1、2020 年江苏省镇江市中考数学网上模拟训练试卷年江苏省镇江市中考数学网上模拟训练试卷 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分 ）分 ） 1 （2 分）2020 的绝对值等于 2 （2 分）已知分式的值等于 0，则 x 3 （2 分）把化为最简二次根式为 4 （2 分）截至 2020 年 3 月 1 日，江苏多家企业向湖北某市捐赠生活物资合计约 372.46 万 元，372.46 万元用科学记数法表示为 元 5 （2 分）x24x+1（x2）2 6 （2 分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若140，则2 的度数为 7 （2
2、 分）点 A（m，2） ，B（n，）在反比例函数 y的图象上，则 m n（用 “”或“”填空） 8 （2 分）已知圆锥的母线长为 3，底面圆半径为 2，则该圆锥的侧面积为 （结果 保留 ） 9 （2 分）将容量为 100 的样本分成 3 个组，第一组的频数是 35，第二组的频率是 0.28，那 么第三组的频率是 10 （2 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，C2A，则 cosA 11 （2 分）若二次函数 yx2（m1）x 的图象经过点（3，0） ，则关于 x 的一元二次方 程 x2（m1）x0 的根为 12 （2 分）如图，O 是ABCD 的对称中心，点 E 在边 BC 上，AD7，B
3、E3，将ABE 绕点 O 旋转 180，设点 E 的对应点为 E，则 二、 选择题 （本大题共有二、 选择题 （本大题共有 6 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共计分， 共计 18 分 在每小题所给出的四个选项中，分 在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项符合题目要求 ）恰有一项符合题目要求 ） 13 （3 分）点 P（1，2）到 x 轴的距离为（ ） A1 B2 C1 D2 14 （3 分）下面计算正确的是（ ） Aa+aa2 B3a22a21 C （3a）26a2 Daa3a4 15 （3 分）一组数据为 5，6，7，7，10，10，某同学在抄题的时候，误将其中的一个 10 抄成了
4、 16，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A极差 B平均数 C中位数 D众数 16 （3 分）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等 于（ ） A6 B9 C12 D18 17 （3 分）如图 1，点 P 从 RtABC 的顶点 A 出发，沿 ACB 的路径匀速运动到点 B 停止，作 PQAB 于点 Q，设点 P 运动的路程为 x，PQ 的长为 y，若 y 与 x 之间的函数 关系如图 2 所示，当 x6 时，PQ 的长为（ ） A1 B C D 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（9，7） ，B（3，0） ，点
5、P 在 x 轴的正半轴上运动，将线段 AB 沿直线 AP 翻折到 AC，当点 C 恰好落在 y 轴上时，直线 AP 对应的函数表达式可以是（ ） Ayx+8 By Cyx+1 Dyx+4 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共计小题，共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程分解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤 ）或演算步骤 ） 19 （8 分） （1）计算：2sin30+（2） 2（ +1）0； （2）化简： 20 （10 分） （1）解不等式组：； （2）解方程： 21 （6 分） 如图， AC 是正方形 ABCD 的对角线， E、 F 分别为
6、BC、 CD 边上的点， CECF， 连接 AE、AF （1）求证：AEAF； （2）连接 EF，试证明：EFAC 22 （6 分）某小区为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为 a（厨余） 、b（可回收） 、c （其他）三类，并且设置了相应的垃圾箱， “厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾” 箱分别记为 A、B、C小亮将分类好的两袋垃圾（可回收、其他）随机投入到三种垃圾 箱内，请用画树状图或列表格的方法，求小亮投放正确的概率 23 （6 分）随着网络资源日趋丰富，更多人选择在线自主学习，在线学习方式有在线阅读、 在线听课、在线答题、在线讨论某校随机抽取部分学生进行“你对哪类在线学习方
7、式 最感兴趣”的调查（每位同学只能选一项） ，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统 计图根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数 24 （6 分）某网点销售的粽子礼盒的成本为 30 元/盒，每天的销售量 y（盒）与销售单价 x 元/盒（x50）之间的函数关系如图所示 （1）从上周的销售数据显示，每天的销售量都不低于 310 盒，则上周的销售单价最高为 多少元？ （2）若销售单价满足 30 x45，问销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大 利润是多少？ 25 （6 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，OE
