四川省雅安市2020年中考数学试题(解析版)

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1、2020 年四川省雅安市中考数学试卷年四川省雅安市中考数学试卷 一选择题:本大题共一选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 3分,共分,共 36 分不需写出解答过程,请把最后结果填分不需写出解答过程,请把最后结果填 在题后括号内在题后括号内 1. 2020 的相反数是( ) A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用相反数的定义得出答案 【详解】解:2020的相反数是:2020 故选:B 【点睛】此题主要考查了相反数,正确把握相反数的定义是解题关键 2. 不等式组 2 1 x x 的解集在数轴上表示正确的是( )

2、A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先得出不等式组的解集,再找到对应的数轴表示即可 【详解】解:由题意可得: 不等式组的解集为:-2x1, 在数轴上表示为: 故选 A. 【点睛】 此题主要考查了不等式组解集在数轴上的表示方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来 (, 向右画;,向左画) ,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不 等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”,“”要用实心圆点表 示;“”,“”要用空心圆点表示 3. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成,它的俯视图和左视图如图所示,那么组成该几何体所

3、需小 正方体的个数最少为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 在“俯视打地基”的前提下, 结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方 (第 2层) 至少还有 1个正方体, 据此可得答案. 【详解】解:由俯视图与左视图知,该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示: 所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为 5, 故选:B 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体,解题的关键是掌握口诀“俯视打地基,主视疯狂盖,左视拆违 章” 4. 下列式子运算正确的是( ) A. 2 235xxx B. ()xyxy C. 235 xxx? D. 44 xxx 【答案

4、】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项、去括号、同底数幂的乘法进行计算即可求解 【详解】解:A、235xxx,故选项错误; B、( )xyxy ,故选项错误; C、 235 xxx?,故选项正确; D、 44 xxx和 x 不是同类项,不能合并,故选项错误; 故选 C. 【点睛】本题考察了合并同类项、去括号、同底数幂的乘法,要掌握运算法则. 5. 下列四个选项中不是命题的是( ) A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果ab ac,那么bc 【答案】B 【解析】 【分析】 判断一件事情语句,叫做命题根据定义判断即可 【详解】解:由题意

5、可知, A、对顶角相等,故选项是命题; B、过直线外一点作直线的平行线,是一个动作,故选项不是命题; C、三角形任意两边之和大于第三边,故选项是命题; D、如果abac,那么bc ,故选项是命题; 故选:B 【点睛】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为 假命题;经过推理论证的真命题称为定理注意:疑问句与作图语句都不是命题 6. 已知2|2 | 0aba ,则2ab的值是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案 【详解】解:2|2 | 0aba , a-2=0,

6、b-2a=0, 解得:a=2,b=4, 故 a+2b=10 故选:D 【点睛】此题主要考查了非负数的性质,正确得出 a,b的值是解题关键 7. 若分式 2 1 1 x x 的值为 0,则 x的值为( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为 0的条件,分子为 0分母不为 0列式进行计算即可得. 【详解】分式 2 x1 x1 的值为零, 2 10 10 x x , 解得:x=1, 故选 B 【点睛】 本题考查了分式值为 0 的条件, 熟知分式值为 0 的条件是分子为 0分母不为 0 是解题的关 键. 8. 在课外活动中,有 10名同学进行了投篮比赛,

7、限每人投 10次,投中次数与人数如下表: 投中次数 5 7 8 9 10 人数 2 3 3 1 1 则这 10人投中次数的平均数和中位数分别是( ) A. 3.97, B. 6.47.5, C. 7.48 , D. 7.47.5, 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得 【详解】解:这 10 人投中次数的平均数为 5 27 38 39 10 10 =7.4, 中位数为(7+8)2=7.5, 故选 D. 【点睛】本题主要考查中位数,解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义 9. 如图,在Rt ACB中,900.5CsinB, ,若6AC ,则BC的长为( )

8、A. 8 B. 12 C. 6 3 D. 12 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定义得出 AB 的长,再用勾股定理求出 BC. 【详解】解:sinB= AC AB =0.5, AB=2AC, AC=6, AB=12, BC= ABAC =6 3, 故选 C. 【点睛】本题考查了正弦的定义,以及勾股定理,解题的关键是先求出 AB的长. 10. 如果关于x的一元二次方程 2 310kxx 有两个实数根,那么k的取值范围是( ) A. 9 4 k B. 9 4 k且0k C. 9 4 k且0k D. 9 4 k 【答案】C 【解析】 【分析】 根据关于 x 的一元二次方程 kx2-3x+

