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2020届四川省XX重点中学高三上学期11月阶段性检测数学试卷(文科)含答案

1、高高 20172017 级高三上期级高三上期 1 11 1 月阶段性测试数学试题(文科)月阶段性测试数学试题(文科) 考试时间:120 分钟 全卷满分:150 分 I 卷 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1设集合 1,0A = , |,Bt tyx xA yA=,则AB =( ) . A1 .B 1 .C 1,1 .D 1,0 2在复平面内,给出以下四个说法: 实轴上的点表示的数均为实数; 虚轴上的点表示的数均为纯虚数; 互为共轭复数的两个复数的实部相等,虚部互为相反数; 已知复数z满足(1)3i zi+=,则1 2zi= 其中说法正确的个数为( ) . A1 .

2、B2 .C3 .D4 3设等比数列 n a前n项和为 n S, 2 1a =, 2 57 2aa=,则 6 S =( ) . A31 .B 63 2 .C63 .D 31 2 4采用系统抽样法从960人中抽取40人参与一项问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,960, 并按编号依序分为第一组、第二组、第四十组然后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的 号码为9那么,在第八组中抽到的编号是( ) . A129 .B153 .C177 .D 201 5魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所 围成的几何体为“牟合方盖”刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟

3、合方盖”的体积之 比应为:4若已知正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) . A16 .B16 3 .C 16 3 .D 128 3 6如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部设计了一个排水小孔, 当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T若鱼缸 水深为h时,水流出所用时间为t,则函数( )hf t=的图象大致是( ) . A .B .C .D 7如图三棱锥SABC中,SA 底面ABC,ABBC ,2ABBC=, 2 2SA = ,则SC与AB所成角的大小为( ) . A90 .B60 .C45 .D30 8我国现代著名数学家徐利治教授提出:图形的对称性是数学美的具体内容 如图,一

4、个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形,正方形 ABCD所围成的区域记为,在圆内且在正方形ABCD外的部分记为, 在圆外且在大正方形内的部分记为在整个图形中随机取一点,此点取自 、的概率分别记为 123 PPP、 、,则( ) . A 123 PPP=+ .B 132 PPP .C 123 PPP= .D 123 PPP= 9如图所示框图,若输入三个不同的实数x,输出的y值相同, 则此输出结果y可能是( ) . A2 .B1 .C 1 2 .D4 10平面直角坐标系中,过坐标原点O和点(0,1)分别作曲线: x C ye= 的切线 1 l和 2 l,则直线 1 l、 2 l与y轴所

5、围成的封闭图形的面积为( ) . A 1 22e .B 22 e e .C 1 2 e+ .D 2 2(1) e e 11已知椭圆、双曲线均是以线段AC的两端点为焦点的曲线,点B是它们的一个公共点, 且满足0BA BC= ,记此椭圆和双曲线的离心率分别为 12 ee、,则 22 12 11 ee +=( ) . A 3 2 .B2 .C 5 2 .D 3 12 已知( )yf x=是定义在R上的偶函数, 且(1)(1)fxf x =, 当 1,0 x 时, 3 ( )f xx= , 则函数( )( ) |cos|g xf xx=在区间 5 1 , 2 2 上的所有零点之和为( ) . A7 .

6、B6 .C5 .D4 II 卷 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13已知以点C(1,2)为圆心的圆C与直线20 xy+=相切,则圆C的方程为_ 14在矩形ABCD中,2AB =,4AD =, 1 3 AMMD= ,则BM MC= _ 15已知函数 () 2 ( )ln1f xxx=+ ,设() 3 log 0.2af=, () 0.2 4bf =, () 1.1 2cf=, 请将abc、 、按照由大到小的排列顺序写出:_ 16 已知数列 n a满足: 23 123 2222(*) n n aaaan nN+=, 记数列 221 1 loglog nn aa + 的

7、前n项和为 n S,则 123 _ n SSSS= S A BC 2019-11 高三数月 11(文) 第 1 页共 2 页 A B C A1 B1 C1 E F 三、解答题(共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个 试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:共 60 分 17 (12 分)ABC的内角, ,A B C所对的边长分别为, ,a b c,且(23 )cos3 cosbcAaC= ()求角A的大小; ()若角 6 B =,点M为BC边上靠近点C的一个四等分点,且AM的长为21,求ABC的 面积 ABC S

8、 18 (12 分)如图,已知直三棱柱 111 ABCABC中,ABAC, 1 2ABACAA=, E是BC的中点,F是 1 AE上一点,且 1 2AFFE=. ()证明:AF 平面 1 ABC; ()求三棱锥 11 CAFC的体积 19 (12 分)某市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况,首先随 机抽样其中 200 名购房者,并对其购房面积m(单位:平方米,60130m)进行了一次调查统 计,制成了如图 1 所示的频率分布直方图,接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间当月在 售二手房均价y(单位:万元/平方米) ,

9、制成了如图 2 所示的散点图(图中月份代码 113 分别对 应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月) ()试估计该市市民的购房面积的中位数 0 m; ()现采用分层抽样的方法从购房面积位于110,130的 40 位市民中随机抽取 4 人,再从这 4 人 中随机抽取 2 人,求这 2 人的购房面积恰好有一人在120,130的概率; ()根据散点图选择 yab x=+和 lnycdx=+两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回 归方程,分别为0.93690.0285yx=+和0.95540.0306lnyx=+,并得到一些统计量的值, 如下表所示: 0.93690.0285yx=+ 0.

