1、2020 年山东省聊城市中考数学试卷年山东省聊城市中考数学试卷 （满分：120 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求）题目要求） 1在实数1， 2，0， 4 1 中，最小的实数是（ ） A1 B 4 1 C0 D 2 答案D 解析在实数大小比较中，负数小于 0 与正数；两个负数中绝对值大的反而小所给四个实数按从 小到大排列为 210 4 1 ，所以这四个实数中 2最小 2如图所示的几何体的俯视图是（ ） 答案C 解析从
2、上面看几何体所得到的图形为俯视图，其中看得见的轮廓画实线，故选项 C 符合题意 3如图，在 ABC 中，ABAC，C65 ，点 D 是 BC 边上任意一点，过点 D 作 DFAB 交 AC 于点 E，则FEC 的度数是（ ） A120 B130 C145 D150 答案B 解析可利用三角形的外角性质求 FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得 EDC、 B 均与C 相等即：ABAC，BC65 DFAB， EDCB65 FECEDCC65 65 130 4下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba6a 2 a 3 C(2ab2)38a3b6 D(2ab)24a2b2 答案C 解析 a
3、2a3a2+3a5，故选项 A 错误；a6a 2 a )2(6 a8，故选项 B 错误；(2ab2)3( 2)3a3(b2)38a3b6，故选项 C 正确；(2ab)24a24abb2，故选项 D 错误 正面 A B C D A B C D E F 5为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛来自不同年级的 30 名参 赛同学的得分情况如下表所示，这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A92 分，96 分 B94 分，96 分 C96 分，96 分 D96 分，100 分 答案B 解析 30 个数据按大小顺序以表格形式呈现，处于中间位置的第 15 与 16 个数据分别是 92
4、与 96， 故这些成绩的 中位数为 2 9692 94 分； 96 出现的次数最多为 10 次， 故这些成绩的众数是 96 分 6计算45 33 5 3 的结果正确的是（ ） A1 B 3 5 C5 D9 答案A 解析结合二次根式的性质， 按从左到右的顺序进行运算： 方法方法 1：原式 33 53 5 3 1； 方法方法 2： 原式4527 5 3 5 3 27451 7如图，在 4 5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1， ABC 的顶点都在这些小正方形的 顶点上，那么 sinACB 的值为（ ） A 5 53 B 5 17 C 5 3 D 5 4 答案D 解析利用网格特征把ACB
5、放置于直角三角形中求正弦值如图，在 RtACD 中，由勾股定理， 得 AC 22 CDAD 22 34 5，于是 sinACB AC AD 5 4 成绩/分 84 88 92 96 100 人数/人 2 4 9 10 5 A B C 8用配方法解一元二次方程 2x23x10，配方正确的是（ ） A(x 4 3 )2 16 17 B(x 4 3 )2 2 1 C(x 2 3 )2 4 13 D(x 2 3 )2 4 11 答案A 解析由 2x23x10，得 2x23x1，x2 2 3 x 2 1 ，x2 2 3 x( 4 3 )2 2 1 ( 4 3 )2，(x 4 3 )2 16 17 本题中
6、“ 2 3 x”即完全平方式“a22abb2”中的“2ab”，确定 b 值是完成配方的关键 9如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 M，连接 OC，DB，如果 OCDB，OC2 3， 那么图中阴影部分的面积是（ ） A B2 C3 D4 答案B 解析借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积 由垂径定理，得 CMDM， OCDB， CD，又OMCBMD，OMCBMD(ASA)，OMBM 2 1 OB 2 1 OC， cosCOM OC OM 2 1 ，COM60 S阴影S扇形BOC 360 )32(60 2 2 10如图，有一块半径为 1m，圆心角为 90 的扇形铁皮，要把它做成
