1、设集合 Ax|x1，Bx|x2，则 BRA（ ） Ax|2x1 Bx|2x1 Cx|2x1 Dx|2x1 2 （5 分）若复数为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） Ai B0 C1 D1 3 （5 分）已知 a，bln，（其中 e 为自然对数的底数） ，则（ ） Acab Bacb Cbca Dcba 4 （5 分）已知平面向量 与 满足，且，则 （ ） A2 B3 C4 D5 5 （5 分）一个盒子中装有 4 个大小、形状完全相同的小球，其中 1 个白球，2 个红球，1 个黄球，若从中随机取出 1 个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出 1 个 球，则两次取出小球颜色不同的概率是（
2、） A B C D 6 （5 分） 已知椭圆 E：过点， 椭圆 E 的离心率为， 则椭圆 E 的焦距为（ ） A1 B2 C D 7 （5 分）已知函数，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移个单 位，得到函数 g（x）的图象下列关于函数 g（x）的说法正确的是（ ） A在上是减函数 B在区间上值域为1，1 C函数 g（x）是奇函数 D其图象关于直线对称 第 2 页（共 23 页） 8 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图， 其中 a 为松长、b 为竹长，则输出的 n（ ）
3、A5 B3 C4 D2 9 （5 分）函数在，上的图象大致为（ ） A B C D 10 （5 分）给出下列四个命题： ，使得； a0 是 ax2+ax10 恒成立的充分条件； 第 3 页（共 23 页） 函数在点处不存在切线； 函数 f（x）9lnxx2存在零点 其中正确命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 11 （5 分）在ABC 中，ABC120，D 是线段 AC 上的点，DBC30，若ABC 的面积为，则 BD 的最大值是（ ） A B C D 12 （5 分）已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（4x） ，且 f（2）0，f （x）为函数 f（x）的导函数，当
4、x2 时，有 f（x）+f（x）0，则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） A （0，6） B （2，0） C （，2） D （，2）（0，6） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知，则 sin2 14 （5 分）已知数列an是公差为2 等差数列，若 a2+1，a5+1，a6+1 成等比数列，则 a8 15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1的高为，BAC120，则该三棱 柱外接球的表面积为 ； 16 （5 分）已知点 F1，F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，A 为直线与双曲线 C 的一个交点，若点 A 在以 F1F2
5、为直径的圆上，则双曲线 C 的 离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 国家大力提倡科技创新， 某工厂为提升甲产品的市场竞争力， 对生产技术进行创新改造， 使甲产品的生产节能降耗以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量 x（吨）与相应 的生产能耗 y（吨）的几组对照数据 x（吨） 4 5 6 7 y（吨） 2.5 3 4 4.5 第 4 页（共 23 页） （1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （，） （2）已知该厂技术改造前生产 8 吨甲产品的生产能耗为 7 吨，试根据（1）
6、求出的线性 回归方程，预测节能降耗后生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？ 18已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 19如图，在几何体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1为矩形，AA1CC1且 AA12CC1， E 为 AB1的中点 （1）求证：CE平面 A1B1C1； （2）若平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，ABBCCC12，求三棱锥 EACC1的体 积 20已知抛物线 C：y24x 准线为 l，焦点为 F，点 A 是抛物线 C 上位于第一象限的动点， 直线 AO（O 为坐标原点）
7、交 l 于 B 点，直线 BF 交抛物线 C 于 D、E 两点，M 为线段 DE 中点 （1）若|AF|5，求直线 BF 的方程； （2）试问直线 AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由 21已知函数，其中 aR （1）试讨论函数 f（x）的单调性； 第 5 页（共 23 页） （2）若 a1，试证明： 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选
8、题号后的方框涂黑 22在平面直角坐标系中 xOy，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为cos （ ） 1 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ： （ 为参数） ，A，B 为直线 l 上距离为 2 的两动点，点 P 为曲 线 C 上的动点且不在直线 l 上 （1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程 （2）求PAB 面积的最大值 23已知函数 f（x）|2x+t|，若 f（x）1 的解集为（1，0） （1）求 t 并解不等式 f（x）x+2； （2）已知：a，bR+，若 f（x）2a+b|2x2|对一切实数都成立，求证：