10、95540.0306lnyx=+ 13 2 1 () ii i yy = 0.000591 0.000164 13 2 1 () i i yy = 0.006050 请利用相关指数 2 R判断哪个模型的拟合效果更好,并用拟合效果更好的模型预测出 2019 年 12 月份的二手房购房均价(精确到0.001) 【参考数据】ln20.69,ln31.10,ln233.14,ln253.22, 21.41,31.73,234.80 【参考公式】 2 2 1 2 1 () 1 () n ii i n i i yy R yy = = = 20 (12 分)设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab

11、ab +=的一个顶点与抛物线 2 2: 4Cxy=的焦点重合, 12 FF、分别是椭圆 1 C的左、右焦点,其离心率 6 3 e =,过椭圆 1 C右焦点 2 F的直线l与椭圆 1 C 交于AB、两点 ()求椭圆 1 C的方程; ()是否存在直线l,使得1OA OB= ?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由 21 (12 分)已知函数 2 1 ( )ln() 2 f xxxax aR=+ ()讨论( )f x的单调性; ()若 12 xx、为( )f x的两个极值点,证明: 2 1212 ()()44 282 f xf xxxaa f + (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、2

12、3 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题记分 22 (10 分)选修 44:坐标系与参数方程 已知极点与坐标原点O重合,极轴与x轴非负半轴重合,M是曲线 1: 2sinC=上任一点, 点P满足3OPOM= 设点P的轨迹为Q ()求曲线Q的平面直角坐标方程; ()将曲线Q向右平移1个单位后得到曲线N,设曲线N与直线: 1 xt l yt = = + (t为参数)相交于 AB、两点,记点(0,1)T,求|TATB+ 23 (10 分)选修 45:不等式选讲 已知函数( ) |5|f xx= ()求不等式( )(2)3f xf x+的解集; ()若0a 16 1 1n+ 三、解答题 17解:

13、()由(23 )cos3 cosbcAaC=,结合正弦定理可得 (2sin3sin)cos3sincosBCAAC=, 从而有2sincos3sin()3sinBAACB=+= 由ABC中,sin0B ,则 3 cos 2 A =,故得 6 A =为所求 (6 分) ()由()知 6 A =,又 6 B =,则CACB=且 2 3 C = 设CMx=,则4CAx=,又21AM =, 那么在AMC中,有余弦定理可得 ()()() 2 2 2 2 21424cos 3 xxxx =+ ,解得1x = 从而可得 2 112 sin4sin4 3 223 ABC SCA CBCx =为所求 (12 分

14、) 18解: ()由题意知,等腰直角三角形ABC中,中线AEBC,且 1 2 2 AEBC= 而直三棱柱 111 ABCABC中, 1 AA 底面ABC,从而知 1 AAAE, 1 AABC 一方面,在 1 Rt A AE中,因为 1 2A A =,2AE =,则 1 6AE = 由 1 2AFFE=,可得 6 3 EF =,从而可知 1 AEAE EFAE =, 又 1 AEFAEA= ,则得 1 AEFAEA, 由此可得 1 90AFEA AE= = ,即有 1 AFAE 另一方面,由 1 AABC,AEBC, 1 AAAEA=, 得BC 平面 1 A AE,又AF 平面 1 A AE,则

15、知BCAF 综上, 1 AFAE,且AFBC,又 1 BCAEE=,故AF 平面 1 ABC,得证之 (6 分) ()如图,过点E作EDAC于D,连接 1 AD,在 1 AED中作/FGED,交 1 AD于G 由 1 AA 底面ABC,则 1 AAED,又因为EDAC, 1 AAACA=,则ED 平面 1 AAC,那么平面FG 1 AAC 由 2212 3323 FGEDAB=, 11 1 2 22 2 ACC S= = 可得 1111 1124 2 3339 CA FCACC VSFG =为所求 (12 分) 说明:18 题两个小问的解法思路均不唯一,请依据实际解答,酌情判分 (I)也可补形

16、为正方体中研究,或注意到三棱锥 1 AABC是正三棱锥的特征应用,或用面面垂直 证明线面垂直等 (II)也可考虑用等体积转换的方法求解之 19解: ()由频率分布直方图,可得,前三组频率和为0.050.1 0.20.35+=,前四组频率和为 0.050.1 0.20.250.6+=,故中位数出现在第四组,且 0 0.15 90 1096 0.25 m =+= (4 分) ()设从位于110,120)的市民中抽取x人,从位于120,130的市民中抽取y人, 由分层抽样可知: 4 403010 xy =,则3x =,1y = 在抽取的4人中,记 3 名位于110,120)的市民为 123 ,A A

