1、121 总体和个体总体和个体 学习目标 1.会求样本的众数、中位数、均值、标准差、方差.2.掌握用样本的数字特征来估 计总体数字特征的方法.3.会用相关知识解决简单的统计实际问题 知识链接 1在数据 2,2,3,4,4,5,5,6,7,8 中，众数为 2,4,5. 2一组数据的和除以数据的个数所得到的数叫作这组数据的平均数例如，数据 1,2,3,3,4,5 的平均数为 3. 预习导引 1相关概念 (1)总体：所要调查对象的全体； (2)个体：总体中的每个成员； (3)样本：从总体中抽取一部分个体，称这些个体为样本，也称为观测数据； (4)样本容量：构成样本的个体数目，简称样本量 (5)抽样：从
2、总体中抽取样本的工作 (6)样本均值：是样本的平均值，用 x 表示 2方差和标准差 (1)总体方差 当 y1，y2，yN是总体的全部个体， 是总体均值时，称 2y1 2y 2 2y N 2 N 是总体的平均平方误差，简称为总体方差或方差 (2)样本方差 给定 n 个观测数据 x1， x2， ， xn， 用 x 表示这 n 个数据的均值 称 s21 n(x1 x ) 2(x 2 x ) 2 (xn x )2为这 n 个数据的样本方差，简称为方差 (3)标准差 是方差的算术平方根如果 s2是样本方差，就称 s s2是样本标准差；如果 2是总体方差， 就称 2是总体标准差 (4)方差反映了一组数据围
3、饶平均数波动的大小.在均值相同的情况下， 方差越大， 数据波动性 越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中. 题型一 总体与样本概念的应用 例 1 为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率的大小，抽测了其中 100 名同学的 视力情况在这个过程中，100 名同学的视力情况(数据)是( ) A总体 B个体 C总体的一个样本 D样本容量 答案 C 解析 100 名同学的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合， 所以是总体 的一个样本 规律方法 解决此类问题要注意区分以下几个概念： (1)总体：在抽样调查中，调查对象的全体称为总体 (2)样本：被抽取的一部分个体称为样本 (3)个体
4、：构成总体的每个成员称为个体 (4)样本容量：构成样本的个体数目称为样本容量 (5)总体容量：总体中个体的数目称为总体容量 跟踪演练 1 从某年级 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分析， 下列说法正确的是 ( ) A500 名学生是总体 B每个被抽查的学生是个体 C抽取的 60 名学生的体重是一个样本 D抽取的 60 名学生的体重是样本容量 答案 C 解析 本题抽取的是 60 名学生的体重， 因此 500 名学生的体重是总体， 每个学生的体重是个 体，这 60 名学生的体重构成一个样本，样本容量为 60. 题型二 众数、中位数、均值的简单运用 例 2 在一次乒乓球单打比赛中，
5、甲选手在 1 比 3 落后的情况下连扳三局， 4 比 3 击败乙选手 成功卫冕，这七局的比分是：411,811,115,411,119,118,116.试分别计算这两位 运动员成绩的均值、众数和中位数 解 甲选手各局的得分分别是：4,8,11,4,11,11,11； 按照从小到大的顺序排列是：4,4,8,11,11,11,11； 乙选手各局的得分分别是：11,11,5,11,9,8,6； 按照从小到大的顺序排列是：5,6,8,9,11,11,11； (1)均值 x甲1 7(48114111111) 60 7 ， x乙1 7(1111511986) 61 7 ； (2)两者的众数都是 11； (
6、3)甲的中位数是 11；乙的中位数是 9. 规律方法 理解并掌握均值、众数、中位数的概念，均值、众数、中位数可能相同，也可能 不同，注意某几个数据的均值就是这些数的算术平均数，样本均值代表了数据更多的信息. 在实际问题中计算时，应按照实际要求进行计算 跟踪演练 2 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 17 名运动员的成绩如表所示： 成绩 (单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与均值(结果保留两位小数) 解 在 17 个数据中，1.75 出现了 4 次，出现的次数
7、最多，即这组数据的众数是 1.75 m上 面表里的 17 个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第 9 个数据 1.70 是最中间的一 个数据，即这组数据的中位数是 1.70 m；这组数据的均值是 x 1 17(1.5021.6031.901) 28.75 17 1.69(m) 答：17 名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为 1.75 m，1.70 m，1.69 m. 题型三 方差的运用 例 3 甲、乙两机床同时加工直径为 100cm 的零件，为检验质量，各从中抽取 6 件，测得这 12 个零件的直径(单位：cm)是： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100
8、102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的均值及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定 解 (1) x甲1 6(9910098100100103) 100(cm)， x乙1 6(9910010299100100)100(cm) 所以乙机床加工零件的质量更稳定 规律方法 1.方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过方差或标准差来描述 方差反映了一组数据围绕平均数波动的大小， 为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度又引入了标准差，即样本方差的算术平方根，是 样本数据到均值的一种平均距离 2在实际问题中，仅靠均值不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据
9、相对均值的 离散程度， 在均值相同的情况下， 方差越大， 离散程度越大， 数据波动性越大， 稳定性越差； 方差越小，数据越集中，质量越稳定 跟踪演练 3 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_. 答案 2 解析 由表中的数据计算可得 x甲90， x乙90，且方差 所以乙运动员的成绩较稳定，方差为 2. 课堂达标 1 某校有 40 个班， 每班 50 人， 每班选派 3 个参加
10、“学代会”， 在这个问题中样本容量是( ) A40B50 C120D3 答案 C 解析 样本容量为 340120. 2下面是高一(18)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99,101,118,98,110，则该组数 据的中位数是( ) A98 B99 C98.5 D97.5 答案 A 解析 将这组数据按从小到大排列为 73,82,84,91,98,98,99,101,110,118，则最中间的两个数为 98,98，故中位数是1 2(9898)98. 3下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是( ) A众数 B均值 C标准差 D中位数 答案 C 4样本 101,98,1
11、02,100,99 的标准差为( ) A. 2B0 C1D2 答案 A 解析 样本均值 x 100，方差为 s22， 标准差 s 2，故选 A. 5某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则：(1)平均命中环数为_； (2)命中环数的标准差为_ 答案 (1)7 (2)2 解析 利用均值和标准差公式求解 (1) x 78795491074 10 7. (2)s2 1 10(77) 2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(7 7)2(47)24，s2. 课堂小结 1一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序， 2标准差是方差的算术平方根，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标 准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差
