四川省达州市2020年中考数学试题(含答案解析)

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资源描述

1、2020 年四川省达州市中考数学试卷年四川省达州市中考数学试卷 一、选择题 1人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈据中央电视台报道,截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万1002 万用科学记数法表示,正 确的是( ) A1.002107 B1.002106 C1002104 D1.002102万 2下列各数中,比 3 大比 4 小的无理数是( ) A3.14 B C D 3下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字其中,手的对面是口的是( ) A B C D 4下列说法正确的是( ) A为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查 B确定事件一

2、定会发生 C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96,那 么这组数据的众数为 98 D数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6 5图 2 是图 1 中长方体的三视图,用 S 表示面积,S主x2+3x,S左x2+x,则 S俯( ) Ax2+3x+2 Bx2+2x+1 Cx2+4x+3 D2x2+4x 6如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为 m,下列代数式 表示正方体上小球总数,则表达错误的是( ) A12(m1) B4m+8( m2) C12( m2)+8 D12m16 7 中国奇书 易经 中记载, 远古时期, 人们通过在绳

3、子上打结来计数, 即 “结绳计数” 如 图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满 5 进 1,用来记录孩子自出生后的天 数由图可知,孩子自出生后的天数是( ) A10 B89 C165 D294 8如图,在半径为 5 的O 中,将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折,使折叠后的恰好与 OA、OB 相切,则劣弧 AB 的长为( ) A B C D 9如图,直线 y1kx 与抛物线 y2ax2+bx+c 交于 A、B 两点,则 yax2+(bk)x+c 的图 象可能是( ) A B C D 10如图,BOD45,BODO,点 A 在 OB 上,四边形 ABCD 是矩形,连接 AC、BD 交于点 E,

4、 连接 OE 交 AD 于点 F 下列 4 个判断: OE 平分BOD; OFBD; DF AF;若点 G 是线段 OF 的中点,则AEG 为等腰直角三角形正确判断的个数 是( ) A4 B3 C2 D1 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 112019 年是中华人民共和国成立 70 周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游 行活动其中,群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统 计图以下是打乱了的统计步骤: 绘制扇形统计图 收集三个部分本班学生喜欢的人数 计算扇形统计图中三个部分所

5、占的百分比 其中正确的统计顺序是 12如图,点 P(2,1)与点 Q(a,b)关于直线 1(y1)对称,则 a+b 13小明为测量校园里一颗大树 AB 的高度,在树底部 B 所在的水平面内,将测角仪 CD 竖 直放在与 B 相距 8m 的位置, 在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 若测角仪的高度是 1m, 则大树 AB 的高度约为 (结果精确到 lm参考数据:sin520.78,cos52 0.61,tan521.28) 14如图,点 A、B 在反比函数 y的图象上,A、B 的纵坐标分别是 3 和 6,连接 OA、 OB,则OAB 的面积是 15已知ABC 的三边 a、b、c 满足 b+|

6、c3|+a28a419,则ABC 的内切圆半 径 16已知 k 为正整数,无论 k 取何值,直线 11:ykx+k+1 与直线 12:y(k+1)x+k+2 都 交于一个固定的点,这个点的坐标是 ;记直线 11和 12与 x 轴围成的三角形面积 为 Sk,则 S1 ,S1+S2+S3+S100的值为 三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共 72 分) 17计算:22+()2+()0+ 18求代数式(x1)的值,其中 x +1 19如图,点 O 在ABC 的边 BC 上,以 OB 为半径作O,ABC 的平分线 BM 交O 于 点 D,过点 D 作 DEBA 于点 E (1

7、)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形; (2)判断O 与 DE 交点的个数,并说明理由 20争创全国文明城市,从我做起尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学 生的学习情况,随机抽取了 20 名学生的测试成绩,分数如下: 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 98 94 93 92 整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图: 等级 成绩/分 频数 A 95x100 a B 90 x95 8 C 85x90 5 D 80 x85 4 根据以上信息,解答下列问题 (1)填空:a ,b ; (2) 若成绩不低于 90 分

8、为优秀, 估计该校 1200 名八年级学生中, 达到优秀等级的人数; (3)已知 A 等级中有 2 名女生,现从 A 等级中随机抽取 2 名同学,试用列表或画树状图 的方法求出恰好抽到一男一女的概率 21如图,ABC 中,BC2AB,D、E 分别是边 BC、AC 的中点将CDE 绕点 E 旋转 180 度,得AFE (1)判断四边形 ABDF 的形状,并证明; (2)已知 AB3,AD+BF8,求四边形 ABDF 的面积 S 22某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表: 原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380 940 餐椅 a140 160

