1、2020 年中考数学试题分类汇编之十四 最值类题 一、选择题 10 （2020 成都） （3 分）关于二次函数 2 28yxx，下列说法正确的是( ) A图象的对称轴在y轴的右侧 B图象与y轴的交点坐标为(0,8) C图象与x轴的交点坐标为( 2,0)和(4,0) Dy的最小值为9 【解答】解：二次函数 22 28(1)9(4)(2)yxxxxx ， 该函数的对称轴是直线1x ，在y轴的左侧，故选项A错误； 当0 x 时，8y ，即该函数与y轴交于点(0, 8)，故选项B错误； 当0y 时，2x 或4x ，即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和( 4,0)，故选项C错误； 当1x 时，该函数取得
2、最小值9y ，故选项D正确； 故选：D 9.（2020 贵阳）如图，Rt ABC中，90C，利用尺规在BC，BA上分别截取BE， BD，使BEBD；分别以D，E为圆心、以大于 1 2 DE为长的半径作弧，两弧在CBA 内交于点F；作射线BF交AC于点G，若1CG，P为AB上一动点，则GP的最小值 为（ ） A. 无法确定 B. 1 2 C. 1 D. 2 【答案】C 【详解】解：由题意可知，当 GPAB 时，GP 的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB 是ABC 的角平分线， C=90 ， 当 GPAB 时，GP=CG=1， 故答案为：C 12 （3 分） （2020荆门）在平面直角坐标系中
3、，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A（0，2） ，B（0，4） ，连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（ ） A25 B210 C62 D35 解：设 C（m，0） ， CD2，D（m+2，0） ， A（0，2） ，B（0，4） ， AC+BD= 2+ 22+ ( + 2)2+ 42， 要求 AC+BD 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P（m，0） ，使得点 P 到 M（0，2）和 N（2，4）的距离和最小， （PM+PN= 2+ 22+ ( + 2)2+ 42） ， 如图 1 中， 作点 M 关于原点 O 的对称点 Q， 连接 NQ 交 x 轴于
4、 P， 连接 MP， 此时 P M+PN 的值最小， N（2，4） ，Q（0，2） PM+PN 的最小值PN+PMPN+PQNQ= 22+ 62=210， AC+BD 的最小值为 210 故选：B 12 （2020 山东泰安） （4 分）如图，点 A，B 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，点 C 为 坐标平面内一点， BC1， 点 M 为线段 AC 的中点， 连接 OM， 则 OM 的最大值为 （ ） A2 +1 B2 + 1 2 C22 +1 D22 1 2 【解答】解：如图， 点 C 为坐标平面内一点，BC1， C 在B 的圆上，且半径为 1， 取 ODOA2，连接 CD， A
5、MCM，ODOA，OM 是ACD 的中位线， OM= 1 2CD， 当 OM 最大时，即 CD 最大，而 D，B，C 三点共线时，当 C 在 DB 的延长线上时，OM 最大， OBOD2，BOD90，BD22， CD22 +1， OM= 1 2CD= 2 + 1 2，即 OM 的最大值为2 + 1 2； 故选：B 二、填空题 25 （2020 成都） （4 分）如图，在矩形ABCD中，4AB ，3BC ，E，F分别为AB，CD 边的中点动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运 动， 连接PQ， 过点B作BHPQ于点H， 连接DH 若点P的速度是点Q的速度的 2 倍
6、， 在点P从点E运动至点A的过程中， 线段PQ长度的最大值为 3 2 ， 线段DH长度的最 小值为 【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ONCD于N 四边形ABCD是矩形，DFCF，AEEB， 四边形ADFE是矩形， 3EFAD， / /FQPE， MFQMEP， MFFQ MEPE ， 2PEFQ， 2EMMF， 2EM，1FM ， 当 点P与A重 合 时 ，PQ的 值 最 大 ， 此 时 2222 222 2PMAEME， 2222 112MQFQMF， 3 2PQ， / / /MFONBC，MOOB， 1FNCN，3DNDFFN， 1 ()
7、2 2 ONFMBC， 2222 3213ODDNON， BHPQ， 90BHM， OMOB， 22 11 222 22 OHBM， DH ODOH， 132DH， DH的最小值为132， 故答案为3 2，132 15 （2020 河南） .如图， 在扇形BOC中， 60 ,BOCOD平分 BOC交狐BC于点D 点 E为半径OB上一动点若2OB ，则阴影部分周长的最小值为_ 【答案】2 2. 3 【解析】 【分析】 如图，先作扇形OCB关于OB对称的扇形,OAB 连接AD交OB于E，再分别求解 ,AD CD的长即可得到答案 【详解】解：C阴影 ,CEDECD C阴影最短，则CE DE最短， 如