7、一个圆锥形容器（接缝忽略不 计） ，那么这个圆锥形容器的高为（ ） A B C D A O M C B D A 4 1 m B 4 3 m C 4 15 m D 2 3 m 答案C 解析先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高设圆锥形容器底面圆的 半径为 r，则有 2r 180 190 ，解得 r 4 1 ，则圆锥的高为 22 ) 4 1 (1 4 15 (m) 11人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形 表示一块地砖，如果按图的次序铺设地砖，把第 n 个图形用图 n 表示，那么图50中的白 色小正方形地砖的块数是（ ） A150
8、B200 C355 D505 答案C 解析 该类规律猜想题可从图形规律、数字规律或函数等角度分析求解 方法方法 1：根据图形规律可知，白色小正方形地砖的块数分别为： 5331； 5532； 5733； 则图 n 有白色小正方形地砖的块数是 5(2n1)3n7n5，图50中的白色小正方形地砖的块数是 7 505355 方法方法 2：从数字规律考虑，图、中白色小正方形地砖的块数分别为 12，19，26，发现相 邻两数的差均为 7，即有 12715； 19725； 26735； 则图 n 中白色小正方形地砖的块数是 7n5，50中的白色小正方形地砖的块数是 7505355 方法方法 3：从函数角度入
9、手考虑，根据题意，初步猜想白色小正方形地砖的块数 s 与图形序号 n 具有一 次函数关系，设 sknb，把（1，12）、（2，19）代入，得 .192 ,12 bk bk 解得 . 5 , 7 b k s7n5验证：当 n3 时，s73526，符合题意 当 n50 时，s7505355 12如图，在 Rt ABC 中，AB2，C30 ，将 Rt ABC 绕点 A 转得到 Rt ABC，使点 B 的对 应点 B落在 AC 上，在 BC上取点 D，使 BD2，那么，点 D 到 BC 的距离等于（ ） A2( 3 3 1) B 3 3 1 C31 D31 答案D 解析本题可直接通过解直角三角形解答如
10、图，设 DEBC 于点 E，交 AC 于点 F，则BDF C30 ， DF2BF 在 RtBDF 中， 设 BFx， 根据勾股定理， 得 x222(2x)2， 解得 x 3 32 ， DF 3 34 由旋转知 ABAB2在 RtABC 中，C30 ，AC2AB4，BC42 2， CFBCBF2 3 32 ， EF 2 1 CF1 3 3 DEDFEF 3 34 1 3 3 3 1 题型:填空题二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分.只要求填写最后结果）只要求填写最后结果） 13因式分解：x(x2)x2 答案(x2)(x1) A B
11、C D B C E A B C D B C F 解析先添加括号，构造并提取公因式(x2)进行分解，x(x2)x2x(x2)(x2)(x2)(x 1) 14如图，在O 中，四边形 OABC 为菱形，点 D 在AmC 上，则ADC 的度数是 答案60 解析利用圆周角定理、 圆内接四边形的性质以及菱形的对角相等构建方程求解 在菱形 OABC 中， BO，又O2D，DB180 ，D2D180 ，D60 15计算：(1 a a 1 ) aa 2 1 答案a 解析含括号的分式混合运算，先算括号里的加法，再算除法；也可利用分配律进行运算 方法 1：原式 a aa 1 1 a(a1) ) 1( 1 a a(a
12、1)a 方法 2：原式(1 1a a )(a2a)a2a 1a a a(a1)a2aa2a 16某校开展读书日活动，小亮和小莹升别从校图书馆的“科技”、“文学”、“ 艺术”三类书 籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 答案 3 1 解析利用画树状图法或列表法求概率列表如下： 小亮 小莹 科技 文学 艺术 科技 (科技，科技) (文学，科技) (艺术，科技) 文学 (科技，文学) (文学，文学) (艺术，文学) 艺术 (科技，艺术) (文学，艺术) (艺术，艺术) 可知，一共有 9 种等可能的情况，其中抽到同一类书籍的有 3 种， 所以 P(抽到同一类书籍) 9 3 3 1 17如图，在直
13、角坐标系中，点 A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点 C 的纵坐标为 1，且 CACB，在 y 轴上取一点 D，连接 AC，BC，AD，BD，使得四边形 ACBD 的周长最小，这 个最小周长的值为 O D A B C m 答案425 解析先求点 C的坐标， 再利用最短路径知识确定D点位置， 最后求四边形 ACBD 的最小周长即可 由点 A 与点 C 的纵坐标均为 1，可知 ACx 轴，又点 A，B 是第一象限角平分线上的两点，BAC 45 ，又CACB，CBA45 ，ACBC，C(3，1)，则 ACBC2 如图，作点 A 关于 y 轴的对称点 E，连接 BE 交 y 轴于点