8、AC，交劣弧于点 E，过 点 E 作射线 lAB，交弦 BC 于点 D，在射线 l 上取点 F，使 FCFD （1）求证：FC 是O 的切线； （2）当CFD 为等边三角形时，判断以 O，A，C，E 为顶点的四边形是什么特殊四边 形，并说明理由 26 （8 分）RtABC 中，C90，A30，BCa以 AB 为斜边，在 AB 所在直线 的右侧作一个等腰 RtABD （1）用尺规作图，保留作图痕迹； （2）请尝试用两种不同的方法计算四边形 ACBD 的面积，从而推导出 sin75 #DLQZ 27 （11 分）如图，一次函数 ykx+2（k0）的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y 的图象
9、交于点 B（2，m） ，点 P（a，0）在 x 轴上，a2，已知 （1）m ，k ； （2）求出点 P 的坐标； （3）将ABP 向下平移 2t 个单位，再向左平移 t 个单位（t0） ，得到ABP，边 BP 的对应边 BP与反比例函数 y的图象交于点 E当点 E 为 BP的中点时，求出实数 t 的值 28 （11 分）二次函数 ya（x3）21 的图象记为抛物线 C，它与 x 轴交于点 A（2，0） 、 B，其对称轴与 x 轴交于点 E，顶点为 D，点 P（m，n）在抛物线 C 上（异于点 A、B、 D） 小聪以点 E 为位似中心，把 A、B、D、P 为顶点的四边形按相似比 2：1 放大，并
10、 画出了过 A、B、D 的对应点的抛物线 C1（如图） ，小明认为还可以找到一条过 A、B、D 的对应点的抛物线 C2 （1）a ；抛物线 C2对应的函数表达式为 ； （2）试证明：点 P 的对应点在抛物线 C1或 C2上； （选择其中一种情形证明） （3）设点 P（1，3）落在抛物线 C1、C2上的对应点分别为 P1、P2，点 Q 在这个平面直 角坐标系上，P1Q2，DQ+P2Q 的最小值为 （直接写出结果） 2020 年江苏省镇江市中考数学网上模拟训练试卷年江苏省镇江市中考数学网上模拟训练试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，
11、每小题小题，每小题 2 分，共计分，共计 24 分 ）分 ） 1 （2 分）2020 的绝对值等于 2020 【分析】当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数a，据此求出 2020 的绝对值等于 多少即可 【解答】解：根据绝对值的概念可知：|2020|2020， 故答案为：2020 2 （2 分）已知分式的值等于 0，则 x 1 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案 【解答】解：分式的值等于 0， x10 且 x0， 故 x1 故答案为：1 3 （2 分）把化为最简二次根式为 2 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案 【解答】解：2 故答案为：2 4 （2
12、 分）截至 2020 年 3 月 1 日，江苏多家企业向湖北某市捐赠生活物资合计约 372.46 万 元，372.46 万元用科学记数法表示为 3.7246106 元 【分析】科学记数法表示较大的数形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，10 的指数 n 比原来的整数位数少 1 【解答】解：372.46 万元3724600 元3.7246106元 故答案为：3.7246106 5 （2 分）x24x+1（x2）2 3 【分析】利用配方法整理即可 【解答】解：x24x+1 x24x+43 （x2）23， 故答案为 3， 6 （2 分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若140，则2
13、 的度数为 130 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出3，再根据邻补角定义求出4，然后根据两 直线平行，同位角相等解答即可 【解答】解：140， 3901904050， 418050130， 直尺的两边互相平行， 24130 故答案为：130 7 （2 分） 点 A （m， 2） ， B （n，） 在反比例函数 y的图象上， 则 m n （用 “” 或“”填空） 【分析】由反比例函数的比例系数为负，那么图象过第二，四象限，根据反比例函数的 增减性可得 m 和 n 的大小关系 【解答】解：点 A（m，2） ，B（n，）在反比例函数 y的图象上， 30， y 随 x 的增大而增大 2， mn 故
14、答案为： 8 （2 分）已知圆锥的母线长为 3，底面圆半径为 2，则该圆锥的侧面积为 6 （结果保 留 ） 【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半 径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解 【解答】解：圆锥的侧面积3226 故答案为：6 9 （2 分）将容量为 100 的样本分成 3 个组，第一组的频数是 35，第二组的频率是 0.28，那 么第三组的频率是 0.37 【分析】首先求得第一组的频率，利用频数除以总数可求，再用 1 减去第一组的频率， 减去第二组的频率即可求解 【解答】解：第一组的频率是：351000.35， 则第三组的频率为：10.
