2019-2020学年山东省青岛市即墨区重点高中高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

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资源描述

1、已知全集 U0,1,2,3且UA0,2,则集合 A 的真子集共有( ) A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 2 (5 分)命题“x1,x+ex2”的否定形式是( ) Ax1,x+ex2 Bx1,x+ex2 Cx1,x+ex2 Dx1,x+ex2 3 (5 分)计算的值为( ) A B C2 D1 4 (5 分)alog0.76,b60.7,c0.70.6,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bcab Cbac Dbca 5 (5 分)函数 y(x2+x+6)的单调增区间为( ) A B C (2,3) D 6 (5 分)已知函数 g()x+46,则 g(x)的最小值是( ) A6

2、 B8 C9 D10 7 (5 分)已知幂函数 f(x)xa的图象经过函数 g(x)ax 2 (a0 且 a1)的图 象所过的定点,则幂函数 f(x)不具有的特性是( ) A在定义域内有单调递减区间 B图象过定点(1,1) C是奇函数 D其定义域是 R 8 (5 分)一次社会实践活动中,数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂 5 年来某种产品 的总产量 y 与时间 x(年)的函数图象(如图) ,以下给出了关于该产品生产状况的几点 判断: 第 2 页(共 19 页) 前三年的年产量逐步增加; 前三年的年产量逐步减少; 后两年的年产量与第三年的年产量相同; 后两年均没有生产 其中正确判断的序号是(

3、) A B C D 9 (5 分)若 x,y 是正数,且,则 xy 有( ) A最大值 36 B最小值 C最小值 36 D最大值 10 (5 分)已知函数 f(x)是定义在4,0)(0,4上的奇函数,当 x(0,4时,f (x)的图象如图所示,那么满足不等式 f(x)3x1 的 x 的取值范围是( ) A1,0)(0,1 B4,2(0,1 C4,2 2,4 D1,0)2,4 11 (5 分)已知函数 yf(x+1)2 是奇函数,且 f(x)与 g(x)的图象 的交点为(x1,y1) , (x2,y2) , (x6,y6) ,则 x1+x2+x6+y1+y2+y6( ) A0 B6 C12 D1

4、8 12 (5 分)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以 其名命名的函数 f称为狄利克雷函数,则关于 f(x) ,下列说法 正确的是( ) AxR,f(f(x) )1 第 3 页(共 19 页) B函数 f(x)是偶函数 C任意一个非零有理数 T,f(x+T)f(x)对任意 xR 恒成立 D存在三个点 A(x1,f(x1) ,B(x2,f(x2) ,C(x3,f(x3) ,使得ABC 为等边三角 形 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13 (5 分)若函数 f(x)的定义域为 R,则实数

5、 k 的取值范围是 14 (5 分)定义在3,3上的奇函数 f(x) ,已知当 x0,3时,f(x)3x+a4x(aR) , 则 f(x)在3,0上的解析式为 15 (5 分)某企业去年的年产量为 a,计划从今年起,每年的年产量比上年增加 b%,则第 x(xN*)年的年产量为 y 16 (5 分)若函数 f(x)同时满足:对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(x)0; 对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1x2时,恒有0,则称函数 f(x) 为“理想函数” 给出下列四个函数中:; f(x)x; f(x) ; f(x),能被称为“理想函数”的有 (请将所有 正确命题的序号都填上) 三、解

6、答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知集合 Ax|a1x2a+3,Bx|2x4,全集 UR (1)当 a2 时,求 AB, (UA)(UB) ; (2)若 xA 是 xB 成立的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围 18 (12 分)已知函数 f(x)loga(1x)+loga(x+3) (0a1) ()求函数 f(x)的零点; ()若函数 f(x)的最小值为4,求 a 的值 19 (12 分)已知函数 f(x) (1)在给定的直角坐标系内直接画出 f(x)的图

7、象; (2)写出 f(x)的单调区间,并指出单调性(不要求证明) ; 第 4 页(共 19 页) (3)若函数 ytf(x)有两个不同的零点,求实数 t 的取值范围 20 (12 分)已知函数 f(x)(a 为实数) (1)当 a0 时,判断函数 f(x)的单调性,并用定义证明; (2)根据 a 的不同取值,讨论 f(x)的奇偶性,并说明理由 21 (12 分)某地草场出现火灾,火势正以每分钟 60m2的速度顺风蔓延,消防站接到警报 立即派消防队员前去,在火灾发生后 5 分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每 人每分钟灭火 30m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 80 元,