14、 D，此时 ADBD 的值最小，为线段 BE 的 长由轴对称性可知 AE=2，则 EC=4在 RtBCE 中，根据勾股定理，得 BE 22 ECBC 22 42 2 5四边形 ACBD 的最小周长为 2225425 题型:解答题三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，共小题，共 69 分解答题应写出文字说明、证明过程或推演步分解答题应写出文字说明、证明过程或推演步 骤）骤） 18解不等式组 , 4 4 33 23 , 2 3 71 2 1 xxx xx 并写出它的所有整数解 解析先分别解两个不等式，然后借助数轴确定不等式的公共解集，即得到不等式组的解集，再从 中确定整数解 答案解：解：
15、 , 4 4 33 23 , 2 3 71 2 1 xxx xx 解不等式，得 x3 解不等式，得 x 5 4 在同一数轴上表示出表达式，的解集： O D A B C x y O D A B C x y E 0 3 -1 所以该不等式组的解集是 5 4 x3 它的所有整数解为 0，1，2 19 为了提高学生的综合素养， 某校开设了五门手工活动课按照类别分为， A“剪纸”、 B“沙画”、 C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部 分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为_，统计图
16、中的 a_，b_； （2）通过计算补全条形统计图； （3）该校共有 2500 名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数 解析 （1） 已知类别 A 的人数与所占抽取人数的百分比， 由此可先求得样本容量为 1815%120， 则 a12010%12，b12030%36； （2）样本容量减去前四类别的人数即得类别 E 的人数，或者根据利用百分比求解，即可补全条形统 计图； （3）利用样本估计总体的统计思想求解 答案解：解：（1）120；12，36； （2）C 类别所占的百分比为：3012025%， E 类别的人数为：120(115%10%25%30%)24（人） 补全条形统计图如图所示： （
17、3） 120 30 2500625（人） 答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为 625 人 20今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的 A、B 两种树苗，每捆 A 种树苗比每捆 B 种 A B C D E a b 18 30 人数 活动课类别 30% 10% 15% A E D C B 24 3 A B C D E a b 18 30 人数 活动课类别 树苗多 10 棵，每捆 A 种树苗和每捆 B 种树苗的价格分别是 630 元和 600 元，而每棵 A 种树苗和每 棵 B 种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的 0.9 倍和 1.2 倍 （1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？
18、 （2）如果购进的这批树苗共 5500 棵，A 种树苗至多购进 3500 棵，为了使购进的这批树苗的费用最 低，应购进 A 种树苗和 B 种树苗各多少棵？并求出最低费用 解析（1）直接设元，可表示出 A，B 两种树苗的价格，利用等量关系“每捆 A 种树苗的棵数每 捆 B 种树苗的棵数10”构建分式方程求解； （2）构建这批树苗的费用 w(元)与购进 A 种树苗的棵数 t(棵)之间的一次函数关系，利用其增减性确 定最低费用 答案解：解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是 x 元， 根据题意，得 xx2 . 1 600 9 . 0 630 10 解之，得 x20 经检验知，x20 是原分式方程的根