9、a2b1 第 6 页（共 23 页） 2020 年福建省南平市高考数学一模试卷（文科）年福建省南平市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）设集合 Ax|x1，Bx|x2，则 BRA（ ） Ax|2x1 Bx|2x1 Cx|2x1 Dx|2x1 【分析】进行交集和补集的运算即可 【解答】解：Ax|x1，Bx|x2， RAx|x1， BRAx|2x1 故选：B 【点评】本
10、题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）若复数为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） Ai B0 C1 D1 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 【解答】解：复数i 为纯虚数， 0，0， 解得 a1 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 3 （5 分）已知 a，bln，（其中 e 为自然对数的底数） ，则（ ） Acab Bacb Cbca Dcba 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：a1，b0，c（0，1） ， bca 第 7 页（共 23 页） 故选：C 【点
11、评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）已知平面向量 与 满足，且，则 （ ） A2 B3 C4 D5 【分析】 可求出， 根据即可得出， 进而求出， 然后即可求出的值，进而得出的值 【解答】解：，且， ， ， ， 故选：C 【点评】本题考查了根据向量坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量数量 积的运算，向量的长度的求法，考查了计算能力，属于基础题 5 （5 分）一个盒子中装有 4 个大小、形状完全相同的小球，其中 1 个白球，2 个红球，1 个黄球，若从中随机取出 1 个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出 1 个 球，则两次
12、取出小球颜色不同的概率是（ ） A B C D 【分析】 基本事件总数 n4416， 两次取出小球颜色不同的对立事件是两次取出小球 的颜色相同，由此能求出两次取出小球颜色不同的概率 【解答】 解：一个盒子中装有 4 个大小、 形状完全相同的小球，其中 1 个白球， 2 个红球， 1 个黄球， 从中随机取出 1 个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出 1 个球， 基本事件总数 n4416， 两次取出小球颜色不同的对立事件是两次取出小球的颜色相同， 则两次取出小球颜色不同的概率是： 第 8 页（共 23 页） p1 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识
13、，考查运算求解 能力，是基础题 6 （5 分） 已知椭圆 E：过点， 椭圆 E 的离心率为， 则椭圆 E 的焦距为（ ） A1 B2 C D 【分析】由题意点代入，及离心率的值和 a，b，c 之间的关系求出 c，即求出焦距 【解答】解：由题意可得：+1，a2b2+c2，解得 c21， 所以焦距 2c2， 故选：B 【点评】考查椭圆的性质，属于基础题 7 （5 分）已知函数，把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移个单 位，得到函数 g（x）的图象下列关于函数 g（x）的说法正确的是（ ） A在上是减函数 B在区间上值域为1，1 C函数 g（x）是奇函数 D其图象关于直线对称 【分析】利用两角和
14、的正弦函数公式化简函数 f（x）的解析式，由图象平移得到 g（x） 的解析式，画出其图象，利用余弦函数的性质可求解 【解答】解：由题意可得2sin（2x+） ， 把函数 f（x）的图象沿 x 轴向左平移个单位，得 g（x）f（x+）2sin2（x+） +2sin（2x+）2cos2x 其图象如图： 第 9 页（共 23 页） 由图可知，在上是增函数，故 A 错误； 函数在区间上值域为1，故 B 错误； 函数为偶函数，故 C 错误； f（）2cos2，可得其图象关于直线对称，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，正确画出 图象对解决问题起到事
15、半功倍的作用，是中档题 8 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题： “松长六尺，竹 长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图， 其中 a 为松长、b 为竹长，则输出的 n（ ） A5 B3 C4 D2 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，即可得出满足条件 ab 时输出 n 的值 第 10 页（共 23 页） 【解答】解：模拟程序的运行过程，可得 a6，b2，n1； a9，b4，不满足条件 ab，执行循环体； n2，a13.5，b8，不满足条件 ab，执行循环体； n3，a20.25，b16，不满足条件 ab，执
16、行循环体； n4，a30.375，b32，满足条件 ab，退出循环，输出 n4 故选：C 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关 键，是基础题 9 （5 分）函数在，上的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数 f（x）为奇函数，据此排除 B、C，进而 计算 f（）的值，排除 D，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数，x， 有 f（x）f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，据此排除 B、C， 又由 f（）0，排除 D； 故选：A 【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性与特殊值，属于基础题 10 （5 分）