8、另附加 每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁一平方米森林损失 费为 30 元 (1)设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,试建立 t 与 x 的函数关系式; (2)问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少? (注:总损失费灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费) 22 (12 分)已知二次函数 f(x)ax2+bx 满足 f(x1)f(x)+x1 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)2f(x)+px 在2,4上单调,求 p 的取值范围; (3)设 F(x)4f(ax)+3a2x1(a0 且 a1) ,当 x1,1时,F(x)有最

9、大值 14,试求 a 的值 第 5 页(共 19 页) 2019-2020 学年山东省青岛市即墨区重点高中高一(上)期中数学年山东省青岛市即墨区重点高中高一(上)期中数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.其中其中 1-11 题为单选题,在每小题给题为单选题,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;第出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;第 12 题为多选题,在给出的四个选项中有题为多选题,在给出的四个选项中有 一项或多项正确,全部选对得一项或多项正确,全部

10、选对得 5 分,部分选对得分,部分选对得 3 分,选错得分,选错得 0 分分. 1 (5 分)已知全集 U0,1,2,3且UA0,2,则集合 A 的真子集共有( ) A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】由补集概念求得 A,然后直接写出其真子集得答案 【解答】解:U0,1,2,3且UA0,2, 则集合 A1,3 集合 A 的真子集为,1,3共 3 个 故选:A 【点评】本题考查了补集及其运算,考查了集合间的关系,是基础题 2 (5 分)命题“x1,x+ex2”的否定形式是( ) Ax1,x+ex2 Bx1,x+ex2 Cx1,x+ex2 Dx1,x+ex2 【分析】直接利用特称命题的

11、否定是全称命题写出结果即可 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以: “x1,x+ex2”的否定是:x 1,x+ex2 故选:B 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查,属 于基础题 3 (5 分)计算的值为( ) A B C2 D1 【分析】结合指数与对数的运算性质即可求解 第 6 页(共 19 页) 【解答】解:, , 1 故选:D 【点评】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用,属于基础试题 4 (5 分)alog0.76,b60.7,c0.70.6,则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bcab Cbac Dbca 【分析】利用指数

12、式和对数式的性质,分别比较三个数与 0 或 1 的大小得答案 【解答】解:alog0.760,b60.71,0c0.70.60.701, bca 故选:D 【点评】本题考查对数值的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性,是基础题 5 (5 分)函数 y(x2+x+6)的单调增区间为( ) A B C (2,3) D 【分析】令 tx2+x+60,求得函数的定义域,且 y,本题即求函数 t 在( 2,3)上的减区间再利用二次函数的性质可得结论 【解答】 解: 令 tx2+x+60, 则2x3, 故函数的定义域为 (2, 3) , 且 y, 故本题即求函数 t 在(2,3)上的减区间 利用二次

13、函数的性质可得 tx2+x+60 在定义域(2,3)上的减区间为(,3) , 故选:A 【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数、对数函数的性质,属于中档题 6 (5 分)已知函数 g()x+46,则 g(x)的最小值是( ) A6 B8 C9 D10 【分析】令 2+t(t2) ,求得 x,求出 g(t)t210,即为 g(x)的解析式,运 用二次函数的单调性,可得最小值 【解答】解:令 2+t(t2) ,则 x(t2)2, 第 7 页(共 19 页) g(t)(t2)2+4(t2)6t210, 即为 g(x)x210,x2,为递增函数, 即有 x2 时,取得最小值6 故选:A 【点评

14、】本题考查函数的最值的求法,注意运用换元法和二次函数的单调性,考查运算 能力,属于中档题 7 (5 分)已知幂函数 f(x)xa的图象经过函数 g(x)ax 2 (a0 且 a1)的图 象所过的定点,则幂函数 f(x)不具有的特性是( ) A在定义域内有单调递减区间 B图象过定点(1,1) C是奇函数 D其定义域是 R 【分析】可令 x20,求得 g(x)的图象恒过的定点,可得 f(x)的解析式,即可得 到所求结论 【解答】解:由 x20,即 x2,可得 g(2)1, 函数 g(x)ax 2 (a0 且 a1)的图象所过的定点(2,) , 则 2a,解得 a1, 则 f(x), 定义域为x|x