8、图，作扇形OCB关于OB对称的扇形,OAB 连接AD交OB于E， 则,CEAE ,CEDEAEDEAD 此时E点满足CEDE最短， 60 ,COBAOBOD 平分 ,CB 30 ,90 ,DOBDOA 2,OBOAOD 22 222 2,AD 而CD的长为： 302 , 1803 C阴影最短为2 2. 3 故答案为：2 2. 3 17.（2020 四川绵阳）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC=60，AD=BC=CD=4,点 M 是 四边形 ABCD 内的一个动点， 满足AMD=90， 则点 M 到直 线 BC 的距离的最小值为 。 答案：2 3 【解析】解：四边形 ABCD 中，AB
9、CD，ABC=60，AD=BC=CD=4， DAC=ABC=60 DAC=CAB=30， ACB=90。 当 M 在 AC 上时，M 到 AC 的距离最小。如图 ：AC= 22 844 3, 在 RTAMD 中，AM=ADcos30=4 3 2 =23. CM=AC-AM=4 3-23=2 3. 故填：2 3。 18.（2020 无锡）如图，在Rt ABC中，90ACB，4AB ，点D，E分别在边AB， AC上，且2DBAD，3AEEC连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值 为_ 解：如图 1，作 DGAC，交 BE 于点 G， ,BDGBAEODGOCE， 2 , 3 DGBD AE
10、AB 1 3 CE AE , 2 2 1 DG CE ODGOCE =2 DGOD CEOC 2 3 ODCD AB=4， 2 3 ABOABC SS 若ABO面积最大，则 ABC面积最大， 如图 2，当点 ABC 为等腰直角三角形时，ABC面积最大，为 1 4 2=4 2 ， ABO面积最大值为 28 4= 33 + 故答案为： 8 3 15 （2020 新疆生产建设兵团） （5 分）如图，在ABC 中，A90，B60，AB 2，若 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+DC 的最小值为 6 【分析】作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，AD，过 D 作 DEAC 于 E，依据 A
11、 与 A关于 BC 对称，可得 ADAD，进而得出 AD+DEAD+DE，当 A，D，E 在同一直线 上时，AD+DE 的最小值等于 AE 的长，依据 AD+DE 的最小值为 3，即可得到 2AD+CD 的最小值为 6 【解答】解：如图所示，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，AD，过 D 作 DEAC 于 E， ABC 中，BAC90，B60，AB2， BH1，AH= 3，AA23，C30， RtCDE 中，DE= 1 2CD，即 2DECD， A 与 A关于 BC 对称， ADAD， AD+DEAD+DE， 当 A，D，E 在同一直线上时，AD+DE 的最小值等于 AE 的长，
12、 此时，RtAAE 中，AEsin60AA= 3 2 23 =3， AD+DE 的最小值为 3， 即 2AD+CD 的最小值为 6， 故答案为：6 18 （2020 黑龙江龙东） （3 分）如图，在边长为 4 的正方形ABCD中，将ABD沿射线BD 平移，得到EGF，连接EC、GC求ECGC的最小值为 4 5 【解答】解：如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT 四边形ABCD是正方形， 4ABBCAD，90ABC，45ABD， / /AEBD，45EADABD ， D，T关于AE对称，4ADAT，45TAEEAD ， 90TAD， 90BAD，B，A，T共线， 22
13、 4 5CTBTBC， EGCD，/ /EGCD，四边形EGCD是平行四边形， CGEC，ECCGECEDECTE， TEEC TC，4 5ECCG， ECCG的最小值为4 5 16 （2020 江苏连云港） （3 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为 2 的O与x轴的 正半轴交于点A，点B是O上一动点，点C为弦AB的中点，直线 3 3 4 yx与x轴、y轴 分别交于点D、E，则CDE面积的最小值为 2 解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MNDE于N ACCB，AMOM， 1 1 2 MCOB， 点C的运动轨迹是以M为圆心，1 为半径的M，设M交MN于C 直线 3 3
