机 2 投入质点 600 次，其中恰有 225 次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为 A.1.2 B.1.5 C.1.6 D.1.8 7.已知 x0，y0，M 2 2 x xy ，N 4() 5 xy ，则 M 和 N 大小关系为 A.MN B.M0，b0，且 4ab2ab4，则 2ab 的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 10.右图是某校随机抽取 100 名学生数学月考成绩的频率分布直方图， 据此估计该校本次月考 数学成绩的总体情况(同一
4、组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是 A.平均数为 74 B.众数为 60 或 70 C.中位数为 75 D.该校数学月考成绩 80 以上的学生约占 25% 3 11.如图，在ABC 中，D 为 BC 中点，E 在线段 AD 上，且 AE2ED，则BE A. 12 33 ACAB B. 12 33 ACAB C. 21 33 ACAB D. 21 33 ACAB 12.某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距 503 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险后抛锚 等待营救。 甲船立即前往救援， 同时把信息通知在 A 南偏东 30 ， 且与 A 处相距 253 n mile
5、的 C 处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向 是北偏东多少度? A.30 B.45 C.90 D.60 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 注意事项： 1.第 II 卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在题中横线上) 13.已知数列an为等比数列，a3a51，则 a2a42a3a5a4a6 。 14.已知 x0，则 y 2 xx1 x 的最小值为 。 15.已知向量 a(3，6)，则与 a 垂直的单位向量的坐
6、标为 。 16.学校餐厅每天供应 1050 名学生用餐，每周一有 A，B 两种套餐可供选择。调查表明，凡 4 是本周一选 A 套餐的，下周一会有 20%改选 B 套餐；而选 B 套餐的，下周一会有 30%改选 A 套餐。用 an，bn分别表示第 n 个周一选 A 套餐的人数和选 B 套餐的人数。第一个周一选 A 套餐的人数为 a1人。 (1)如果每个周一选 A 套餐人数总相等，则 a1 。 (2)若 a1350，则从第 个周一开始，选 A 套餐人数首次超过选 B 套餐的人数。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分)。 为了研究
7、某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据： (1)求 y 关于 t 的回归直线方程； (2)利用(1)中的回归直线方程，预测当 t10 时，菜籽发芽个数。 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 2 1 ()() , () n ii i n i i ttyy baybt tt 18.(12 分) 当 a0 时，解关于 x 的不等式 ax2(13a)x30。 19.(12 分) 街道办在小区东、西两区域分别设置 10 个摊位，供群众销售商品。某日街道办统计摊 主的当日利润(单位：元)，绘制如下茎叶图。 (1)根据茎叶图，计算东区 10 位摊主当日利润的平均数，方
8、差； (2)从当日利润 90 元以上的摊主中，选出 2 位进行经验推介，求选出的 2 位摊主恰好东、西 5 区域各 1 位的概率。 20.(12 分) 已知ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ABC 的面积 S 满足 2 3 SAB AC 3 。 (1)求 A； (2)若 acbcosAacosB，求ABC 的周长的最大值。 21.(12 分) 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1a23，S36。 (1)求数列an的通项公式； (2)求数列 n n 1 a 2 的前 n 项和 Tn。 22.(12 分) 如图，某游乐园的平面图呈圆心角为 120 的扇形
9、 AOB，其两个出入口设置在点 B 及点 C 处，且园内有一条平行于 AO 的小路 CD。已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 8 分钟，从 D 沿 DB 走到 B 用了 6 分钟。若此人步行的速度为每分钟 50 米。 (1)求CDB 的面积； (2)求该扇形的半径 OA 的长。 6 数学参考答案数学参考答案 一选择题： A 卷：ACDCC BABAD BD B 卷：ABDCC CABAD BD 二填空题： 131 143 15(2 5 5 ， 5 5 )或(2 5 5 ， 5 5 ) 16630（2 分） ；3（3 分） 三解答题： 17解： （1）由表中数据计算得，t -6，y-4，
10、5 i1 (tit -)(yiy-)11， 5 i1 (tit -)210， b 5 i1 (tit -)(yiy-) 5 i1 (tit -)2 1.1，a y -bt-2.6 所以，回归方程为y 1.1t2.6 8 分 （2）将 t10 代入（1）的回归方程中得y 112.68.4 故预测 t10 时，菜籽发芽个数约为 8.4 千个 12 分 18解： 当 a0 时，原不等式即 x30，解得 x3； 2 分 当 a0 时，(ax1)(x3)0. 方程(ax1)(x3)0 的两根为 x1 1 a，x23. 4 分 当 a 1 3时，原不等式即 1 3(x3) 20，解得 xR. 当 1 3a
11、0 时， 1 a3，解得 x 1 a或 x3； 当 a 1 3时， 1 a3，解得 x3 或 x 1 a； 11 分 综上，当 a0 时，原不等式的解集为x|x3； 当 a 1 3时，原不等式的解集为 R； 7 当 1 3a0 时，原不等式的解集为x| x 1 a或 x3； 当 a 1 3时，原不等式的解集为x| x3 或 x 1 a. 12 分 19解： （1）东区 10 位摊主利润的平均数是 80，方差是 1 10(6880) 2(6980)2(7580)2(7380)2(7880)2(8080)2 (8980)2(8180)2(9280)2(9580)279.4 6分 （2）由题意可知，
12、东区 2 摊主分设为 A，B，西区 3 摊主分设为 c，d，e 再从这 5 位摊主中随机抽取 2 个，共包含： (A，B)，(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，c)，(B，d)，(B，e)，(c，d)，(c，e)， (d，e)，10 种等可能的结果； 8 分 其中东西两个区域各 1 位摊主事件包含(A，c)，(A，d)，(A，e)，(B，c)，(B，d)， (B，e)，共计 6 种等可能的结果； 10 分 由古典概型计算公式可得，选出东、西两个区域各 1 位摊主的概率 P 6 10 3 5 12 分 20解： （1）由已知2 3 3 1 2 bcsinAbccosA，得 tanA 3 3
13、 分 因为 0A180，所以 A60 5 分 （2）由题设及正弦定理得 asinCsinBcosAsinAcosB， 所以 asinCsin(BA)，即 asinCsinC 由于 0C120，sinC0， 所以 a1 8 分 由余弦定理得 a2b2c2bc， 所以(bc)213bc3(bc 2 ) 2，当且仅当 bc1 时取等号. 解得 bc2 11 分 即ABC 的周长的最大值为 3. 12 分 21解： （1）由 S36 得，a22， 代入到 a1a23 得 a1 3 2 ，d 1 2 ， 所以an的通项公式为 an 1 2 n1 4 分 8 （2）由（1）知 an 2n 1n2 2n ，
14、 5 分 Tn3 2 4 22 n1 2n 1n2 2n ， 1 2 Tn 3 22 4 23 n1 2n n2 2n 1 8 分 两式相减得 1 2 Tn 3 2 ( 1 22 1 23 1 2n) n2 2n 1 10 分 3 2 1 2 (1 1 2n 1)n2 2n 12n4 2n 1 所以 Tn4n4 2n 12 分 22解： （1）由题意 CD400(米)，DB300(米)，CDB120 ； CDB 的面积 S 1 2 300 400 sin120 30000 3(平方米) 所以CDB 的面积为 30000 3平方米 4 分 （2）设扇形的半径为 r，连结 CO 由题意CDO60 在CDO 中，OC2CD2OD22 CD OD cos60 ， 即 r24002(r300) 22 400 (r300) 1 2 ， 8 分 解得 r370(米) 则该扇形半径 OA 的长为 370 米. 12 分 C O B D A
