1、高三年级（数学） 第 1 页（共 4 页） 2020-2021 学年第一学期高三年级统测试卷 数学 2020.09 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回. 第一部分第一部分（选择题选择题，共，共 40 分分） 一一、选择题选择题共共 10 小题小题，每小题，每小题 4 分分，共，共 40 分。在分。在每小题列出的四个选项中，选每小题列出的四个选项中，选出出符合符合 题目要求的一项题目要求的一项. （1）已知集合 A=x|x|1，则 AB= （A）R （B）(1,3) （C）( 3, 1)(1,3)（D）2
2、，2 （2）已知向量(1, )ak，( ,2)bk，若a与b方向相反，则k等于 （A）1 （B）2 （C）2 （D）2 （3）圆 22 341xy上一点到原点的距离的最大值为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （4）下列函数中，在其定义域上是减函数的是 （A） 1 y x （B）tan()yx （C） e x y （D） 2,0 2,0 xx y xx （5）若为第三象限角，则 高三年级（数学） 第 2 页（共 4 页） （A）cos20 （B）cos20 （C）sin20（D）sin20 （6）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为lP是抛物线上的一点，过P作PQ x 轴 于Q，若3P
3、F ，则线段PQ的长为 （A）2 （B）2 （C）2 2 （D）3 2 （7）已知函数 2 ( )1 logf xxx ，则不等式 ( )0f x 的解集是 （A）(0,2) （B）(,1)(2,) （C）(1,2) （D）(0,1)(2,) （8）已知直线, a b，平面, ，/a，那么“a”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）在平面直角坐标系xOy中，将点(2,1)A绕原点O逆时针旋转90到点B，设直线 OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则sin等于 （A） 2 5 5 （B） 5 5 （C） 5 5 （D） 2 5
4、5 （10）某企业生产,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和20万支，为了扩 大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的 年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会 超过B产品的年产量（取lg20.3010） （A）2 年 （B）3年 （C）4年 （D）5年 高三年级（数学） 第 3 页（共 4 页） 第二部分第二部分（非选择非选择题，共题，共 110 分分） 二二、填空题共、填空题共 5 小题小题，每小题，每小题 5 分分，共，共 25 分分. （11）已知复数 2i 2izaa是负实数，则实数a的值为 （12）已
5、知正方形ABCD的边长为 2，点 P 满足 1 () 2 APACAD，则PA PB _ （13）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前4项的 和为 （14） 将函数 y= sin(2) 4 3x 的图象向右平移 3 个单位长度后得到函数 ( )g x的图象， 给出 下列四个结论： 3 () 82 g ； ( )g x在(0,) 2 上单调递增； ( )g x在(,) 2 2 上有两个零点； ( )g x的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 11 24 x . 其中所有正确结论的序号是_ （15）设O为坐标原点，直线xa与双曲线 22 22 :1(0,0) xy C
6、ab ab 的两条渐近线分 别交于 ,D E两点，若 ODE的面积为 4，则C的焦距的最小值为 三三、解答题解答题共共 6 小题小题，共，共 85 分分。解答。解答应应写出文字说明，写出文字说明，演演算算步骤步骤或证明过程或证明过程. （16） （本小题 14 分） A，B，C 三个班共有 180 名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部 高三年级（数学） 第 4 页（共 4 页） 分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时） ： A 班 12 13 13 18 20 21 B 班 11 11.5 12 13 15.5 17.5 20 C 班 11 13.5 15 16 16.5
7、19 21 （）试估计 B 班的学生人数； （）从这 180 名学生中任选 1 名学生，估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概 率; （）从 A 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 C 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率. （17） （本小题 14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC 中， 1 CC 平面,2ABC ACBC ACBC ， 1 3CC ，点,DE分别在棱 1 AA和棱 1 CC上，且12,ADCEM 为棱 11 AB 的中点 （）求证：DEBC； （）求证： 1 C M/平面 1 DB E；