14、 4 yx与x轴、y轴分别交于点D、E， (4,0)D，(0, 3)E，4OD，3OE ， 22 345DE， MDNODE ，MNDDOE ，DNMDOE， MNDM OEDE ， 3 35 MN ， 9 5 MN， 当点C与C重合时，C DE的面积最小，最小值 19 5(1)2 25 ， 故答案为 2 18 （3 分） （2020徐州）在ABC 中，若 AB6，ACB45则ABC 的面积的最大 值为 92 +9 【解答】解：作ABC 的外接圆O，过 C 作 CMAB 于 M， 弦 AB 已确定， 要使ABC 的面积最大，只要 CM 取最大值即可， 如图所示，当 CM 过圆心 O 时，CM
15、最大， CMAB，CM 过 O， AMBM（垂径定理） ， ACBC， AOB2ACB24590， OMAM= 1 2AB= 1 2 6 =3， OA= 2+ 2=32， CMOC+OM32 +3， SABC= 1 2ABCM= 1 2 6（32 +3）92 +9 故答案为：92 +9 三、解答题 22（2020 安徽）（12 分） 在平面直角坐标系中， 已知点(1,2)A，(2,3)B，(2,1)C， 直线yxm 经过点A，抛物线 2 1yaxbx恰好经过A，B，C三点中的两点 （1）判断点B是否在直线yxm上，并说明理由； （2）求a，b的值； （3） 平移抛物线 2 1yaxbx，使其顶
16、点仍在直线yxm上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值 【解答】解： （1）点B是在直线yxm上，理由如下： 直线yxm经过点(1,2)A， 21m ，解得1m ， 直线为1yx， 把2x 代入1yx得3y ， 点(2,3)B在直线yxm上； （2）直线1yx与抛物线 2 1yaxbx都经过点(0,1)，且B、C两点的横坐标相同， 抛物线只能经过A、C两点， 把(1,2)A，(2,1)C代入 2 1yaxbx得 12 4211 ab ab ， 解得1a ，2b ； （3）由（2）知，抛物线为 2 21yxx， 设平移后的抛物线为 2 yxpxq，其顶点坐标为( 2 p ， 2 ) 4
17、 p q， 顶点仍在直线1yx上， 2 1 42 pp q， 2 1 42 pp q ， 抛物线 2 yxpxq与y轴的交点的纵坐标为q， 2 2 15 1(1) 4244 pp qp ， 当1p 时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为 5 4 28 （2020 成都） （12 分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交 于( 1,0)A ，(4,0)B两点，与y轴交于点(0, 2)C （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记BD E 的面积为 1 S，ABE的面积为 2 S，求 1 2 S
18、S 的最大值； （3）如图 2，连接AC，BC，过点O作直线/ /lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的 点试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使PQBCAB若存在，请求出所 有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为(1)(4)ya xx 将(0, 2)C代入得：42a ，解得 1 2 a ， 抛物线的解析式为 1 (1)(4) 2 yxx，即 2 13 2 22 yxx （2） 过点D作DGx轴于点G， 交BC于点F， 过点A作AKx轴交BC的延长线于点K， / /AKDG， AKEDFE， DFDE AKAE ， 1 2 BDE ABE
19、SSDEDF SSAEAK ， 设直线BC的解析式为ykxb， 40 2 kb b ，解得 1 2 2 k b ， 直线BC的解析式为 1 2 2 yx， ( 1,0)A ， 15 2 22 y ， 5 2 AK， 设 2 13 ( ,2) 22 D mmm，则 1 ( ,2) 2 F mm ， 22 1131 222 2222 DFmmmmm 2 22 1 2 1 2 1414 2 (2) 5 5555 2 mm S mmm S 当2m 时， 1 2 S S 有最大值，最大值是 4 5 （3）符合条件的点P的坐标为 68 34 (,) 99 或 62 41 341 (,) 55 / /lBC
20、， 直线l的解析式为 1 2 yx， 设( ,) 2 a P a， 当点P在直线BQ右侧时，如图 2，过点P作PNx轴于点N，过点Q作QM 直线PN 于点M， ( 1,0)A ，(0, 2)C，(4,0)B， 5AC，5AB ，2 5BC ， 222 ACBCAB， 90ACB， PQBCAB， 1 2 PQAC PBBC ， 90QMPBNP， 90MQPMPQ，90MPQPBN， MQPPBN， QPMPBN， 1 2 QMPMPQ PNBNPB ， 4 a QM， 11 (4)2 22 PMaa， 2MNa， 3 44 44 a BNQMaa， 3 (4Qa，2)a， 将点Q的坐标代入抛