9、1=0 有两个实数根,知=(-3)2-4k10 且 k0,解之可得 【详解】解:关于 x的一元二次方程 kx2-3x+1=0有两个实数根, =(-3)2-4k10且 k0, 解得 k 9 4 且 k0, 故选:C 【点睛】 本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义, 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的根与=b2-4ac 有如下关系:当0 时,方程有两个不相等的两个实数根;当=0 时,方程有两个相等的两个实数 根;当0 时,方程无实数根上面的结论反过来也成立 11. 如图,ABC内接于圆,90ACB, 过点C的切线交AB的延长线于点 28PP , 则CAB ( ) A 62 B.

10、 31 C. 28 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OC,根据切线的性质得出OCP=90,再由P=28得出COP,最后根据外角的性质得出CAB. 【详解】解:连接 OC, CP 与圆 O相切, OCCP, ACB=90, AB为直径, P=28, COP=180-90-28=62, 而 OC=OA, OCA=OAC=2CAB=COP, 即CAB=31, 故选 B. 【点睛】本题考查了切线的性质,三角形内角和,外角,解题的关键是根据切线的性质得出COP. 12. 已知,等边三角形ABC和正方形DEFG边长相等,按如图所示的位置摆放(C点与 E点重合) ,点 BCF、 、共线,A

11、BC沿BF方向匀速运动,直到 B点与 F点重合设运动时间为t,运动过程中两图 形重叠部分的面积为S,则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分点 C在 EF中点的左侧、点 C在 EF中点的右侧、点 C在 F点右侧且 B在 EF中点的左侧,点 C在 F点右 侧且 B在 EF中点的右侧四种情况,分别求出函数的表达式即可求解 【详解】解:设等边三角形 ABC和正方形 DEFG 的边长都为 a,运动速度为 1, 当点 C在 EF的中点左侧时, 设 AC交 DE 于点 H, 则 CE=t,HE=ECtanACB=t 3=3t, 则 S=S

12、CEH= 1 2 CE HE= 1 2 t 3t= 2 3 2 t, 可知图象为开口向上的二次函数, 当点 C在 EF的中点右侧时,设 AB与 DE 交于点 M, 则 EC=t,BE=a-t,ME=3BE3(a t)=-, S= 2 222 3333 3 4224 aattata , 可知图象为开口向下的二次函数; 当点 C在 F点右侧且 B 在 EF中点的左侧时, S= 2 222 3333 3 4224 atatata , 可知图象为开口向下二次函数; 当点 C在 F点右侧且 B 在 EF中点的右侧时, 此时 BF=2a-t,MF=3BF3(2at)=-, 222 333 S(2at)t2

13、 3att 222 =-=-+, 可知图象为开口向上的二次函数; 故选:A 【点睛】本题考查的是动点图象问题,此类问题关键是:弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进 而求解 二填空题:本大题共二填空题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 15 分不需写出解答过程,请把最后结果填分不需写出解答过程,请把最后结果填 在题中横线上在题中横线上 13. 如图,/a b c,与ab,都相交,150 ,则2 _ 【答案】130 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得1=3,再用补角的定义得出2. 【详解】解:ab, 1=3=50, 2=180-50=130, 故答案为 130.

14、 【点睛】本题考查了平行线的性质和补角的定义,解题的关键掌握两直线平行,同位角相等. 14. 如果用3 表示温度升高 3 摄氏度,那么温度降低 2摄氏度可表示为_ 【答案】-2 【解析】 【分析】 直接利用正负数的意义分析得出答案 【详解】解:如果用+3表示温度升高 3 摄氏度, 那么温度降低 2 摄氏度可表示为:-2 故答案为:-2 【点睛】此题主要考查了正数和负数,正确理解正负数的意义是解题关键 15. 从 1 ,1,1,2,5 2 中任取一数作为a,使抛物线 2 yaxbxc的开口向上的概率为_ 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 使抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上的条件是 a

15、0,据此从所列 5 个数中找到符合此条件的结果,再利用概率 公式求解可得 【详解】解:在所列的 5个数中任取一个数有 5 种等可能结果,其中使抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上的有 3 种结果, 使抛物线 y=ax2+bx+c的开口向上的概率为 3 5 , 故答案为: 3 5 . 【点睛】本题考查概率公式的计算,根据题意正确列出概率公式是解题的关键 16. 若 2 2222 560 xyxy,则 22 xy_ 【答案】6 【解析】 【分析】 将 22 xy 看作一个整体,然后采用十字相乘法进行因式分解,可解出答案. 【详解】解: 2 2222 560 xyxy 2222 106xyxy