9、已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 (1)求表中 a 的值; (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张,且餐桌和餐椅的总数量 不超过 200 张若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、 餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少? 23如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,B90,AB6cm,CD2cmP 为线段 BC 上 的一动点,且和 B、C 不重合,连接 PA,过点 P 作 PEPA 交射线 CD 于点 E聪聪根 据学习函数的经验,对这个问题进行了研究: (1)通过推理,他发现ABP

10、PCE,请你帮他完成证明 (2)利用几何画板,他改变 BC 的长度,运动点 P,得到不同位置时,CE、BP 的长度 的对应值: 当 BC6cm 时,得表 1: BP/cm 1 2 3 4 5 CE/cm 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 当 BC8cm 时,得表 2: BP/cm 1 2 3 4 5 6 7 CE/cm 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 这说明,点 P 在线段 BC 上运动时,要保证点 E 总在线段 CD 上,BC 的长度应有一定的 限制 填空: 根据函数的定义, 我们可以确定, 在 BP 和 CE 的长度这两个变量中, 的

11、长度为自变量, 的长度为因变量; 设 BCmcm,当点 P 在线段 BC 上运动时,点 E 总在线段 CD 上,求 m 的取值范围 24(1)阅读与证明 如图 1,在正ABC 的外角CAH 内引射线 AM,作点 C 关于 AM 的对称点 E(点 E 在 CAH 内),连接 BE,BE、CE 分别交 AM 于点 F、G 完成证明:点 E 是点 C 关于 AM 的对称点, AGE90,AEAC,12 正ABC 中,BAC60,ABAC, AEAB,得34 在ABE 中,1+2+60+3+4180,1+3 在AEG 中,FEG+3+190,FEG 求证:BFAF+2FG (2)类比与探究 把(1)中

12、的“正ABC”改为“正方形 ABDC”,其余条件不变,如图 2类比探究, 可得: FEG ; 线段 BF、AF、FG 之间存在数量关系 (3)归纳与拓展 如图 3,点 A 在射线 BH 上,ABAC,BAC(0180),在CAH 内引射 线 AM,作点 C 关于 AM 的对称点 E(点 E 在CAH 内),连接 BE,BE、CE 分别交 AM 于点 F、G则线段 BF、AF、GF 之间的数量关系为 25如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 yx2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,过 A、B 两点的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于另一点 C(1,0) (1)求抛物线

13、的解析式; (2)在抛物线上是否存在一点 P,使 SPABSOAB?若存在,请求出点 P 的坐标,若不 存在,请说明理由; (3) 点 M 为直线 AB 下方抛物线上一点, 点 N 为 y 轴上一点, 当MAB 的面积最大时, 求 MN+ON 的最小值 参考答案 一、单项选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1人类与病毒的斗争是长期的,不能松懈据中央电视台报道,截止北京时间 2020 年 6 月 30 日凌晨,全球新冠肺炎患者确诊病例达到 1002 万1002 万用科学记数法表示,正 确的是( ) A1.002107 B1.002106 C1002104 D1.002102万 【分析】科学记

14、数法的表示形式为 a10n的形式,其中 1|a|10,n 为整数确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值大于 10 时,n 是正数;当原数的绝对值小于 1 时,n 是负数 解:1002 万用科学记数法表示为 1.002107, 故选:A 2下列各数中,比 3 大比 4 小的无理数是( ) A3.14 B C D 【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数,无限不循环小数为无理数,根据无理数的 定义即可求解 解:3,4, A、3.14 是有理数,故此选项不合题意; B、是有理数,故此选项不符合题意; C、是比 3 大比 4 小的无

15、理数,故此选项符合题意; D、比 4 大的无理数,故此选项不合题意; 故选:C 3下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字其中,手的对面是口的是( ) A B C D 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题 解:A、手的对面是勤,不符合题意; B、手的对面是口,符合题意; C、手的对面是罩,不符合题意; D、手的对面是罩,不符合题意; 故选:B 4下列说法正确的是( ) A为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用普查 B确定事件一定会发生 C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96,那 么这组数据的众数为 98 D数据 6、5、8、7、2 的中