15、0, 则减区间为(,0) , (0,+) , 图象经过定点(1,1) ,且为奇函数, D 不正确 故选:D 【点评】本题考查指数函数的图象的特点,考查幂函数的图象和性质,考查运算能力, 属于基础题 8 (5 分)一次社会实践活动中,数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂 5 年来某种产品 的总产量 y 与时间 x(年)的函数图象(如图) ,以下给出了关于该产品生产状况的几点 判断: 第 8 页(共 19 页) 前三年的年产量逐步增加; 前三年的年产量逐步减少; 后两年的年产量与第三年的年产量相同; 后两年均没有生产 其中正确判断的序号是( ) A B C D 【分析】利用该厂 5 年来某种产品的

16、总产量 y 与时间 x(年)的函数图象直接求解 【解答】解:由该厂 5 年来某种产品的总产量 y 与时间 x(年)的函数图象,得: 前三年的年产量逐步减少,故错误,正确; 后两年均没有生产,故错误,正确 故选:B 【点评】本题考查命题真假的判断,考查该厂 5 年来某种产品的总产量 y 与时间 x(年) 的函数图象的性质等基础知识,考查数形结合思想,是基础题 9 (5 分)若 x,y 是正数,且,则 xy 有( ) A最大值 36 B最小值 C最小值 36 D最大值 【分析】法一、直接运用基本不等式可得所求最小值;法二、利用,将 xy 连乘 两次即可化为,再结合基本不等式求出最值即可 【解答】解

17、: (法一)122,所以 xy36,当且仅当 x9y18 时取等,所以有最小值 36, (法二)因为1,所以 xyxy()9y+x, 进而 xy(9y+x) ()18+236, 当仅当 x9y18 时取等,故 xy 有最小值 36 故选:C 第 9 页(共 19 页) 【点评】本题考查基本不等式及其应用,属于中档题 10 (5 分)已知函数 f(x)是定义在4,0)(0,4上的奇函数,当 x(0,4时,f (x)的图象如图所示,那么满足不等式 f(x)3x1 的 x 的取值范围是( ) A1,0)(0,1 B4,2(0,1 C4,2 2,4 D1,0)2,4 【分析】利用函数的奇偶性画出 f(

18、x)的图象,将不等关系转化为图象的上下位置关系, 得到解集 【解答】解:f(x)为4,0)(0,4上的奇函数, 如图,画出 f(x)在4,0)的图象,得点(2,) 、点(1,2)在 f(x)上 画出 y3x1 的图象, 得到其渐近线为 y1, 且在第一象限与 f (x) 的图象交点为 (1, 2) , 要解不等式 f(x)3x1,则结合图象,需 f(x)的图象在 y3x1 图象的上方, 从而解得:x4,2(0,1 故选:B 【点评】本题属于基础题,考察函数的奇偶性和指数函数的图象,能够将 f(x)3x1 第 10 页(共 19 页) 转化为 f(x)的图象在 y3x1 图象的上方是解题的关键

19、11 (5 分)已知函数 yf(x+1)2 是奇函数,且 f(x)与 g(x)的图象 的交点为(x1,y1) , (x2,y2) , (x6,y6) ,则 x1+x2+x6+y1+y2+y6( ) A0 B6 C12 D18 【分析】分别判断函数 f(x)与 g(x)的对称性,结合函数的对称性进行求解即可 【解答】解:因为函数 yf(x+1)2 为奇函数, 所以函数 f(x)的图象关于点(1,2)对称, 关于点(1,2)对称, 所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称, 则(x1+x2+x6)+(y1+y2+y6)23+4318, 故选:D 【点评】本题主要考查函数对称性的应用,结合函数奇

20、偶性以及分式函数的性质求出函 数的对称性是解决本题的关键 12 (5 分)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,以 其名命名的函数 f称为狄利克雷函数,则关于 f(x) ,下列说法 正确的是( ) AxR,f(f(x) )1 B函数 f(x)是偶函数 C任意一个非零有理数 T,f(x+T)f(x)对任意 xR 恒成立 D存在三个点 A(x1,f(x1) ,B(x2,f(x2) ,C(x3,f(x3) ,使得ABC 为等边三角 形 【分析】A,根据函数的对应法则,可得不管 x 是有理数还是无理数,均有 f(f(x) ) 1,即可判断; B,根据函数奇偶性的定义,可得

