1、2020 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1据统计，全国共有 346 支医疗队，将近 42600 名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫 队伍，将 42600 用科学记数法表示为（ ） A0.426105 B4.26104 C42.6103 D426102 2计算 a3 （a2）3结果是（ ） Aa8 Ba9 Ca9 Da8 3下列的立体图形中，有 4 个面的是（ ） A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱 4下列整数中，与 6最接近的是（ ） A2 B3 C4 D5 5 孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中
2、有一道题，原文是： “今有木，不知长短， 引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去 量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头 长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确的是（ ） A B C D 6如图，矩形 ABCD 中，AB3，AD4，点 E 在边 AD 上，且 AE：ED1：3动点 P 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止过点 E 作 EFPE 交射线 BC 于点 F，设 M 是线 段 EF 的中点，则在点 P 运动的整个过程中，点 M 运动路线的长为（ ） A3 B4 C
3、D5 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 7计算：|5| ； 8若分式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 9计算的结果是 10设 x1、x2是方程 x2+mx50 的两个根，且 x1+x2x1x21，则 m 11对于函数 y，当 y1 时，x 的取值范围是 12将面积为 3cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是 120，则该圆锥底面 圆的半径为 cm 13如图，1，2，3 是五边形 ABCDE 的 3 个外角，若A+B210，则1+2+ 3 14 如图， ABCD 的两边 AB、 BC 分别切O 于点 A、 C， 若B50， 则DAE 15已知二次函数 yax2+bx
4、+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 若点 P（m22，y1） 、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则 y1 y2 （选填“” 、 “” 或“” ） 16在O 中，AB 是直径，AB4，C 是圆上除 A、B 外的一点，D、E 分别是、的中 点，M 是弦 DE 的中点，则 CM 的取值范围是 三解答题三解答题 17解不等式组，并写出它的所有负整数解 18先化简，再求值： （1）（a2+） ，其中 a+1 19.如图，在ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连 接 BD、EC （1）求
5、证：四边形 BECD 是平行四边形； （2）若A40，则当BOD 时，四边形 BECD 是矩形 20.某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七八年级学生人数相同） ，某周从这两个 年级学生中分别随机抽查了 50 名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调 查情况得到如下统计图： （1）根据上述统计图完成下表中的相关统计量： 年级 平均训练时间的中位数 平时训练时间的方差 七年级 20.8 八年级 27 （2）请你利用上述统计图，对七八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价 21.校园歌手大赛中甲乙丙 3 名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序 （1）求甲第一个出场的概率；
6、 （2）求甲比乙先出场的概率 22.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个 月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的 月平均增长率相同求进馆人次的月平均增长率 23.甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原 速行驶到 B 地，乙车立即以原速原路返回到 B 地甲、乙两车距 B 地的路程 y（km）与 各自行驶的时间 x（h）之间的关系如图所示 （1）m ，n ； （2）求乙车距 B 地的路程 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）当甲车到达 B