15、350.280.37 故答案为：0.37 10 （2 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中，C2A，则 cosA 【分析】首先利用圆内接四边形的性质及C2A 求得A 的度数，然后求其余弦值 即可 【解答】解：四边形 ABCD 内接于圆， A+C180， C2A， A60， cosAcos60， 故答案为： 11 （2 分）若二次函数 yx2（m1）x 的图象经过点（3，0） ，则关于 x 的一元二次方 程 x2（m1）x0 的根为 0 或 3 【分析】确定二次函数 yx2（m1）x 与 x 轴的交点为（0，0）和（3，0） ，即可求 解 【解答】解：当 x0 时，yx2（m1）x0，即二次函
16、数 yx2（m1）x 的图象 经过点（0，0） ， 而二次函数 yx2（m1）x 的图象也经过点（3，0） ， 故二次函数 yx2（m1）x 与 x 轴的交点为（0，0）和（3，0） ， 故关于 x 的一元二次方程 x2（m1）x0 的根为 0 或 3， 故答案为 0 或 3 12 （2 分）如图，O 是ABCD 的对称中心，点 E 在边 BC 上，AD7，BE3，将ABE 绕点 O 旋转 180，设点 E 的对应点为 E，则 【分析】首先根据题意画出图形，进而可得 AE的长度，ABCD 和AEE是等高， 设高为 h，然后再利用平行四边形的面积和三角形的面积公式计算即可 【解答】解：作CDE与
17、ABE 关于点 O 对称，连接 EE， CDE与ABE 关于点 O 对称， BEDE3， AD7， AE4， 设ABCD 的高为 h， 则AEE的高也等于 h， 则， 故答案为： 二、 选择题 （本大题共有二、 选择题 （本大题共有 6 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共计分， 共计 18 分 在每小题所给出的四个选项中，分 在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项符合题目要求 ）恰有一项符合题目要求 ） 13 （3 分）点 P（1，2）到 x 轴的距离为（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】根据点到 x 轴的距离等于纵坐标的长度解答 【解答】解：点 P（1，2）到 x 轴的距离是 2
18、 故选：B 14 （3 分）下面计算正确的是（ ） Aa+aa2 B3a22a21 C （3a）26a2 Daa3a4 【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判 断即可 【解答】解：Aa+a2a，故本选项不合题意； B.3a22a2a2，故本选项不合题意； C （3a）29a2，故本选项不合题意； Daa3a4，故本选项符合题意 故选：D 15 （3 分）一组数据为 5，6，7，7，10，10，某同学在抄题的时候，误将其中的一个 10 抄成了 16，那么该同学所抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A极差 B平均数 C中位数 D众数 【分析】将一组数据
19、为 5，6，7，7，10，10，中的一个 10 抄成了 16，不影响找第 3、4 位的两个数，因此中位数不变，其它的统计量如：平均数、方差、极差均会发生相应变 化 【解答】解：将一组数据为 5，6，7，7，10，10，中的一个 10 抄成了 16，不影响找第 3、 4 位的两个数，因此中位数不变， 故选：C 16 （3 分）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等 于（ ） A6 B9 C12 D18 【分析】由主视图和俯视图知，该长方体的长为 3、宽为 2、高为 1，根据长方体的体积 公式即可得 【解答】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为 3、宽为 2、高为
20、1， 则这个长方体的体积为 3216， 故选：A 17 （3 分）如图 1，点 P 从 RtABC 的顶点 A 出发，沿 ACB 的路径匀速运动到点 B 停止，作 PQAB 于点 Q，设点 P 运动的路程为 x，PQ 的长为 y，若 y 与 x 之间的函数 关系如图 2 所示，当 x6 时，PQ 的长为（ ） A1 B C D 【分析】从图 2 知，AC3，BC4，则 AB5，在 RtPQB 中，PQBPsinB（7x） ，即可求解 【解答】解：从图 2 知，AC3，BC4， 在 RtABC 中，AB5， 故 sinB， 当 x6 时，点 P 在 BC 上，如下图： 在 RtPQB 中，PQB