16、位数是 6 【分析】根据抽样调查与普查的区别、确定性事件的概念、众数和中位数的定义逐一求 解可得 解:A为了解全国中小学生的心理健康状况,应采用抽样调查,此选项错误; B确定事件一定会发生,或一定不会发生,此选项错误; C某校 6 位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为 98、97、99、99、98、96,那 么这组数据的众数为 98 和 99,此选项错误; D数据 6、5、8、7、2 的中位数是 6,此选项正确; 故选:D 5图 2 是图 1 中长方体的三视图,用 S 表示面积,S主x2+3x,S左x2+x,则 S俯( ) Ax2+3x+2 Bx2+2x+1 Cx2+4x+3 D2x2+4

17、x 【分析】由主视图和左视图的宽为 x,结合两者的面积得出俯视图的长和宽,从而得出答 案 解:S主x2+3xx(x+3),S 左x2+xx(x+1), 俯视图的长为 x+3,宽为 x+1, 则俯视图的面积 S俯(x+3)(x+1)x2+4x+3, 故选:C 6如图,正方体的每条棱上放置相同数目的小球,设每条棱上的小球数为 m,下列代数式 表示正方体上小球总数,则表达错误的是( ) A12(m1) B4m+8( m2) C12( m2)+8 D12m16 【分析】正方体有 12 条棱,每条棱上的小球数为 m,则有 12m 个小球,而每个顶点处的 小球重复计算 2 次, 则正方形边上的所有小球的个

18、数为 12m8212m16, 再将各选 项化简即可 解: 由题意得, 当每条棱上的小球数为 m 时, 正方体上的所有小球数为 12m8212m 16 而 12(m1)12m1212m16,4m+8( m2)12m16,12( m2)+812m 16, 所以 A 选项表达错误,符合题意; B、C、D 选项表达正确,不符合题意; 故选:A 7 中国奇书 易经 中记载, 远古时期, 人们通过在绳子上打结来计数, 即 “结绳计数” 如 图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满 5 进 1,用来记录孩子自出生后的天 数由图可知,孩子自出生后的天数是( ) A10 B89 C165 D294 【分析

19、】 根据计数规则可知, 从右边第为的计数单位为 50, 右边第 2 位的计数单位为 51, 右边第 3 位的计数单位为 52,右边第 4 位的计数单位为 53依此类推,可求出结果 解:253+152+351+450294, 故选:D 8如图,在半径为 5 的O 中,将劣弧 AB 沿弦 AB 翻折,使折叠后的恰好与 OA、OB 相切,则劣弧 AB 的长为( ) A B C D 【分析】作 O 点关于 AB 的对称点 O,连接 OA、OB,如图,利用对称的性质得 到OAOBOAOB, 则可判断四边形OAOB为菱形, 再根据切线的性质得到O AOA,OBOB,则可判断四边形 OAOB 为正方形,然后

20、根据弧长公式求解 解:如图,作 O 点关于 AB 的对称点 O,连接 OA、OB, OAOBOAOB, 四边形 OAOB 为菱形, 折叠后的与 OA、OB 相切, OAOA,OBOB, 四边形 OAOB 为正方形, AOB90, 劣弧 AB 的长 故选:B 9如图,直线 y1kx 与抛物线 y2ax2+bx+c 交于 A、B 两点,则 yax2+(bk)x+c 的图 象可能是( ) A B C D 【分析】根据题意和题目中给出的函数图象,可以得到函数 yax2+(bk)x+c 的大致 图象,从而可以解答本题 解:设 yy2y1, y1kx,y2ax2+bx+c, yax2+(bk)x+c, 由

21、图象可知,在点 A 和点 B 之间,y0,在点 A 的左侧或点 B 的右侧,y0, 故选项 B 符合题意,选项 A、C、D 不符合题意; 故选:B 10如图,BOD45,BODO,点 A 在 OB 上,四边形 ABCD 是矩形,连接 AC、BD 交于点 E, 连接 OE 交 AD 于点 F 下列 4 个判断: OE 平分BOD; OFBD; DF AF;若点 G 是线段 OF 的中点,则AEG 为等腰直角三角形正确判断的个数 是( ) A4 B3 C2 D1 【分析】由矩形得 EBEDEA,BAD 为直角,再由等腰三角形的三线合一性质可判 断的正误;证明AOFABD,便可判断的正误;连接 BF

