1、已知集合 Ax|y，Bx|x2+x20，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|1x2 2 （5 分）若 iz12i，则|z|（ ） A B C3 D5 3 （5 分）设等差数列an前 n 项和为 Sn，a24，S510，a5（ ） A2 B0 C6 D10 4 （5 分）函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 5 （5 分）已知 2a4，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 6 （5 分）执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） 第 2 页（共 23 页） A7 B8 C15 D31 7 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，A
2、为 C 上一点，且|AF|5，O 为坐标原点， 则OAF 的面积为（ ） A2 B C D4 8 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦 值为，AA1（ ） A1 B2 C D 9 （5 分）有 2 人从一座 6 层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开 电梯是等可能的，则该 2 人在不同层离开电梯的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0）的图象关于直线 x对 称，且当 取最小值时，（ ） A B C D 11 （5 分）已知双曲线 C：0）的右焦点为 F，O 为坐标原
3、点以 F 为 圆心，OF 为半径作圆 F，圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A，B 两点若|AB|OF|， 则 C 的离心率为（ ） 第 3 页（共 23 页） A B C D2 12 （5 分）设函数 f（x）是定义域为 R 的增函数，则实数 a 的取 值范围是（ ） A1，+） B C1，2 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 （2，x） ， （3，2） ，且（ ） ，则 x 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件则 z2x+y 的最大值为 15 （5 分）若数列an满足 a12，an
4、+1，a2020 16 （5 分）有一根高为 30cm，底面半径为 5cm 的圆柱体原木（图 1） 某工艺厂欲将该原 木加工成一工艺品，该工艺品由两部分组成，其上部分为一个球体，下部分为一个正四 棱柱（图 2） 问该工艺品体积的最大值是 cm3 二、解答题：共二、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）足不出户，
5、手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场” ，拎起手机“菜篮 子” 在省时省心的同时，线上买菜也面临着质量不佳、物流滞后等问题 “指尖”上的 菜篮子该如何守护“舌尖”上的幸福感？某手机 APP（应用程序）公司为了解这款 APP 使用者的满意度，对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查”活动，邀请每位使用 者填写一份满意度测评表（满分 100 分） 该公司最后共收回 1100 份测评表，随机抽取 了 100 份作为样本，得到如下数据： 第 4 页（共 23 页） 评分 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 合计 男性 1 4 7 13 12 8 45
6、 女性 0 5 9 11 16 14 55 （1）从表中数据估计，收回的测评表中，评分不小于 80 分的女性人数； （2）该公司根据经验，对此 APP 使用者划分“用户类型” ：评分不小于 80 分的为“A 类用户” ，评分小于 80 分的为“B 类用户 （i）请根据 100 个样本数据，完成下面列联表： 性别用户类型 A 类用户 B 类用户 合计 男性 45 女性 55 合计 100 （）根据列联表判断能否有 95%的把握认为“用户类型”与性别有关？ 附：K2 p（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18 （12 分）ABC 的内角 A，B
7、，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosC+ccosA+2bcosB0 （1）求 B； （2）设 D 为 AC 上的点，BD 平分ABC，且 AB3BD3，求 sinC 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是菱形，ABAC2，PA2，PBPD （1）证明：平面 PAC平面 ABCD； （2）若 PAAC，M 为 PC 的中点，求三棱锥 BCDM 的体积 第 5 页（共 23 页） 20 （12 分）已知 F1，F2为椭圆 E：0）的左、右焦点，且|F1F2|2， 点在 E 上 （1）求 E 的方程； （2）直线 l 与以 E 的短轴为直径的圆相切，l 与 E 交于 A，B
8、两点，O 为坐标原点，试判 断 O 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）（1sinx）ex （1）求 f（x）在区间（0，）的极值； （2）证明：函数 g（x）f（x）sinx1 在区间（，）有且只有 3 个零点，且之 和为 0 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题中任选一题作答注意：只能做所选定的 题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑的方
