1、第四讲第四讲 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 复习课复习课 学习目标 1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳猜想证明”的思维模式.2. 熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤 1数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法 2一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以 下两个步骤： (1)证明当 nn0时命题成立 (2)假设当 nk(kN且 kn0)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立完成以上两个 步骤，就可以断定命题对不小于 n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法 3在数学归纳法的两个步骤中，
2、第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限 到无限飞跃的关键 4用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当 nk(kN，kn0)时命题成立的条件下， 推出当 nk1 时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到 分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法 类型一 归纳猜想证明 例 1 已知数列an的第一项 a15 且 Sn1an(n2，nN) (1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an的表达式； (2)用数学归纳法证明an的通项公式 (1)解 a2S1a15，a3S2a1a210， a4S3a1a2a3551020， 猜想 an 5，n1， 52n 2，n2，nN .
3、(2)证明 当 n2 时，a2522 25，公式成立 假设当 nk 时成立， 即 ak52k 2(k2，kN )， 当 nk1 时，由已知条件和假设有 ak1Ska1a2ak 551052k 2 5512 k1 12 52k 1. 故当 nk1 时公式也成立 由可知，对 n2，nN有 an52n 2. 所以数列an的通项 an 5，n1， 52n 2，n2，nN . 反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证 明即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进 行证明 跟踪训练 1 设 f(n)0(nN)，对任意自然数 n1和 n2总有 f(
4、n1n2)f(n1) f(n2)，又 f(2) 4. (1)求 f(1)，f(3)的值； (2)猜想 f(n)的表达式，并证明你的猜想 解 (1)由于对任意自然数 n1和 n2， 总有 f(n1n2)f(n1) f(n2) 取 n1n21，得 f(2)f(1) f(1)，即 f2(1)4. f(n)0(nN)， f(1)2. 取 n11，n22，得 f(3)23. (2)由 f(1)21，f(2)422，f(3)23， 猜想 f(n)2n. 证明：当 n1 时，f(1)2 成立 假设 nk(k1，kN)时，f(k)2k成立 当 nk1 时，f(k1)f(k) f(1)2k 22k 1， 所以当
5、 nk1 时，猜想也成立 由知猜想正确，即 f(n)2n，nN. 类型二 用数学归纳法证明等式或不等式 命题角度1 用数学归纳法证明等式以三角函数为背景 例 2 求证 tan tan 2tan 2 tan 3tan(n1) tan ntan n tan n(n2，nN) 证明 (1)当 n2 时， 左边tan tan 2， 右边tan 2 tan 2 2tan 1tan2 1 tan 2 2 1tan22 2tan2 1tan2 tan 2tan 1tan2 tan tan 2，等式成立 (2)假设当 nk(k2，kN)时等式成立，即 tan tan 2tan 2 tan 3tan(k1) t
6、an ktan k tan k. 当 nk1 时， tan tan 2tan 2 tan 3tan(k1) tan ktan k tan(k1) tan k tan ktan k tan(k1) tan k1tan tank1 tan k 1 tan tank1tan 1tank1 tan 1tan(k1) tan k 1 tan tan(k1)tan k tank1 tan (k1)， 所以当 nk1 时，等式也成立 由(1)和(2)知，当 n2，nN时等式恒成立 反思与感悟 归纳法是证明有关正整数 n 的命题的一种方法， 应用广泛 用数学归纳法证明 一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的
7、起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的 可传递性， 是递推的依据 两步缺一不可， 证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征 跟踪训练 2 用数学归纳法证明：当 nN时，(2cos x1) (2cos 2x1)(2cos 2n 1x1) 2cos 2nx1 2cos x1 . 证明 (1)当 n1 时，左边2cos x1， 右边2cos 2x1 2cos x1 4cos 2x1 2cos x12cos x1， 即左边右边，命题成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时，命题成立， 即(2cos x1)(2cos 2x1)(2cos 2k 1x1)2cos 2 kx1 2cos x1 .