16、22=6 xy或 22= 1 xy 又 22 0 xy, 22=6 xy 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程,将 22 xy 看作一个整体,当作一个未知数看待是关键, 最后还要注意 22 xy 是非负数,舍去负根. 17. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线 ACBD、交于点O若24ADBC,则 22 ABCD_ 【答案】20 【解析】 【分析】 由垂美四边形的定义可得 ACBD,再利用勾股定理得到 AD2+BC2=AB2+CD2,从而求解. 【详解】四边形 ABCD是垂美四边形, ACBD, AOD=AOB=BOC=COD=90 ,

17、由勾股定理得,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2, AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2, AD2+BC2=AB2+CD2, AD=2,BC=4, 22 ABCDAD2+BC2=22+42=20, 故答案为:20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用,解题的关键是理解新定义,并熟练运用勾股定理. 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 7 个小题,共个小题,共 69 分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理分)解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理 过程过程 18. (1)计算: 2 20200 2 ( 1)(1) 3 ; (2)先化简 22 2 1 1 121

18、 xx x xxx ,再从101, ,中选择合适的x值代入求值 【答案】 (1)13 4 ; (2) 1 1x ,-1 【解析】 【分析】 (1)先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂,再计算乘法,最后计算加法即可得; (2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再选取使分式有意义的 x的值代入计算可得 【详解】解: (1)原式=1+19 4 =1+ 9 4 =13 4 ; (2)原式= 22 2 111 11 1 xxxx xx x = 11 11 x xx = 1 1x , (x+1) (x-1)0, x1, 取 x=0, 则原式=-1 【点睛】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值

19、,解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的 规定及分式的混合运算顺序和运算法则 19. 从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩 (满分为 120分) , 制成如图的统计直方图, 已知成绩在 8090 分(含 80 分,不含 90分)的学生为抽查人数的15%,且规定成绩大于或等于 100分为 优秀 (1)求被抽查学生人数及成绩在 100110分的学生人数m; (2)在被抽查的学生中任意抽取 1名学生,则这名学生成绩为优秀的概率; (3)若该校初三年级共有 300 名学生,请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数 【答案】 (1)5; (2) 2 5 ; (3)120 【解

20、析】 【分析】 (1) 用成绩在 8090 分 (含 80 分, 不含 90分) 的学生有人数除以抽查人数的百分比可得被调查的总人数, 再根据各分数段人数之和等于总人数可得 m的值; (2)用成绩为优秀的人数除以被调查的总人数即可得; (3)用总人数乘以样本中数学成绩为优秀的人数所占比例即可得 【详解】解: (1)成绩在 8090 分(含 80分,不含 90分)的学生有 3 人,占抽查人数的 15%, 被抽查的学生人数为 3 15%=20(人) , 则成绩在 100110 分的学生人数 m=20-(2+3+7+3)=5; (2)这名学生成绩为优秀的概率为 532 205 ; (3)估计本次检测

21、中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为 3002 5 =120人. 【点睛】本题主要考查概率公式,解题的关键是根据 8090 分的学生人数及其所占百分比求出总人数、概 率公式及样本估计总体思想的运用 20. 某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念,开展植树活动如果每人种 3棵,则剩 86棵;如果 每人种 5棵,则最后一人有树种但不足 3 棵请问该班有多少学生?本次一共种植多少棵树?(请用一元一 次不等式组解答) 【答案】共有 45名学生,一共种植 221棵树. 【解析】 【分析】 设共有 x 人,根据如果每人种 3棵,则剩 86 棵;如果每人种 5棵,则最后一人有树种但不足 3棵,可列出 不

22、等式组 【详解】解:设共有 x名学生,依题意有: 38651 386513 xx xx , 解得:44x45.5, x为整数, x=45, 3x+86=221 答:共有 45名学生,一共种植 221棵树. 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用,理解题意的能力,设出人数就能表示出植树棵数,然后根据 每人种 5棵,则最后一人有树种但不足 3 棵,可列出不等式组 21. 如图,已知边长为 10的正方形ABCDE,是BC边上一动点(与BC、不重合) ,连结AEG,是BC 延长线上的点,过点E作AE的垂线交DCG的角平分线于点F,若FGBG (1)求证:ABEEGF; (2)若2EC ,求CEF的面积

