1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效上无效. 3考试结
2、束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.若 z=1+i，则|z22z|=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 2.设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（ ） A 4 B. 2 C. 2 D. 4 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱
3、锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （ ） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 4.已知 A为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位： C）的关系，在 20个不同的温度条 件下进行种子发芽实验，由实验数据( , )(1,2,20) ii x yi 得到下面的散点图： 由此散点图，在 10 C至 40 C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发
4、芽率 y和温度 x回归方程类型 的是（ ） A. yabx B. 2 yabx C. exyab D. lnyabx 6.函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（ ） A. 21yx B. 21yx C. 23yx D. 21yx 7.设函数( )cos () 6 f xx在 ,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. 10 9 B. 7 6 C. 4 3 D. 3 2 8. 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9.已知 ()0, ，且3cos28cos5，则sin（ ）
5、 A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 10.已知, ,A B C为球O的球面上的三个点，1 O为ABC的外接圆，若 1 O的面积为4， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为（ ） A. 64 B. 48 C. 36 D. 32 11.已知M： 22 2220xyxy，直线l：2 20xy，P为l上的动点，过点P作M的切线 ,PA PB，切点为,A B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程为（ ） A. 210xy B. 210xy C. 210xy D. 210xy 12.若 24 2log42log ab ab，则（ ） A. 2ab B. 2ab C. 2 ab D
6、. 2 ab 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.若 x，y满足约束条件 220, 10, 10, xy xy y 则 z=x+7y 的最大值为_. 14.设, a b为单位向量，且| | 1ab ，则|ab_. 15.已知 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A为 C 的右顶点，B为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C的离心率为_. 16.如图，在三棱锥 PABC的平面展开图中，AC=1，3ABAD，ABAC，ABAD，CAE=30 ， 则 cosFC
7、B=_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.设 n a是公比不为 1的等比数列， 1 a为 2 a， 3 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，求数列 n na的前n项和 18.如图，D为圆锥顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE ADABC是底面的内接正 三角
8、形，P为DO上一点， 6 6 PODO （1）证明：PA 平面PBC； （2）求二面角BPCE余弦值 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛 的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰； 当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、 乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛概率； （3）求丙最终获胜的概率. 20.已知 A、B 分别为椭圆 E： 2 2 2 1 x
9、y a （a1）的左、右顶点，G 为 E的上顶点，8AG GB，P为直线 x=6 上的动点，PA 与 E的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD过定点. 21.已知函数 2 ( )exf xaxx. （1）当 a=1时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x） 1 2 x3+1，求 a 的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。题计分。 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参
10、数方程 22.在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 cos, sin k k xt yt (t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4 cos16 sin30 （1）当1k 时， 1 C是什么曲线？ （2）当4k 时，求 1 C与 2 C的公共点的直角坐标 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 ( ) |31| 2|1|f xxx （1）画出( )yf x的图像； （2）求不等式 ( )(1)f xf x 的解集 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项
11、： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共
12、12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.若 z=1+i，则|z22z|=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 分析】 由题意首先求得 2 2zz 的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得： 2 2 12zii，则 2 222 12zzii. 故 2 222zz . 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2.设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（