9、框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 过点 P（2，2） 以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 （1）求 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 f（x）|2x1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 x1，+）时，f（x）kx+k，求 k 的取值范围 第 6 页（共 23 页） 2020 年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科）
10、年福建省莆田市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有项是符合题目要求的有项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|y，Bx|x2+x20，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】分别求出集合 A，B，求出交集即可 【解答】解：已知集合 Ax|y1，+） ， Bx|x2+x20（2，1） ， 则 AB1，1） ， 故选：B 【点评】考查集合的交集运算，考查了解不
11、等式，基础题 2 （5 分）若 iz12i，则|z|（ ） A B C3 D5 【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解 【解答】解：iz12i， z，则|z| 故选：B 【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题 3 （5 分）设等差数列an前 n 项和为 Sn，a24，S510，a5（ ） A2 B0 C6 D10 【分析】利用等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出 a16，d2，由此 能求出 a5 【解答】解：等差数列an前 n 项和为 Sn，a24，S510， ， 解得 a16，d2， 第 7 页（共 23 页） a56422 故选：A 【点评】本
12、题考查等差数列的第 5 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 4 （5 分）函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据函数的零点个数排除 C，D，根据函数在（0，+）上的单调性判断 A，B 即可得出答案 【解答】解：令 f（x）0 得 x0，即 f（x）只有一个零点 x0，排除 C，D f（x），令 f（x）0 得 x1， 当 x1 或 x1 时，f（x）0，当 0x1 时，f（x）0， f（x）在（，1）上是减函数，在（1，1）上是增函数，在（1，+）上是减 函数，排除 B， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的判断，主要考查函数零点，单
13、调性，属于中档题 5 （5 分）已知 2a4，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：a0，b（0，1） ，c1 cba 第 8 页（共 23 页） 故选：D 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A7 B8 C15 D31 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：S1，i1； 第一次执行循环体后，S1+23，i2，
14、不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，S3+47，i3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，S7+815，i4，满足退出循环的条件； 故输出 S 值为 15， 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 7 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，A 为 C 上一点，且|AF|5，O 为坐标原点， 则OAF 的面积为（ ） A2 B C D4 【分析】利用抛物线的性质计算 A 点坐标，从而得出三角形的面积 【解答】解：F（1，0） ， 第 9 页（共 23 页） 设 A（m，n） ，则|PF|m+15，
15、 m4，n4， SAOF142 故选：A 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题 8 （5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦 值为，AA1（ ） A1 B2 C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利 用向量法能求出 AA1 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AA1为 t，则 A（1，0，0） ，D1（0，0，t） ，B（1，1，0） ，D（0，0，0） ， （1，0，t） ，（1，1，0）
16、， 异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦值为， ， 由 t0，解得 t2 故选：B 【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题 9 （5 分）有 2 人从一座 6 层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开 电梯是等可能的，则该 2 人在不同层离开电梯的概率是（ ） 第 10 页（共 23 页） A B C D 【分析】由题意 2 人共有 25 种结果，2 人在同一层下共 5 种，故先求该事件的概率，再 由对立事件的概率可得 【解答】解：由题意总的基本事件为：两个人各有 5 种不同的下法，故共有 25 种结果，