21、PsinB（7x）， 当 x6 时，PQ， 故选：C 18 （3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（9，7） ，B（3，0） ，点 P 在 x 轴的正半轴上运动，将线段 AB 沿直线 AP 翻折到 AC，当点 C 恰好落在 y 轴上时，直线 AP 对应的函数表达式可以是（ ） Ayx+8 By Cyx+1 Dyx+4 【分析】连接 BC，交 PA 于 Q，由题意可知，PA 垂直平分 BC，设直线 PA 的解析式为 y kx+b， 进一步得到直线PA的解析式为ykx+9k+7， 设直线BC的解析式为yx+n， 把 B（3，0）代入得 n，即可得到 C（0，） ，进而得到 Q（，
22、） ， 代入 ykx+9k+7，然后解关于 k 的方程即可求得 【解答】解：连接 BC，交 PA 于 Q， 由题意可知，PA 垂直平分 BC， 设直线 PA 的解析式为 ykx+b， 把 A（9，7）代入得，79k+b， b9k+7， 直线 PA 的解析式为 ykx+9k+7， 设直线 BC 的解析式为 yx+n， 把 B（3，0）代入得 0+n， n， C（0，） ， Q（，） ， Q 在直线 PA上， k+9k+7， 整理得，15k2+14k+30， 解得 k1，k2， 直线 PA 的解析式为 yx+，或 yx+4， 故选：B 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 10 小题，共计
23、小题，共计 78 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程分解答时应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤 ）或演算步骤 ） 19 （8 分） （1）计算：2sin30+（2） 2（ +1）0； （2）化简： 【分析】 （1）根据实数的运算法则即可求出答案 （2）根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式 （2）原式 20 （10 分） （1）解不等式组：； （2）解方程： 【分析】 （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 【解答】 （1）解：， 由得：x
24、2 由得：x3 所以原不等式组的解集是 x2； （2）方程两边同时乘以 x（x2） ， 得，xx（x2）3（x2） ， 化简得，x26， 解得，x， 检验：当 x时，x（x2）0， 所以 x是原方程的解 21 （6 分） 如图， AC 是正方形 ABCD 的对角线， E、 F 分别为 BC、 CD 边上的点， CECF， 连接 AE、AF （1）求证：AEAF； （2）连接 EF，试证明：EFAC 【分析】 （1）直接利用正方形的性质得出ACEACF45，再利用全等三角形的 判定与性质得出答案； （2）直接利用等腰三角形的性质得出答案 【解答】证明： （1）在正方形 ABCD 中，则ACEAC
25、F45， 在AEC 和AFC 中 ， AECAFC（SAS） ， AEAF； （2）CECF，ACEACF， EFAC 22 （6 分）某小区为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为 a（厨余） 、b（可回收） 、c （其他）三类，并且设置了相应的垃圾箱， “厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾” 箱分别记为 A、B、C小亮将分类好的两袋垃圾（可回收、其他）随机投入到三种垃圾 箱内，请用画树状图或列表格的方法，求小亮投放正确的概率 【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，找出小亮投放正确的结果数，然后根 据概率公式计算 【解答】解：画树状图： 共有 9 种等可能的结果数，其中小
26、亮投放正确的结果数为 1， 所以小亮投放正确的概率 23 （6 分）随着网络资源日趋丰富，更多人选择在线自主学习，在线学习方式有在线阅读、 在线听课、在线答题、在线讨论某校随机抽取部分学生进行“你对哪类在线学习方式 最感兴趣”的调查（每位同学只能选一项） ，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统 计图根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数 【分析】 （1）根据在线答题的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后即可 得到在线听课的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“在线