19、，并符合题意 答：这一批树苗平均每棵的价格是 20 元 （2）由（1）可知 A 种树苗每棵价格为 20 0.918 元，B 种树苗每棵价格为 20 1.224 元，设购进 A 种树苗 t 棵，这批树苗的费用为 w，则 w18t24(5500t)6t132000 因为 w 是 t 的一次函数，k60，w 随着 t 的增大而减小，又 t3500，所以当 t3500 棵时，w 最小此时，B 种树苗有 550035002000 棵w6 3500132000111000 答：购进 A 种树苗 3500 棵，B 种树苗 2000 棵，能使得购进这批树苗的费用最低为 111000 元 21 如图， 在ABC
20、D 中， E 为 BC 的中点， 连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F， 连接 BF， AC 若 ADAF，求证：四边形 ABFC 是矩形 解析本题蕴含 “倍长中线” 的基本图形， 易证ABEFCE， 得四边形 ABFC 的对角线互相平分， 于是再证两对角线相等，结论即可获证 答案证明证明：在ABCD 中，ABDF，ABEFCE， E 为 BC 的中点，BECE，又AEBFEC， ABEFCE(ASA) AEFE，又 BECE， 四边形 ABFC 是平行四边形 在ABCD 中，ADBC，又ADAF， BCAF，ABFC 是矩形 22 如图， 小莹在数学综合实践活动中， 利用所学的数学知
21、识对某小区居民楼 AB 的高度进行测量 先 测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m， 后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45 居 民楼 AB 的顶端 B 的仰角为 55 已知居民楼 CD 的高度为 16.6m，小莹的观测点 N 距地面 1.6m求 E D A B C F 居民楼 AB 的高度（精确到 1m） （参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43） 解析过点 N 作出平行于 AC 的直线，即可构造两个直角三角形，通过解直角三角形求解，均属于 “已知一边一角”解直角三角形类型 答案解解：过点 N 作 EFAC 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F 则
22、 AEMNCF1.6，EFAC35，BENDFN90 ， ENAM，NFMC， 则 DFCDCF16.61.615 在 RtDFN 中，DNF45 ， NFDF15 ENEFNF351520 在 RtBEN 中，tanBNE EN BE ， BEENtanBNE20tan55201.4328.6 ABBEAE28.61.630 答：居民楼 AB 的高度约为 30m 23如图，已知反比例函数 y x k 的图象与直线 yaxb 相交于点 A(2，3)，B(1，m) （1）求出直线 yaxb 的表达式； （2）在 x 轴上有一点 P 使得 PAB 的面积为 18，求出点 P 的坐标 55 45 A
23、 B C D M N 55 45 A B C D M N E F 解析（1）根据点 A 的坐标先求反比例函数的表达式，再求点 B 的坐标，最后利用待定系数法确 定一次函数的表达式； （2）先求出直线 AB 与 x 轴的交点 E 的坐标，这样结合点 A，B 的纵坐标，利用PAE 与PBE 面 积之和为 18 求得两三角形公共底边 PE 的长，再分点 P 在直线 AB 两侧两种情形求出点 P 的坐标 答案解：解：（1）A(2，3)在 y x k 的图象上， 3 2 k ，k6 又点 B(1，m)在 y x 6 的图象上，m6，即 B(1，6) 将点 A，B 的坐标代入 yaxb，得 ,6 ,23
24、ba ba 解得 . 3 , 3 b a 直线的表达式为 y3x3 （2）设直线 y3x3 与 x 轴的交点为 E， 当 y0 时，解得 x1即 E(1，0) 分别过点 A，B 作 x 轴的垂线 AC，BD，垂足分别为 C，D SPAB 2 1 PEAC 2 1 PEDB 2 3 PE 2 6 PE 2 9 PE 又 SPAB18，即 2 9 PE18，PE4 当点 P 在原点右侧时，P(3，0) 当点 P 在原点左侧时，P(5，0) O x y A B 24 如图， 在 ABC 中， ABBC， 以 ABC 的边 AB 为直径作O， 交 AC 于点 D， 过点 D 作 DEBC， 垂足为点
25、E （1）试证明 DE 是O 的切线； （2）若O 的半径为 5，AC610，求此时 DE 的长 解析（1）本题属于“见切点，连半径，证垂直”类型，根据已知条件“DEBC”只需证明 OD BC 即可，由此发现点 D 应为 AC 的中点，利用圆周角定理的推论与等腰三角形三线合一的性质 可获得，从而思路得以沟通； （2）本题实质上是解等腰三角形，除了利用 RtCDERtABD 求解外，在 RtBCD 中利用面积 法求高 DE 的长更显简捷 答案解：解：（1）证明：连接 OD，BD， AB 为O 的直径，BDAD， 又ABBC，ABC 是等腰三角形， BD 又是 AC 边上的中线， OD 是ABC