7、 地时，求乙车距 B 地的路程 24.如图，某建筑物 CD 高 72m，它的前面有一座小山，其斜坡 AB 的坡角为 45（即ABE 45） 为了测量山顶 A 的高度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分 别为 、 已知 tan2， tan4， 求山顶 A 的高度 AE （C、 B、 E、 F 在同一水平线上） 25.已知函数 ym（x1）2+2（x1） （m 为常数） （1）求证：无论 m 为何值，该函数的图象都经过 x 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求 m 的值 26.如图，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，E 是 AC 上一点
8、，O 经过点 C、D、E，分别与 AD、BC 相交于点 F、G，连接 ED、EF、EG，延长 GE 交 AD 于点 H （1）求证HEFDEC； （2）若 AB6，BC9， 当HEF 是等腰三角形时，求 CE 的长； 当O 与 AB 相切时，则 CE 的长为 27.我们把四个顶点都在三角形的三边上的矩形叫做三角形的内接矩形，四个顶点都在三角 形的三边上的正方形叫做三角形的内接正方形 （1） 如图， 矩形 DEFG， 点 D 在边 AB 上， 点 E、 F 在边 BC 上， 画出一个与矩形 DEFG 相似的内接矩形（画图工具不限，保留画图痕迹） ； （2）若一个ABC 中恰有两个内接正方形，则这
9、个三角形一定是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D以上三种情况都有可能 （3） 如图， 在ABC 中， BC4， BC 边上的高 AD3， AD 与ABC 的内接矩形 EPQF 的 EF 边相交于点 G，以 EF 为斜边向下作 RtHEF，使 HEHF，求EFH 与四边形 EPQF 重合部分的面积的最大值； （4）若在一个面积为 16 的三角形内画出一个面积最大的内接正方形，则这个正方形的 边长为 ，若又要使得三角形周长最小，则三角形三边长为 2020 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题
10、（共 6 小题）小题） 1据统计，全国共有 346 支医疗队，将近 42600 名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫 队伍，将 42600 用科学记数法表示为（ ） A0.426105 B4.26104 C42.6103 D426102 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【解答】解：将数据 42600 用科学记数法可表示为：4.26104 故选：B 2计算 a3 （a2）3结果是（ ） Aa8 Ba9 Ca9 Da8 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘
11、方的运算法则计算即可要注意运算顺序为先算 乘方，再算乘法 【解答】解：原式a3 （a）3 2a6+3a9 故选：C 3下列的立体图形中，有 4 个面的是（ ） A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱 【分析】根据棱柱和棱锥的组成情况，分别求得各立体图形的面数，再进行判断 【解答】解：A、三棱锥有一个底面，三个侧面组成，共 4 个面 B、三棱柱有二个底面，三个侧面组成，共 5 个面 C、四棱锥有一个底面，四个侧面组成，共 5 个面 D、四棱柱有二个底面，四个侧面组成，共 6 个面 故有 4 个面的是三棱锥 故选：A 4下列整数中，与 6最接近的是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】用逼近法即
12、可进行无理数大小的估算 【解答】解：91116， 34， 3.5212.2511， 33.5 2.563 与 6最接近的是 3 故选：B 5 孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是： “今有木，不知长短， 引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”意思是：用一根绳子去 量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1 尺，问木头 长多少尺？可设木头长为 x 尺，绳子长为 y 尺，则所列方程组正确的是（ ） A B C D 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A 6如图，矩形 ABCD 中
13、，AB3，AD4，点 E 在边 AD 上，且 AE：ED1：3动点 P 从点 A 出发，沿 AB 运动到点 B 停止过点 E 作 EFPE 交射线 BC 于点 F，设 M 是线 段 EF 的中点，则在点 P 运动的整个过程中，点 M 运动路线的长为（ ） A3 B4 C D5 【分析】如图，当 P 与 A 重合时，点 F 与 K 重合，此时点 M 在 H 处，当点 P 与 B 重合 时，点 F 与 G 重合，点 M 在 N 处，点 M 的运动轨迹是线段 HN求出 KG 的长即可解决 问题 【解答】解：如图， 当 P 与 A 重合时，点 F 与 K 重合，此时点 M 在 H 处，当点 P 与 B