13、 ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a的方程，求解方程即可确定实数 a的值. 【详解】求解二次不等式 2 40x 可得：2|2Axx， 求解一次不等式20xa可得：| 2 a Bx x . 由于| 21ABxx ，故：1 2 a ，解得：2a . 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角
14、形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 （ ） A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 【答案】C 【解析】 【分析】 设,CDa PEb，利用 2 1 2 POCD PE得到关于, a b的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CDa PEb，则 2 222 4 a POPEOEb ， 由题意 2 1 2 POab，即 2 2 1 42 a bab，化简得 2 4( )210 bb aa ， 解得 15 4 b a （负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.已知 A为抛物线 C:y2
15、=2px（p0）上一点，点 A 到 C的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|12 2 A p AFx，即129 2 p ，解得6p =. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x（单位： C）的关系，在 20个不同的温度条 件下进行种子发芽实验，由实验数据( , )(1,2,20) ii x
16、yi 得到下面的散点图： 由此散点图， 在 10 C至 40 C 之间， 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程类型 的是（ ） A. yabx B. 2 yabx C. exyab D. lnyabx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是lnyabx. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 6.函数 43 ( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为（ ） A. 21
17、yx B. 21yx C. 23yx D. 21yx 【答案】B 【解析】 【分析】 求得函数 yf x的导数 fx ，计算出 1f和 1 f 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】 43 2f xxx， 32 46fxxx， 11f， 12 f ， 因此，所求切线的方程为121yx ，即21yx . 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 7.设函数( )cos () 6 f xx在 ,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. 10 9 B. 7 6 C. 4 3 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可
18、得：函数图象过点 4 ,0 9 ，即可得到 4 cos0 96 ，结合 4 ,0 9 是函数 f x图象 与x轴负半轴的第一个交点即可得到 4 962 ，即可求得 3 2 ，再利用三角函数周期公式即可 得解. 【详解】由图可得：函数图象过点 4 ,0 9 ， 将它代入函数 f x可得： 4 cos0 96 又 4 ,0 9 是函数 f x图象与x轴负半轴的第一个交点， 所以 4 962 ，解得： 3 2 所以函数 f x的最小正周期为 224 3 3 2 T 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8. 2 5 ()()xx y x y
19、的展开式中 x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 求得 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 rrr r TC xy （rN且5r ） ，即可求得 2 y x x 与 5 ()xy展开式 的乘积为 6 5 rrr C xy 或 42 5 rrr C xy 形式，对r分别赋值为 3，1即可求得 33 x y的系数，问题得解. 【详解】 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 rrr r TC xy （rN且5r ） 所以 2 y x x 与 5 ()xy展开式的乘积可表示为： 56 155 rrrrrr r xTxC xyC
20、xy 或 22 542 155 rrrrrr r TC xy x Cy yy x x 在 6 15 rrr r xTC xy 中，令3r ，可得： 333 45 xTC x y，该项中 33 x y的系数为10， 在 42 15 2 rrr r TC x x y y 中，令1r ，可得： 5 2 133 2 TC y x x y，该项中 33 x y的系数为5 所以 33 x y系数为10 5 15 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属 于中档题. 9.已知 ()0, ，且3cos28cos5，则sin（ ） A. 5 3 B.
21、 2 3 C. 1 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角 函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos5，得 2 6cos8cos80 ， 即 2 3cos4cos40 ，解得 2 cos 3 或cos2（舍去） ， 又 2 5 (0, ),sin1cos 3 . 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能 力，属于基础题. 10.已知, ,A B C为球O的球面上的三个点，1 O为ABC的外接圆，若 1 O的面积为4
22、， 1 ABBCACOO，则球O的表面积为（ ） A. 64 B. 48 C. 36 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知可得等边ABC的外接圆半径， 进而求出其边长， 得出 1 OO的值， 根据球截面性质， 求出球的半径， 即可得出结论. 【详解】设圆 1 O半径为r，球的半径为R，依题意， 得 2 4 ,2rr ， 由正弦定理可得 2 sin602 3ABr ， 1 2 3OOAB，根据圆截面性质 1 OO 平面ABC， 2222 11111 ,4OOO A ROAOOO AOOr， 球O的表面积 2 464SR . 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解
23、题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 11.已知M： 22 2220xyxy，直线l：2 20xy，P为l上的动点，过点P作M的切线 ,PA PB，切点为,A B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程为（ ） A. 210xy B. 210xy C. 210xy D. 210xy 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点, , ,A P B M共圆，且ABMP，根据 22 PAM PMABSPA 可知，当直线MPl时，PMAB最小， 求出以MP为直径的圆的方程， 根据圆系的知识即可求出直线AB的方程 【详解】圆的方程可化为 22 114xy，点M到