17、 A,位于120,130的市民为B 则所有抽样情况为: 121312323 (,) (,) (, ) (,) (, ) (, )A AA AA BA AA BA B,共 6 种 而其中恰有一人在120,130的情况共有 3 种,故所求概率 31 62 P = (8 分) ()设模型0.93690.0285yx=+和0.95540.0306lnyx=+的相关指数分别为 22 12 ,RR 则 2 1 0.000591 1 0.006050 R = , 2 2 0.000164 1 0.006050 R = ,显然 22 12 RR恒成立,且有 2 12 2 6 2 31 k xx k += +

18、, 2 12 2 63 31 k x x k = + 那么 22 12121212 (2)(2)2()2y ykxxkx xxx =+ 2222 2 2222 631262 31313131 kkkk k kkkk + =+= + 则 2 1212 2 53 1 31 k OA OBx xy y k =+= + ,由此解得 1 2 k = 为所求 (12 分) C AB M x 3x 4x 21 2019-11 高三数月 11(文) 第 3 页共 2 页 21 ()( )f x的定义域为(0,)+, 2 1 ( )(0) xax fxx x + = 法一: (考察( )u x的图象特征,分析导

19、函数的正负)记 2 ( )1u xxax=+ 注意到( )u x图象开口向上,对称轴为 2 a x = ,图象过定点(0,1),在区间(0,)+上讨论如下: (1)当0 2 a ,即0a 时,如右图可知( )(0)10u xu= , 则( )0fx恒成立,此时,( )f x在(0,)+上为增函数; (2)当0 2 a ,即0a 时,由 2 4a = 若0 ,即20a ,即2a ,此时( )0fx; 12 ( )0u xxxx,此时( )0fx 则可得( )f x在 1 (0,)x上为增,在 12 ( ,)x x上为减,在 2 (,)x +上为增, 综上所述, 当2a 时,( )f x在(0,)

20、+上为增函数; 当2a ,并注意到 ( )x的值域为2,)+,考察直线ya= 与 1 ( )(0)xxx x =+的图象的交点情况,讨论如下: (1)当2a ,即2a 时,可知 1 ( )0fxax x =+ 恒成立, 此时,( )f x在(0,)+上为增函数; (2)当2a ,即2a 的图象有两个不同交点 1 ( ,)xa, 2 (,)xa, 且由 1 ax x =+可解得 2 1 4 2 aa x =, 2 2 4 2 aa x + = 那么可得,当 1 0 xx时,( )0fx;当 12 xxx时,( )0fx 则可得( )f x在 1 (0,)x上为增,在 12 ( ,)x x上为减,

21、在 2 (,)x +上为增, 综上所述, 当2a 时,( )f x在(0,)+上为增函数; 当2a 时,( )f x在 1 (0,)x上为增,在 12 ( ,)x x上为减,在 2 (,)x +上为增 (6 分) ()由()可知2a ,令 2 a t = ,则1t ,那么等价于证明ln10(1)ttt + , 构造函数( )ln1(1)g tttt= +,有 11 ( )10 t g t tt = = 那么有( )g t在区间(1,)+上为减函数,故( )(1)0g tg=,即ln10(1)ttt + 成立 综上可得,所证不等式成立 (12 分) 22解: ()设( , )P ,由3OPOM=

22、 可知点3OPOM=,那么, 3 M 将, 3 M 代入曲线C,得2sin 3 =,则曲线Q的极坐标方程为6sin= 化为直角坐标方程,即得 22 (3)9xy+=为所求 (5 分) ()将曲线Q向右平移 1 个单位后,得到曲线N的方程为 22 (1)(3)9xy+= 将直线l的参数方程化为 2 2 2 1 2 xt yt = = + (t为参数),代入曲线N的方程,整理得到 2 240tt= 记交点AB、对应的参数分别为 12 tt、,那么 12 20tt+=, 12 40t t = 那么, 2 1212121 2 | | |()42 163 2TATBttttttt t+=+=+=+=为所

23、求 (10 分) 23略解: ()不等式化为,等价于|5|3| 3xx+ 法一: (零点分段法)等价于 5 533 x xx + 或 35 533 x xx + 或 3 533 x xx + 解得: 11 5 2 x或35x或 5 3 2 x,故所求不等式的解集为 5 11 , 2 2 (5 分) 法二: (应用绝对值的几何意义)等价于探求数轴上的到3的距离与到5的距离之和不大于3的点x, 结合数轴(图略) ,可得所求不等式的解集为 5 11 , 2 2 (5 分) ()证明:由题意得 ()( ) |5|5| |5|5 |f axaf xaxa xaxaxa=+ |55 | |55|(5 )axaxaafa += 故不等式()(5 )( )f axfaaf x成立 (10 分) O x y 2 a x = 1 O x y 2 a x = 1 O x y 2 a x = 1 1 x 2 x 1 x 2 x O x y 2 ya= 2019-11 高三数月 11(文) 第 4 页共 2 页