21、f(x)是偶函数,即可判断; C,根据函数的表达式,结合有理数和无理数的性质和周期函数的定义,可判断; D,取 x1,x20,x3,可得 A(,0) ,B(0,1) ,C(,0) ,三 点恰好构成等边三角形,即可判断 【解答】解:对于 A,当 x 为有理数时,f(x)1;当 x 为无理数时,f(x)0, 第 11 页(共 19 页) 当 x 为有理数时,f(f(x) )f(1)1;当 x 为无理数时,f(f(x) )f(0)1, 即不管 x 是有理数还是无理数,均有 f(f(x) )1,故 A 正确; 对于 B,有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数, 可得对任意 xR,都有 f(

22、x)f(x) ,f(x)为偶函数,故 B 正确; 对于 C,由于非零有理数 T,若 x 是有理数,则 x+T 是有理数; 若 x 是无理数,则 x+T 也是无理数, 根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数 T,f(x+T)f(x)对 xR 恒成立,故 C 正确; 对于 D,取 x1,x20,x3,可得 f(x1)0,f(x2)1,f(x3)0, A(,0) ,B(0,1) ,C(,0) ,恰好ABC 为等边三角形,故 D 正确 故选:ABCD 【点评】本题给出特殊函数表达式,求函数的值并讨论它的奇偶性和周期性,同时考查 了有理数、无理数的性质和分类讨论思想,属于中档题 二、填空题(本大题共二

23、、填空题(本大题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13 (5 分)若函数 f(x)的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是 , 1 【分析】根据函数的定义域为 R,转化为 x26kx+k+80 恒成立即可得到结论 【解答】解:函数 f(x)的定义域为 R, x26kx+k+80 恒成立, 即判别式36k24(k+8)0, 即 9k2k80, 解得k1, 故答案为:,1 【点评】本题主要考查函数定义域的应用,将条件进行转化是解决本题的关键 14 (5 分)定义在3,3上的奇函数 f(x) ,已知当 x0,3时,f(x)3x+a4x(aR) , 则 f(x)在

24、3,0上的解析式为 f(x)4 x3x 【分析】直接利用奇函数的性质,f(0)0,解得 a 的值,进一步求出函数的关系式 【解答】解:义在3,3上的奇函数 f(x) ,已知当 x0,3时,f(x)3x+a4x(aR) , 第 12 页(共 19 页) 当 x0 时,f(0)0,解得 1+a0,所以 a1 故当 x0,3时,f(x)3x4x 当3x0 时,0x3,所以 f(x)3 x4x, 由于函数为奇函数,故 f(x)f(x) ,所以 f(x)4 x3x, 故答案为:f(x)4 x3x 【点评】本题考查的知识要点:函数的关系式的求法,函数的性质的应用,主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能

25、力,属于基础题型 15 (5 分)某企业去年的年产量为 a,计划从今年起,每年的年产量比上年增加 b%,则第 x(xN*)年的年产量为 y a(1+b%)x(xN*) 【分析】年产量平均每年比上一年增加 b%,可以先算出第一年产量是 ya(1+b%) , 根据计划年产量平均每年比上一年增加 b%, 可知年产量 y 是以 a (1+b%) 为首项,(1+b%) 为公比的等比数列,从而可以算出年产量随经过年数变化的函数关系 【解答】解:设年产量经过 x 年增加到 y 件, 第一年为 ya(1+b%) 第二年为 ya(1+b%) (1+b%)a(1+b%)2, 第三年为 ya(1+b%) (1+b%

26、) (1+b%)a(1+b%)3, 即年产量 y 是以 a(1+b%)为首项, (1+b%)为公比的等比数列 ya(1+b%)x(xN*) 故答案为:a(1+b%)x(xN*) 【点评】本题是年增长率问题,其模型是等比数列模型,解题时根据计划年产量平均每 年比上一年增加 b%,可知年产量 y 是以 a(1+b%)为首项, (1+b%)为公比的等比数列 是关键 16 (5 分)若函数 f(x)同时满足:对于定义域上的任意 x,恒有 f(x)+f(x)0; 对于定义域上的任意 x1,x2,当 x1x2时,恒有0,则称函数 f(x) 为“理想函数” 给出下列四个函数中:; f(x)x; f(x) 第

