1、高高 20172017 级高三上期级高三上期 1 11 1 月阶段性测试数学试题（文科）月阶段性测试数学试题（文科） 考试时间：120 分钟 全卷满分：150 分 I 卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1设集合 1,0A = ， |,Bt tyx xA yA=，则AB =（ ） . A1 .B 1 .C 1,1 .D 1,0 2在复平面内，给出以下四个说法： 实轴上的点表示的数均为实数； 虚轴上的点表示的数均为纯虚数； 互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数； 已知复数z满足(1)3i zi+=，则1 2zi= 其中说法正确的个数为（ ） . A1 .
2、B2 .C3 .D4 3设等比数列 n a前n项和为 n S， 2 1a =， 2 57 2aa=，则 6 S =（ ） . A31 .B 63 2 .C63 .D 31 2 4采用系统抽样法从960人中抽取40人参与一项问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,960， 并按编号依序分为第一组、第二组、第四十组然后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的 号码为9那么，在第八组中抽到的编号是（ ） . A129 .B153 .C177 .D 201 5魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所 围成的几何体为“牟合方盖”刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟
3、合方盖”的体积之 比应为:4若已知正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） . A16 .B16 3 .C 16 3 .D 128 3 6如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部设计了一个排水小孔， 当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T若鱼缸 水深为h时，水流出所用时间为t，则函数( )hf t=的图象大致是（ ） . A .B .C .D 7如图三棱锥SABC中，SA 底面ABC，ABBC ，2ABBC=， 2 2SA = ，则SC与AB所成角的大小为（ ） . A90 .B60 .C45 .D30 8我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容 如图，一
4、个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形 ABCD所围成的区域记为，在圆内且在正方形ABCD外的部分记为， 在圆外且在大正方形内的部分记为在整个图形中随机取一点，此点取自 、的概率分别记为 123 PPP、 、，则（ ） . A 123 PPP=+ .B 132 PPP .C 123 PPP= .D 123 PPP= 9如图所示框图，若输入三个不同的实数x，输出的y值相同， 则此输出结果y可能是（ ） . A2 .B1 .C 1 2 .D4 10平面直角坐标系中，过坐标原点O和点(0,1)分别作曲线: x C ye= 的切线 1 l和 2 l，则直线 1 l、 2 l与y轴所
5、围成的封闭图形的面积为（ ） . A 1 22e .B 22 e e .C 1 2 e+ .D 2 2(1) e e 11已知椭圆、双曲线均是以线段AC的两端点为焦点的曲线，点B是它们的一个公共点， 且满足0BA BC= ，记此椭圆和双曲线的离心率分别为 12 ee、，则 22 12 11 ee +=（ ） . A 3 2 .B2 .C 5 2 .D 3 12 已知( )yf x=是定义在R上的偶函数， 且(1)(1)fxf x =， 当 1,0 x 时， 3 ( )f xx= ， 则函数( )( ) |cos|g xf xx=在区间 5 1 , 2 2 上的所有零点之和为（ ） . A7 .
6、B6 .C5 .D4 II 卷 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知以点C(1,2)为圆心的圆C与直线20 xy+=相切，则圆C的方程为_ 14在矩形ABCD中，2AB =，4AD =， 1 3 AMMD= ，则BM MC= _ 15已知函数 () 2 ( )ln1f xxx=+ ，设() 3 log 0.2af=， () 0.2 4bf =， () 1.1 2cf=， 请将abc、 、按照由大到小的排列顺序写出：_ 16 已知数列 n a满足： 23 123 2222(*) n n aaaan nN+=， 记数列 221 1 loglog nn aa + 的
7、前n项和为 n S，则 123 _ n SSSS= S A BC 2019-11 高三数月 11（文） 第 1 页共 2 页 A B C A1 B1 C1 E F 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分 17 （12 分）ABC的内角, ,A B C所对的边长分别为, ,a b c，且(23 )cos3 cosbcAaC= （）求角A的大小； （）若角 6 B =，点M为BC边上靠近点C的一个四等分点，且AM的长为21，求ABC的 面积 ABC S
8、 18 （12 分）如图，已知直三棱柱 111 ABCABC中，ABAC， 1 2ABACAA=， E是BC的中点，F是 1 AE上一点，且 1 2AFFE=. （）证明：AF 平面 1 ABC； （）求三棱锥 11 CAFC的体积 19 （12 分）某市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况，首先随 机抽样其中 200 名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60130m）进行了一次调查统 计，制成了如图 1 所示的频率分布直方图，接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间当月在 售二手房均价y（单位：万元/平方米） ，
9、制成了如图 2 所示的散点图（图中月份代码 113 分别对 应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月） （）试估计该市市民的购房面积的中位数 0 m； （）现采用分层抽样的方法从购房面积位于110,130的 40 位市民中随机抽取 4 人，再从这 4 人 中随机抽取 2 人，求这 2 人的购房面积恰好有一人在120,130的概率； （）根据散点图选择 yab x=+和 lnycdx=+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回 归方程，分别为0.93690.0285yx=+和0.95540.0306lnyx=+，并得到一些统计量的值， 如下表所示： 0.93690.0285yx=+ 0.