23、; (3)请直接写出EC为何值时,CEF的面积最大 【答案】 (1)见解析; (2)8; (3)5 【解析】 【分析】 (1)先判断出 CG=FG,再利用同角的余角相等,判断出BAE=FEG,进而得出ABEEGF,即可 得出结论; (2)先求出 BE=8,进而表示出 EG=2+FG,由BAEGEF,得出 ABBE EGFG ,求出 FG,最后用三角 形面积公式即可得出结论; (3)同(2)的方法,即可得出 SECF= 2125 5 22 x,即可得出结论. 【详解】解: (1)四边形 ABCD 是正方形, DCG=90 , CF平分DCG, FCG= 1 2 DCG=45 , G=90 , G

24、CF=CFG=45 , FG=CG, 四边形 ABCD是正方形,EFAE, B=G=AEF=90 , BAE+AEB=90 ,AEB+FEG=90 , BAE=FEG, B=G=90 , BAEGEF; (2)AB=BC=10,CE=2, BE=8, FG=CG, EG=CE+CG=2+FG, 由(1)知,BAEGEF, ABBE EGFG , 108 2FGFG , FG=8, SECF= 1 2 CEFG= 1 2 2 8=8; (3)设 CE=x,则 BE=10-x, EG=CE+CG=x+FG, 由(1)知,BAEGEF, ABBE EGFG , 1010 x xFGFG , FG=1

25、0-x, SECF= 1 2 CE FG= 1 2 x(10-x)= 2125 5 22 x, 当 x=5时,SECF最大= 25 2 , 当 EC=5 时,CEF的面积最大. 【点睛】此题是相似形综合题,主要考查了正方形的性质,角平分线,相似三角形的判定和性质,三角形 的面积公式,判断出BAEGEF是解本题的关键 22. 已知,如图,一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,k0)的图象与 x 轴、y轴分别交于 A、B两点,且与反 比例函数 n y x (n为常数且 n0) 的图象在第二象限交于点 CCDx轴, 垂直为D, 若OB=2OA=3OD=6 (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (

26、2)求两函数图象的另一个交点坐标; (3)直接写出不等式;kx+b n x 的解集 【答案】 (1)y=2x+6 20 y x ;(2) 另一个交点坐标为(5,4)(3) 2x0或 x5 【解析】 【分析】 (1)先求出 A、B、C坐标,再利用待定系数法确定函数解析式 (2)两个函数的解析式作为方程组,解方程组即可解决问题 (3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即可解决问题,注意等号 【详解】 (1)OB=2OA=3OD=6, OB=6,OA=3,OD=2, CDOA, DCOB, OBAO CDAD , 63 5OD , CD=10, 点 C(2,10) ,B(0,6) ,A(

27、3,0) , 6 30 b kb 解得: 2 6 k b , 一次函数的表达式为 y=2x+6 反比例函数的表达式 n y x 经过点 C(2,10) , n=20, 反比例函数的表达式为 20 y x ; (2)由 26 20 yx y x , 解得 2 10 x y 或 5 4 x y , 故另一个交点坐标为(5,4) ; (3)由图象可知 n kxb x 的解集为:2x0 或 x5 23. 如图,四边形ABCD内接于圆,60ABC,对角线BD平分ADC (1)求证:ABC是等边三角形; (2)过点B作/BE CD交DA的延长线于点E,若23ADDC,求BDE的面积 【答案】 (1)见解析

28、; (2) 25 3 4 ; 【解析】 【分析】 (1)根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断; (2)过点 A 作 AECD,垂足为点 E,过点 B 作 BFAC,垂足为点 F根据 S四边形ABCD=SABC+SACD, 分别求出ABC,ACD的面积,即可求得四边形 ABCD 的面积,然后通过证得EABDCB(AAS) , 即可求得BDE 的面积=四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 . 【详解】解: (1)证明:四边形 ABCD内接于O ABC+ADC=180 , ABC=60 , ADC=120 , DB平分ADC, ADB=CDB=60 , ACB=ADB=60 ,BAC=C