27、阅读”对应的扇形圆心角的 度数 【解答】解： （1）本次调查的人数为：1820%90， 在线听课的人数为：9024181236， 补全的条形统计图如右图所示； （2）36096， 即扇形统计图中“在线阅读”对应的扇形圆心角的度数是 96 24 （6 分）某网点销售的粽子礼盒的成本为 30 元/盒，每天的销售量 y（盒）与销售单价 x 元/盒（x50）之间的函数关系如图所示 （1）从上周的销售数据显示，每天的销售量都不低于 310 盒，则上周的销售单价最高为 多少元？ （2）若销售单价满足 30 x45，问销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大 利润是多少？ 【分析】 （1）根据图象可知，
28、销售单价越高，销售量越低，从而可以得到销售量不低于 310 盒，销售单价在 4550 之前，然后求出这一段对应的函数解析式，令函数值不低于 310，即可得到最高的销售单价； （2）根据函数图象中的数据，可以得到 30 x45 对应的函数解析式，然后即可得到利 润与销售单价的函数关系，再根据二次函数的性质，即可得到最大利润 【解答】解： （1）当 45x50 时，设 y 与 x 函数关系式为 ykx+b， 当 x45 时，y350，当 x50 时，y250， ，得， 即当 45x50 时，y20 x+1250， 令20 x+1250310，得 x47， 上周的销售单价最高为 47 元； （2）当
29、 30 x45 时，设 y 与 x 函数关系式为 ymx+n， 当 x30 时，y500，当 x45 时，y350， ，得， 即当 30 x45 时，y 与 x 函数关系式为 y10 x+800， 设获得的利润为 w 元， w（10 x+800） （x30）10（x55）2+6250， 30 x45， 当 x45 时，w 取得最大值，此时 w5250， 答：当销售单价定位 45 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 5250 元 25 （6 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，OEAC，交劣弧于点 E，过 点 E 作射线 lAB，交弦 BC 于点 D，在射线 l 上取点 F，使
30、 FCFD （1）求证：FC 是O 的切线； （2）当CFD 为等边三角形时，判断以 O，A，C，E 为顶点的四边形是什么特殊四边 形，并说明理由 【分析】（1） 连接 CO， 由等腰三角形的性质得出DCFCDF 得出DCFBDP 得 出BPD90从而BDP+ABC90，可证得结论； （2）连接 OE，CE，证明ACO 是等边三角形，得出 AOACOE，则可得出结论 【解答】 （1）证明：连接 CO， OCOB， OCBABC CFDF， DCFCDF BDPCDF， DCFBDP 又lAB， BPD90 从而BDP+ABC90， DCF+OCB90， 即OCF90， FC 是O 的切线； （
31、2）解：连接 OE，CE， 以 O，A，C，E 为顶点的四边形是菱形， CFD 为等边三角形， DCF60， OCB906030 AB 是O 的直径， ACB90， ACO90OCB60， ACO 是等边三角形， AOACOE OEAC， 四边形 OACE 是菱形 26 （8 分）RtABC 中，C90，A30，BCa以 AB 为斜边，在 AB 所在直线 的右侧作一个等腰 RtABD （1）用尺规作图，保留作图痕迹； （2）请尝试用两种不同的方法计算四边形 ACBD 的面积，从而推导出 sin75 #DLQZ 【分析】 （1）作 AB 的垂直平分线，垂足为 O 点，再截取 ODOA，则ABD
32、满足条件； （2）记四边形 ACBD 的面积为 S，作 DEAC，BFDE，如图，先计算出 AB2a，AC a，再利用ABD 为等腰直角三角形得到 DAa，DAB45，计算 SABC+S ABD得到 Sa2，接着证明AEDBFD 得到 DEBF，则 AEaDE，利 用 SSADE+S梯形BCED得到（aDE）DE+（a+DE）DEa2，则可计 算出 DEa，然后在 RtADE 中利用正弦的定义求 sinDAE 【解答】解： （1）如图，ABD 为所作； （2）记四边形 ACBD 的面积为 S， C90，A30，BCa AB2a，ACa， 作 DEAC 于 E，BFDE 于 F，如图， ABD