8、 （）求二面角 1 ADEB 的余弦值 高三年级（数学） 第 5 页（共 4 页） （18） （本小题 14 分） 设 n a是公比不为 1 的等比数列， 3 4a ，再从条件、条件这两个条件中选择 一个作为已知，求： （）求 n a的公比； （）求数列2 n na的前n项和 条件： 1 a为 2 a， 3 a的等差中项；条件：设数列 n a的前n项和为 n S， 31 2SS. 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. （19） （本小题 14 分） ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B=60 . （）若sin2sinAC，3b ，求ABC的面积； （）若
9、2 sinsin 2 CA，求角 C. （20） （本小题 14 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 过点 A（-2，0）, 点 B 为其上顶点，且直线 AB 斜率为 3 2 . 高三年级（数学） 第 6 页（共 4 页） （）求椭圆 C的方程； （）设 P 为第四象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴 交于点N，求四边形ABNM的面积. （21） （本小题 15 分） 已知函数( )2)cossinf xaxxx（. （）当=0a时，求函数( )f x在点(0,(0)f处的切线方程； （）当4a ， 0, 2 x时，求函数( )f x的最大值
10、； （）当12a， , 2 2 x 时，判断函数( )f x的零点个数，并说明理由. 延庆区延庆区 2020-2021 学年度高三数学统测试卷评分参考学年度高三数学统测试卷评分参考 一、选择题一、选择题: （每小题每小题 4 分，共分，共 10 小题，共小题，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的） 1. A 2.C 3.C 4.D 5. C 6.C 7.D 8. A 9. D 10. C 二二、填空填空题题: （每小题每小题 5 分，共分，共 5 小题，共小题，共 25 分分） 111； 12. 3； 1340
11、； 14； 154 2 14 题选对一个给 3 分，有错误不给分 三、解答题： （三、解答题： （共共 6 小题，共小题，共 85 分分. 解答应写出文字说明、演算步骤解答应写出文字说明、演算步骤.） 16. （）由题意知，抽出的 20 名学生中，来自B班的学生有7名根据分层抽样 方法，B班的学生人数估计为 7 18063 20 人. 3 分 高三年级（数学） 第 7 页（共 4 页） 只有结果 63 扣 1 分 （）设从选出的 20 名学生中任选 1 人，共有 20 种选法，4 分 设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D, 其中 D 包含的选法有 3+3+4=10 种， 6 分 101
12、 () 202 P D. 7 分 由此估计从 180 名学生中任选 1 名，该生一周上网时长超过 15 小时的 概率为 1 2 . 8 分 只有结果 1 2 而无必要的文字说明和运算步骤，扣 2 分. （）从 A 班的 6 人中随机选 2 人，有 2 6 C种选法，从 C 班的 7 人中随机选 1 人， 有 1 7 C种选法， 故选法总数为： 21 67 15 7105CC种 10 分 设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时”为E， 则E中包含以下情况： （1）从 A 班选出的 2 人超 15 小时，而 C 班选出的 1 人不超 15 小时， （2）从 A 班选出的 2
13、人中恰有 1 人超 15 小时，而 C 班选出的 1 人 超 15 小时， 11 分 所以 21111 33334 21 67 9363 ( ) 15 77 C CC C C P E C C . 14 分 高三年级（数学） 第 8 页（共 4 页） 只有 21111 33334 21 67 9363 ( ) 15 77 C CC C C P E C C ，而无文字说明，扣 1 分 17.解： （） 因为平面 ,ABC 所以 1 CCBC 1 分 因为ACBC所以 11 BCACC A平面 ， 2 分 因为 DE 平面 11 ACC A，所以BCDE， 3 分 即DEBC （） 设 1 AD的中
14、点为N，连接MN，则MN/ 1 B D， 4 分 连接 1 C N，因为 1 C E/ND且 1 C E=ND， 所以 1 C NDE是平行四边形， 5 分 所以 1 C N/DE， 6 分 所以平面 1 C MN/平面 1 B ED 7 分 所以 1 C M/平面 1 DB E 8 分 （）以为原点，分别以、的方向为轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如 图） ， 9 分 1 CC C CA CB 1 CC xy z 高三年级（数学） 第 9 页（共 4 页） 可得、.依题意，0,2,0CB 是平面ADE的一个法向量， 10 分 ， 设为平面的法向量， 则，即， 11 分 不妨设，可得