17、给出下列四个命题： 第 11 页（共 23 页） ，使得； a0 是 ax2+ax10 恒成立的充分条件； 函数在点处不存在切线； 函数 f（x）9lnxx2存在零点 其中正确命题个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用特称命题判断的正误；利用恒成立以及充要条件判断；求出切线方程 判断；利用函数的零点判断定理判断 【解答】解：，x01 时，使得；正确； ax2+ax10 恒成立； 可得当 a0 成立， a0 时， 必须 a2+4a0， 解得 a （4， 0） ， 所以 a（4，0， 所以 a0 是 ax2+ax10 恒成立的必要不充分条件；所以不正确； f（x），f（e）0，即切线的
18、斜率为 0，所以切线方程为：y，所以 不正确； 函数 f（x）9lnxx2在 x0 时是连续函数，f（1）10f（3）9ln390， 所以 f（1） f（3）0， 所以函数存在零点，所以正确； 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查，中档题 11 （5 分）在ABC 中，ABC120，D 是线段 AC 上的点，DBC30，若ABC 的面积为，则 BD 的最大值是（ ） A B C D 【分析】由已知结合三角形的面积公式可得 ac8，然后结合 SBDC+SABDSABC，代 入后结合基本不等式即可求解 【解答】解：由题意可得，2，即 ac8， 设 BDx，则 SBDC
19、+SABD2， 第 12 页（共 23 页） x， 当且仅当 2c即 c2，a4 时取等号，此时 x 的最大值 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，余弦定理在解三角形中的综 合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 12 （5 分）已知定义在 R 上的连续函数 f（x）满足 f（x）f（4x） ，且 f（2）0，f （x）为函数 f（x）的导函数，当 x2 时，有 f（x）+f（x）0，则不等式 xf（x）0 的解集为（ ） A （0，6） B （2，0） C （，2） D （，2）（0，6） 【分析】由 f（x）f（4x） ，且 f（2）0，可得 f（6）0，且
20、函数图象关于 x2 对称，令 g（x）exf（x） ，由已知可判断单调性，然后把 xf（x）0 可转化为 0 即 xg（x）0，结合图象可求 【解答】解：由 f（x）f（4x） ，且 f（2）0，可得 f（6）0，且函数图象关于 x 2 对称， 令 g（x）exf（x） ，则 g（x）exf（x）+f（x）当， 因为 x2 时，有 f（x）+f（x）0，即 g（x）0， 所以 g（x）在（，2）上单调递增，根据函数的对称性可得 f（x）在（2，+）上单 调递减，g（x）的大致图象如图所示， 则不等式 xf（x）0 可化为0 即 xg（x）0， 所以，或， 可得，0x6 或 x2 故不等式的解集
21、（0，6）（，2） 故选：D 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了利用函数的性质（对称性及单调性）求解不等式，函数 g（x） 的构造是求解问题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）已知，则 sin2 【分析】由已知结合诱导公式及二倍角的余弦求解 【解答】解：， sin2cos（）cos2（） 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了二倍角余弦的应用，是基础题 14 （5 分）已知数列an是公差为2 等差数列，若 a2+1，a5+1，a6+1 成等比数列，则 a8 4 【分析】设等差数列的公差为 d
22、，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方 程可得首项，进而得到所求值 【解答】解：数列an是公差 d 为2 等差数列，若 a2+1，a5+1，a6+1 成等比数列， 则（a5+1）2（a2+1） （a6+1） ，即（a17）2（a11） （a19） ， 解得 a110， 则 a810+7d10144， 故答案为：4 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能 第 14 页（共 23 页） 力，属于基础题 15 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1的高为，BAC120，则该三棱 柱外接球的表面积为 16 ； 【分析】设直三棱柱 ABCA1B1C1
23、的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点 P，M， 设ABC 的外接圆半径为 r，直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的半径为 R，在ABC 中， 由正弦定理得： 2r， 所以 r1， 在 RtOMC 中， OCR， OM， MCr1，所以 R24，从而求出直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的表面积 【解答】 解： 设直三棱柱 ABCA1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点 P， M， 设ABC 的外接圆半径为 r，直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的半径为 R，如图所示： ， 直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的球心 O 为线段 PM 的中点， 在ABC 中，BC，BAC1