33、为等腰直角三角形， DADBABa，DAB45， SSABC+SABDaa+aaa2， AEDBFD，ADEDBF，ADDB， AEDBFD（AAS） ， DEBF， AEACCEACDEaDE， SSADE+S梯形BCEDAEDE+ （BC+DE） CE （aDE）DE+（a+DE）DEa2， DEa， 在 RtADE 中，sinDAEsin75 27 （11 分）如图，一次函数 ykx+2（k0）的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y 的图象交于点 B（2，m） ，点 P（a，0）在 x 轴上，a2，已知 （1）m 3 ，k ； （2）求出点 P 的坐标； （3）将ABP 向下平移
34、2t 个单位，再向左平移 t 个单位（t0） ，得到ABP，边 BP 的对应边 BP与反比例函数 y的图象交于点 E当点 E 为 BP的中点时，求出实数 t 的值 【分析】 （1）用待定系数法，即可求解； （2），则 9AB24PB2，即可求解； （3）设 BP 的中点 F（a，b） ，由 a2a，b03b，解得：a，b，则 平移后的点 E 坐标为（，） ，故，即可求解 【解答】解： （1）将点 B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m3， 故点 B（2，3） ， 将点 B 的坐标代入 ykx+2 并解得：k， 故答案为：3，； （2）， 9AB24PB2，即：9（4+1）4（a2）2+9，
35、解得：（舍去） ， 点 P 坐标为（，0） ； （3）设 BP 的中点 F（a，b） ，由 a2a，b03b，解得：a，b， 点 F 坐标为（，） ，平移后的点 E 坐标为（，） ， ， 解得：（舍去） 28 （11 分）二次函数 ya（x3）21 的图象记为抛物线 C，它与 x 轴交于点 A（2，0） 、 B，其对称轴与 x 轴交于点 E，顶点为 D，点 P（m，n）在抛物线 C 上（异于点 A、B、 D） 小聪以点 E 为位似中心，把 A、B、D、P 为顶点的四边形按相似比 2：1 放大，并 画出了过 A、B、D 的对应点的抛物线 C1（如图） ，小明认为还可以找到一条过 A、B、D 的对
36、应点的抛物线 C2 （1）a 1 ；抛物线 C2对应的函数表达式为 y（x3）2+2 ； （2）试证明：点 P 的对应点在抛物线 C1或 C2上； （选择其中一种情形证明） （3）设点 P（1，3）落在抛物线 C1、C2上的对应点分别为 P1、P2，点 Q 在这个平面直 角坐标系上，P1Q2，DQ+P2Q 的最小值为 2 （直接写出结果） 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可 （2）如图 1 中：按照小聪的作法作出点 P 的对称点 P过点 P（m，n）作 PMx 轴， 过它的对应点 P（a，b）作 PNx 轴，M、N 是垂足（如图） ，想办法求出 P坐标（用 m 表示） ，如何利用待定系
37、数法求解即可 （3）如图 2 中，连接 PQ，PD，DQ，P1Q，P2Q，由题意点 P（1，3） ，P1（1，6） ， P2（7，6） ，E（3，0） ，证明PQQPQ1P2Q，推出，推出 PQ QP2，推出 DQ+QP2DQ+PQDP，求出 PD 即可解决问题 【解答】解： （1）把点 A（2，0）代入二次函数 ya（x3）21 中， 解得 a1， 由题意，抛物线 C2的顶点（3，2） ，经过（1，0）和（5，0） ， 可以假设抛物线 C2的解析式为 ya（x3）2+2， 把（1，0）代入得到 a， 抛物线 C2： 故答案为：1，y（x3）2+2 （2）如图 1 中：按照小聪的作法作出点 P
38、 的对称点 P 过点 P（m，n）作 PMx 轴，过它的对应点 P（a，b）作 PNx 轴，M、N 是垂足（如 图） ， RtPMERtPNE，相似比 1：2， a32（3m） ，0b2（n0） ， 则点 P的坐标为（92m，2n） ， P（m，n）在抛物线 y（x3）21 上， n（m3）21，即 （m3）2n+1， 将 x92m 代入抛物线 C2对应的函数表达式中， 则 y（92m3）2+22（m3）2+22（n+1）+22n P（92m，2n）在抛物线 C2上 （另一种情形的同法可证） （3）如图 2 中，连接 PQ，PD，DQ，P1Q，P2Q，由题意点 P（1，3） ，P1（1，6） ， P2（7，6） ，E（3，0） ， P1E2， P1P， P1P24， DP2， 点 Q 是以点 P1为圆心，PE 长为半径的圆上， P1Q2P1PP1P2， ， QP1PQP1P2， PQQPQ1P2Q， ， PQQP2， DQ+QP2DQ+PQDP， DQ+QP22， DQ+P2Q 的最小值 2 故答案为 2
