1、四四 柱坐标系与球坐标系简介柱坐标系与球坐标系简介 学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系 的关系， 并掌握坐标间的互化公式.3.能利用柱坐标、 球坐标与空间坐标的转化解决相关问题 知识点一 柱坐标系 思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离 梳理 柱坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在平面 Oxy 上的射影为 Q， 用(，)(0,02)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标这时点 P 的位置可用有序数组(， ，z)(zR)表
2、示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系， 有序数组(， ， z)叫做点 P 的柱坐标， 记作 P(， ，z)，其中 0,02，zR. (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为 xcos ， ysin ， zz. 知识点二 球坐标系 思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中， 用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示 答案 可以 梳理 球坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|
3、r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转 过的最小正角为 .这样点 P 的位置就可以 用有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系， 把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点 P 的球坐标，记作 P(r，)，其中 r0,0，00， 2.点 M 的柱坐标为 1， 2，2 . (2)由变换公式 xcos ， ysin ，得 zz， x2cos 20，y2sin 22， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3) 类型二 球坐标与直角坐标的互化 例 2 (
4、1)已知点 P 的球坐标为 4，3 4 ， 4 ，求它的直角坐标； (2)已知点 M 的直角坐标为(2，2，2 2)，求它的球坐标 解 (1)由变换公式，得 xrsin cos 4sin 3 4 cos 42. yrsin sin 4sin 3 4 sin 42. zrcos 4cos 3 4 2 2. 故其直角坐标为(2,2，2 2) (2)由坐标变换公式，可得 r x2y2z222222 224. 由 rcos z2 2， 得 cos 2 2 r 2 2 ，3 4 . 又 tan y x1， 5 4 ， 从而知 M 点的球坐标为 4，3 4 ，5 4 . 反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时
5、，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式 xrsin cos ， yrsin sin ， zrcos ， 求出 r， 即可；也可以利用 r2x2y2z2，tan y x，cos z r来求， 要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚 和 所在的位置 跟踪训练 2 把下列各点的球坐标化为直角坐标 (1) 2，3 4 ，5 4 ；(2) 6， 3， 6 . 解 设点的直角坐标为(x，y，z) (1)(r，) 2，3 4 ，5 4 ， xrsin cos 2sin 3 4 cos 5 4 1， yrsin sin 2sin 3 4 sin 5 4 1， zrcos 2cos 3 4 2， (1，1
6、， 2)为所求 (2)(r，) 6， 3， 6 ， xrsin cos 6sin 3cos 6 3 6 4 ， yrsin sin 6sin 3sin 6 3 2 4 ， zrcos 6cos 3 6 2 ， 3 6 4 ，3 2 4 ， 6 2 为所求 类型三 求点的坐标 例 3 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，底面 ABCD 边长为 1，高 AA1为 6，建立空间直角 坐标系(如图)，Ax 为极轴，求点 C1的直角坐标，柱坐标及球坐标 解 点 C1的直角坐标为(1,1， 6)， 设 C1的柱坐标为(， 6)， x2y2 2，tan y x1， 4， 所以 C1的柱坐标为 2， 4，
7、 6 ， 设 C1的球坐标为(r，)，其中 r0,0，02， 由 xrsin cos ，yrsin sin ，zrcos ， 得 r x2y2z21212 622 2. 由 zrcos ，得 cos 3 2 ， 6， 又 tan y x1， 4， 从而点 C1的球坐标为 2 2， 6， 4 ，柱坐标为 2， 4， 6 ，直角坐标为(1,1， 6) 反思与感悟 (1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标 与柱坐标及球坐标的互化公式 (2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系 跟踪训练 3 在例 3 的条件下，求点 C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标 解 C 的直
8、角坐标为(1,1,0)，设 C 的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)(0,0， 02) 1212 2，tan y x1， 4，z0，C 的柱坐标为 2， 4，0 . 又 r x2y2z2 2， 2， 4， C 的球坐标为 2， 2， 4 . A1的直角坐标为(0,0， 6)，A1的柱坐标为(0,0， 6)， A1的球坐标为( 6，0,0) 1在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为 2， 4，3 ，P 在 xOy 平面上的射影为 Q，则 Q 点 的坐标为( ) A(2,0,3) B( 2， 2，0) C. 2， 4，3 D. 2， 4，0 答案 B 2设点 M 的直角坐标为(2,0,2)，则点
9、M 的柱坐标为( ) A(2,0,2) B(2，2) C( 2，0,2) D( 2，2) 答案 A 3在球坐标系中，方程 r2 表示空间的( ) A球 B球面 C圆 D直线 答案 B 4点 P 的柱坐标为 4， 6，3 ，则点 P 到原点的距离为_ 答案 5 解析 xcos 4cos 62 3，ysin 4sin 62.即点 P 的直角坐标为(2 3，2,3)，其 到原点距离为 2 302202302 255. 5已知点 M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则 tan _，tan _. 答案 5 3 2 解析 如图所示， tan x2y2 z 5 3 ，tan y x2. 1空间
10、点的坐标的确定 (1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z) (2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(，z) (3)空间点的球坐标是点在 Oxy 平面上的射影和原点连线与 x 轴正方向所成的角 ，点和原点 的连线与 z 轴的正方向所成的角 ，以及点到原点的距离组成的，即(r，)注意求坐标 的顺序为到原点的距离 r；与 z 轴正方向所成的角 ；与 x 轴正方向所成的角 . 2 柱坐标系又称半极坐标系， 它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的， 空间任一点 P 的位置可以用有序数组(，z)表示，(，)是点 P 在 Oxy 平面上的射影 Q 的 极坐标，z 是 P 在空间直角坐标系中的竖坐标