22、,由线段的垂直平分 线得 BFDF,由前面的三角形全等得 AFAB,进而便可判断的正误;由直角三角形 斜边上的中线定理得 AGOG,进而求得AGE45,由矩形性质得 EDEA,进而 得EAD22.5,再得EAG90,便可判断的正误 解:四边形 ABCD 是矩形, EBED, BODO, OE 平分BOD, 故正确; 四边形 ABCD 是矩形, OADBAD90, ABD+ADB90, OBOD,BEDE, OEBD, BOE+OBE90, BOEBDA, BOD45,OAD90, ADO45, AOAD, AOFABD(ASA), OFBD, 故正确; AOFABD, AFAB, 连接 BF,

23、如图 1, BF, BEDE,OEBD, DFBF, DF, 故正确; 根据题意作出图形,如图 2, G 是 OF 的中点,OAF90, AGOG, AOGOAG, AOD45,OE 平分AOD, AOGOAG22.5, FAG67.5,ADBAOF22.5, 四边形 ABCD 是矩形, EAED, EADEDA22.5, EAG90, AGEAOG+OAG45, AEG45, AEAG, AEG 为等腰直角三角形, 故正确; 故选:D 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 112019 年是中华人民共和国成立 70 周年,天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游 行活动其中,群众游行队

24、伍以“同心共筑中国梦”为主题,包含有“建国创业”“改 革开放”“伟大复兴”三个部分,某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分,制作扇形统 计图以下是打乱了的统计步骤: 绘制扇形统计图 收集三个部分本班学生喜欢的人数 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比 其中正确的统计顺序是 【分析】根据扇形统计图的制作步骤求解可得 解:正确的统计顺序是: 收集三个部分本班学生喜欢的人数; 计算扇形统计图中三个部分所占的百分比; 绘制扇形统计图; 故答案为: 12如图,点 P(2,1)与点 Q(a,b)关于直线 1(y1)对称,则 a+b 5 【分析】利用轴对称的性质求出等 Q 的坐标即可 解:点 P(2,1)与点

25、Q(a,b)关于直线 1(y1)对称, a2,b3, a+b235, 故答案为5 13小明为测量校园里一颗大树 AB 的高度,在树底部 B 所在的水平面内,将测角仪 CD 竖 直放在与 B 相距 8m 的位置, 在 D 处测得树顶 A 的仰角为 52 若测角仪的高度是 1m, 则大树 AB 的高度约为 11 (结果精确到 lm参考数据:sin520.78,cos52 0.61,tan521.28) 【分析】过点 D 作 DEAB,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,求出 AE, 进而求出 AB 即可 解:如图,过点 D 作 DEAB,垂足为 E,由题意得,BCDE8,ADE52,DE C

26、D1 在 RtADE 中,ADDE tanADE8tan5210.24, ABAE+BE10.24+111(米) 故答案为:11 14如图,点 A、B 在反比函数 y的图象上,A、B 的纵坐标分别是 3 和 6,连接 OA、 OB,则OAB 的面积是 9 【分析】根据图象上点的坐标特征求得 A、B 的坐标,将三角形 AOB 的面积转化为梯形 ABED 的面积,根据坐标可求出梯形的面积即可, 解:点 A、B 在反比函数 y的图象上,A、B 的纵坐标分别是 3 和 6, A(4,3),B(2,6), 作 ADy 轴于 D,BEy 轴于 E, SAODSBOE 126, SOABSAOD+S 梯形A

27、BEDSBOES梯形ABED, SAOB (4+2)(63)9, 故答案为 9 15已知ABC 的三边 a、b、c 满足 b+|c3|+a28a419,则ABC 的内切圆半 径 1 【分析】由非负性可求 a,b,c 的值,由勾股定理的逆定理可证ABC 是直角三角形, ABC90,由面积法可求ABC 的内切圆半径 解:b+|c3|+a28a419, |c3|+(a4)2+()20, c3,a4,b5, 32+422552, c2+a2b2, ABC 是直角三角形,ABC90, 设内切圆的半径为 r, 根据题意,得 SABC343r+4r+ r5, r1, 故答案为:1 16已知 k 为正整数,无