21、物线的解析式得 2 1333 ()22 2424 aaa， 解得0a （舍去）或 68 9 a 68 34 (,) 99 P 当点P在直线BQ左侧时， 由的方法同理可得点Q的坐标为 5 ( 4 a，2) 此时点P的坐标为 62 41 341 (,) 55 25.（2020 福建）已知直线 1: 210 lyx交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象 过,A B两点， 交x轴于另一点C，4BC ， 且对于该二次函数图象上的任意两点 111 ,P x y， 222 ,P x y，当 12 5xx时，总有 12 yy （1）求二次函数的表达式； （2）若直线 2: (10)lymxn n，求证：当
22、 2m时， 21 / /ll； （3）E为线段BC上不与端点重合的点， 直线 3: 2 lyxq过点C且交直线AE于点F， 求ABE与CEF面积之和的最小值 【答案】（1） 2 21210yxx；（2） 详见解析；（3） ABEFCE SS的最小值为40 2 40 【解析】 【分析】 （1） 先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出 A， B 两点的坐标， 再根据 BC=4， 得出点 C 的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式； （2）利用反证法证明即可； （3）先求出 q 的值，利用/CF AB，得出FCEABE，设04 BEtt，然后用 含 t 的式子表示出 ABEFCE
23、SS的面积，再利用二次函数的性质求解即可 【详解】解： （1）对于 1: 210 lyx， 当0 x时，10y ，所以0,10A； 当0y 时，2100 x，5x ，所以5,0B， 又因为4BC ，所以9,0C或1,0C， 若抛物线过9,0C，则当57x时，y随x的增大而减少，不符合题意，舍去 若抛物线过1,0C，则当3x 时，必有y随x的增大而增大，符合题意 故可设二次函数的表达式为 2 10yaxbx， 依题意，二次函数的图象过5,0B，1,0C两点， 所以 255100 100 ab ab ，解得 2 12 a b 所求二次函数的表达式为 2 21210yxx （2）当2m时，直线 2:
24、 2(10) lyxn n与直线 1: 210 lyx不重合， 假设 1 l和 2 l不平行，则 1 l和 2 l必相交，设交点为 00 ,P x y， 由 00 00 210 2 yx yxn 得 00 2102 xxn， 解得10n，与已知10n矛盾，所以 1 l与 2 l不相交， 所以 21 /ll （3）如图， 因为直线 3: 2 lyxq过1,0C，所以2q =， 又因为直线 1: 210 lyx，所以 31 /ll，即 /CF AB， 所以FCEABE，CFEBAE， 所以FCEABE，所以 2 FCE ABE SCE SBE ， 设04 BEtt，则4CEt ， 11 105 2
25、2 ABE SBE OAtt， 所以 2 22 2 (4)5(4) 5 FCEABE CEtt SSt BEtt ， 所以 2 5(4) 5 ABEFCE t SSt t 80 1040t t 2 2 2 1040 240 t t 所以当 2 2t 时， ABEFCE SS的最小值为40 2 40 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形 面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想 的运用 25 (2020 天津)已知点1,0A是抛物线 2 yaxbxm（a，b，m为常数，0a，0m） 与x轴的一个交点 （I）当1a
26、 ，3m时，求该抛物线的顶点坐标； （II）若抛物线与x轴的另一个交点为,0M m，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行 于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，2 2EF 当点E落在抛物线上（不与点C重合） ，且AEEF时，求点F的坐标； 取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是 2 2 ？ 解： （1）当1a ，3m时，抛物线的解析式为 2 3yxbx 抛物线经过点1,0A， 013b 解得2b 抛物线的解析式为 2 23yxx 22 23(1)4yxxx ， 抛物线的顶点坐标为1, 4 （II）抛物线 2 yaxbxm经过点1,0A和,0M m，0m， 0abm ， 1a ，1
27、bm 抛物线的解析式为 2 (1)yxmxm 根据题意，得点0,Cm，点1,E mm 过点A作AHl于点H 由点1,0A，得点1,Hm 在Rt EAH中，1 (1)EHmm ，0HAmm ， 22 2AEEHHAm 2 2AEEF， 22 2m 解得2m 此时，点1, 2E ，点0, 2C，有1EC 点F在y轴上， 在Rt EFC中， 22 7CFEFEC 点F的坐标为 0, 27 或 0, 27 由N是EF的中点，得 1 2 2 CNEF 根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上 由点,0M m，点0,Cm，得MOm，COm 在Rt MCO中， 22 2MCMOCOm 当2MC ，即1m
