1、第第 2 2 课时课时 充要条件充要条件 学习目标 1.理解充要条件的概念.2.能够判定条件的充分、必要、充要性.3.会进行简单的充 要条件的证明 知识点 充要条件 1一般地，如果 pq 且 q p，则称 p 是 q 的充分不必要条件 2一般地，如果 p q 且 qp，则称 p 是 q 的必要不充分条件 3一般地，如果 pq，且 qp，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件，记作 pq. 1“x0”是“(2x1)x0”的充分不必要条件( ) 2q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件( ) 3若 p 是 q 的充要条件，则条件 p 和 q 是两个相互等价的条件( ) 4q 不
2、是 p 的必要条件时，“p q”成立( ) 一、充分不必要、必要不充分、充要条件的判断 例 1 判断下列各题中，p 是 q 的什么条件 (1)设二次函数 yax2bxc(a0)，p：二次函数的图像开口向上，q：a0； (2)p：实数 a 能被 6 整除，q：实数 a 能被 3 整除； (3)若 a，bR，p：a2b20，q：ab0； (4)p：ABC 有两个角相等，q：ABC 是正三角形 解 (1)对于二次函数 yax2bxc(a0)， 其图像开口向上a0， 所以 p 是 q 的充要条件 (2)pq，q 不能推出 p， p 是 q 的充分不必要条件 (3)若 a2b20，则 ab0，即 pq；
3、 若 ab0，则 a2b20，即 qp，故 pq， 所以 p 是 q 的充要条件 (4)p 不能推出 q，qp， p 是 q 的必要不充分条件 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若 p，则 q”以及“若 q，则 p”的真假 (2)集合法：即利用集合的包含关系判断 (3)等价法：即利用 pq 与 qp 的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用 等价法 (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由 p1p2pn，可得 p1pn；充要条件 也有传递性 跟踪训练 1 (多选)在下列四个结论中，正确的有( ) A设 xR，“x1”是“x2”的必
4、要不充分条件 B在ABC 中，“AB2AC2BC2”是“ABC 为直角三角形”的充要条件 C“a2b2”是“ab”的充分不必要条件 D若 a，bR，则“a2b20”是“a，b 不全为 0”的充要条件 答案 AD 解析 对于结论 A，x2x1，但 x1 x2，故 A 正确；对结论 B，由于不知道斜边，所 以不是充要条件；C 显然不正确；对于结论 D，由 a2b20a，b 不全为 0，反之，由 a， b 不全为 0a2b20，故 D 正确 二、充要条件的证明 例 2 求证：关于 x 的方程 ax2bxc0(a0)有一个根为 1 的充要条件是 abc0. 证明 充分性：因为 abc0， 所以 cab
5、，代入方程 ax2bxc0， 得 ax2bxab0，即(x1)(axab)0. 所以方程 ax2bxc0 有一个根为 1. 必要性：因为方程 ax2bxc0 有一个根为 1， 所以 x1 满足方程 ax2bxc0. 所以 a12b1c0，即 abc0. 故关于 x 的方程 ax2bxc0 有一个根为 1 的充要条件是 abc0. 反思感悟 充要条件的证明思路 一般地，证明“p 成立的充要条件为 q”； (1)充分性：把 q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出 p； (2)必要性：把 p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出 q. 跟踪训练2 求证： 关于x的方程ax2bxc0(a0)，
6、有一正根和一负根的充要条件是ac0，x1 x2c a0，所以 ac0. 充分性：由 ac0 及 x1 x2c a0， 所以方程 ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根，且两根异号， 即方程 ax2bxc0(a0)有一正根和一负根 故关于 x 的方程 ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是 ac0. 三、探求充要条件 例 3 已知 ab0，求 a2b2ab2ab0 成立的充要条件 解 由 a2b2ab2ab0，即 a2b2ab2ab(ab)2(ab) (ab1)(ab)0， 又ab0， ab10，即 ab1 等价于 a2b2ab2ab0. 在 ab0 的条件下，a2b2ab2ab0
7、 成立的充要条件是 ab1. 反思感悟 探求充要条件的两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条 件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明 (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的 过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证 跟踪训练 3 求方程 x2kx10 与 x2xk0 有一个公共实根的充要条件 解 x2kx10， x2xk0 x2x2xx10， x2xk0. 1x30， x2xk0 x1， k2. 所以两方程有一个公共实根的充要条件为 k2. 1(多选)
8、已知四边形 ABCD，则“A，B，C，D 四点共圆”成立的充要条件是( ) AAC180 BAB180 CBD180 DCD180 答案 AC 2如果 A 是 B 的必要不充分条件，B 是 C 的充要条件，D 是 C 的充分不必要条件，那么 A 是 D 的( ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由条件，知 DCBA，即 DA，但 A D. 3设 A，B，C 是三个集合，则“ABAC”是“BC”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 ABAC，不一定有 BC， 反之，由 BC，一
9、定可得 ABAC. “ABAC”是“BC”的必要不充分条件 4设 a，b，c 分别是ABC 的三条边，且 abc，则“a2b2c2”是“ABC 为直角三 角形”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 设 a，b，c 分别是ABC 的三条边，且 abc，则 a2b2c2ABC 为直角三角 形 5在平面直角坐标系中，点(x,1x)在第一象限的充要条件是_ 答案 0x0，且 1x0，0x1. 1知识清单： (1)充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件概念的理解 (2)充要条件的证明和探求 (3)根据条件求参数范围 2方法归纳：等价转化 3常见误区：条件和结论辨别不清
