1、孝感市五校协作体高三数学（理科）试卷（共 5页） 第 1页 2018年秋季孝感市五校协作体期中考试 高三数学试卷（理科） 考试时间： 2018年 11月 23 日下午 15： 00-17： 00 试卷满分： 150分 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 若复数 满足 (其中 为虚数单位 )，则 A B C D 2.集合 ， ， 则 A B C D 3.汽车的 “ 燃油效率 ” 是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是 A消耗 1升汽油，乙车最多可
2、行驶 5千米 B以相同速度行驶相同路 程 ，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C甲车以 80千米 /小时的速度行驶 1小时，消耗 8升汽油 D某城市机动车最高限速 80 千米 /小时 . 相同条件下，在该市用 乙 车比用 丙 车更省 油 孝感市五校协作体高三数学（理科）试卷（共 5页） 第 2页 4.等差 数列 中， ， ，则 A 8 B 10 C 12 D 14 5.函数 是奇函数，则 在 处的切线斜率为 A. -3 B. -1 C. 4 D. 5 6. 已知向量 , ，若 ，则向量 在 方向上的投影为 A. 10 B. -10 C.5 D.-5 7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出
3、的是某几何体的三视图， 该几何体的体 积为 A B 1 C D 4 8.过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于 两点若 ， ，则 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.已知函数 若 ，则 的取值范围为 A. B. C. D. 10.若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 11.设直线 过双曲线 的一个焦点，且与 的一条对称轴垂直， 与 交于 两点， 为 的实轴长的 2倍，则 的离心率为 A B C 2 D 3 12.体积为 的三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面 ， ，则球 的体积的最小值为 A B C D 孝感市五校协作体高三数学（理科）试卷（共
4、5页） 第 3页 二、填空题： 本题共 4小题，每小题 5分 ， 共 20分 13 已知变量 满足 则 的最 小 值为_. 14.已知正项等比数列 满足 ， 与 的等差中项为 ，则 的值为 15.将 函数 的图象 向左平移 个单位，所得图象对应的函数恰为 偶 函数，则 的最小值为 _. 16.已知函数 , 则 的最大值为 _. 三、 解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22、 23 题为选考题，考生根据要求做答 （一）必考题：共 60分 17. （本小题满分 12分） 在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边 ，
5、 0 (1)求角 的大小； (2) 若 ， ， 求 角 及 的面积 18. （本小题满分 12分） 设 为数列 的前 项和， .数列 前 项和为 且 .数列 满足 . (1)求数列 和 的通项公式； (2) 记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前 30项的和 . 孝感市五校协作体高三数学（理科）试卷（共 5页） 第 4页 19. （本小题满分 12分） 在四棱锥 中，底面是边长为 4的菱形， ， , 平面 , (1)证明： ; (2)若 是 的中点， ， 求二面角 的余弦值 . 20. （本小题满分 12分） 平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点 的直线交 于 两点， 且椭圆 的离心率为 .
6、（ 1）求 椭圆 的方程； （ 2） 为 上的两点，若四边形 的对角线 ，求四边形 面积的最大值 . 21. （本小题满分 12分） 已知函数 . (1)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2)若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 孝感市五校协作体高三数学（理科）试卷（共 5页） 第 5页 （二）选考题 ：共 10 分 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22. （本小题满分 10分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，过点 的直线 的参数方程为 （ t为参数） .以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的
7、极坐标方程为 . （ 1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （ 2）若直线 与曲线 相交于 两点，求 的值 . 23. （本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 . （ 1）求不等式 的解集； （ 2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围 . 高三 理科数学 参考答案 一 选择题（共 12 小题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C C D B A D C D B B 二、填空题 （共 4 小题） 13. 6 14. 4 15. 16. 三、 解答题： （一）必考题：共 60 分 17. 解： （ 1） 2bcos 2 0C a c ，由
8、余弦定理得： 2 2 22 2 02a b cb a cab ， 2 2 2a c b ac ， 则2 2 2 1cos 2 2 2a c b acB ac ac 0 B 3B . -6分 (2) ， ， 由正弦定理知 得 又因为 ，故 . -8分 ， ， -12分 18.解 ： (1) ; 时， ; 符合上式 . ; -3分 , ; 时， , , 故 ; -5分 ; -6分 (2) 数列 中每 5个一组，前 30项和可分为 6组， 其前 30项的和 为 -12分 19.（ 1）因为底面是菱形，所以 BD AC . - 1分 又 PO ABCD平 面 ,BD ABCD平 面 ，所以 BD PO
9、 . -2分 PO AC O ，所以 BD PAC面 . - 3分 又 PA PAC面 ，所以 PA BD . - 4分 （ 2）由（ 1） 在 Rt POA 中， 6OE , 26PA , 2223PO PA AO ， -6分 方法一： 过 O做 OH EC 于 H ， 连 BH ， 则 BH EC ， 所以 OHB 是二面角 A EC B的平面角 . - 7分 在 PAC 中， 2 6, 4 3PA PC AC ，所以 2 2 2PA PC AC，即 AP PC . 所以 2230CE PC PE . -9分 1 1 12 2 2EOCS OC PO EC OH ，得305OH ， - 1
10、0分 1305BH ，39cos13OHOHBBH ，所以二面角 A EC B的余弦值为3913 . -12分 E O C A B D P H 方法二： 如图，以 ,OA OB OP所在直线为 ,x y z轴， 建立空间直角坐标系， 2 3,0,0A ， 0,2,0B ， 2 3,0,0C ， 0,0,2 3P ， 3,0, 3E ， 2 3,2,0CB ， 3 3,0, 3CE . - 8分 设面 BEC 的法向量为 ,n x y z ，则 00CB n CB nCE n CE n , 即 ，即303 3 3 0xyxz ，得方程的一组解为 1, 3, 3x y z ，即 1, 3,3n .