14、 重合时，点 F 与 G 重 合，点 M 在 N 处，点 M 的运动轨迹是线段 HN AD4，AE：ED1：3， AE1，DE3， 在 RtAEB 中，AE1，AB3， BE， ADBC， AEBEBG， 又ABEG90， AEBEBG， ， BG10， BKAE1， KGBGBK9， HNKG， 点 M 的运动路径的长为 ， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 7计算：|5| 5 ； 5 【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案 【解答】解：|5|5； 5 故答案为：5，5 8若分式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【分析】根据分式有意
15、义，分母不等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：由题意得 x10， 解得 x1 故答案为：x1 9计算的结果是 4 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式2 26 4 故答案为：4 10设 x1、x2是方程 x2+mx50 的两个根，且 x1+x2x1x21，则 m 4 【分析】利用根与系数的关系可得出 x1+x2m，x1x25，结合 x1+x2x1x21，即 可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值 【解答】解：x1、x2是方程 x2+mx50 的两个根， x1+x2m，x1x25 x1+x2x1x21，即m（5）1， m4 故答案为：4 11对于函
16、数 y，当 y1 时，x 的取值范围是 x2 或 x0 【分析】根据题意列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：函数 y中 y1， 当 x0 时，1，即 x2； 当 x0 时，1，即 x2，故此时 x0 故答案为：x2 或 x0 12将面积为 3cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是 120，则该圆锥底面 圆的半径为 1 cm 【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得 出答案 【解答】解：设圆锥的母线长为 Rcm，底面圆的半径为 rcm， 面积为 3cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是 120， 3， 解得：R3，
17、由题意可得：2r， 解得：r1 故答案为：1 13如图，1，2，3 是五边形 ABCDE 的 3 个外角，若A+B210，则1+2+ 3 210 【分析】直接利用多边形内角和定理以及多边形外角的性质分析得出答案 【解答】解：五边形 ABCDE，A+B210， AED+EDC+BCD540210330， 又AED+EDC+BCD+1+2+3540， 1+2+3540330210 故答案为：210 14 如图， ABCD 的两边 AB、 BC 分别切O 于点 A、 C， 若B50， 则DAE 15 【分析】连接 OA、OC，如图，根据切线的性质得OABOCB90，再利用四边 形内角和计算出AOC1
18、30，则利用圆周角定理得到AEC65，接着根据平行 四边形的性质得到D50，然后利用三角形外角性质计算DAE 的度数 【解答】解：连接 OA、OC，如图， AB、BC 分别切O 于点 A、C， OAAB，OCBC， OABOCB90， AOC180B18050130， AECAOC65， 四边形 ABCD 为平行四边形， DB50， AECDAE+D， DAE655015 故答案为 15 15已知二次函数 yax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 若点 P（m22，y1） 、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则 y1 y
19、2 （选填“” 、 “” 或“” ） 【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线 x，且抛物线开口向上，然后根 据两点到对称轴的距离进行判断即可 【解答】解：x0 时，y6；x1 时，y6， 抛物线的对称轴为直线 x，且抛物线开口向下， 点 P（m22，y1） 、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m22|m2+4|， y1y2， 故答案为 16在O 中，AB 是直径，AB4，C 是圆上除 A、B 外的一点，D、E 分别是、的中 点，M 是弦 DE 的中点，则 CM 的取值范围是 2CM 【分析】如图，连接 OD，OE，OC，OM首先证明DOE90，求出 DE，OM 即可 解决问题 【解答
20、】解：如图，连接 OD，OE，OC，OM ， AODDOC，EOCEOB， AB 是直径， AOB180， DOEDOC+EOC（AOC+BOC）90， ODOE2， DE2， DMME， OMDE， OC2， 2CM2+， 故答案为 2CM 三解答题三解答题 17解不等式组，并写出它的所有负整数解 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 4（x+1）7x+13，得：x3， 解不等式 x4，得：x2， 则不等式组的解集为3x2， 所以不等式组的所有负整数解为3、2、1 18先化简，再求值： （1