24、20， 由正弦定理得：2r，r1， 在 RtOMC 中，OCR，OM，MCr1， ， 直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的表面积为：4R216， 故答案为：16 【点评】本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题 第 15 页（共 23 页） 16 （5 分）已知点 F1，F2分别为双曲线 C：的左、右焦点，A 为直线与双曲线 C 的一个交点，若点 A 在以 F1F2为直径的圆上，则双曲线 C 的 离心率为 【分析】将直线与双曲线的方程联立，求得 A 的坐标，设出焦点坐标，由直径所 对圆周角为直角，结合两直线垂直的条件：斜率之积为1，化简整理，运用离心率公式 可得所求值 【解答】解：将直线与双曲
25、线的方程联立，可设 A（，b） ， 又 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 由点 A 在以 F1F2为直径的圆上，可得 AF1AF2， 即有1， 化为b2c2a2， 由 b2c2a2，可得 2c29a2， 则 e， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直径所对的圆周角为直角，考查两直线垂 直的条件，化简运算能力，属于中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 国家大力提倡科技创新， 某工厂为提升甲产品的市场竞争力， 对生产技术进行创新改造， 使甲产品的生产节能降耗以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量
26、x（吨）与相应 的生产能耗 y（吨）的几组对照数据 x（吨） 4 5 6 7 y（吨） 2.5 3 4 4.5 （1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； 第 16 页（共 23 页） （，） （2）已知该厂技术改造前生产 8 吨甲产品的生产能耗为 7 吨，试根据（1）求出的线性 回归方程，预测节能降耗后生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？ 【分析】 （1）由已知求得 与 的值，则线性回归方程可求； （2）在（1）中求得线性回归方程中，取 x8 求得 y 值，再由 7y 得答案 【解答】解： （1）， 0.7， 3.50.75.50.35 线性
27、回归方程为； （2）取 x8，得， 75.251.75 预测节能降耗后生产 8 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 1.75 吨 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 18已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】本题第（1）题根据等比数列的求和公式与题干中的算式进行类比可得公比 q 和 首项 a1的值，即可求出数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结论计算出 数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法求出前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）由题意，设等比数列an的公比为 q，则
28、Snqn+a2n1 第 17 页（共 23 页） 故 q2， 1，解得 a11 a1 数列an的通项公式为 an12n 12n1，nN* （2）由（1）知，an+12n，Sn2n1 Tnb1+b2+bn + 1 【点评】本题主要考查等比数列的基础知识，以及裂项相消法求前 n 项和考查了转化 思想，逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 19如图，在几何体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1为矩形，AA1CC1且 AA12CC1， E 为 AB1的中点 （1）求证：CE平面 A1B1C1； （2）若平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，ABBCCC12，求三棱锥 EACC1的体 积
29、【分析】 （1）取 BB1中点 F，连结 EF，CF，推导出 EFA1B1，CFB1C1，从而平面 A1B1C1平面 EFC，由此能证明 CE平面 A1B1C1 （2）AB，BB1，BC 两两垂直，以 B 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三 第 18 页（共 23 页） 棱锥 EACC1的体积 【解答】解： （1）证明：取 BB1中点 F，连结 EF，CF， 在几何体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1为矩形， AA1CC1且 AA12CC1，E 为 AB1的中点 EFA1B1，CFB1C1， A1B1B1C1B1，EFFCF， 平面 A1B1C1平面 EFC， CE平面 E
30、FC，CE平面 A1B1C1 （2）解：平面 ABB1A1平面 ABC，ABBC，ABBCCC12， AB，BB1，BC 两两垂直，以 B 为原点建立空间直角坐标系， A（2，0，0） ，B1（0，0，2） ，E（1，0，1） ，C（0，2，0） ，C1（0，2，1） ， （2，2，0） ，（0，0，1） ，（1，2，1） ， 设平面 CAC1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，0） ， E 平面 ACC1的距离 d， ， 三棱锥 EACC1的体积： 第 19 页（共 23 页） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置
31、关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20已知抛物线 C：y24x 准线为 l，焦点为 F，点 A 是抛物线 C 上位于第一象限的动点， 直线 AO（O 为坐标原点）交 l 于 B 点，直线 BF 交抛物线 C 于 D、E 两点，M 为线段 DE 中点 （1）若|AF|5，求直线 BF 的方程； （2）试问直线 AM 的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由 【分析】 （1）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由抛物线的定义可得 A 的坐标，求得 直线 AO 的方程，B 的坐标，以及直线 BF 的方程； （2）设出 A 的坐标，可得直线 AO 的方程，求得 B 的坐标，以及直线 B