27、 13 页(共 19 页) ; f(x),能被称为“理想函数”的有 (请将所有 正确命题的序号都填上) 【分析】条件表示“理想”函数为奇函数;表示“理想”函数为减函数,接下来对 四个函数逐个判断是否为奇函数,是否为减函数 【解答】解:条件说明“理想”函数为奇函数;说明“理想”函数为减函数 函数为对勾函数,此函数是奇函数,但在整个定义域内不是减函数,故不 选; 函数是奇函数,但在整个定义域内是增函数,故不选; 函数, 函数为奇函数, 在定义域内为增函数,故不选; 函数,画出图象 可知 f(x)为奇函数,且为减函数, 故答案为: 【点评】本题考察常见函数的奇偶性和单调性,属于基础题 三、解答题:本

28、大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知集合 Ax|a1x2a+3,Bx|2x4,全集 UR (1)当 a2 时,求 AB, (UA)(UB) ; (2)若 xA 是 xB 成立的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围 第 14 页(共 19 页) 【分析】 (1)把 a2 代入 A 确定出 A,求出 AB 和(RA)(RB)即可; (2)由 xA 是 xB 成立的充分不必要条件,得到 A 为 B 的真子集,分 A 为空集与 A 不 为空集两种情况求出 a 的范围即可 【解

29、答】解: (1)当 a2 时,Ax|1x7, 则 ABx|1x4; RAx|x1 或 x7,UBx|x2 或 x4, (RA)(RB)x|x2 或 x7; (2)xA 是 xB 成立的充分不必要条件,AB, 若 A,则 a12a+3,解得 a4; 若 A,由 AB,得到,且 a12 与 2a+34 不同时取等号; 解得:1a, 综上:a 的取值范围是(,4)1, 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键,属 于基础题 18 (12 分)已知函数 f(x)loga(1x)+loga(x+3) (0a1) ()求函数 f(x)的零点; ()若函数 f(x)的最小值为

30、4,求 a 的值 【分析】 ()求出函数的定义域,化简方程,然后求函数 f(x)的零点; ()利用复合函数通过 x 的范围,结合二次函数的性质,通过函数 f(x)的最小值为 4,求 a 的值 【解答】解: ()要使函数有意义:则有,解之得:3x1(2 分) 函数可化为 由 f(x)0,得x22x+31 即 x2+2x20,f(x)的零点是(5 分) () 函数化为:, 第 15 页(共 19 页) 3x1, 0(x+1)2+44(7 分) 0a1, 即 f(x)minloga4 由 loga44,得 a 44, (10 分) 【点评】本题考查函数的最值的求法,二次函数的性质的应用,考查分析问题

31、解决问题 的能力 19 (12 分)已知函数 f(x) (1)在给定的直角坐标系内直接画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调区间,并指出单调性(不要求证明) ; (3)若函数 ytf(x)有两个不同的零点,求实数 t 的取值范围 【分析】本题第(1)题根据二次函数及对数函数图象的平移即可画出图象;第(2)题 根据第(1)题中函数 f(x)大致图象即可判断单调区间及单调性;第(3)题根据第(1) 题中函数 f(x)大致图象考虑直线 yt 与 yf(x)交点情况即可得到实数 t 的取值范围 【解答】解: (1)由题意,函数 f(x)大致图象如下: 第 16 页(共 19 页) (2)根

32、据(1)中函数 f(x)大致图象,可知 函数 f(x)在1,0上单调递增,在0,2上单调递减,在2,5上单调递增 (3)根据(1)中函数 f(x)大致图象,可知 当 t1 时,直线 yt 与 yf(x)没有交点; 当 t1 时,直线 yt 与 yf(x)有 1 个交点; 当1t1 时,直线 yt 与 yf(x)有 2 个交点; 当 1t2 时,直线 yt 与 yf(x)有 1 个交点; 当 2t3 时,直线 yt 与 yf(x)有 2 个交点; 当 t3 时,直线 yt 与 yf(x)有 1 个交点; 当 t3 时,直线 yt 与 yf(x)没有交点 若函数 ytf(x)有两个不同的零点,实数