21、）（a2+） ，其中 a+1 【分析】先算括号内的加减，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可 【解答】解：原式 ， 当 a+1 时，原式 19.如图，在ABCD 中，点 O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E，连 接 BD、EC （1）求证：四边形 BECD 是平行四边形； （2）若A40，则当BOD 80 时，四边形 BECD 是矩形 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质；LC：矩形的 判定 【专题】11：计算题；14：证明题；555：多边形与平行四边形；556：矩形 菱形 正方 形；66：运算能力；67：推理能力 【分析】
22、（1）由 AAS 证明BOECOD，得出 OEOD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出BCDA40，由三角形的外角性质求出ODC BCD，得出 OCOD，证出 DEBC，即可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 为平行四边形， ABDC，ABCD， OEBODC， 又O 为 BC 的中点， BOCO， 在BOE 和COD 中， ， BOECOD（AAS） ； OEOD， 四边形 BECD 是平行四边形； （2）解：若A40，则当BOD80时，四边形 BECD 是矩形理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形， BCDA40， BODBCD+ODC， ODC804040BC
23、D， OCOD， BOCO，ODOE， DEBC， 四边形 BECD 是平行四边形， 四边形 BECD 是矩形； 故答案为：80 20.某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七八年级学生人数相同） ，某周从这两个 年级学生中分别随机抽查了 50 名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调 查情况得到如下统计图： （1）根据上述统计图完成下表中的相关统计量： 年级 平均训练时间的中位数 平时训练时间的方差 七年级 24 20.8 八年级 27 7.6 （2）请你利用上述统计图，对七八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价 【考点】W4：中位数；W7：方差 【专题】542：统计的应用；
24、66：运算能力 【分析】 （1）根据中位数的定义和方差计算公式分别进行解答即可； （2）从中位数和方差两个方面进行分析即可 【解答】解： （1）七年级平均训练时间的中位数是 24 分钟； 八年级平时训练时间的平均数是：（23+25+27+30+30）27（分钟） ， 则八年级平时训练时间的方差是：（2327）2+（2527）2+（2727）2+2（30 27）27.6； 故答案为：24，7.6； （2）八年级的平均训练时间的中位数比七年级的平均训练时间中位数大； 八年级平时训练时间的方差小于七年级平时训练时间的方差，说明八年级的平均训练时 间更加稳定 21.校园歌手大赛中甲乙丙 3 名学生进入
25、了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序 （1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率 【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法 【专题】1：常规题型；543：概率及其应用 【分析】 （1）找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的 概率 【解答】解： （1）甲、乙、丙三位学生进入决赛， P（甲第一位出场）； （2）画出树状图得： 共有 6 种等可能的结果，甲比乙先出场的有 3 种情况， P（甲比乙先出场） 22.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个 月进馆
26、 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的 月平均增长率相同求进馆人次的月平均增长率 【考点】AD：一元二次方程的应用 【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识 【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加 第二和第三个月的进馆人次等于 608，列方程求解； 【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为 x， 则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2608 化简得：4x2+12x70 （2x1） （2x+7）0， x0.550%或 x3.5（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为 50% 23.甲、乙两车分
27、别从 A，B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原 速行驶到 B 地，乙车立即以原速原路返回到 B 地甲、乙两车距 B 地的路程 y（km）与 各自行驶的时间 x（h）之间的关系如图所示 （1）m 4 ，n 120 ； （2）求乙车距 B 地的路程 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）当甲车到达 B 地时，求乙车距 B 地的路程 【考点】FH：一次函数的应用 【专题】533：一次函数及其应用 【分析】 （1）观察图象即可解决问题； （2）运用待定系数法解得即可； （3）把 x3.5 代入（2）的结论即可 【解答】解： （1）根据题意可得 m22
