1、辽宁省联合校辽宁省联合校 2020-2021 学年高二上第一次月考数学试题学年高二上第一次月考数学试题 命题人：凌海三高数学组 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题（每题 5 分，满分 60 分） 1.已知向量 2,3,1a ，1, 2,4b ，则a b（ ） A. (1,1,5) B. (3,5,3) C. (3,5,3) D. (1,1,5) 2.点 32 2 3M， ， 到原点的距离为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 3.已如向量 1,1,0a ，1,0,1b 且ka b 与a互相垂直，则 k= A. 1 3 B. 1
2、2 C. 1 3 D. 1 2 4.若向量(1, ,1), (2, 1, 2)ab ，且a与b的夹角余弦为 2 6 ，则等于（ ） A. 2 B. 2 C. 2 或 2 D. 2 5.如图， 长方体 ABCD - A1B1C1D1中， 1 45DAD， 1 30CDC， 那么异面直线 1 AD与 1 DC所成角的余弦值是（ ） A. 2 4 B. 2 8 C. 3 4 D. 3 8 6.已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1，设直线 AB1与平面 11 ACC A所成的角为，直线 CD1 与直线 A1C1所成的角为，则（ ） A. 2 B. 2 C. D. 2 7.如图，已知空间四边形
3、OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是对边 OB、AC 的 中点，点 G 在线段 MN 上， 2MGGN ，现用基向量,OA OB OC表示向量OG，设 OGxOAyOBzOC，则 , ,x y z的值分别是（ ） A. 111 333 xyz， B. 111 336 xyz， C. 111 363 xyz， D. 111 633 xyz， 8.如图，60 的二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平 面内，且都垂直于 AB已知 4,6,8ABACBD ，则 CD 的长为 A. 17 B. 7 C. 2 17 D. 9 9.在正方体 ABCDA1B1C
4、1D1中，E 是 BB1的中点，若6AB，则点 B 到平面 ACE 的距 离等于（ ） A. 5 B. 6 C. 3 6 2 D. 3 10.如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，M 为 A1C1的中点，若 1 ,ABa AAc BCb，则 下列向量与BM相等的是（ ） A. 11 22 abc B. 11 22 abc C. 11 22 abc D. 11 22 abc 11.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，MN 分别为 AC，A1B 的中点，则下列说法错误 的是（ ） A. MN平面 ADD1A1 B. MNAB C. 直线 MN 与平面 ABCD 所成角为 45 D.
5、 异面直线 MN 与 DD1所成角为 60 12.将直角三角形 ABC 沿斜边上的高 AD 折成 120 的二面角，已知直角边4 3AB ， 4 6AC ，那么下面说法正确的是（ ） A. 平面 ABC平面 ACD B. 四面体DABC的体积是 16 6 3 C. 二面角ABCD的正切值是 42 5 D. BC 与平面 ACD 所成角的正弦值是 21 14 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13.若平面的一个法向量为(3,1,1)n ，直线 l 的一个方向向量为 ( 3,1,1)a ，则 l 与所成角的正弦值为_. 14.若(1,1,0),( 1,0,2),ab ab 则与同方向的单
6、位向量是_ 15.在空间直角坐标系 O-xyz 中， 设点 M 是点 2, 3,5N 关于坐标平面 xOy 的对称点， 点 1,2,3P关于 x 轴对称点 Q，则线段 MQ 的长度等于_ 16.已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1所有棱长均为 1，BAD=BAA1=DAA1=60，则 AC1 的长为 三解答题（共 6 个解答题，17 题 10 分，其余每题 12 分） 17.如图，已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA=1，OB=OC=2，E 是 OC 的中点 (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值； (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正
7、弦值 18.如图.在四棱锥P-ABCD中，PA 平面ABCD， 且2AB ，3AD，3PA，/AD BC， ABBC，45ADC. （1）求异面直线 PC 与 AD 所成角的余弦 （2）求点 A 到平面 PCD 的距离. 19.如图，已知三棱锥O ABC的侧棱OAOBOC，两两垂直，且1OA ，2OBOC，E 是OC的中点。 （1）求异面直线EB与AC所成角的余弦值； （2）求点 E 到面 ABC 的距离。 （3）求二面角CABE的平面角的正切值。 20.如图， 在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAB平面 ABC，6AB，2 3BC ，2 6AC ， D，E 分别为线段 AB，BC 上的点，且
8、2ADDB，2CEEB，PDAC. (1) 求证：PD平面 ABC； (2)若直线 PA 与平面 ABC 所成的角为 4 ，求平面 PAC 与平面 PDE 所成的锐二面角 21.如图， 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， PA底面 ABCD，60ABC， 3AB ，2 3AD ，3AP. （）求证：平面PCA平面PCD； （） 若E是侧棱PC上的一点， 且BE与底面ABCD所成的是为45 ， 求二面角BAED 的余弦值. 22 如图四边形 PABC 中，90PACABC ，2 3,4PAABAC，现把PAC沿 AC 折起，使 PA 与平面 ABC 成60，设此时 P 在平面