8、当 nk1 时， 左边(2cos x1)(2cos 2x1) (2cos 2k 1x1) (2cos 2kx1) 2cos 2 kx1 2cos x1 (2cos 2kx1) 4cos 2 kx21 2cos x1 2cos 2 k1x1 2cos x1 . 当 nk1 时命题成立 由(1)(2)可知，当 nN时命题成立 命题角度2 用数学归纳法证明不等式 例 3 用数学归纳法证明1 2 1 3 1 4 1 2n 1n2 2 ，其中 n2，nN. 证明 (1)当 n2 时，左边1 2，右边0，结论成立； (2)假设当 nk(k2，kN)时，结论成立， 即1 2 1 3 1 4 1 2k 1k2
9、 2 ， 则当 nk1 时， 左边1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 11 1 2k k2 2 1 2k 11 1 2k k2 2 2 k1 2k k1 2 ， 即当 nk1 时，结论成立 由(1)(2)可知，1 2 1 3 1 4 1 2n 1n2 2 ，n2，nN. 反思与感悟 用数学归纳法证明不等式， 除了注意数学归纳法规范的格式外， 还要注意灵活 利用问题的其他条件及相关知识 跟踪训练 3 求证： 1 n1 1 n2 1 3n 5 6(n2，nN) 证明 (1)当 n2 时， 左边1 3 1 4 1 5 1 6 5 6，不等式成立 (2)假设当 nk(k2，kN)时，命题成
10、立， 即 1 k1 1 k2 1 3k 5 6. 当 nk1 时， 1 k11 1 k12 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k1 1 k1 1 k2 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 3 1 3k3 1 k1 5 6. 所以当 nk1 时，不等式也成立 由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2，nN均成立 类型三 用数学归纳法证明整除问题 例 4 用数学归纳法证明：n(n1)(2n1)能被 6 整除 证明 (1)当 n1 时，123 显然能被 6 整除 (2)假设当 nk(k1，kN)时，命题成立， 即
11、 k(k1)(2k1)2k33k2k 能被 6 整除 当 nk1 时， (k1)(k2)(2k3)2k33k2k6(k22k1) 因为 2k33k2k,6(k22k1)都能被 6 整除， 所以 2k33k2k6(k22k1)能被 6 整除， 即当 nk1 时命题成立 由(1)和(2)知，对任意 nN原命题成立 反思与感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键点 (1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变 形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证 (2)与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从 nk1 时的表达式 中分解出 nk
12、 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式 跟踪训练 4 设 xN，nN， 求证：xn 2(x1)2n1 能被 x2x1 整除 证明 (1)当 n1 时，x3(x1)3x(x1) x2x(x1)(x1)2(2x1)(x2x1)， 结论成立 (2)假设当 nk(k1，kN)时，结论成立，即 xk 2(x1)2k1能被 x2x1 整除， 那么当 nk1 时， x(k 1)2(x1)2(k1)1 x xk 2(x1)2(x1)2k1 xxk 2(x1)2k1(x1)2(x1)2k1x(x1)2k1 xxk 2(x1)2k1(x2x1) (x1)2k1. 由假设知， xk 2(x1)2k1及 x
13、2x1 均能被 x2x1 整除， 故 x(k1)2(x1)2(k1)1 能被 x2x1 整除，即当 nk1 时，结论也成立 由(1)(2)知，原结论成立 1某同学回答“用数学归纳法证明 n2nn1(nN)”的过程如下： 证明：(1)当 n1 时，显然命题是正确的； (2)假设当 nk(k1，kN)时，有 kk1k1，那么当 nk1 时， k12k1 k23k2 k24k4(k1)1，所以当 nk1 时，命题成立由(1)(2)可知对于任 意 nN命题成立以上证法是错误的，错误在于( ) A从 k 到 k1 的推理过程没有使用归纳假设 B归纳假设的写法不正确 C从 k 到 k1 的推理不严密 D当
14、 n1 时，验证过程不具体 答案 A 2 设 f(x)是定义在正整数集上的函数， 且 f(x)满足： “当 f(k)k2成立时， 总可推出 f(k1)(k 1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k2成立 B若 f(5)25 成立，则当 k5 时，均有 f(k)k2成立 C若 f(7)49 成立，则当 k8 时，均有 f(k)k2成立 D若 f(4)25 成立，则当 k4 时，均有 f(k)k2成立 答案 D 解析 对于 D，f(4)2542， 当 k4 时，均有 f(k)k2. 3用数学归纳法证明 1234n2n 4n2 2 (nN
15、)，则当 nk1 时，左端应为在 当 nk 时的基础上加上_ 答案 (k21)(k1)2 解析 当nk1时， 左端123k2(k21)(k1)2.所以增加了(k21) (k1)2. 4已知数列an的各项都是正数，且满足：a01，an11 2an (4an)(nN)证明：anan 12(nN) 证明 (1)当 n0 时，a01，a11 2a0(4a0) 3 2， 所以 a0a12，命题正确 (2)假设当 nk(k1，kN)时命题成立，即 ak1ak2. 则当 nk1 时， akak11 2ak1(4ak1) 1 2ak(4ak) 2(ak1ak)1 2(ak1ak)(ak1ak) 1 2(ak1
16、ak)(4ak1ak) 而 ak1ak0,4ak1ak0，所以 akak10. 又 ak11 2ak(4ak) 1 24(ak2) 22. 所以当 nk1 时命题正确 由(1)(2)可知，对一切 nN，有 anan12. 1在推证“nk1”命题也成立时，必须把归纳假设“nk”时的命题作为必备条件使用 上，否则不是数学归纳法对项数估算的错误，特别是寻找 nk 与 nk1 的关系时，弄 错项数发生的变化是常见错误 2用数学归纳法证明的问题通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式或 不等式是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、归纳，猜想出一个等式或不 等式，然后再用数学归纳法证明 3用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及数列有关的命题是考查的重点，主要考查 用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查分析问题、解决问题的能力
