1、一二维形式的柯西不等式,第三讲柯西不等式与排序不等式,学习目标 1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义. 2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点二维形式的柯西不等式,思考1(a2b2)(c2d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2b2)(c2d2)与(acbd)2的大小关系又如何？,答案(a2b2)(c2d2)4abcd， (a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考2当且仅当ab且cd时，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么条件下(a2b2)(c2
2、d2)(acbd)2?,答案当且仅当adbc时，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考3若向量(a，b)，向量(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？,梳理(1)二维形式的柯西不等式 定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2) ，当且仅当adbc时，等号成立. 二维形式的柯西不等式的推论：,(acbd)2,|acbd|,|ac|bd|,(2)柯西不等式的向量形式 定理2：设，是两个向量，则 ，当且仅当是 ，或存在实数k，使k时，等号成立. (3)二维形式的三角不等式,零向量,当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原
3、点O两旁时，等号成立.,|,推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有,事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据P1P2P3的边长关系有|P1P3|P2P3|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.,题型探究,类型一利用柯西不等式证明不等式,证明a1，a2，b1，b2R，,证明,反思与感悟利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分
4、解、组合、配方、数形结合等方法.,跟踪训练1已知为锐角，a，bR，,证明,例2若实数x，y，z满足x24y2z23，求证：|x2yz|3.,证明因为x24y2z23， 所以由柯西不等式得 x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2,整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.,证明,反思与感悟(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件. (2)此类题也可以用三角不等式，把ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可.,将上面三个同向不等式相加，,证明,类型二利用柯西不等式求最值,例3若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点.,解由
5、柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，,解答,反思与感悟利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.,跟踪训练3已知a，bR，且9a24b218，求3a2b的最值.,解由柯西不等式，得(9a24b2
6、)(1212)(3a2b)2， 9a24b218， 36(3a2b)2. |3a2b|6.,解答,达标检测,1.已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为 A.4 B.2 C.8 D.9,1,2,3,4,解析(a2b2)(3222)(3a2b)2，当且仅当3b2a时取等号， 所以(3a2b)2413.所以3a2b的最大值为,解析,答案,5,2.已知a0，b0，且ab2，则 A.ab B.ab C.a2b22 D.a2b23,答案,1,2,3,4,5,解析(a2b2)(1212)(ab)24， a2b22.,解析,1,2,3,4,5,9,最小值为9.,解析,答案,1,2,3,4,5,解析(a2b2)(m2n2)(manb)225， m2n25. 当且仅当anbm时取等号.,解析,答案,证明1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acos bsin )2， |acos bsin |1.,1,2,3,4,5,证明,5.已知a2b21，求证：|acos bsin |1.,1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试. 2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号成立的条件是adbc，可以把a，b，c，d看成等比，则adbc来联想记忆.,规律与方法,