9、 ABC 上的投影为 O 点（O 与 B 在 AC 的同侧）， （1）求证：OB平面 PAC； （2）求二面角 PBCA 大小的正切值。 联合校第一次考试答案 一：选择 A,C,B,A,A DDCBA DD 二：填空 1 5； ； 6 ； 三：解答 17：解析： （1）以 O 为原点，OB、OC、OA 分别为 X、Y、Z 轴建立空间直角坐标系 则有 A（0，0，1） 、B（2，0，0） 、C（0，2，0） 、E（0，1，0） ， COS= 所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 （2）设平面 ABC 的法向量为则 知 知取， 则 故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为 18【详解】
10、 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标 系， 则(0,0, 3)P，(2,1,0)C，(0,3,0)D， (2,1,3)PC ，(0,3,0)AD ， 设异面直线PC与AD所成角为， 则 |2 cos 4| | 3 8 9 PC AD PCAD ， （2）设平面PCD的一个法向量为 (nx ，y， ) z， (2,1,3)PC ，( 2,2,0)CD ，(2,1,0)AC 则 230, 220, n PCxyz nCDxy ，取1x ，得(1,1, 3)n ， 点A到平面PCD的距离 |33 5 |55 n AC d n . 19. 又，)0, 1,
11、0(EC （3） （2）中已求平面 ABC 的法向量)2 , 1 , 1 ( 1 n，设平面 EAB 的法向量为),( 2 zyxn 02 0 ) 1, 0 , 2(;) 1, 1 , 0( zx zy ABAE 取)2 , 2 , 1 ( 2 n。 18 67 ,cos 21 nn。 设二面角CABE的平面角为，则 7 5 tan。 20： 【详解】(1)由题意知2 6AC ，2 3BC ，6AB， 所以 222 ACBCAB， 所以 2 ACB ，所以 2 33 cos 63 ABC， 又易知2BD ， 所以 222 2(2 3)2 2 2 3cos8 CDABC， 所以 2 2CD ，又
12、4AD， 所以 222 CDADAC， 所以CDAB， 因为平面PAB 平面ABC，交线为AB， 所以CD平面PAB，所以CDPD， 因为PDAC，ACCDC， 所以PD平面ABC； (2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系D xyz ， 因为直线PA与平面ABC所成的角为 4 ，即 4 PAD，所以4PDAD， 则(0, 4,0)A，2 2,0,0C， (0,2,0)B ， (0,0,4)P ， 所以( 2 2,2,0) CB，2 2,4,0AC ，(0, 4, 4)PA 因为2ADDB，2CEEB，所以/DEAC， 由(1)知ACBC，所以DEBC， 又
13、PD 平面ABC，所以PDBC， 因为PDDED， 所以CB平面PDE， 所以2 2,2,0CB 为平面PDE的一个法向量 设平面PAC的法向量为, ,nx y z，则 nAC nPA ， 所以 2 240 440 xy yz ，令1z ，得2x ，1y ， 所以( 2, 1,1)n为平面PAC的一个法向量 所以 423 cos, 2412 n CB n CB n CB ， 所以平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为 3 2 ， 故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为 6 .: 21： 【详解】 （）在平行四边形ABCD中，60ADC，3CD ，2 3AD ， 由余弦定理得 222
14、2cos1232 2 33cos609ACADCDAD CDADC ， 可得 222 ACCDAD，所以90ACD，即ACCD， 又PA 底面ABCD，CD 底面ABCD，所以PACD， 又ACAPA 所以CD平面PCA， 又CD 平面PCD，所以平面PCA平面PCD. （）如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系， 则0,0,0A，3,0,0B，0,3,0C，3,3,0D ，0,0,3P， 设PE PC ，01， 因为0,3, 3PC ，0,3 , 3PE， 又因为3,0,3BP ，所以3,3 ,3 3BEBPPE ， 又由平
15、面ABCD的一个法向量为0,0,1n ， 所以 2 2 332 cos, 2| | 3933 BE n BE n BEn ， 解得 1 3 ，即 1 3 PEPC=， 设平面ABE的法向量为 1 , ,nx y z，平面AED的法向量为 2111 ,nx y z， 由0,1,2AE ，3,0,0AB ， 因为 1 nAE， 1 nAB，可得 20 30 yz x ，取1z ，得 1 0, 2,1n ， 同理可得 2 2 3,2, 1n ， 由 12 12 12 585 cos, 17| |5 17 n n n n nn ， 因为二面角BAED为钝角，所以二面角BAED的余弦值为 85 17 .
16、 22.解： （1）连 AO，因为PO平面 ABC，得PO CA 。 又因为CAPA，得CA平面 PAO，CAAO。 因为PAO是 PA 与平面 ABC 的角，60PAO。 因为2 3PA，得3OA。 在OAB中，903060OAB，故有OBOA， 从而有/OBAC，得/OB平面 PAC。 （2）过 O 作 BC 的垂线交 CB 延长线于 G 点，连 PG，则PGO是二面角 PBCA 的平面角。 在Rt PGO中，易知 3 3 3, 2 POOG， 所以 2 3 tan 3 PO PGO OG 另解： （1）同上 （2） 以 OB、 OA、 OP 为 x、 y、 z 轴， 建立坐标系， 可得(0, 3,0),(3,0,0),C(4, 3,0),(0,0,3)ABP。 可求得平面 ABC 的法向量是(0,0,1)m ，平面 PBC 的法向量是(1, 3, 3)，所以二面角 PBC A 大小的余弦值是 321 cos 717 ，即 2 3 tan 3
