1、2.2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法综合法与分析法 学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、 分析法解决问题 知识点一 直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实 性常用的直接证明方法有综合法与分析法 知识点二 综合法 阅读下列证明过程，已知实数 x，y 满足 xy1，求证：2x2y2 2. 证明： 因为 xy1， 所以 2x2y2 2x 2y2 2x y2 2， 当且仅当 xy1 2时， 等号成立 故 2x2y2 2成立 思考 该题的证明顺序是什么？ 答案 从已知
2、利用基本不等式到待证结论 梳理 综合法 (1)定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论 (2)逻辑关系：P0(已知)P1P2PnQ(结论) (3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要 条件 知识点三 分析法 思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知 a，b0，求证ab 2 ab. 证明：要证ab 2 ab， 只需证 ab2 ab， 只需证 ab2 ab0， 只需证( a b)20， 因为( a b)20 显然成立，所以原不等式成立 答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件 梳理 分析法 (1)定
3、义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已 知条件或已被证明的事实 (2)逻辑关系：B(结论)B1B2BnA(已知) (3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充 分条件 (4)证明格式： 要证，只需证，只需证， ， 因为成立，所以 成立 1综合法是执果索因的逆推证法( ) 2分析法就是从结论推向已知( ) 3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( ) 类型一 综合法的应用 例 1 在ABC 中，三个内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列， a，b，c 成等比数列，求
4、证：ABC 为等边三角形 证明 在ABC 中，ABC，由 A，B，C 成等差数列，得 2BAC，因此，B 3， 由 a，b，c 成等比数列，得 b2ac. 又b2a2c22accos Ba2c2ac， a2c2acac， 即(ac)20，因此 ac.故ABC 是等边三角形 反思与感悟 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论其适用范围为 (1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等 (2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证 明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱 跟踪训练 1 已知 a，b，c 为不全相等的正实数求证：bca a ca
5、b b abc c 3. 证明 因为bca a cab b abc c b a a b c b b c a c c a3， 又 a，b，c 为不全相等的正实数， 而b a a b2， c b b c2， a c c a2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a a b c b b c a c c a3633， 即bca a cab b abc c 3. 类型二 分析法的应用 例 2 设 a，b 为实数，求证： a2b2 2 2 (ab) 证明 当 ab0 时，因为 a2b20， 所以 a2b2 2 2 (ab)成立 当 ab0 时，用分析法证明如下： 要证 a2b2 2 2 (ab)， 只
6、需证( a2b2)2 2 2 ab 2， 即证 a2b21 2(a 2b22ab)， 即证 a2b22ab. 由于 a2b22ab 对一切实数恒成立， 所以 a2b2 2 2 (ab) 综上，对任意实数 a，b， a2b2 2 2 (ab) 反思与感悟 (1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中 “要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误 (2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确 把握转化方向，使问题顺利获解 跟踪训练 2 求证： a a1 a2 a3(a3) 证明 要证 a a1 a2 a3， 只需证
7、a a3 a2 a1， 只需证( a a3)2( a2 a1)2， 只需证 2a32 a23a2a32 a23a2， 只需证 a23a a23a2， 只需证 02，而 02 显然成立， 所以 a a1 a2 a3(a3) 类型三 综合法与分析法的综合应用 例 3 已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0x1. 求证：logxab 2 logxbc 2 logxac 2 logxalogxblogxc. 证明 要证 logxab 2 logxbc 2 logxac 2 logxalogxblogxc， 只需证 logx ab 2 bc 2 ac 2 logx(abc) 由已知 0xabc. 由
8、公式知ab 2 ab0，bc 2 bc0，ac 2 ac0. 因为 a，b，c 不全相等，上面三式相乘，得 ab 2 bc 2 ac 2 a2b2c2abc， 即ab 2 bc 2 ac 2 abc 成立 所以 logxab 2 logxbc 2 logxac 2 0) 证明 要证 1 2 log(ab)1 2 1 2 log(a21)1 2 1 2 log(b21)成立， 只需证 2 1 2 log(ab) 1 2 log(a21) 1 2 log(b21)， 只需证 1 2 log(ab)2 1 2 log(a21)(b21)(ab0) 由于函数 y 1 2 logx 在(0，)内是减函数
9、， 所以只需证(ab)2(a21)(b21)， 即证 a22abb2a2b2a2b21， 即证 a2b22ab10， 即证(ab1)20， 上式显然成立，所以原不等式成立 反思与感悟 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法 执果索因 就表达证明过程而论， 综合法形式简洁， 条理清晰； 分析法叙述烦琐， 文辞冗长 也 就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结 合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程 跟踪训练 3 设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等
10、差中项， 求证：a x c y2. 证明 由已知条件得 b2ac， 2xab,2ybc. 要证a x c y2，只要证 aycx2xy， 只要证 2ay2cx4xy. 由得 2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc， 4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc， 所以 2ay2cx4xy.命题得证. 1若 ab0，则下列不等式中不正确的是( ) Aa2ab Babb2 C.1 a 1 b Da2b2 答案 C 解析 若 ab0，则1 a 1 b. 2要证 2 3 6 7成立，只需证( ) A( 2 3)2( 6 7)2 B( 2 6)2( 3 7)2 C( 2 7)2( 3 6
11、)2 D( 2 3 6)2b0 时，才有 a2b2， 只需证 2 7 6 3， 即证( 2 7)2( 3 6)2. 3设 0x1，则 a 2x，bx1，c 1 1x中最大的是( ) Ac Bb Ca D随 x 取值不同而不同 答案 A 解析 0x2 x 2xa， 1 1x(x1) 11x2 1x x2 1x0，cba. 4要证明 3 72 5，可选择的方法有很多，最合理的应为_ 答案 分析法 5已知1tan 2tan 1，求证：cos sin 3(cos sin ) 证明 要证 cos sin 3(cos sin )， 只需证cos sin cos sin 3，只需证 1tan 1tan 3， 只需证 1tan 3(1tan )，只需证 tan 1 2， 1tan 2tan 1，1tan 2tan ，即 2tan 1. tan 1 2显然成立，结论得证 1综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因 2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语 3在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