28、4，n2802（2803.5）120； 故答案为：4；120； （2）设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx（0 x2） ， 因为图象经过（2，120） ， 所以 2k120， 解得 k60， 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y60 x， 设 y 关于 x 的函数解析式为 yk1x+b（2x4） ， 因为图象经过（2，120） ， （4，0）两点， 所以， 解得， 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y60 x+240（2x4） ； （3）当 x3.5 时，y603.5+24030 所以当甲车到达 B 地时，乙车距 B 地的路程为 30km 24.如图，某建筑物 CD 高 72m，它的前
29、面有一座小山，其斜坡 AB 的坡角为 45（即ABE 45） 为了测量山顶 A 的高度，在建筑物顶端 D 处测得山顶 A 和坡底 B 的俯角分 别为 、 已知 tan2， tan4， 求山顶 A 的高度 AE （C、 B、 E、 F 在同一水平线上） 【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用仰角俯 角问题 【专题】12：应用题；55E：解直角三角形及其应用；66：运算能力；69：应用意识 【分析】 作 AGCD 于 G 设 AExm 由斜坡 AB 的坡度为 i1： 1， 得出 BEAExm 解 RtBDC，求得 BC18m，则 AGEC（x+18）米解 RtADG
30、，得出 DGAGtan 2（x+18）米，又 DGDCCGDCAE（72x）米，列出方程 2（x+18）72 x，求出 x 即可 【解答】解：如图，作 AGCD 于 G设 AEx 米 斜坡 AB 的坡度为 i1：1， BEAExm 在 RtBDC 中，C90，CD72 米，DBC， BC18（m） ， ECEB+BC（x+18）m， AGEC（x+18）m 在 RtADG 中，AGD90，DAG， DGAGtan2（x+18）m， DGDCCGDCAE（72x）m， 2（x+18）72x， 解得 x12 故山顶 A 的高度 AE 为 12m 25.已知函数 ym（x1）2+2（x1） （m 为
31、常数） （1）求证：无论 m 为何值，该函数的图象都经过 x 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求 m 的值 【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；HA：抛物线与 x 轴的交点 【专题】535：二次函数图象及其性质；66：运算能力 【分析】 （1）观察 ym（x1）2+2（x1）可化为 y（x1）m（x1）+2，由此 得到抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数，根据函数解析式求得函数图象与坐 标轴的交点坐标，结合条件“该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数”来求 m 的值即可 【解答】
32、（1）证明：ym（x1）2+2（x1）（x1）m（x1）+2， 该抛物线与 x 轴交点横坐标分别是 1 和 1 无论 m 取何值，该抛物线与 x 轴总交于点（1，0） ； （2）解：若 m0，则 y2x2，此时函数与 x 轴，y 轴交点分别是（1，0） ， （0，2） ， 符合题意； 若 m0 时，则函数与 x 轴交点分别是（1，0） ， （1，0） ，与 y 轴交点问（0，m2） 即当 m2 是整数时，1也是整数， 所以 m1，2 综上所述，m2，1，0，1，2 26.如图，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，E 是 AC 上一点，O 经过点 C、D、E，分别与 AD、BC 相交于点 F、
33、G，连接 ED、EF、EG，延长 GE 交 AD 于点 H （1）求证HEFDEC； （2）若 AB6，BC9， 当HEF 是等腰三角形时，求 CE 的长； 当O 与 AB 相切时，则 CE 的长为 【考点】MR：圆的综合题 【专题】152：几何综合题；67：推理能力；69：应用意识 【分析】 （1）由平行线的性质和圆的内接四边形的性质可得EFHDCE，CDE DHE，从而得HEFDEC； （2）先根据HEFDEC，列比例式，分三种情况：i）当 HFEF 时，ii）当 HEEF 时，iii）当 HEHF 时，根据比例式和等腰三角形的性质分别计算 CE 的长即可； 如图 3，作辅助线，构建直角三
34、角形，根据垂径定理得 PDCPCD3，设O 的 半径为 r，则 OCONr，OP9r，由勾股定理列方程可得 r 的值，根据等角的三角 函数列比例式可得 OK 的长，最后利用垂径定理得结论 【解答】 （1）证明：如图 1，四边形 CDFE 是O 的内接四边形， DFE+DCE180， DFE+EFH180， EFHDCE， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DHEBGE， 四边形 DEGC 是O 的内接四边形， BGECDE， CDEDHE， HEFDEC； （2）解：由（1）知：HEFDEC， ， i）当 HFEF 时， ， ECDC， 四边形 ABCD 是矩形， CDAB6， CEDC