32、F 的方程，联立 抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，即可判断直线 AM 的斜率是否为定值 【解答】解： （1）抛物线 C：y24x 准线为 l：x1，焦点为 F（1，0） ， |AF|5，即为 xA+15，可得 A（4，4） ， 直线 AO 的方程为 yx，可得 B（1，1） ， 则 BF 的方程为 y0（x1） ，即为 x2y10； （2）设 A（，m） ，m0，AO 的方程为 yx， 令 x1，可得 B（1，） ，又 F（1，0） ， 则直线 BF 的方程为 y（x1） ， 联立抛物线的方程可得 x2（2+m2）x+10， 第 20 页（共 23 页） 设 D（x1，y1） ，E（x
33、2，y2） ，可得 x1+x22+m2， 可得 DE 的中点 M（1+m2，m） ， 则 AM 的斜率为 0，即定值 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定 理和中点坐标公式，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于中档题 21已知函数，其中 aR （1）试讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 a1，试证明： 【分析】 （1）求导，对 a 进行分类讨论，判断单调性即可； （2）当 a1 时，要证，只需证 xlnxex+cosx1，当 0x1 时，显 然成立；当 x1 时，令 g（x）ex+cosx1xlnx，证明 g（x）0 即可 【解答】证明： （1），
34、x0， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，故 f（x）在（0，+）上单调递增， 当 a0 时，易得，当 x（0，a）时，f（x）0，函数单调递减，当 x（a，+）时， f（x）0，函数单调递增， （2）当 a1 时，要证，只需证 xlnxex+cosx1， （i）当 0x1 时，xlnx0，由 ex+cosx11+cosx1cosx0，故显然成立； （ii）当 x1 时，令 g（x）ex+cosx1xlnx， g（x）exsinxlnx1， 设 h（x）g（x） ，h（x）excosx， 显然 h（x）在（1，+）递增，故 h（x）h（1）ecos110， 故 h（x）在（1，+）递增，可得
35、h（x）h（1）esin110， 由 g（x）0，g（x）在（1，+）递增， 所以 g（x）g（1）e+cos110， 综上，xlnxex+cosx1 成立， 故原命题成立 【点评】考查导数法判断函数的单调性，导数法证明不等式恒成立问题，考查运算能力 第 21 页（共 23 页） 和逻辑推理能力，中档题 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
36、22在平面直角坐标系中 xOy，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为cos （ ） 1 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ： （ 为参数） ，A，B 为直线 l 上距离为 2 的两动点，点 P 为曲 线 C 上的动点且不在直线 l 上 （1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程 （2）求PAB 面积的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2） 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质 的应用及三角形的面积公式的应用求出结果
37、【解答】解： （1）直线 l 的极坐标方程为cos（）1，转换为直角坐标方程为 ，即 x+y10 曲 线C的 参 数 方 程 为 ：（ 为 参 数 ）， 整 理 得 ，转换为直角坐标方程为， 化简得： （ 2 ） 设 曲 线 C 上 点 P （） ， 到 直 线 l 的 距 离 d ， 当 sin（+）1 时， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 第 22 页（共 23 页） 及思维能力，属于基础题型 23已知函数 f（x）|2x+t|，若 f（x）1 的解集为（1，0
38、） （1）求 t 并解不等式 f（x）x+2； （2）已知：a，bR+，若 f（x）2a+b|2x2|对一切实数都成立，求证：a2b1 【分析】 （1）不等式 f（x）1 为|2x+t|1，求出解集得 t 的值，再求不等式 f（x）x+2 的解集； （2）不等式 f（x）2a+b|2x2|对一切实数都成立，得出|2x+1|+|2x2|2a+b 对一切 实数都成立； 设 g（x）|2x+1|+|2x2|，求出 g（x）的最小值，得出 2a+b3，利用基本不等式得出 2a+b3， 从而证明 a2b1 【解答】解： （1）函数 f（x）|2x+t|， 则 f（x）1 为|2x+t|1， 解得x； 又
39、 f（x）1 的解集为（1，0） ， 即，解得 t1； 所以不等式 f（x）x+2 为|2x+1|x+2； 当 x+20，x2 时，不等式恒成立； 当 x+20，x2 时，不等式化为（2x+1）2（x+2）2， 化简得 x21，解得 x1 或 x1；即2x1 或 x1； 综上知，不等式 f（x）x+2 的解集为x|x1 或 x1； （2）证明：不等式 f（x）2a+b|2x2|对一切实数都成立， 即|2x+1|2a+b|2x2|对一切实数都成立； 即|2x+1|+|2x2|2a+b 对一切实数都成立； 设 g（x）|2x+1|+|2x2|，xR， 则 g（x）|（2x+1）（2x2）|3，当且仅当x1 时取等号； 所以 2a+b3； 第 23 页（共 23 页） 又 a、bR+，且 2a+ba+a+b33， 当且仅当 ab 时取等号， 即 33， 所以 a2b1 【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题