29、DB=60 , ABC=BCA=BAC, ABC是等边三角形; (2)过点 A作 AMCD,垂足为点 M,过点 B作 BNAC,垂足为点 N AMD=90 ADC=120 , ADM=60 , DAM=30 , DM= 1 2 AD=1,AM= 22 3ADDM , CD=3, CM=CD+DE=1+3=4, SACD= 1 2 CD-AM= 1 2 33= 3 3 2 , 在 RtAMC中,AMD=90 , AC= 22 19AMCM , ABC是等边三角形, AB=BC=AC= 19, BN= 357 22 BC , SABC= 1 2 19 57 2 =19 3 4 , 四边形 ABCD

30、的面积=19 3 4 + 3 3 2 = 25 3 4 , BECD, E+ADC=180 , ADC=120 , E=60 , E=BDC, 四边形 ABCD内接于O, EAB=BCD, 在EAB和DCB 中, EBDC EABDCB ABBC , EABDCB(AAS) , BDE的面积=四边形 ABCD 的面积= 25 3 4 . 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理,三角形的面积等知识,解 题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型 24. 已知二次函数 2 0yaxbxc a()的图象与x轴交于10AB,两点,与y轴交于点

31、(0, 3)C , (1)求二次函数的表达式及A点坐标; (2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点,求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标; (3)M是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N使以MNBO、 、 、为顶点的 四边形是平行四边形?若有,请写出点N的坐标(不写求解过程) 【答案】 (1) 2 23yxx,A(-3,0) ; (2) ( 3 2 , 15 4 ) ; (3) (-2,-3)或(0,-3)或(2,-5). 【解析】 【分析】 (1)根据点 C 坐标求出 c,再利用两根之积求出点 A的横坐标,再利用待定系数法求解; (2)根据题意得出当点D到直线AC

32、的距离取得最大值时,求出 AC 表达式,将直线 AC向下平移 m(m 0)个单位,得到直线 l,当直线 l与二次函数图像只有一个交点时,该交点为点 D,此时点 D到直线 AC 的距离最大,联立直线 l和二次函数表达式,得到方程 2 30 xxm ,当方程有两个相同的实数根时, 求出 m的值,从而得到点 D的坐标; (3)分当 OB是平行四边形的边和 OB 是平行四边形的对角线时,利用平行四边形的性质求出点 N 的坐标 即可. 【详解】解: (1)二次函数 2 0yaxbxc a 图像与x轴的交点为 B(1,0) ,与y轴交于点(0, 3)C, 将 C代入,得:c=-3,则 2 3yaxbx,

33、方程 2 30axbx对应的两根之积为-3, 又 B(1,0) , 可得 A(-3,0) ,将 A,B两点代入二次函数,得: 03 0933 ab ab , 解得: 1 2 a b , 二次函数表达式为: 2 23yxx; (2)当点D到直线AC的距离取得最大值时, A(-3,0) ,( 0 , 3 )C, 设直线 AC的表达式为:y=kx+n, ,将 A和 C代入, 3 3 okn n ,解得: 1 3 k n , 直线 AC的表达式为 y=-x-3,将直线 AC向下平移 m(m0)个单位,得到直线 l, 当直线 l与二次函数图像只有一个交点时,该交点为点 D,此时点 D到直线 AC 的距离

34、最大, 此时直线 l的表达式为 y=-x-3-m, 联立: 2 23 3 yxx yxm ,得: 2 30 xxm , 令= 2 34 10m ,解得:m= 9 4 , 则解方程: 2 9 30 4 xx,得 x= 3 2 , 点 D的坐标为( 3 2 , 15 4 ) ; (3)M在抛物线对称轴上,设 M坐标为(-1,t) , 当 OB为平行四边形的边时, 如图 1,可知 MN和 OB 平行且相等, 点 N(-2,t)或(0,t) ,代入抛物线表达式得: 解得:t=-3, N(-2,-3)或(0,-3) ; 当 OB为平行四边形对角线时, 线段 OB的中点为( 1 2 ,0) ,对角线 MN的中点也为( 1 2 ,0) , M坐标为(-1,t) , 可得点 N(2,-t) ,代入抛物线表达式得: 4+4-3=-t, 解得:t=-5, 点 N的坐标为(2,-5) , 综上:以MNBO、 、 、为顶点的四边形是平行四边形时,点 N 的坐标为(-2,-3)或(0,-3)或(2,-5). 【点睛】本题是二次函数综合题,考查了求二次函数表达式,二次函数与一元二次方程的关系,平行四边 形的性质,最值问题,解题的关键是要结合函数图像,得到结论.

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