17、而两人在同一层下，共有 5 种结果， 两个人在同一层离开电梯的概率是： 所以 2 个人在不同层离开的概率为：1， 故选：C 【点评】本题考查等可能事件的概率，从对立事件的概率入手是解决问题的关键，属基 础题 10 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （0，0）的图象关于直线 x对 称，且当 取最小值时，（ ） A B C D 【分析】求 的最小值，由周期和 的关系，需要求周期的最大值，对称轴与对称中心 最近为周期，可求最大周期，从而求得最小的 值，由，结合范围 0 从而可解得 的值 【解答】解：函数 f（x）sin（x+） （0，0）的图象关于直线 x对 称，且 f（）0， 则 取最小
18、时， 可得 2，可得 f（x）sin（2x+） ， 再根据 可得 2+k，kZ，求得 k，kZ， 因为 0， 所以 ， 故选：D 第 11 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，解题时注意利用数形结合，数形结合比 较直观，一目了然，属于基础题 11 （5 分）已知双曲线 C：0）的右焦点为 F，O 为坐标原点以 F 为 圆心，OF 为半径作圆 F，圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A，B 两点若|AB|OF|， 则 C 的离心率为（ ） A B C D2 【分析】连接 NF，设 AB 交 x 轴于点 M，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求 出 A 的坐标，
19、再由|AF|c 在 RtAMF 中利用勾股定理建立关于 a、b、c 的关系式，化 简整理可得该双曲线的离心率 【解答】解：连接 AF，设 AB 交 x 轴于点 M， F 中，A、B 关于 OF 对称， AMF90且|AM|AB|， 设 A（m，） ，可得m，得 m， RtAMF 中，|MF|cm， 由|MF|2+|MA|2|AF|2，得（）2+（）2c2 化简整理，得 ba，可得 c24a2， 故双曲线 C 的离心率 e2 故选：D 【点评】本题给出以双曲线右焦点 F 为圆心的圆过坐标原点，在已知圆 F 被两条渐近线 截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、
20、 第 12 页（共 23 页） 直线与圆的位置关系等知识，属于基础题 12 （5 分）设函数 f（x）是定义域为 R 的增函数，则实数 a 的取 值范围是（ ） A1，+） B C1，2 D 【分析】画出函数的图象，利用分段函数的图象，列出不等式求解即可 【解答】解：函数 f（x） 可得函数的图象如图：|x33x|0，可得 x0，x，可知 x时，y|x33x| 是增函数， 函数 f（x）是定义域为 R 的增函数， 必须满足：a，a33aa2a6 解得 a2，所以 a，2 故选：D 【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，是 基本知识的考查，中档题 二、填空题：
21、本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 （2，x） ， （3，2） ，且（ ） ，则 x 【分析】根据平面向量坐标运算与共线定理，列方程求出 x 的值 【解答】解：向量 （2，x） ， （3，2） ， 则 （1，x2） ， 又（ ） ， 第 13 页（共 23 页） 所以123（x2）0， 解得 x 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件则 z2x+y 的最大值为 10 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求
22、z 的最大 值 【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分） ， 由 z2x+y，得 y2x+z， 平移直线 y2x+z，由图象可知当直线 y2x+z 经过点 C 时，直线 y2x+z 的截距 最大，此时 z 最大 由，解得， 即 C（3，4） 此时 z 的最大值为 z23+410； 故答案为：10 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 15 （5 分）若数列an满足 a12，an+1，a2020 【分析】利用 a12 及递推关系 an+1可求得 a2，a3，a4，a5，从而发现数列 an是周期为 4 的数列，于是可得答案 第 14 页（共 23 页
23、） 【解答】解：a12，an+1， a23， a3， a4， a52， 数列an是周期为 4 的数列， 又 20205054， a2020a4， 故答案为： 【点评】本题考查数列递推式的应用，分析得到数列an是周期为 4 的数列是关键，考 查观察能力与运算能力，属于中档题 16 （5 分）有一根高为 30cm，底面半径为 5cm 的圆柱体原木（图 1） 某工艺厂欲将该原 木加工成一工艺品，该工艺品由两部分组成，其上部分为一个球体，下部分为一个正四 棱柱（图 2） 问该工艺品体积的最大值是 1000+ cm3 【分析】设球的直径为 x，则正四棱柱的高为 30x，当 10x30 时，球体的最大半径
24、 为 r，求出此时工艺品体积的最大值是；当 0x10 时，球体的直径为 x写出工艺品的体积，再由导数求最值 第 15 页（共 23 页） 【解答】解：设球的直径为 x，则正四棱柱的高为 30x， 当 10x30 时，球体的最大半径为 r， 此时正四棱柱的底面积为（）250， 当 x10 时，30x301020， 工艺品体积的最大值是； 当 0x10 时，球体的直径为 x 球体体积， 正四棱柱体积， 工艺品体积 V（x）V1+V2， （0x10） ， V（x），令 V（x）0，得 x10， x （0，） （，10） V（x） 0 + V（x） 极小值 V（0）1500，V（10）1000+， V
25、（x）maxV（10）1000+， 综上，该工艺品体积的最大值是 1000+， 故答案为：1000+ 【点评】本题考查几何体体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，训练了利用导数求最值， 是中档题 第 16 页（共 23 页） 二、解答题：共二、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作答答.（一）必考题：共（一）