10、95540.0306lnyx=+ 13 2 1 () ii i yy = 0.000591 0.000164 13 2 1 () i i yy = 0.006050 请利用相关指数 2 R判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出 2019 年 12 月份的二手房购房均价（精确到0.001） 【参考数据】ln20.69，ln31.10，ln233.14，ln253.22， 21.41，31.73，234.80 【参考公式】 2 2 1 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy = = = 20 （12 分）设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab
11、ab +=的一个顶点与抛物线 2 2: 4Cxy=的焦点重合， 12 FF、分别是椭圆 1 C的左、右焦点，其离心率 6 3 e =，过椭圆 1 C右焦点 2 F的直线l与椭圆 1 C 交于AB、两点 （）求椭圆 1 C的方程； （）是否存在直线l，使得1OA OB= ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 21 （12 分）已知函数 2 1 ( )ln() 2 f xxxax aR=+ （）讨论( )f x的单调性； （）若 12 xx、为( )f x的两个极值点，证明： 2 1212 ()()44 282 f xf xxxaa f + （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、2
12、3 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分 22 （10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线 1: 2sinC=上任一点， 点P满足3OPOM= 设点P的轨迹为Q （）求曲线Q的平面直角坐标方程； （）将曲线Q向右平移1个单位后得到曲线N，设曲线N与直线: 1 xt l yt = = + (t为参数)相交于 AB、两点，记点(0,1)T，求|TATB+ 23 （10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数( ) |5|f xx= （）求不等式( )(2)3f xf x+的解集； （）若0a 16 1 1n+ 三、解答题 17解：
13、（）由(23 )cos3 cosbcAaC=，结合正弦定理可得 (2sin3sin)cos3sincosBCAAC=， 从而有2sincos3sin()3sinBAACB=+= 由ABC中，sin0B ，则 3 cos 2 A =，故得 6 A =为所求 （6 分） （）由（）知 6 A =，又 6 B =，则CACB=且 2 3 C = 设CMx=，则4CAx=，又21AM =， 那么在AMC中，有余弦定理可得 ()()() 2 2 2 2 21424cos 3 xxxx =+ ，解得1x = 从而可得 2 112 sin4sin4 3 223 ABC SCA CBCx =为所求 （12 分
14、） 18解： （）由题意知，等腰直角三角形ABC中，中线AEBC，且 1 2 2 AEBC= 而直三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 底面ABC，从而知 1 AAAE， 1 AABC 一方面，在 1 Rt A AE中，因为 1 2A A =，2AE =，则 1 6AE = 由 1 2AFFE=，可得 6 3 EF =，从而可知 1 AEAE EFAE =， 又 1 AEFAEA= ，则得 1 AEFAEA， 由此可得 1 90AFEA AE= = ，即有 1 AFAE 另一方面，由 1 AABC，AEBC， 1 AAAEA=， 得BC 平面 1 A AE，又AF 平面 1 A AE，则
15、知BCAF 综上， 1 AFAE，且AFBC，又 1 BCAEE=，故AF 平面 1 ABC，得证之 （6 分） （）如图，过点E作EDAC于D，连接 1 AD，在 1 AED中作/FGED，交 1 AD于G 由 1 AA 底面ABC，则 1 AAED，又因为EDAC， 1 AAACA=，则ED 平面 1 AAC，那么平面FG 1 AAC 由 2212 3323 FGEDAB=， 11 1 2 22 2 ACC S= = 可得 1111 1124 2 3339 CA FCACC VSFG =为所求 （12 分） 说明：18 题两个小问的解法思路均不唯一，请依据实际解答，酌情判分 （I）也可补形
16、为正方体中研究，或注意到三棱锥 1 AABC是正三棱锥的特征应用，或用面面垂直 证明线面垂直等 （II）也可考虑用等体积转换的方法求解之 19解： （）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.050.1 0.20.35+=，前四组频率和为 0.050.1 0.20.250.6+=，故中位数出现在第四组，且 0 0.15 90 1096 0.25 m =+= （4 分） （）设从位于110,120)的市民中抽取x人，从位于120,130的市民中抽取y人， 由分层抽样可知： 4 403010 xy =，则3x =，1y = 在抽取的4人中，记 3 名位于110,120)的市民为 123 ,A A