28、论 k 取何值,直线 11:ykx+k+1 与直线 12:y(k+1)x+k+2 都 交于一个固定的点,这个点的坐标是 (1,1) ;记直线 11和 12与 x 轴围成的三角 形面积为 Sk,则 S1 ,S1+S2+S3+S100的值为 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1),即可证出无论 k 取何值,直线 l1与 l2的交点均为定点(1,1);先求出 ykx+k+1 与 x 轴的交点和 y(k+1)x+k+2 与 x 轴的交点坐标,再根据三角形面积公式求出 Sk,求出 S1(1),S2 ( ),以此类推 S100 ( ),相加后得到 (1) 解:直线 11:ykx+k+1k(x+1

29、)+1, 直线 12:y(k+1)x+k+2 经过点(1,1); 直线 12:y(k+1)x+k+2k(x+1)+(x+1)+1(k+1)(x+1)+1, 直线 12:y(k+1)x+k+2 经过点(1,1) 无论 k 取何值,直线 l1与 l2的交点均为定点(1,1) 直线 11:ykx+k+1 与 x 轴的交点为( ,0), 直线 12:y(k+1)x+k+2 与 x 轴的交点为( ,0), SK |+ |1, S1 ; S1+S2+S3+S100 + (1)+()+() (1) 故答案为(1,1); 三、解答题:解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤(共 72 分) 17计算:2

30、2+()2+()0+ 【分析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出 答案 解:原式4+9+15 1 18求代数式(x1)的值,其中 x +1 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将 x 的值代入计算可得 解:原式() ) x(x1) 当 x+1 时, 原式(+1)(+11) (+1) 2 19如图,点 O 在ABC 的边 BC 上,以 OB 为半径作O,ABC 的平分线 BM 交O 于 点 D,过点 D 作 DEBA 于点 E (1)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹),补全图形; (2)判断O 与 DE 交点的个数,并说明理由 【分析】(1)根

31、据要求,利用尺规作出图形即可 (2)证明直线 AE 是O 的切线即可解决问题 解:(1)如图,O,射线 BM,直线 DE 即为所求 (2)直线 DE 与O 相切,交点只有一个 理由:OBOD, ODBOBD, BD 平分ABC, ABMCBM, ODBABD, ODAB, DEAB, AEOD, 直线 AE 是O 的切线, O 与直线 AE 只有一个交点 20争创全国文明城市,从我做起尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程,为了解学 生的学习情况,随机抽取了 20 名学生的测试成绩,分数如下: 94 83 90 86 94 88 96 100 89 82 94 82 84 89 88 93 9

32、8 94 93 92 整理上面的数据,得到频数分布表和扇形统计图: 等级 成绩/分 频数 A 95x100 a B 90 x95 8 C 85x90 5 D 80 x85 4 根据以上信息,解答下列问题 (1)填空:a 3 ,b 40 ; (2) 若成绩不低于 90 分为优秀, 估计该校 1200 名八年级学生中, 达到优秀等级的人数; (3)已知 A 等级中有 2 名女生,现从 A 等级中随机抽取 2 名同学,试用列表或画树状图 的方法求出恰好抽到一男一女的概率 【分析】(1)由四个等级的人数之和等于总人数可得 a 的值,利用百分比的概念可得 b 的值; (2)用总人数乘以样本中 A、B 等

33、级人数和所占比例即可得; (3)列表得出所有等可能的情况数,找出一男一女的情况数,即可求出所求的概率 解:(1)由题意知 a20(8+5+4)3,b%100%40%,即 b40; 故答案为:3、40; (2)估计该校 1200 名八年级学生中,达到优秀等级的人数为 1200660(人); (3)列表如下: 男 女 女 男 (男,女) (男,女) 女 (男,女) (女,女) 女 (男,女) (女,女) 所有等可能的结果有 6 种,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种, 恰好抽到一男一女的概率为 21如图,ABC 中,BC2AB,D、E 分别是边 BC、AC 的中点将CDE 绕点 E 旋转

34、 180 度,得AFE (1)判断四边形 ABDF 的形状,并证明; (2)已知 AB3,AD+BF8,求四边形 ABDF 的面积 S 【分析】 (1) 结论: 四边形 ABDF 是菱形 根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可 (2)设 OAx,OBy,构建方程组求出 2xy 即可解决问题 解:(1)结论:四边形 ABDF 是菱形 CDDB,CEEA, DEAB,AB2DE, 由旋转的性质可知,DEEF, ABDF,ABDF, 四边形 ABDF 是平行四边形, BC2AB,BDDC, BABD, 四边形 ABDF 是菱形 (2)连接 BF,AD 交于点 O 四边形 ABDF 是菱形, ADBF