24、直线l的距离为 22 2 1 1 2 52 21 d ，所以 直线l与圆相离 依圆的知识可知，四点, , ,A P B M四点共圆，且ABMP，所以 1 222 2 PAM PMABSPAAMPA ，而 2 4PAMP ， 当直线MPl时， min 5MP， min 1PA，此时PMAB最小 1 :11 2 MP yx 即 11 22 yx，由 11 22 220 yx xy 解得， 1 0 x y 所以以MP为直径的圆的方程为1110xxy y，即 22 10xyy ， 两圆的方程相减可得：210xy ，即为直线AB的方程 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以
25、及圆的几何性质的应用，意在考查学生的 转化能力和数学运算能力，属于中档题 12.若 24 2log42log ab ab，则（ ） A. 2ab B. 2ab C. 2 ab D. 2 ab 【答案】B 【解析】 【分析】 设 2 ( )2log x f xx，利用作差法结合 ( )f x的单调性即可得到答案. 【详解】设 2 ( )2log x f xx，则 ( )f x为增函数，因为 2 242 2log42log2log abb abb 所以( )(2 )f afb 2 22 2log(2log 2 ) ab ab 22 22 2log(2log 2 ) bb bb 2 1 log10
26、2 ， 所以( )(2 )f afb，所以2ab. 2 ( )()f af b 2 2 22 2log(2log) ab ab 2 22 22 2log(2log) bb bb 2 2 2 22log bb b， 当1b时， 2 ( )()20f af b，此时 2 ( )()f af b，有 2 ab 当2b时， 2 ( )()10f af b ，此时 2 ( )()f af b，有 2 ab，所以 C、D错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中 档题. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
27、 5 分，共分，共 20 分。分。 13.若 x，y满足约束条件 220, 10, 10, xy xy y 则 z=x+7y 的最大值为_. 【答案】1 【解析】 【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数7zxy即： 11 77 yxz ， 其中 z取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A处取得最大值， 联立直线方程： 220 10 xy xy ，可得点 A 的坐标为：()1,0A， 据此可知目标函数的最大值为： max 1 7 01z . 故答
28、案为：1 【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z值 最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z值最小，在 y轴 上截距最小时，z 值最大. 14.设, a b为单位向量，且| | 1ab ，则|ab_. 【答案】 3 【解析】 【分析】 整理已知可得： 2 abab ，再利用, a b为单位向量即可求得2 1a b ，对ab rr 变形可得： 22 2abaa bb ，问题得解. 【详解】因为, a b为单位向量，所以1ab rr 所以 222 2221ababaa bba b
29、 解得：2 1a b 所以 222 23ababaa bb 故答案为： 3 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 15.已知 F 为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A为 C 的右顶点，B为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C的离心率为_. 【答案】2 【解析】 【分析】 根据双曲线的几何性质可知， 2 b BF a ，AF ca ，即可根据斜率列出等式求解即可 【详解】依题可得， 3 BF AF ，而 2 b BF a ，AF ca ，即 2 3 b a ca ，变形得 222 33caaca ， 化
30、简可得， 2 320ee ，解得2e或1e（舍去） 故答案为：2 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题 16.如图，在三棱锥 PABC的平面展开图中，AC=1，3ABAD，ABAC，ABAD，CAE=30 ， 则 cosFCB=_. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 在ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可得出BF，然 后在BCF中利用余弦定理可求得cosFCB的值. 【详解】ABAC， 3AB ，1AC ， 由勾股定理得 22 2BCABAC ， 同理得6BD， 6BFBD ， 在ACE中，1AC ， 3
31、AEAD ，30CAE， 由余弦定理得 222 3 2cos301 32 131 2 CEACAEAC AE ， 1CFCE， 在BCF中，2BC ， 6BF ，1CF ， 由余弦定理得 222 1 461 cos 22 1 24 CFBCBF FCB CF BC . 故答案为： 1 4 . 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考
32、生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.设 n a是公比不为 1的等比数列， 1 a为 2 a， 3 a的等差中项 （1）求 n a的公比； （2）若 1 1a ，求数列 n na的前n项和 【答案】 （1）2； （2） 1(13 )( 2) 9 n n n S . 【解析】 【分析】 （1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出 n a的通项，根据 n na的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论. 【详解】 （1）设 n a的公比为q， 1 a为 23 ,a a的等差中项， 2
33、1231 2,0,20aaa aqq， 1,2qq ； （2）设 n na的前n项和为 n S， 1 1 1,( 2)n n aa ， 21 1 12( 2)3 ( 2)( 2)n n Sn ， 231 21 ( 2)2( 2)3 ( 2)(1)( 2)( 2) nn n Snn ， 得， 21 31( 2)( 2)( 2)( 2) nn n Sn 1 ( 2)1 (13 )( 2) ( 2) 1 ( 2)3 nn n n n ， 1(13 )( 2) 9 n n n S . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求 解能力，属于基础题. 1