28、时，满足条件的点N落在线段MC上， MN的最小值为 2 22 2 MCNCm ， 解得 3 2 m ； 当2MC ，即10m 时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上， MN的最小值为 2 2(2 ) 2 NCMCm ， 解得 1 2 m 当m的值为 3 2 或 1 2 时，MN的最小值是 2 2 26.（2020 乐山）已知抛物线 2 yaxbxc与x轴交于( 1,0)A ， (5 0)B ，两点，C为抛 物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且 4 tan 3 CBD，如图所示 （1）求抛物线的解析式； （2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点 过点P作x轴的平行线交线段BC于点
29、E，过点E作EF PE交抛物线于点F，连结 FB、FC，求BCF的面积的最大值； 连结PB，求 3 5 PCPB的最小值 【答案】 （1） 2 41620 999 yxx ； （2） 3 2 ； 24 5 【分析】 （1）先利用函数图象与 x 轴交点求出 D 点坐标，再由 4 tan 3 CBD求出 C 点坐标，用待 定系数法设交点式，将 C 点坐标代入即可求解； （2）先求出 BC 的解析式 420 33 yx，设 E 坐标为 420 , 33 tt ，则 F 点坐标为 2 41620 999 ,ttt ，进而用 t 表示出BCF的面积，由二次函数性质即可求出最大值； 过点P作PGAC于G，
30、 由 3 s i n 5 P G P CA C DP C可得 3 5 PCPBPGPB， 由此可知当 BPH 三点共线时 3 5 PCPB的值最小，即过点B作BHAC于点H， 线段BH的长就是 3 5 PCPB的最小值，根据面积法求高即可 【详解】解： （1）根据题意，可设抛物线的解析式为：(1)(5)ya xx， CD是抛物线的对称轴， (20)D， 又 4 tan 3 CBD， tan4CDBDCBD， 即(24)C， 代入抛物线的解析式，得4(2 1)(25)a，解得 4 9 a ， 二次函数的解析式为 4 (1)(5) 9 yxx 或 2 41620 999 yxx ； （2）设直线B
31、C的解析式为 y kxb ， 05 42. kb kb ， 解得 4 3 20 . 3 k b ， 即直线BC的解析式为 420 33 yx， 设 E 坐标为 420 , 33 tt ，则 F 点坐标为 2 41620 999 ,ttt ， 22 420 3 4162042840 9999993 EFttttt ， BCF的面积 2 1142840 3 22999 SEFBDtt 2 273 () 322 St ， 当 7 2 t 时，BCF的面积最大，且最大值为 3 2 ； 如图，连接AC，根据图形的对称性可知 ACDBCD ，5ACBC， 3 sin 5 AD ACD AC ， 过点P作P
32、GAC于G，则在Rt PCG中， 3 sin 5 PGPCACDPC， 3 5 PCPBPGPB， 再过点B作BHAC于点H，则PGPHBH， 线段BH的长就是 3 5 PCPB的最小值， 11 6 412 22 ABC SAB CD ， 又 15 22 ABC SACBHBH ， 5 12 2 BH ，即 24 5 BH ， 3 5 PCPB的最小值为 24 5 25.（2020 重庆 A 卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 yxbxc与直线 AB 相交于 A，B 两点，其中3, 4A ，0, 1B （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 P 为直线 AB下方抛物线上的任意一点，
33、连接 PA，PB，求 PAB 面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移 2个单位长度得到抛物线 2 1111 0ya xbxc a，平移后的 抛物线与原抛物线相交于点 C，点 D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是 否存在点 E， 使以点 B， C， D， E为顶点的四边形为菱形， 若存在， 请直接写出点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 【 答 案 】 （ 1 ） 2 41yxx； （ 2 ） PAB 面 积 最 大 值 为 27 8 ； （ 3 ） 存 在 ， 1234 ( 12)( 346)( 346),(13)EEEE， 解： （1）抛物线过( 3, 4)A ，(0, 1)