35、,OBOF,AOOD,设 OAx,OBy, 则有, x+y4, x2+2xy+y216, 2xy7, S菱形ABDF BFAD2xy7 22某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表: 原进价(元/张) 零售价(元/张) 成套售价(元/套) 餐桌 a 380 940 餐椅 a140 160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 (1)求表中 a 的值; (2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张,且餐桌和餐椅的总数量 不超过 200 张若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、 餐椅以零售方式销售,请问怎

36、样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少? 【分析】(1)根据数量总价单价,即可得出结论,解之经检验后即可得出 a 值; (2)设购进餐桌 x 张,则购进餐椅(5x+20)张,由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张, 可得出关于 x 的一元一次不等式,解之即可得出 x 的取值范围,设销售利润为 y 元,根 据销售方式及总利润单件 (单套) 利润销售数量, 即可得出 y 关于 x 的函数关系式, 利用一次函数的性质即可解决最值问题 解:(1)根据题意得:, 解得 a260, 经检验,a260 是原分式方程的解 答:表中 a 的值为 260 (2)设购进餐桌 x 张,则购进餐椅(5x+20)张,

37、根据题意得:x+5x+20200, 解得:x30 设销售利润为 y 元, 根据题意得:y9402604(260110)x+(380260)x+160(260 110)(5x+204x)250 x+1000, k2500, 当 x30 时,y 取最大值,最大值为:25030+10008500 答:当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时,才能获得最大利润,最大利润是 8500 元 23如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,B90,AB6cm,CD2cmP 为线段 BC 上 的一动点,且和 B、C 不重合,连接 PA,过点 P 作 PEPA 交射线 CD 于点 E聪聪根 据学习函数的经验,对这个问

38、题进行了研究: (1)通过推理,他发现ABPPCE,请你帮他完成证明 (2)利用几何画板,他改变 BC 的长度,运动点 P,得到不同位置时,CE、BP 的长度 的对应值: 当 BC6cm 时,得表 1: BP/cm 1 2 3 4 5 CE/cm 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 当 BC8cm 时,得表 2: BP/cm 1 2 3 4 5 6 7 CE/cm 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 这说明,点 P 在线段 BC 上运动时,要保证点 E 总在线段 CD 上,BC 的长度应有一定的 限制 填空:根据函数的定义,我们可以确定,在 BP

39、 和 CE 的长度这两个变量中, BP 的 长度为自变量, EC 的长度为因变量; 设 BCmcm,当点 P 在线段 BC 上运动时,点 E 总在线段 CD 上,求 m 的取值范围 【分析】(1)根据两角对应相等两三角形相似证明即可 (2)根据函数的定义判断即可 设 BPxcm,CEycm利用相似三角形的性质构建二次函数,两条二次函数的性质 求出 y 的最大值即可解决问题 【解答】(1)证明:ABCD, B+C90, B90, BC90, APPE, APE90, APB+EPC90, EPC+PEC90, APBPEC, ABPPCE (2)解:根据函数的定义,我们可以确定,在 BP 和 C

40、E 的长度这两个变量中,BP 的 长度为自变量,EC 的长度为因变量, 故答案为:BP,EC 设 BPxcm,CEycm ABPPCE, , , yx2+mx(xm)2+, 0, xm 时,y 有最大值, 点 E 在线段 CD 上,CD2cm, 2, m4, 0m4 24(1)阅读与证明 如图 1,在正ABC 的外角CAH 内引射线 AM,作点 C 关于 AM 的对称点 E(点 E 在 CAH 内),连接 BE,BE、CE 分别交 AM 于点 F、G 完成证明:点 E 是点 C 关于 AM 的对称点, AGE90,AEAC,12 正ABC 中,BAC60,ABAC, AEAB,得34 在ABE

41、 中,1+2+60+3+4180,1+3 60 在AEG 中,FEG+3+190,FEG 30 求证:BFAF+2FG (2)类比与探究 把(1)中的“正ABC”改为“正方形 ABDC”,其余条件不变,如图 2类比探究, 可得: FEG 45 ; 线段 BF、AF、FG 之间存在数量关系 BFAF+FG (3)归纳与拓展 如图 3,点 A 在射线 BH 上,ABAC,BAC(0180),在CAH 内引射 线 AM,作点 C 关于 AM 的对称点 E(点 E 在CAH 内),连接 BE,BE、CE 分别交 AM 于点 F、G则线段 BF、AF、GF 之间的数量关系为 BF2AF sin+ 【分析