26、必考题：共 60 分分 17 （12 分）足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场” ，拎起手机“菜篮 子” 在省时省心的同时，线上买菜也面临着质量不佳、物流滞后等问题 “指尖”上的 菜篮子该如何守护“舌尖”上的幸福感？某手机 APP（应用程序）公司为了解这款 APP 使用者的满意度，对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查”活动，邀请每位使用 者填写一份满意度测评表（满分 100 分） 该公司最后共收回 1100 份测评表，随机抽取 了 100 份作为样本，得到如下数据： 评分 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 合计 男性 1 4
27、7 13 12 8 45 女性 0 5 9 11 16 14 55 （1）从表中数据估计，收回的测评表中，评分不小于 80 分的女性人数； （2）该公司根据经验，对此 APP 使用者划分“用户类型” ：评分不小于 80 分的为“A 类用户” ，评分小于 80 分的为“B 类用户 （i）请根据 100 个样本数据，完成下面列联表： 性别用户类型 A 类用户 B 类用户 合计 男性 45 女性 55 合计 100 （）根据列联表判断能否有 95%的把握认为“用户类型”与性别有关？ 附：K2 p（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】 （1）
28、根据统计数据求出不小于 80 分的女性比例和对应人数； （2） （i）根据题意，填写列联表即可； （ii）根据列联表计算 K2，对照数表得出概率结论 【解答】解： （1）根据统计数据知，不小于 80 分的女性比例为， 第 17 页（共 23 页） 所以可估计评分不小于 80 分的女性人数为1100330（人） ； （2） （i）根据题意，填写列联表如下； 性别用 户类型 A 类用户 B 类用户 合计 男性 20 25 45 女性 30 25 55 合计 50 50 100 （ii）根据列联表计算 K21.0103.841， 查表得 P（K23.841）0.050； 所以没有 95%的把握认为“
29、用户类型”与性别有关 【点评】本题考查了随机抽样与独立性检验的应用问题，也考查了数据处理能力和运算 求解能力，以及应用意识和统计、概率思想，是中档题 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosC+ccosA+2bcosB0 （1）求 B； （2）设 D 为 AC 上的点，BD 平分ABC，且 AB3BD3，求 sinC 【分析】 （1）由正弦定理得 sin（A+C）+2sinBcosB0，所以 sinB+2sinBcosB0，又 sinB 0，所以 cosB，从而求出角 B； （2）由（1）知 B，因为 BD 平方ABC，所以，在ABD 中，由余 弦
30、定理求出 AD，所以 cosA，sinA， 而 sinCsin（） ，再利用两角差的正弦公式即可求出结果 【解答】解： （1）acosC+ccosA+2bcosB0， 由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB0， sin（A+C）+2sinBcosB0， 又A+B+C，sin（A+C）sinB， sinB+2sinBcosB0， sinB0，cosB， 第 18 页（共 23 页） 又B（0，） ， ； （2）由（1）知 B，因为 BD 平分ABC， ， 在ABD 中，AB3BD3， 由余弦定理得， AD2AB2+BD22ABBDcosABD， 即， 即 AD， c
31、osA， 又A（0，） ， sinA，又C+A+ABC， sinCsin（）sincosAcossinA 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是菱形，ABAC2，PA2，PBPD （1）证明：平面 PAC平面 ABCD； （2）若 PAAC，M 为 PC 的中点，求三棱锥 BCDM 的体积 【分析】 （1）设 BD 交 AC 于点 O，连接 PO，证明 ACBD，POBD，再由线面垂直的 判定可得 BD平面 PAC，进一步得到平面 PAC平面 ABCD； （2）连接 OM，证明 OM平面 ABCD，再由等积法求三棱锥 BCDM
32、的体积 【解答】 （1）证明：设 BD 交 AC 于点 O，连接 PO，在菱形 ABCD 中，ACBD， 又 PBPD，O 是 BD 的中点，POBD， 第 19 页（共 23 页） ACPOO，AC平面 PAC，PO平面 PAC， BD平面 PAC， 又 BD平面 ABCD，故平面 PAC平面 ABCD； （2）解：连接 OM，M 为 PC 的中点，且 O 为 AC 的中点，OMPA， 由（1）知，BDPA，又 PAAC， 则 BDOM，OMAC， 又 ACBDO，OM平面 ABCD， 又， OM， 三棱锥 BCDM 的体积为 1 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间想象能力、
33、推理论证能力和运 算求解能力，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 20 （12 分）已知 F1，F2为椭圆 E：0）的左、右焦点，且|F1F2|2， 点在 E 上 （1）求 E 的方程； （2）直线 l 与以 E 的短轴为直径的圆相切，l 与 E 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，试判 断 O 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）由椭圆的焦距的定义和 P 满足椭圆方程，及 a，b，c 的关系，解方程可得 第 20 页（共 23 页） a，b，进而得到椭圆方程； （2）讨论直线 l 的斜率不存在，求得圆心和半径，可得 O 与圆的位置关系；当直线 l 的 斜率存在时，
34、设直线 l 的方程为 ykx+m（k0） ，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量 数量积的坐标表示，以及点到直线的距离公式，判断AOB 为锐角，可得结论 【解答】解： （1）|F1F2|2，点 P（，）在 E 上， 可得 c，即 a2b23，+1，解得 a2，b1， 则椭圆的方程为+y21； （2）当直线 l 的斜率不存在时，设直线方程为 x1 和 x1， 若 x1， 可得与椭圆的交点为 （1， ） ， 以 AB 为直径的圆心为 M （1， 0） ， 半径为， |OM|，即 O 在圆外； 同理可得 x1 时，也有 O 在圆外； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+m（k0） ，