34、B 934 1 bc c 4 1 b c 2 41yxx （2）设 AB ykxb，将点3, 4A (0, 1)B代入 AB y 1 AB yx 过点 P 作 x轴得垂线与直线 AB交于点 F 设点 2 ,41P a aa ，则 ( ,1)F a a 由铅垂定理可得 1 | 2 PABBA SPFxx 2 3 141 2 aaa 2 3 3 2 aa 2 3327 228 a PAB 面积最大值为 27 8 （3） （3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25， 则平移后的抛物线表达式为：yx25， 联立上述两式并解得： 1 4 x y ，故点 C（1，4） ； 设点 D（2，m） 、点
35、E（s，t） ，而点 B、C的坐标分别为（0，1） 、 （1，4） ； 当 BC 为菱形的边时， 点 C 向右平移 1 个单位向上平移 3个单位得到 B，同样 D（E）向右平移 1个单位向上平移 3 个单位得到 E（D） ， 即21s且 m3t或21s且 m3t， 当点 D在 E 的下方时，则 BEBC，即 s2（t1）21232， 当点 D在 E 的上方时，则 BDBC，即 22（m1）21232， 联立并解得：s1，t2 或4（舍去4） ，故点 E（1，2） ； 联立并解得：s-3，t-4 6，故点 E（-3，-46）或（-3，-46） ； 当 BC 为菱形的的对角线时， 则由中点公式得：
36、1s2 且41mt， 此时，BDBE，即 22（m1）2s2（t1）2， 联立并解得：s1，t3， 故点 E（1，3） ， 综上，点 E的坐标为： （1，2）或( 346)，或( 346)，或（1，3） 存在， 1234 ( 12)( 346)( 346),(13)EEEE， 26.（2020 重庆 A 卷）如图，在Rt ABC中，90BAC，ABAC，点 D是 BC边上 一动点，连接 AD，把 AD绕点 A逆时针旋转 90 ，得到 AE，连接 CE，DE点 F 是 DE 的 中点，连接 CF （1）求证： 2 2 CFAD； （2）如图 2 所示，在点 D运动的过程中，当2BDCD时，分别延
37、长 CF，BA，相交于点 G，猜想 AG与 BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点 D运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使PAPBPC的值最小当 PAPBPC的值取得最小值时，AP 的长为 m，请直接用含 m的式子表示 CE 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）3 2BCAG； （3） 33 2 CEm 解： （1）证明如下：90BACDAE， BADCAE， ABAC，ADAE， 在ABD和ACE中 BADCAE ABAC ADAE ， ABDACE， 45ABDACE， 90DCEACBACE ， 在Rt ADEV中，F为 DE 中点（同时ADAE） ，45A
38、DEAED， AFDE，即Rt ADF为等腰直角三角形， 2 2 AFDFAD， CFDF， 2 2 CFAD； （2）由（1）得ABDACE，CEBD，45ACEABD ， 454590DCBBCAACE ， 在RtDCB中， 2222 5DECDCECDBDCD ， F为 DE 中点， 15 22 DEEFDECD， 在四边形 ADCE中，有90CAGDCE ，180CZGDCE， 点 A，D，C，E 四点共圆， F为 DE 中点， F为圆心，则CFAF， 在Rt AGC中， CFAF， F为 CG 中点，即CG2CF5CD， 2222 182 5 42 AGCGACCDCDCD， y x
39、 O D C B E A 备用图备用图 y x O C B E A 即3 2BCAG； （3）设点 P 存在，由费马定理可得120APBBPCCPA， 60BPD， 设 PDa， 3BDa， 又 3ADBDa ， 3ama ， ( 31)ma 31 m a 又BDCE 33 = 2 CEm 25. （2020 重庆 B 卷） 如图， 在平面直角坐标系中抛物线 y=ax2+bx+2(a0)与 y 轴交于点 C， 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，且 A 点坐标为(2,0)，直线 BC 的解析式为 = 2 3 + 2 （1）求抛物线的解析式； （2） 过点 A 作 AD/B
40、C， 交抛物线于点 D， 点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点， 连接 CE， EB，BD，DC.求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标； （3）将抛物线 y=ax2+bx+2(a0)向左平移2个单位，已知点 M 为抛物线 y=ax2+bx+2(a0) 的对称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形 BECD 的面积最 大时，是否存在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点 N 的 坐标；若不存在，请说明理由. C BO y xA E M N y x O C B A E M N y x O C B A E N M 提示： （