15、12 分 26 cos, 626 CBn CB n CB n ， 13 分 因为二面角 1 ADEB的平面角是钝角, 14 分 所以，二面角 1 ADEB的余弦值为 6 6 . 结果为 6 6 扣一分 18. 解：选 （）因为 1 a为 23 aa、的等差中项， 所以 123 2aaa 2 分 所以 2 111 2aa qa q ， 3 分 0,0,0C0,2,0B 1 0,2,3B2,0,1D0,0,2E 1 0,2,1EB 2,0, 1ED , ,nx y z 1 DB E 1 0 0 n EB n ED 20 20 yz xz 1x 1, 1,2n 高三年级（数学） 第 10 页（共 4
16、 页） 因为 1 0a 4 分 所以 2 2qq 所以 2q ， 1q （舍） 6 分 不能只看结果；没有 1 0a 扣一分，没舍 1q 扣一分 选 （）因为 31 2SS，所以 123123 2aaaaaa，2 分 因为 3 4a ，所以 2 2a ，所以 3 2 2 a q a 6 分 （）设数列2 n na的前n项和为 n S，因为数列2 n是以2为首项， 2为公差的等差数列， 8 分 等比数列 n a的首项 3 1 2 4 1 4 a a q ， 9 分 所以 (22 )1(1 ( 2) ) 21 ( 2) n n n n S 13 分 1 ( 2) (1) 3 n n n 14 分
17、没有证明或指明等差数列扣 2 分。 19.解： 高三年级（数学） 第 11 页（共 4 页） （）在ABC中，因为 sinsin ac AC ，所以 sin sin2sin aC AC c ，1 分 所以2ac， 2 分 由余弦定理可得 2222 2cos6033bacacc ， 3 分 1,2,ca 4 分 所以ABC的面积为 1133 sin2 1 2222 SacB ； 6 分 （）在ABC中，因为120A C， 7 分 0 sinsinsinsin(120)CACC， 8 分 31132 sincossinsincossin(60 ) 22222 CCCCCC ，10 分 0120 ,
18、606060CC， 12 分 6045 ,105CC .14 分 直接写2ac扣一分，无角 C 范围叙述的扣 2 分 高三年级（数学） 第 12 页（共 4 页） 20.解： （）由题意: 设直线AB： 3 0(2) 2 yx，. 1 分 令0 x，则3y ，于是(0, 3)B，. 2 分 所以2,3ab，. 4 分 椭圆方程为 22 1 43 xy . . 5 分 （）设 0000 (,)(0,0)P xyxy，且 22 00 3412xy， 6 分 又( 2,0), (0, 3)AB，所以直线 00 02 : 02 yx AP yx ， 7 分 令 0 0 2 0, 2 M y xy x
19、， 8 分 则 000 00 232 32 33 22 M yxy BMy xx ， 9 分 直线 0 0 30 : 03 yx BP xy ，令 0 0 3 0, 3 N x yx y ， 10 分 则 000 00 322 33 22 33 N xyx ANx yy ， 11 分 所以四边形ABNM的面积为 12 分 0000 0 0 32 3222 331 223 xyyx xy 1 2 S 高三年级（数学） 第 13 页（共 4 页） 22 000000 0000 34124 3128 3 2(322 3) xyx yxy x yxy 0000 0000 4 3(322 3) 2 3
20、2(322 3) x yxy x yxy ， 14 分 所以四边形ABNM的面积为2 3. 结果不对最后 2 分全扣 21.解： （）当0a 时，函数( )2cossinf xxxx，(0)2f，1 分 ( )2sinsincos3sincosfxxxxxxxx ， 2 分 切线的斜率(0)0k f ， 3 分 曲线)(xfy 在原点处的切线方程为2y 4 分 （）( )(2)( sin )sincos(3)sincosfxaxxxxaxxx，5 分 令( )(3)sincosg xaxxx， 则( )(3)coscossin(4)cossing xaxxxxaxxx， 6 分 当，时，( )
21、0g x，所以( )g x在0, 2 上单调递增，7 分 4a 0, 2 x 高三年级（数学） 第 14 页（共 4 页） 所以( )(0)0g xg，即( )0fx，仅在0 x处( )0fx，其余各处( )0fx， 所以( )f x在0, 2 上单调递增， 8 分 所以当 2 x 时，( )f x的最大值为() 22 f . 9 分 （）由（）知，( )(3)sincosfxaxxx， 因为12a， 当时，( )0fx， 仅在0 x处( )0fx， 其余各处( )0fx， 所以( )f x在0, 2 上单调递减， 10 分 因为(0)20,()0 22 faf ， 11 分 所以存在唯一 0 0, 2 x ，使得 0 ()0f x， 即( )f x在0, 2 上有且只有一个零点， 12 分 因为()(2)cos()sin()(2)sin( )fxaxxxaxxf x，13 分 所以( )f x是偶函数，其图像关于y轴对称， 所以在,0 2 上有且只有一个零点， 14 分 所以( )f x在, 2 2 上有 2 个零点. 15 分 0, 2 x