35、 则 O 到 l 的距离为 d1，即 1+k2m2， 联立椭圆方程和直线 l 的方程可得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， 64k2m24（1+4k2） （4m24）16（1+4k2m2）0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，即有 x1+x2，x1x2， x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 （1+k2） +km（， ）+m20， 即0，则AOB 为锐角，故 O 在以 AB 为直径的圆外 综上可得，O 在以 AB 为直径的圆外 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查点与圆的位置关系， 注
36、意运用分类讨论思想和联立方程组，运用韦达定理和向量数量积与夹角的关系，考查 方程思想和运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）（1sinx）ex 第 21 页（共 23 页） （1）求 f（x）在区间（0，）的极值； （2）证明：函数 g（x）f（x）sinx1 在区间（，）有且只有 3 个零点，且之 和为 0 【分析】 （1）求导，利用辅助角公式，根据导数与函数单调性的关系，即可判断函数的 单调性，求得函数的极值； （2）求得 g（x） ，由 g（0）0，根据题意，构造函数，根据函数的零点存在定理，即 可求得 g（x）在区间（0，）有唯一的零点，同理可得，g（x）在区间（，
37、0）有唯 一的零点，并且之和为 0 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 因 为f （ x ） （ 1 sinx ） ex， 求 导 ， ， 令 f（x）0，得，x（0，） ，从而， 当时， 所以，f（x）0，从而 f（x）单调递减； 当， 所以，f（x）0，从而 f（x）单调递增， 故 f（x）在区间（0，）有极小值，无极大值； （2）证明：因为 g（x）f（x）sinx1，所以 g（0）0，从而 x0 是 yg（x）的 一个零点； 令 u（x）sinx1，则 u（x）在区间单调递减，在区间单调递 增， 又，g（）e10， 所以 g（x）在区间（0，）有唯一的零点，记为 x1， 又因为 g（x）
38、（1+sinx）e x+sinx1 ， 所以对于任意的 xR，若 g（x）0，必有 g（x）0， 所以 g（x）在区间（，0）有唯一的零点x1， 故 g（x）在区间（，）的零点为 x1，0，x1， 第 22 页（共 23 页） 所以 g（x）在区间（，）有且只有 3 个零点，且之和为 0 【点评】本题考查导数与函数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查 函数零点存在定理，三角函数与导数的综合应用，辅助角公式的应用，考查转化思想， 计算能力，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题中任选一题作答注意
39、：只能做所选定的 题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 过点 P（2，2） 以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 （1）求 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求的最大值 【分析】 （1） 曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 即 22cos24co
40、s0， 把互化公式代入可得普通方程 （2）设直线 l 的倾斜角为 ，0可得参数方程为：（t 为参数） ，代 入抛物线方程可得：t2sin2+（4sin4cos）t40，把根与系数的关系代入可得 进而得出最大值 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0即 22cos24cos 0，把互化公式代入可得：x2+y2x24x0，即 y24x （2）设直线 l 的倾斜角为 ，0可得参数方程为：（t 为参数） ，代 入抛物线方程可得：t2sin2+（4sin4cos）t40， 则 t1+t2，t1t20， |cossin|cos （+） | 当且仅当 时，等号成立 的最大值为 【点
41、评】本题考查了极坐标参数方程普通方程的互化、参数方程的应用、一元二次方程 的根与系数的关系、三角函数的和差公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属 第 23 页（共 23 页） 于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 f（x）|2x1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 x1，+）时，f（x）kx+k，求 k 的取值范围 【分析】 （1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式 f（x）5 的解集； （2）讨论 x1、1x和 x时，得出 f（x） ，再求不等式 f（x）k（x+1）时 k 的取值范围 【解答】解： （1）由 f（x）|2x1|+|x+2|， 不等式 f（x）5 等价于|2x1|+|x+2|5， 可化为， 或， 或； 解得2x， 所以不等式 f（x）5 的解集是x|2x； （2）当 x1 时，f（1）40 成立，kR； 当1x时，f（x）x+3，所以x+3k（x+1） ， 即 k1，所以 k； 当 x时，f（x）3x+1，所以 3x+1k（x+1） ， 即 k3，所以 k； 综上知，k 的取值范围是（， 【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题