42、】(1)利用等腰三角形的性质,三角形内角和定理解决问题即可 如图 1 中,连接 CF,在 FB 上取一点 T,使得 FTCF,连接 CT证明BCTACF (SAS)可得结论 (2)如图 2 中,利用圆周角定理解决问题即可 结论:BFAF+FG如图 2 中,连接 CF,在 FB 上取一点 T,使得 FTCF, 连接 CT证明BCTACF,推出,推出 BTCF 可得结论 (3)如图 3 中,连接 CF,BC,在 BF 上取一点 T,使得 FTCF构造相似三角形,利 用相似三角形的性质解决问题即可 【解答】(1)解:如图 1 中,点 E 是点 C 关于 AM 的对称点, AGE90,AEAC,12

43、正ABC 中,BAC60,ABAC, AEAB,得34 在ABE 中,1+2+60+3+4180, 1+360 在AEG 中,FEG+3+190, FEG30 故答案为 60,30 证明:如图 1 中,连接 CF,在 FB 上取一点 T,使得 FTCF,连接 CT C,E 关于 AM 对称, AM 垂直平分线段 EC, FEFC, FECFCE30,EF2FG, CFTFEC+FCE60, FCFT, CFT 是等边三角形, ACBFCT60,CFCTFT, BCTACF, CBCA, BCTACF(SAS), BTAF, BFBT+FTAF+EFAF+2FG (2)解:如图 2 中,ABAC

44、AE, 点 A 是ECB 的外接圆的圆心, BECBAC, BAC90, FEG45 故答案为 45 结论:BFAF+FG 理由:如图 2 中,连接 CF,在 FB 上取一点 T,使得 FTCF,连接 CT AMEC,CGCE, FCEF, FECFCE45,EFFG, CFTFEC+FCE90, CFCT, CFT 是等腰直角三角形, CTCF, ABC 是等腰直角三角形, BCAC, , BCATCF45, BCTACF, BCTACF, , BTCF, BFBT+TFAF+EAF+FG (3)如图 3 中,连接 CF,BC,在 BF 上取一点 T,使得 FTCF ABAC,BAC, si

45、n, 2 sin, ABACAE, BECBAC,EF, FCFE, FECFCE, CFTFEC+FCE, 同法可证,BCTACF, 2 sin, BT2AF sin, BFBT+FT2AF sin+EF即 BF2AF sin+ 故答案为:BF2AF sin+ 25如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 yx2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,过 A、B 两点的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于另一点 C(1,0) (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在一点 P,使 SPABSOAB?若存在,请求出点 P 的坐标,若不 存在,请说明理由; (3) 点 M

46、 为直线 AB 下方抛物线上一点, 点 N 为 y 轴上一点, 当MAB 的面积最大时, 求 MN+ON 的最小值 【分析】(1)先求出点 A,点 B 坐标,利用待定系数法可求解析式; (2)分两种情况讨论,利用平行线之间的距离相等,可求 OP 解析式,EP的解析式, 联立方程组可求解; (3)过点 M 作 MFAC,交 AB 于 F,设点 M(m,m2m2),则点 F(m,m 2),可求 MF 的长,由三角形面积公式可求MAB 的面积(m2)2+4,利用二 次函数的性质可求点 M 坐标,过点 O 作KOB30,过点 N 作 KNOK 于 K 点,过 点 M 作 MROK 于 R, 延长 MF

47、 交直线 KO 于 Q, 由直角三角形的性质可得 KNON, 可得 MN+ONMN+KN, 则当点 M, 点 N, 点 K 三点共线, 且垂直于 OK 时, MN+ ON 有最小值,即最小值为 MP,由直角三角形的性质可求解 解:(1)直线 yx2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B, 点 A(4,0),点 B(0,2), 设抛物线解析式为:ya(x+1)(x4), 24a, a, 抛物线解析式为:y(x+1)(x4)x2x2; (2)如图,当点 P 在直线 AB 上方时,过点 O 作 OPAB,交抛物线与点 P, OPAB, ABP 和ABP 是等底等高的两个三角形, SPABSABO, OPAB, 直线 PO 的解析式为 yx, 联立方程组可得, 解得:或, 点 P(2+2,1+)或(22 ,1); 当点 P在直线 AB 下方时,在 OB 的延长线上截取 BEOB2,过点 E 作 EPAB,交 抛物线于点 P, ABE

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