1、5 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 第第 1 课时课时 离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均 值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均 值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题 知识点一 离散型随机变量的均值 设有 12 个西瓜，其中 4 个重 5 kg,3 个重 6 kg,5 个重 7 kg. 思考 1 任取 1 个西瓜，用 X 表示这个西瓜的重量，试问 X 可以取哪些值？ 答案 X5,6,7. 思考 2 X 取上述值
2、时，对应的概率分别是多少？ 答案 P(X5) 4 12，P(X6) 3 12，P(X7) 5 12. 思考 3 如何求每个西瓜的平均重量？ 答案 546375 12 5 4 126 3 127 5 12. 梳理 随机变量 X 的均值 (1)均值的定义 设随机变量 X 的可能取值为 a1，a2，ar，取 ai的概率为 pi(i1,2，r)，即 X 的分布 列为 P(Xai)pi(i1,2，r)， 则 X 的均值 EXa1p1a2p2arpr. (2)均值的意义 均值刻画的是随机变量 X 取值的“中心位置” 知识点二 两种特殊随机变量的均值 1当随机变量服从参数为 n，p 的二项分布时，其均值为
3、np. 2当随机变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布时，它的均值 EXnM N. 1随机变量 X 的均值 EX 是个变量，其随 X 的变化而变化( ) 2随机变量的均值与样本的平均值相同( ) 3均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数( ) 类型一 离散型随机变量的均值 命题角度1 一般离散型随机变量的均值 例 1 某同学参加科普知识竞赛， 需回答三个问题， 竞赛规则规定： 每题回答正确得 100 分， 回答不正确得100 分，假设这名同学回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之 间没有影响 (1)求这名同学回答这三个问题的总得分 X 的分布列和均值； (2
4、)求这名同学总得分不为负分(即 X0)的概率 考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 解 (1)X 的可能取值为300，100,100,300. P(X300)0.230.008， P(X100)C130.80.220.096， P(X100)C230.820.210.384， P(X300)0.830.512， 所以 X 的分布列为 X 300 100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以 EX(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180(分) (2)这名同学总得分不为负分的概率为 P(X0
5、) P(X100)P(X300)0.3840.5120.896. 反思与感悟 (1)求随机变量 X 的均值的步骤 理解随机变量 X 的意义，写出 X 所有可能的取值； 求出 X 取每个值的概率 P(Xk)； 写出 X 的分布列； 利用均值的定义求 EX. (2)注意运用随机变量均值的性质 跟踪训练 1 已知随机变量 和 ，其中 127，且 E34，若 的分布列如下表，则 m 的值为( ) 1 2 3 4 P 1 4 m n 1 12 A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 8 考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 离散型随机变量的均值性质的应用 答案 A 解析 因为 127， 则 E12
6、E7， 即 E12 11 42m3n4 1 12 734. 所以 2m3n5 3， 又1 4mn 1 121， 所以 mn2 3， 由可解得 m1 3. 命题角度2 二项分布与超几何分布的均值 例 2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立 (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的均值 考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 解 设该车主购买乙种保险的概率为 p，由题意知 p(10.
