3.2.2 复数的乘法~3.2.3 复数的除法 学案(含答案)

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1、3.2.2 复数的乘法复数的乘法 3.2.3 复数的除法复数的除法 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘 法对加法的分配律.3.掌握共轭复数的性质 知识点一 复数的乘法 思考 怎样进行复数的乘法运算? 答案 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的 i2换成1,并且把实 部与虚部分别合并即可 梳理 (1)复数的乘法 设 z1abi,z2cdi,a,b,c,dR,定义 z1z2(acbd)(adbc)i. (2)复数乘法的运算律 对任意复数 z1,z2,z3,有 交换律 z1 z2z2 z1 结合律 (z1 z2) z3z1 (z2

2、z3) 乘法对加法的分配律 z1 (z2z3)z1 z2z1 z3 对复数 z,z1,z2和自然数 m,n 有 zm znzm n,(zm)nzmn,(z 1 z2) nzn 1 z n 2. (3)共轭复数的性质 设 z 的共轭复数为 z ,则: zz |z|2| z |2. z2( z )2. z1 z2 z1z2. 知识点二 复数的除法法则 思考 类比根式除法的分母有理化,比如1 3 3 2 1 33 2 3 23 2,你能写出复数的除法法 则吗? 答案 设 z1abi,z2cdi(cdi0), 则z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i. 梳理 (1)复数

3、的倒数 已知 zabi(a,bR),如果存在一个复数 z,使 z z1,则 z叫做 z 的倒数,记作1 z. (2)复数的除法法则 设z1abi, z2cdi(cdi0), 则z1 z2 abi cdi acbd c2d2 bcad c2d2 i(a, b, c, dR且cdi0) 特别提醒:复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果; 而复数的除法是先将两复数的商写成分式,然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复 数) 1复数加、减、乘、除的混合运算法则是先乘除,再加减( ) 2两个共轭复数的和与积是实数( ) 3若 z1,z2C,且 z21z220,则 z1z2

4、0.( ) 类型一 复数的乘除运算 例 1 计算: (1)(1i)(1i)(1i); (2) 1 2 3 2 i 3 2 1 2i (1i); (3)(23i) (12i); (4)32i 23i 32i 23i. 解 (1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i. (2) 1 2 3 2 i 3 2 1 2i (1i) 3 4 3 4 3 4 1 4 i (1i) 3 2 1 2i (1i) 3 2 1 2 1 2 3 2 i 1 3 2 1 3 2 i. (3)(23i) (12i)23i 12i 23i12i 12i12i 2634i 1222 4 5 7 5i. (4)方法一

5、 32i 23i 32i 23i 32i23i32i23i 23i23i 613i6613i6 49 26i 132i. 方法二 32i 23i 32i 23i i23i 23i i23i 23i ii2i. 反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母,类比多项式的乘法进行 (2)复数的除法一般先写成分式形式,再把分母实数化,类比实数中的分母有理化进行 跟踪训练 1 计算: (1)(1i) 1 2 3 2 i (1i); (2) 2 3i 3 2i; (3) i2i1 1ii1i. 解 (1)原式(1i)(1i) 1 2 3 2 i 2 1 2 3 2 i 1 3i. (2)原式 2

6、 3ii 3 2ii 2 3ii 2 3i i. (3)原式i2i1 i2 i1. 类型二 共轭复数的性质及应用 例 2 已知复数 z 满足:zz 2iz86i,求复数 z 的实部与虚部的和 解 设 zabi(a,bR), 则 zz a2b2, a2b22i(abi)86i, 即 a2b22b2ai86i, a2b22b8, 2a6, 解得 a3, b1. ab4,复数 z 的实部与虚部的和是 4. 反思与感悟 (1)zz |z|2| z |2是共轭复数的常用性质 (2)实数的共轭复数是它本身,即 zRz z ,利用此性质可以证明一个复数是实数 (3)若 z0 且 z z 0,则 z 为纯虚数

7、,利用此性质可证明一个复数是纯虚数 跟踪训练 2 已知复数 z 满足|z|1,且(34i)z 是纯虚数,求 z 的共轭复数 z . 解 设 zabi(a,bR),则 z abi 且|z|a2b21,即 a2b21. 因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i,而(34i)z 是纯虚数, 所以 3a4b0,且 3b4a0. 由联立,解得 a4 5, b3 5 或 a4 5, b3 5. 所以 z 4 5 3 5i 或 z 4 5 3 5i. 类型三 in的周期性 例 3 计算: (1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i); (2)1 3i 3 1i6 2i 12i ;

8、 (3)2 3i 12 3i 2 1i 2 01648i 248i2 11 7i . 解 (1)原式2(4i)(3i)(7i)(43i) 2(123i4ii2)(284i21i3i2) 4739i. (2)原式1 3i 3 1i23 2i12i 5 1 3i 3 2i3 24ii2 5 3i 2 3iii0. (3)原式2 3i12 3i 12 3i12 3i 2 1i 2 1 0080 13i 112(i) 1 008i1. 反思与感悟 (1)in的周期性 i4n 1i,i4n21,i4n3i,i4n1(nN ) inin 1in2in30(nN ) (2)记住以下结果,可提高运算速度 (1

9、i)22i,(1i)22i. 1i 1ii, 1i 1ii. 1 ii. 设 1 2 3 2 i,则 21 2 3 2 i,31,120. 跟踪训练 3 计算:1ii2i3i2 012. 解 i21,i3i i2i,i4(i2)21,i5i4 ii, i4n 1i,i4n21,i4n3i,i4n1 且 ii2i3i40, 1ii2i3i2 0121(ii2i3i4)5031. 1若复数 z 2 1i,其中 i 为虚数单位,则 z 等于( ) A1i B1i C1i D1i 答案 B 解析 z 2 1i 21i 1i1i 21i 2 1i, z 1i,故选 B. 2设复数 z11i,z2mi,若

10、 z1 z2为纯虚数,则实数 m 可以是( ) Ai Bi2 Ci3 Di4 答案 B 解析 z1 z2(1i)(mi)m1(m1)i. z1 z2为纯虚数, m10, m10, 即 m1, m1, 得 m1,i21, 实数 m 可以是 i2,故选 B. 3.已知 i 为虚数单位,图中复平面内的点 A 表示复数 z,则表示复数 z 1i的点是( ) AM BN CP DQ 答案 D 解析 由图可知 z3i. 复数 z 1i 3i 1i 3i1i 1i1i 42i 2 2i 表示的点是 Q(2,1)故选 D. 4复数 z 的共轭复数记作 z .已知(12i)( z 3)43i,则 z_. 答案

11、5i 解析 (12i)( z 3)43i, z 343i 12i, z 3 43i 12i, z 343i12i 12i12i3 105i 5 5i, 则 z5i. 5已知复数 z 的共轭复数为 z ,且 z ( z 3i) 10 13i,求 z. 解 设 zabi(a,bR), 则 z abi, 由 z ( z 3i) 10 13i,得 z z 3zi13i, 即 a2b23b3ai13i, 由复数相等的充要条件,得 a2b23b1, 3a3, 解得 a1, b0 或 a1, b3, 所以 z1 或 z13i. 1复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘 法对加法的分配律 (2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都 乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化 2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题 3复数问题实数化思想 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数 zabi(a,bR),利 用复数相等的充要条件转化

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