41、1）易得 B(32,0)，C(0,2)，又 A(2,0)， 所以易求抛物线的解析式为 = 1 3 2 + 22 3 + 2； （2） 易求 AD 的解析式为 = 2 3 2 3， 进而 D(42, 10 3 ).CD 的解析式为： = 22 3 + 2.则 CD 与 x 轴的交点 F 为(32 2 ,0).所以易求BCD 的面积为42， 设 E(x, 1 3 2 + 22 3 + 2)， 则 SBECD 的面积=1 2 32 *( 1 3 2 + 22 3 + 2) ( 2 3 + 2)+ + 42= 2 2 2+ 3 + 42， 当 x=32 2 时，四边形 BECD 面积最大，其最大值为2
42、52 4 ，此时 E(32 2 ,5 2). （3）存在.N 的坐标为( 32 2 ，7 6)，或( 2 2 ，5 2)，或( 72 2 ， 11 2 ). 注：抛物线 = 1 3 2 + 22 3 + 2的顶点是(2，0)，设 M(2，m)，N(xn，yn)，又 A(2,0)， E(32 2 ,5 2)，易求平移后抛物线解析式为 = 1 3 2 + 8 3. 根据平行四边形对角线互相平分及中点公式.分类： 当 AM 为对角线时，则+ 32 2 = 2 + (2)， 解得 xn= 32 2 ，代入解析式得 yn=7 6. 所以 N( 32 2 ，7 6)，如图 对角线交点坐标为(0,11 6
43、)，M 坐标为(2,11 3 ) 当 AE 为对角线时，则+ 2 = 32 2 + (2)， 解得 xn= 2 2 ，代入解析式得 yn=5 2. 所以 N( 2 2 ，5 2)，如图 对角线交点坐标为( 2 4 ,5 4)，M 坐标为(2,0) 当 AN 为对角线时，则+ (2) = 2 + 32 2 ， CB A 备用图备用图 图图1 N G F E DCB A N M F E DCB A 图图2 H G A BCD E F M N 图图2 P N F E DCB A Q O P N F E DCB A 解得 xn=72 2 ，代入解析式得 yn= 11 2 . 所以 N(72 2 ， 1
44、1 2 ).如图 对角线交点坐标为(52 4 , 11 4 )，M 坐标为(2,-8) 26. （2020 重庆 B 卷）ABC 为等边三角形，AB=8，ADBC 于点 D，E 为线段 AD 上一 点，AE=23 .以 AE 为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF，连接 CE，N 为 CE 的中点. （1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG ，求线段 NG 的长； （2）如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 ，M 为线段 EF 的中点，连接 DN， MN.当 30120 时，猜想DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接 BN，在AEF 绕点 A
45、逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出ADN 的面积. 提示： （1）易得CGE=90 ，NG=1 2CE，CD=4，DE=23.答案：NG=7. （2）DNM 的为定值 120 . 连 CF，BE，BE 交 AC 于 H，DN 交 AC 于 G，如图. 易得：BEDN，MNCF，ABEACF. 因此DGC=BHC，ENM=ECF，ABE=ACF 又BHC=ABE+BAH=ABE+60 DGC=ABE+60=ACF+60 又DGC=DNC+GCN=DNC+ACF-ECF DNC=60+ECF=60+ENM DGE=180-DNC=120-ENM DNM=DNE+ENM=120 .
46、（3）AND 的面积为73 如图，取 AC 中点 P，因为 BP+PNBN，所以当 B、P、N 在一直线上，BN 最大. 易得 BN=BP+PN=BP+1 2AE=43 + 3 = 53 设 BP 与 AD 交于 O，NQAD 于 Q，如图. 易得 BO=2 3BP= 83 3 ，ON=73 3 ，BD=4，ONQOBD，可求得 NQ= 7 2. AND 的面积为：1 2ADNQ=73. 26 （8 分） （2020徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ykx+b 的图象经过点 A （0，4） 、B（2，0） ，交反比例函数 y= （x0）的图象于点 C（3，a） ，点 P 在反比 例函数的图象上，横坐标为 n（0n3） ，PQy 轴交直线 AB 于点 Q，D 是 y 轴上任意 一点，连接 PD、QD （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求DPQ 面积的最大值 【解答】解： （1）把 A（0，4） 、B（2，0）代入一次函数 ykx+b 得， , = 4 2 + = 0，解得，, = 2 = 4， 一次函数的关系式为 y2x4， 当 x3 时，y2342， 点 C（3，2） ， 点 C 在反比例函数的图象上， k326， 反比例函数的关系式为 y= 6 ， 答：一次函数的关系式为 y2x4，反