17、 A，位于120,130的市民为B 则所有抽样情况为： 121312323 (,) (,) (, ) (,) (, ) (, )A AA AA BA AA BA B，共 6 种 而其中恰有一人在120,130的情况共有 3 种，故所求概率 31 62 P = （8 分） （）设模型0.93690.0285yx=+和0.95540.0306lnyx=+的相关指数分别为 22 12 ,RR 则 2 1 0.000591 1 0.006050 R = ， 2 2 0.000164 1 0.006050 R = ，显然 22 12 RR恒成立，且有 2 12 2 6 2 31 k xx k += +
18、， 2 12 2 63 31 k x x k = + 那么 22 12121212 (2)(2)2()2y ykxxkx xxx =+ 2222 2 2222 631262 31313131 kkkk k kkkk + =+= + 则 2 1212 2 53 1 31 k OA OBx xy y k =+= + ，由此解得 1 2 k = 为所求 （12 分） C AB M x 3x 4x 21 2019-11 高三数月 11（文） 第 3 页共 2 页 21 （）( )f x的定义域为(0,)+， 2 1 ( )(0) xax fxx x + = 法一： （考察( )u x的图象特征，分析导
19、函数的正负）记 2 ( )1u xxax=+ 注意到( )u x图象开口向上，对称轴为 2 a x = ，图象过定点(0,1)，在区间(0,)+上讨论如下： （1）当0 2 a ，即0a 时，如右图可知( )(0)10u xu= ， 则( )0fx恒成立，此时，( )f x在(0,)+上为增函数； （2）当0 2 a ，即0a 时，由 2 4a = 若0 ，即20a ，即2a ，此时( )0fx； 12 ( )0u xxxx，此时( )0fx 则可得( )f x在 1 (0,)x上为增，在 12 ( ,)x x上为减，在 2 (,)x +上为增， 综上所述， 当2a 时，( )f x在(0,)
20、+上为增函数； 当2a ，并注意到 ( )x的值域为2,)+，考察直线ya= 与 1 ( )(0)xxx x =+的图象的交点情况，讨论如下： （1）当2a ，即2a 时，可知 1 ( )0fxax x =+ 恒成立， 此时，( )f x在(0,)+上为增函数； （2）当2a ，即2a 的图象有两个不同交点 1 ( ,)xa， 2 (,)xa， 且由 1 ax x =+可解得 2 1 4 2 aa x =， 2 2 4 2 aa x + = 那么可得，当 1 0 xx时，( )0fx；当 12 xxx时，( )0fx 则可得( )f x在 1 (0,)x上为增，在 12 ( ,)x x上为减，
21、在 2 (,)x +上为增， 综上所述， 当2a 时，( )f x在(0,)+上为增函数； 当2a 时，( )f x在 1 (0,)x上为增，在 12 ( ,)x x上为减，在 2 (,)x +上为增 （6 分） （）由（）可知2a ，令 2 a t = ，则1t ，那么等价于证明ln10(1)ttt + ， 构造函数( )ln1(1)g tttt= +，有 11 ( )10 t g t tt = = 那么有( )g t在区间(1,)+上为减函数，故( )(1)0g tg=，即ln10(1)ttt + 成立 综上可得，所证不等式成立 （12 分） 22解： （）设( , )P ，由3OPOM=
22、 可知点3OPOM=，那么, 3 M 将, 3 M 代入曲线C，得2sin 3 =，则曲线Q的极坐标方程为6sin= 化为直角坐标方程，即得 22 (3)9xy+=为所求 （5 分） （）将曲线Q向右平移 1 个单位后，得到曲线N的方程为 22 (1)(3)9xy+= 将直线l的参数方程化为 2 2 2 1 2 xt yt = = + (t为参数)，代入曲线N的方程，整理得到 2 240tt= 记交点AB、对应的参数分别为 12 tt、，那么 12 20tt+=， 12 40t t = 那么， 2 1212121 2 | | |()42 163 2TATBttttttt t+=+=+=+=为所
23、求 （10 分） 23略解： （）不等式化为，等价于|5|3| 3xx+ 法一： （零点分段法）等价于 5 533 x xx + 或 35 533 x xx + 或 3 533 x xx + 解得： 11 5 2 x或35x或 5 3 2 x，故所求不等式的解集为 5 11 , 2 2 （5 分） 法二： （应用绝对值的几何意义）等价于探求数轴上的到3的距离与到5的距离之和不大于3的点x， 结合数轴（图略） ，可得所求不等式的解集为 5 11 , 2 2 （5 分） （）证明：由题意得 ()( ) |5|5| |5|5 |f axaf xaxa xaxaxa=+ |55 | |55|(5 )axaxaafa += 故不等式()(5 )( )f axfaaf x成立 （10 分） O x y 2 a x = 1 O x y 2 a x = 1 O x y 2 a x = 1 1 x 2 x 1 x 2 x O x y 2 ya= 2019-11 高三数月 11（文） 第 4 页共 2 页