35、6； ii）当 HEEF 时， ， DEEC， EDCECD， 四边形 ABCD 是矩形， ADC90， ADE+CDEECD+CAD90， ADEEAD， AEEDEC， RtADC 中，ADBC9，DC6， AC3， CEAC； iii）当 HEHF 时， ， DEDC6， 如图 2，连接 DG，交 AC 于 M， DCG90， DG 是O 的直径， DEDC， DG 是 EC 的垂直平分线，即 ECDM，EC2CM， cosDCM，即， CM， CE2CM， 综上，CE 的长为 6 或或； 如图 3，设 AB 与O 相切的切点为 N，连接 NO 并延长交 CD 于 P，连接 OC，过 O
36、 作 OKAC 于 K， PNAB， ABCD， PNCD， PDCPCD3， 设O 的半径为 r，则 OCONr，OP9r， RtCOP 中，由勾股定理得：OC2OP2+CP2， r232+（9r）2， 解得：r5， OP4，ONOC5， PN9，NLPL4.5， OL4.540.5， ADPNBC，DPPC， ANBN3，ALCL， ALNOLK， sinALNsinOLK， 即，OK， 由勾股定理得：CK， OKEC， CE2CK 故答案为： 27.我们把四个顶点都在三角形的三边上的矩形叫做三角形的内接矩形，四个顶点都在三角 形的三边上的正方形叫做三角形的内接正方形 （1） 如图， 矩形
37、 DEFG， 点 D 在边 AB 上， 点 E、 F 在边 BC 上， 画出一个与矩形 DEFG 相似的内接矩形（画图工具不限，保留画图痕迹） ； （2）若一个ABC 中恰有两个内接正方形，则这个三角形一定是 B A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D以上三种情况都有可能 （3） 如图， 在ABC 中， BC4， BC 边上的高 AD3， AD 与ABC 的内接矩形 EPQF 的 EF 边相交于点 G，以 EF 为斜边向下作 RtHEF，使 HEHF，求EFH 与四边形 EPQF 重合部分的面积的最大值； （4）若在一个面积为 16 的三角形内画出一个面积最大的内接正方形，则这个正方形的
38、 边长为 2 ， 若又要使得三角形周长最小， 则三角形三边长为 4， 2， 2 【考点】SO：相似形综合题 【专题】152：几何综合题；69：应用意识 【分析】 （1）延长 BG 交 AC 于 G，过点 G作 GFBC 于 F，过点 GGD BC 交 AB 于 D， 过点 D作 DECB 于 E， 四边形 EFGD即为所求 （2）分直角三角形，锐角三角形，钝角三角形三种情形说明即可 （3）分两种情形：如图中，当点 G 在矩形 EPQF 的内部或边上时，如图中， 当点 H 在矩形外部时，分别求解即可解决问题 （4）如图中，正方形 EFGH 是ABC 的内接正方形，AD 是ABC 的高，AD 交
39、EH 于 K，设 BCa，ADh，正方形的边长为 x证明AEHABC，推出，可 得， 整理得 x， 因为 a+h2， 所以 a+h8， 推出当 ah4时， a+h 的最小值为 8， 可得 x 的最大值2， 推出 BCAD4， 设 BDm， 则 AB+AC+，要使得ABC 的周长最小，只要 AB+AC 呆在最小即可，欲求 AB+AC+，的最小 值，相当于在 x 轴上找一点 M（m，0） ，使得 M（m，0）到 P（0，4） ，Q（4，4） 的距离和最小， 如图中， 作点 Q 关于 x 轴的对称点 T， 连接 QT 交 x 轴于 M， 连接 MP， 此时 MP+MQ 的值最小 【解答】解： （1）
40、如图中，矩形 EFGD即为所求 （2）由题意，锐角三角形有三个内接正方形，直角三角形有两个内接正方形，钝角三角 形有一个内接正方形， 故选 B 故答案为 B （3）EFBC， AEFABC， ， ， AGx， 如图中，当点 G 在矩形 EPQF 的内部或边上时，过点 H 作 HTEF 于 T EFH 是等腰直角三角形， HTx， yEFHTx2， HTDG， x3x， 0 x， 由增减性可知，当 x时，y最大值（）2 如图中， 当点 H 在矩形外部时，x4过点 H 作 HTEF 于 T， 交 MN 于 K EFBC， KTGTKDGDK90， 四边形 TKGD 是矩形， TKDG3x， EFB
41、C， HMNHEF， ， HMN 是等腰直角三角形， SHMNMNHK（x3）2， yx2（x2x+9）x2+x9（x）2+， 0， 当 x时，y最大值 综上所述，x时，y最大值 （4）如图中，正方形 EFGH 是ABC 的内接正方形，AD 是ABC 的高，AD 交 EH 于 K，设 BCa，ADh，正方形的边长为 x 由题意：BCAD16， ah32， EHBC， AEHABC， ， ， 整理得 x， a+h2， a+h8， 当 ah4时，a+h 的最小值为 8，可得 x 的最大值2， BCAD4，设 BDm，则 AB+AC+， 要使得ABC 的周长最小，只要 AB+AC 呆在最小即可， 欲求 AB+AC+，的最小值，相当于在 x 轴上找 一点 M（m，0） ，使得 M（m，0）到 P（0，4） ，Q（4，4）的距离和最小，如 图中， 作点 Q 关于 x 轴的对称点 T，连接 QT 交 x 轴于 M，连接 MP，此时 MP+MQ 的值最小， T（0，4） ，Q（4，4） ， M（2，0） ， m2时，AB+BC 的值最小，此时 BDCD2，ABAC 2， 满足条件的ABC 的边长为 4，2，2， 故答案为：2；4，2，2