7、5)0.3，解得 p0.6. (1)设所求概率为 P1，则 P11(10.5)(10.6)0.8. 故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8. (2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 (10.5)(10.6)0.2. XB(100,0.2)，EX1000.220. X 的均值是 20. 反思与感悟 如果随机变量 X 服从二项分布即 XB(n，p)，则 EXnp；如果随机变量 X 服 从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 EXnM N，以上两个特例可以作为常用结论，直接代入 求解，从而避免了烦琐的计算过程 跟踪训练 2 在 5 件产品中含有 2 件次品，从这
8、5 件产品中选出 3 件所含的次品数设为 X， 则 X 的均值为_ 考点 常见的几种均值 题点 超几何分布的均值 答案 6 5 解析 方法一 X 可能取的值是 0,1,2. P(X0)C 0 2C 3 3 C35 1 10， P(X1)C 1 2C 2 3 C35 6 10， P(X2)C 2 2C 1 3 C35 3 10. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 6 10 3 10 所以 EX0 1 101 6 102 3 10 6 5. 方法二 由题意，N5，M2，n3， 故 EXnM N 23 5 6 5. 类型二 均值的实际应用 例 3 某商场准备在“五一”期间举行促销活
9、动根据市场行情，该商场决定从 3 种服装商 品、2 种家电商品、4 种日用商品中，选出 3 种商品进行促销活动 (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率； (2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高 180 元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有 3 次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖 金假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是1 2，且每次获奖的奖金数额相同，请问：该商场应将 每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？ 考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 均值在实际中的应用 解 (1)设选出的 3 种商品中至少有
10、一种是日用商品为事件 A，则 P(A)1C 3 5 C39 37 42. 即选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率为37 42. (2)设顾客抽奖的中奖次数为 X，则 X0,1,2,3，于是 P(X0) 11 2 11 2 11 2 1 8， P(X1)C13 11 2 21 2 3 8， P(X2)C23 11 2 1 2 23 8. P(X3)1 2 1 2 1 2 1 8， 顾客中奖的均值 EX01 81 3 82 3 83 1 81.5. 设商场将每次中奖的奖金数额定为 x 元，则 1.5x180，解得 x120， 即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为 120 元，才能使自己
11、不亏本 反思与感悟 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有 关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相 应的概率及均值 跟踪训练3 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去 50 年的水文资料显示， 水库年入流量 X(年入流量： 一年内上游来水与库区降水之和 单位： 亿立方米)都在 40 以上 其 中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量的相互独立 (1)求未来 4 年中，至多
12、有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制， 并有如下关系： 年入流量 X 40X120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，则应安装发电机多少台？ 考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 均值在实际中的应用 解 (1)依题意，p1P(40X120) 5 500.1. 由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 PC04(1p3)4C14(1p3)
13、3p30.9440.930.10.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元) 安装 1 台发电机的情形 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y5 000，EY 5 00015 000. 安装 2 台发电机的情形 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0008004 200，因此 P(Y4 200) P(40X80)p10.2；当 X80 时，两台发电机运行，此时 Y5 000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8. 由此得 Y 的分布列如下： Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所
14、以，EY4 2000.210 0000.88 840. 安装 3 台发电机的情形 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0001 6003 400，因此 P(Y3 400) P(40X120 时， 三台发电机运行， 此时 Y5 0003 15 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得 Y 的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，EY3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台 1已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1
15、 2 3 P 3 5 3 10 1 10 则 X 的均值 EX 等于( ) A.3 2 B2 C.5 2 D3 考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 A 解析 EX13 52 3 103 1 10 3 2. 2抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1 分，反面向上得1 分，则得分 X 的均值为( ) A0 B.1 2 C1 D1 考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 A 解析 因为 P(X1)1 2，P(X1) 1 2，所以由均值的定义得 EX1 1 2(1) 1 20. 3若 p 为非负实数，随机变量 的分布列为 0 1
16、 2 P 1 2p p 1 2 则 E 的最大值为( ) A1 B.3 2 C. 2 3 D2 考点 离散型随机变量的均值的概念与计算 题点 离散型随机变量均值的计算 答案 B 解析 由 p0，1 2p0，得 0p 1 2，则 Ep1 3 2.故选 B. 4若随机变量 B(n,0.6)，且 E3，则 P(1)的值是( ) A20.44 B20.45 C30.44 D30.64 考点 二项分布、两点分布的均值 题点 二项分布的均值 答案 C 解析 因为 B(n,0.6)，所以 En0.6， 故有 0.6n3，解得 n5. 则 P(1)C150.60.4430.44. 5袋中有 20 个大小相同的
17、球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n(n1,2,3,4)个现 从袋中任取一球， 表示所取球的标号 (1)求 的分布列、均值； (2)若 a4，E1，求 a 的值 考点 离散型随机变量的均值的性质 题点 离散型随机变量均值与其他知识点的综合 解 (1) 的分布列为 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 的均值 E01 21 1 202 1 103 3 204 1 5 3 2. (2)EaE41，又 E3 2， 则 a3 241，a2. 1求随机变量的均值的步骤 (1)写出随机变量所有可能的取值 (2)计算随机变量取每一个值时对应的概率 (3)写出分布列，求出均值 2离散型随机变量均值的性质 (1)E(cX)cEX(c 为常数) (2)E(aXb)aEXb(a，b 为常数) (3)E(aX1bX2)aEX1bEX2(a，b 为常数).