34、8.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE ADABC是底面的内接正 三角形，P为DO上一点， 6 6 PODO （1）证明：PA 平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 5 5 . 【解析】 【分析】 （1）要证明PA 平面PBC，只需证明PAPB，PAPC即可； （2）以 O为坐标原点，OA为 x轴，ON为 y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法 向量为n，平面PCE的法向量为m，利用公式cos, | n m m n n m 计算即可得到答案. 【详解】 （1）由题设，知 DAE 为等边三角形，设1A
35、E ， 则 3 2 DO ， 11 22 COBOAE，所以 62 64 PODO ， 2222 66 , 44 PCPOOCPBPOOB 又ABC为等边三角形，则2 sin60 BA OA，所以 3 2 BA ， 222 3 4 PAPBAB，则 90APB，所以PAPB， 同理PAPC，又PCPBP，所以PA 平面PBC； （2）过 O作ONBC 交 AB于点 N，因为PO平面ABC，以 O为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y轴建 立如图所示的空间直角坐标系， 则 121313 (,0,0), (0,0,), (,0), (,0) 244444 EPBC， 132 (,) 444 P
36、C ， 132 (,) 444 PB ， 12 (,0,) 24 PE ， 设平面PCB的一个法向量为 111 ( ,)nx y z， 由 0 0 n PC n PB ，得 111 111 320 320 xyz xyz ，令 1 2x ，得 11 1,0zy ， 所以( 2,0, 1)n ， 设平面PCE的一个法向量为 222 (,)mx y z 由 0 0 m PC m PE ，得 222 22 320 220 xyz xz ，令 2 1x ，得 22 3 2, 3 zy ， 所以 3 (1,2) 3 m 故 2 22 5 cos, 5| |10 3 3 n m m n nm ， 设二面角
37、BPCE的大小为，则 2 5 cos 5 . 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算 能力，是一道容易题. 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛 的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰； 当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、 乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率
38、. 【答案】 （1） 1 16 ； （2） 3 4 ； （3） 7 16 . 【解析】 【分析】 （1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率 和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】 （1）记事件:M甲连胜四场，则 4 11 216 P M ； （2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 4 11 4 24 PP ABABP ACAC
39、P BCBCP BABA ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为 3 1 4 P P ； （3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件:M甲赢，记事件:N丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、 BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC， 所以，甲赢的概率为 45 119 7 2232 P M . 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 97 1 2 3216 P N . 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属 于中等题. 20.已知 A、B 分别为椭圆 E： 2
40、2 2 1 x y a （a1）的左、右顶点，G 为 E的上顶点，8AG GB，P为直线 x=6 上的动点，PA 与 E的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD过定点. 【答案】 （1） 2 2 1 9 x y； （2）证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1） 由已知可得：,0Aa， ,0B a，0,1G， 即可求得 2 1AG GBa ， 结合已知即可求得： 2 9a ， 问题得解. （2） 设 0 6,Py， 可得直线AP的方程为： 0 3 9 y yx， 联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为 2 00 22 00 32
41、76 , 99 yy yy ，同理可得点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11 yy yy ，即可表示出直线CD的方 程，整理直线CD的方程可得： 0 2 0 43 23 3 y yx y ，命题得证. 【详解】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 2 2 2 :1(1) x Eya a 可得：,0Aa， ,0B a，0,1G ,1AGa，, 1GBa 2 1 8AG GBa ， 2 9a 椭圆方程为： 2 2 1 9 x y （2）证明：设 0 6,Py， 则直线AP的方程为： 0 0 3 63 y yx ，即： 0 3 9 y yx 联立直线AP的方程与椭圆方程可得： 2
42、 2 0 1 9 3 9 x y y yx ，整理得： 2222 000 969810yxy xy ，解得：3x 或 2 0 2 0 327 9 y x y 将 2 0 2 0 327 9 y x y 代入直线 0 3 9 y yx可得： 0 2 0 6 9 y y y 所以点C的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy . 同理可得：点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11 yy yy 直线CD的方程为： 00 22 2 00 00 2222 0000 22 00 62 91233 3273311 91 yy yyyy yx yyyy yy ， 整理可得： 2
43、 22 00 0000 222 42 000 00 83 233833 1116 96 3 yy yyyy yxx yyyyy 整理得： 000 2 22 0 00 4243 323 33 3 yyy yxx yyy 故直线CD过定点 3 ,0 2 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属 于难题. 21.已知函数 2 ( )exf xaxx. （1）当 a=1时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x） 1 2 x3+1，求 a 的取值范围. 【答案】 （1）当,0x 时， 0,fxf x单调递减，当0,x时， 0,fxf x单调递增 （2） 2 7 , 4 e 【解析】 【分析】 (1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论 x=0情况，然后分离参数，构造新函