11、 -9分 又面 AEC的一个法向量为 0,1,0OB ， -10分 所以 3 39cos , 1313OB nOB nOB n ，所以二面角 A EC B的余弦值为 3913 . -12分 20.解 ： （） 椭圆 的右焦点为 ，则 . 离心率 ， 则 . 故 . 所以 M的方程为 . 4分 （） 由 223 0,1,63xyxy 解析得43,33 ,3xy 或0,3.xy 因此 |AB| 463 . 6分 由题意可设直线 CD 的方程为 53( 3)3y x n n ，设 C(x3， y3)， D(x4， y4)由22,163y x nxy 得 3x2 4nx 2n2 6 0.于是 x3,4
12、22 2 93nn .因为直线 CD的斜率为1，所以 |CD| 24342 | | 93x x n . 9分 由已知，四边形 ACBD 的面积 21 8 6| | | | 929S CD AB n .当 n 0 时， S 取得最大值，最大值为 863 .所以四边形 ACBD面积的最大值为 863 . 12分 21.解：（ 1）由题意得 , 对任意 恒成立 . 记 ，则 , ，故 在 上单调递增，有 ,所以 在 上单调递增， 的最小值为 ，则 . 6分 (2)依题意，对任意 ,有 恒成立 . 记 ， ，则 .由 ，得 ，,故 .分类讨论如下： 若 ，则 ，此处用到了经典函数不等式 和 .故 在
13、上单调递增，有 ，符合题意 . 若 , , ,又 ，由零点存在性定理知存在 ,使得当 时，有 ,则 在 内单调递减，有 ,则 在 单调递减，有 ,舍去 . 综上，实数 的取值范围是 . 12 分 （二）选考题 ：共 10 分 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.解： （ 1）由已知得：112322xtyt ，消去 t得 2 3( 1)yx ， 化为一般方程为： 3 2 3 0xy ， 即： l： 3 2 3 0xy . 曲线 C： 4sin 得， 2 4 sin ，即 224x y y，整理得 22( 2) 4xy ， 即： C： 22( 2) 4
14、xy . 5分 （ 2）把直线 l的参数方程112322xtyt （ t为参数）代入曲线 C的直角坐标方程中得： 2213( 1) ( ) 422tt ，即2 30tt ， 设 M ， N 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ，则 121213tttt ， 11PM PN 1212PM PN t tPM PN t t 212 1 2 1 21 2 1 2( ) 4tt t t t tt t t t 133 . 10分 23.解： （ 1）当 2x 时， ( ) 4f x x ， ( ) 6 4 6f x x 2x ，故 2x ； 当 21x 时， ( ) 3f x x ， ( ) 6 3 6
15、f x x 2x ，故 x ； 当 1x 时， ( ) 4f x x， ( ) 6 4 6f x x 10x ，故 10x ； 综上可知： ( ) 6fx 的解集为 ( ,2 10, ) . 5分 （ 2）由（ 1）知：4, 2( ) 3 , 2 14, 1xxf x x xxx ， 【解法一】 如图所示：作出函数 ()fx的图象， 由图象知，当 1x 时， 13a ，解得： 2a ， 实数 a的取值范围为 ( , 2 . 10 分 【解法二】 当 2x 时， 4x x a 恒成立， 4a ， 当 21x 时， 3x x a 恒成立， 2a ， 当 1x 时， 4x x a 恒成立， 2a ， 综上，实数 a的取值范围为 ( , 2 .
