1、2.22.2 不等式不等式 2 2. .2.12.1 不等式及其性质不等式及其性质 第第 1 1 课时课时 不等式及其性质不等式及其性质 学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.学会用作差法比较两实数(代数 式)的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题 知识点一 不等关系 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示： 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 至多 小于 bab0； abab0； ababbacbc 性质 2 可乘性 ab，c0acbc 性质 3 ab，c0acbc 性质 4 传递性 ab，bcac 性质 5 对称性 abb b
2、1实数 a 不大于2，用不等式表示为 a2.( ) 2不等式 x2 的含义是指 x 不小于 2.( ) 3两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，ab，cd 的充要条件是 acbd.( ) 一、作差法比较大小 例 1 已知 a，b 均为正实数试利用作差法比较 a3b3与 a2bab2的大小 解 a3b3(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2) a2(ab)b2(ba) (ab)(a2b2)(ab)2(ab) 当 ab 时，ab0，a3b3a2bab2； 当 ab 时，(ab)20，ab0，a3b3a2bab2. 综上所述，a3b3a2bab2. 延伸探究 1若 a0，b0，a5b5与
3、 a3b2a2b3的大小关系又如何？ 解 (a5b5)(a3b2a2b3)a5a3b2b5a2b3 a3(a2b2)b3(b2a2) (a2b2)(a3b3) (ab)2(ab)(a2abb2) a0，b0， (ab)20，ab0，a2abb20. a5b5a3b2a2b3. 2对于 anbn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解 若 a0，b0，nr，n，rN，则 anbnarbn ranrbr. 反思感悟 作差法比较大小的四个步骤 跟踪训练 1 若 xR，则 x 1x2与 1 2的大小关系为_ 答案 x 1x2 1 2 解析 x 1x2 1 2 2x1x2 21x2 x1 2 21x2 0.
4、 x 1x2 1 2. 二、利用不等式的性质判断或证明 例 2 (1)已知 b2a,3db3d B2ac3bd C2acb3d D2a3dbc 答案 C 解析 由于 b2a,3dc， 则由不等式的性质得 b3dab0，求证： a ca b cb. 证明 ab0abcaa，所以 ca0， 所以 0ca 1 cb0. 又因为 ab0， 所以 a ca b cb. 反思感悟 利用不等式的性质解决问题的注意点 (1)在解决选择题时，可利用特殊值法进行排除，注意取值时一是满足题设条件，二是取值简 单，便于计算 (2)应用不等式的性质证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推 导 跟踪
5、训练 2 (多选)下列命题正确的是( ) A.c a0ab Bab 且 cdacbd Cab0 且 cd0 a d b c D.a c2 b c2ab 答案 CD 解析 A 中， c a0 1 a 1 b； 当 a0 时，满足已知条件，但推不出 ab，错误； B 中，当 a3，b1，c2，d3 时，命题显然不成立，错误； C 中， ab0， cd0 a d b c0 a d b c成立，正确； D 中，显然 c20， 两边同乘以 c2得 ab，正确 利用不等式的性质求取值范围 典例 已知1x4,2y3. (1)求 xy 的取值范围； (2)求 3x2y 的取值范围 解 (1)因为1x4,2y3
6、， 所以3y2，所以4xy2. (2)由1x4,2y3， 得33x12,42y6， 所以 13x2y18. 延伸探究 1.若将本例条件改为1xy3，求 xy 的取值范围 解 因为1x3，1y3， 所以3y1，所以4xy4. 又因为 xy，所以 xy0，所以4xy0， 故 xy 的取值范围为(4,0) 2.若将本例条件改为1xy4,2xy3，求 3x2y 的取值范围 解 设 3x2ym(xy)n(xy)， 则 mn3， mn2， 所以 m5 2， n1 2 即 3x2y5 2(xy) 1 2(xy)， 又因为1xy4,2xy3， 所以5 2 5 2(xy)10,1 1 2(xy) 3 2， 所以
7、3 2 5 2(xy) 1 2(xy) 23 2 ， 即3 23x2y0，bbba Babab Cabba Dabab 答案 C 解析 由 ab0，知 ab，ab0. 又 b0，abba. 3(多选) 若1 a 1 b|b| Bab Cabb3 答案 CD 解析 由1 a 1 b0 可得 ba0， 从而|a|b|，A，B 均不正确； ab0，则 abb3，D 正确故正确的不等式是 C，D. 4已知 abc，且 abc0，则下列不等式恒成立的是( ) Aabbc Bacbc Cabac Da|b|b|c 答案 C 解析 因为 abc，且 abc0， 所以 a0，cac. 5当 m1 时，m3与 m2m1 的大小关系为_ 答案 m3m2m1 解析 m3(m2m1) m3m2m1m2(m1)(m1) (m1)(m21) 又m1，(m1)(m21)0.m3m2m1. 1知识清单： (1)用不等式表示不等关系 (2)数或式大小比较 (3)不等式的性质 2方法归纳：比较法 3常见误区：(1)不注意不等式性质的单向性和双向性，即每条性质是否具有可逆性 (2)不注意讨论