26、的中位线， ODBC， 又 DEBC，DEOD， DE 是O 的切线 C E P D O x y A B O D A B C E O D A B C E （2）由（1）知，BD 是 AC 边上的中线，AC610， 得 ADCD310 O 的半径为 5，AB10 在 RtABD 中，BD 22 ADAB 22 )103(10 10 ABBC，AC 在 RtCDE 和 RtABD 中，DECADB90 ，CA， RtCDERtABD， BD DE AB CD ， 即 1010 103DE ，解得 DE3 25如图，二次函数 yax2bx4 的图象与 x 轴交于点 A(10)，B(40)，与 y 轴
27、交于点 C，抛 物线的顶点为 D，其对称轴与线段 BC 交于点 E垂直于 x 轴的动直线 l 分别交抛物线和线段 BC 于 点 P 和点 F，动直线 l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 x 轴正方向移动到 B 点 （1）求出二次函数 yax2bx4 和 BC 所在直线的表达式； （2）在动直线 l 移动的过程中，试求使四边形 DEFP 为平行四边形的点 P 的坐标； （3）连接 CP，CD，在移动直线 l 移动的过程中，抛物线上是否存在点 P，使得以点 P，C，F 为顶 点的三角形与 DCE 相似，如果存在，求出点 P 的坐标，如果不存在，请说明理由 解析（1）运用待定系数法，利用 A
28、，B 两点的坐标构建二元一次方程组求解二次函数的表达式， 利用 B，C 两点的坐标确定直线 BC 的表达式； （2）DE 长可求，由于直线 l 与抛物线的对称轴互相平行，故只需具备 PFDE，即得四边形 DEFP 为平行四边形点 P 与点 F 的横坐标相同，故利用抛物线与直线的解析式表示它们的纵坐标，根据 其差等于 DE 长构建一元二次方程求解； （3）结合图形与已知条件，易于发现若两三角形相似，只可能存在 PCFCDE 一种情况 CDE 的三边均可求， （2）中已表示 PF 的长，再构建直角三角形或借助两点间距离公式，利用勾股 定理表示出 CF 的长， 这样根据比例式列方程求解， 从而可判断
29、点 P 是否存在， 以及求解点 P 的值 答案解：解：（1）由题意，将 A(10)，B(40)代入 yax2bx4，得 C A O E F B P D l x y . 04416 , 04 ba ba 解得 . 3 , 1 b a 二次函数的表达式为 yx23x4 当 x0 时，y4，得点 C(0，4)，又点 B(4，0)， 设线段 BC 所在直线的表达式为 ymxn， . 04 , 4 nm n 解得 . 4 , 1 n m BC 所在直线的表达式为 yx4 （2）DEx 轴，PFx 轴，DEPF， 只要 DEPF，此时四边形 DEFP 即为平行四边形 由二次函数 yx23x4(x 2 3
30、) 2 4 25 ，得 D( 2 3 ， 4 25 ) 将 x 2 3 代入 yx4，即 y 2 3 4 2 5 ，得点 E( 2 3 ， 2 5 ) DE 4 25 2 5 4 15 设点 P 的横坐标为 t，则 P(t，t23t4)，F(t，t4)， PFt23t4(t4)t24t， 由 DEPF，得t24t 4 15 ， 解之，得 t1 2 3 (不合题意，舍去)，t2 2 5 当 t 2 5 时，t23t4( 2 5 )232 5 4 4 21 P( 2 5 ， 4 21 ) （3）由（2）知，PFDE，CEDCFP 又PCF 与DCE 有共同的顶点 C，且PCF 在DCE 的内部，
31、PCFDCE， 只有当PCFCDE 时， PCFCDE 由 D( 2 3 ， 4 25 )，C(0，4)，E( 2 3 ， 2 5 )，利用勾股定理，可得 C A O E F B P D l x y 图 C A O E F B P D l x y 图 CE 22 ) 2 5 4() 2 3 (2 2 3 ，DE 4 25 2 5 4 15 由（2）以及勾股定理知，PFt24t， CF 22 )4(4tt2t DE CF CE PF ，即 4 15 2 2 2 3 4 2 ttt t0， 4 15 (t4)3，t 5 16 当 t 5 16 时，t23t4( 5 16 )23 5 16 4 25 84 点 P 的坐标是( 5 16 ， 25 84 )
