1、1.1 导导 数数 1.1.1 函数的平均变化率函数的平均变化率 学习目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利 用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题 知识点 函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A 是出发点，H 是山 顶爬山路线用函数 yf(x)表示 自变量 x 表示某旅游者的水平位置，函数值 yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点 A 的 坐标为(x1，y1)，点 B 的坐标为(x2，y2) 思考 1 若旅游者从点 A 爬到点 B，自变量 x 和函数值 y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量 x 的改变
2、量为 x2x1，记作 x，函数值的改变量为 y2y1，记作 y. 思考 2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路 AB 来说，用y x y2y1 x2x1可近似地刻画其陡峭程度 梳理 函数 yf(x)在区间x0，x0 x或x0 x，x0的平均变化率 (1)条件：已知函数 yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记 xx1x0，yy1y0 f(x1)f(x0)f(x0 x)f(x0) (2)结论：当 x0 时，商：fx0 xfx0 x y x称作函数 yf(x)在区间x0，x0 x(或x0 x，x0)上的平均变化率 (3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比 (4)作用：刻
3、画函数在区间x0，x0 x(或x0 x，x0)上变化的快慢 1在平均变化率中，函数值的增量为正值( ) 2平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢( ) 类型一 求函数的平均变化率 例 1 已知函数 f(x)3x25，求 f(x)： (1)从 0.1 到 0.2 的平均变化率； (2)在区间x0，x0 x上的平均变化率 解 (1)因为 f(x)3x25， 所以从 0.1 到 0.2 的平均变化率为 30.22530.125 0.20.1 0.9. (2)因为 f(x0 x)f(x0)3(x0 x)25(3x205) 3x206x0 x3(x)253x205 6x0 x3(x)2， 所以函数 f
4、(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率为 6x0 x3x2 x 6x03x. 反思与感悟 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解， 解题的关键是弄清自变量的增量 x 与函数值的增量 y，求平均变化率的主要步骤： 跟踪训练 1 如图是函数 yf(x)的图象，则： (1)函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为_； (2)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为_ 答案 (1)1 2 (2) 3 4 解析 (1)函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为 f1f1 11 21 2 1 2. (2)由函数 f(x)的图象知，f(x) x3 2 ，1x1， x1，1x3， 所以函数 f(x)在区
5、间0,2上的平均变化率为 f2f0 20 33 2 2 3 4. 类型二 比较平均变化率的大小 例 2 求函数 yf(x)x2在 x1,2,3 附近的平均变化率，取 x 都为1 3，哪一点附近的平均变 化率最大？ 考点 变化问题与变化率 题点 变化率大小的比较 解 在 x1 附近的平均变化率为 k1f1xf1 x 1x 21 x 2x； 在 x2 附近的平均变化率为 k2f2xf2 x 2x 222 x 4x； 在 x3 附近的平均变化率为 k3f3xf3 x 3x 232 x 6x. 当 x1 3时，k12 1 3 7 3， k241 3 13 3 ，k361 3 19 3 . 由于 k1k
6、2v乙 Bv甲s2(0)， 所以s1t0s10 t0 s2t0s20 t0 ，所以 v甲0)上的平均变化率，其中 x 的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 解 函数 f(x)x2在1,1x(x0)上的平均变化率为f1xf1 x 1x 21 x 2x. (1)当 x2 时，平均变化率的值为 4. (2)当 x1 时，平均变化率的值为 3. (3)当 x0.1 时，平均变化率的值为 2.1. (4)当 x0.01 时，平均变化率的值为 2.01. 1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中 表示事物变化的快慢 2求函数 f(x)的平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量 yf(x1)f(x0) (2)再计算自变量的改变量 xx1x0. (3)得平均变化率y x fx1fx0 x .