33、 t 的取值范围为: (1,12,3) 【点评】本题主要考查二次函数及对数函数图象的平移的画法,根据图象判断单调区间 及单调性的能力,直线与曲线交点的分类讨论本题属中档题 20 (12 分)已知函数 f(x)(a 为实数) (1)当 a0 时,判断函数 f(x)的单调性,并用定义证明; (2)根据 a 的不同取值,讨论 f(x)的奇偶性,并说明理由 【分析】 (1)a0 时,f(x),设 x1x2,进而判断 f(x1)与 f(x2)的关系求 解; (2)f(x),分类讨论 f(x)与 f(x)的关系,进而求解 第 17 页(共 19 页) 【解答】解: (1)a0 时,f(x),设 x1x2,

34、 f(x1)f(x2),x1x2,220, f(x1)f(x2)0, f(x)在定义域单调递增; (2)f(x), 若 f(x)f(x) ,即 f(x)为偶函数,则 a1; 若 f(x)f(x) ,即为奇函数,则 a1; 若 f(x)f(x)且 f(x)f(x) ,即非奇非偶函数,则 a1 且 a1 【点评】考查定义法求函数的单调性,奇偶函数的定义及应用 21 (12 分)某地草场出现火灾,火势正以每分钟 60m2的速度顺风蔓延,消防站接到警报 立即派消防队员前去,在火灾发生后 5 分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每 人每分钟灭火 30m2,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟

35、 80 元,另附加 每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁一平方米森林损失 费为 30 元 (1)设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,试建立 t 与 x 的函数关系式; (2)问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少? (注:总损失费灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费) 【分析】 (1)根据救火面积列方程得出 t 关于 x 的函数; (2)求出总损失关于 x 的函数,判断函数单调性求出函数极小值点即可 【解答】解: (1)由题意可知:60(t+5)30xt, 即 t 由 30x60 可得 x2 故 t 关于 x 的函数为 t(x2 且

36、xN ) (2)设总损失费为 f(x) ,则 f(x)80xt+100x+3030xt, f(x), 第 18 页(共 19 页) 令 f(x)0 可得 x16 或 x12(舍) , 故当 2x16 时,f(x)0,当 x16 时,f(x)0, 当 x16 时,f(x)取得最小值 故派 16 名消防员前去救火,总损失费用最少 【点评】本题考查了函数解析式的求解,函数最值的计算,属于中档题 22 (12 分)已知二次函数 f(x)ax2+bx 满足 f(x1)f(x)+x1 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)2f(x)+px 在2,4上单调,求 p 的取值范围; (3)设 F(x)

37、4f(ax)+3a2x1(a0 且 a1) ,当 x1,1时,F(x)有最大值 14,试求 a 的值 【分析】 (1)f(x)ax2+bx 满足 f(x1)f(x)+x1,a(x1)2+b(x1) ax2+bx+x1,即 ax2(2ab)x+abax2+(b+1)x1,利用系数相等求出; (2)g(x)2f(x)+px2()+pxx2+(p1)x,x2,4上单调, 对称轴 x2,或者,求出; (3)F(x)4f(ax)+3a2x1a2x+2ax1, (a0 且 a1) ,当 x1,1时,令 t ax,F(x)t2+2t1(t+1)22,分类讨论求出 【解答】解: (1)f(x)ax2+bx 满

38、足 f(x1)f(x)+x1, a(x1)2+b(x1)ax2+bx+x1,即 ax2(2ab)x+abax2+(b+1)x1, 所以(2ab)b+1,ab1, 得 a, 所以 f(x) (2)因为 g(x)2f(x)+px2()+pxx2+(p1)x,x2,4上 单调, 所以其对称轴 x2,或者, 所以 p7,或者 p3 (3)F(x)4f(ax)+3a2x1a2x+2ax1, (a0 且 a1) , 当 x1,1时,令 tax,F(x)t2+2t1(t+1)22, 第 19 页(共 19 页) 当 a1 时,t,F(x)maxF(a)(a+1)2214,得 a3; 当 0a1 时,t,得 a 故 a3 或 【点评】考查了二次函数求解析式,含参的单调性问题,含参的二次函数最值问题,中 档题

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