2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)含详细解答

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资源描述

1、已知集合 Ax|y,Bx|x2+x20,则 AB( ) Ax|1x1 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|1x2 2 (5 分)若 iz12i,则|z|( ) A B C3 D5 3 (5 分)设等差数列an前 n 项和为 Sn,a24,S510,a5( ) A2 B0 C6 D10 4 (5 分)函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 5 (5 分)已知 2a4,则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 6 (5 分)执行如图的程序框图,则输出 S 的值为( ) 第 2 页(共 23 页) A7 B8 C15 D31 7 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,A

2、为 C 上一点,且|AF|5,O 为坐标原点, 则OAF 的面积为( ) A2 B C D4 8 (5 分)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦 值为,AA1( ) A1 B2 C D 9 (5 分)有 2 人从一座 6 层大楼的底层进入电梯,假设每个人自第二层开始在每一层离开 电梯是等可能的,则该 2 人在不同层离开电梯的概率是( ) A B C D 10 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0,0)的图象关于直线 x对 称,且当 取最小值时,( ) A B C D 11 (5 分)已知双曲线 C:0)的右焦点为 F,O 为坐标原

3、点以 F 为 圆心,OF 为半径作圆 F,圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A,B 两点若|AB|OF|, 则 C 的离心率为( ) 第 3 页(共 23 页) A B C D2 12 (5 分)设函数 f(x)是定义域为 R 的增函数,则实数 a 的取 值范围是( ) A1,+) B C1,2 D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知向量 (2,x) , (3,2) ,且( ) ,则 x 14 (5 分)设 x,y 满足约束条件则 z2x+y 的最大值为 15 (5 分)若数列an满足 a12,an

4、+1,a2020 16 (5 分)有一根高为 30cm,底面半径为 5cm 的圆柱体原木(图 1) 某工艺厂欲将该原 木加工成一工艺品,该工艺品由两部分组成,其上部分为一个球体,下部分为一个正四 棱柱(图 2) 问该工艺品体积的最大值是 cm3 二、解答题:共二、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)足不出户,

5、手机下单,送菜到家,轻松逛起手机“菜市场” ,拎起手机“菜篮 子” 在省时省心的同时,线上买菜也面临着质量不佳、物流滞后等问题 “指尖”上的 菜篮子该如何守护“舌尖”上的幸福感?某手机 APP(应用程序)公司为了解这款 APP 使用者的满意度,对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查”活动,邀请每位使用 者填写一份满意度测评表(满分 100 分) 该公司最后共收回 1100 份测评表,随机抽取 了 100 份作为样本,得到如下数据: 第 4 页(共 23 页) 评分 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 合计 男性 1 4 7 13 12 8 45

6、 女性 0 5 9 11 16 14 55 (1)从表中数据估计,收回的测评表中,评分不小于 80 分的女性人数; (2)该公司根据经验,对此 APP 使用者划分“用户类型” :评分不小于 80 分的为“A 类用户” ,评分小于 80 分的为“B 类用户 (i)请根据 100 个样本数据,完成下面列联表: 性别用户类型 A 类用户 B 类用户 合计 男性 45 女性 55 合计 100 ()根据列联表判断能否有 95%的把握认为“用户类型”与性别有关? 附:K2 p(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18 (12 分)ABC 的内角 A,B

7、,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acosC+ccosA+2bcosB0 (1)求 B; (2)设 D 为 AC 上的点,BD 平分ABC,且 AB3BD3,求 sinC 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面是菱形,ABAC2,PA2,PBPD (1)证明:平面 PAC平面 ABCD; (2)若 PAAC,M 为 PC 的中点,求三棱锥 BCDM 的体积 第 5 页(共 23 页) 20 (12 分)已知 F1,F2为椭圆 E:0)的左、右焦点,且|F1F2|2, 点在 E 上 (1)求 E 的方程; (2)直线 l 与以 E 的短轴为直径的圆相切,l 与 E 交于 A,B

8、两点,O 为坐标原点,试判 断 O 与以 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由 21 (12 分)已知函数 f(x)(1sinx)ex (1)求 f(x)在区间(0,)的极值; (2)证明:函数 g(x)f(x)sinx1 在区间(,)有且只有 3 个零点,且之 和为 0 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意:只能做所选定的题中任选一题作答注意:只能做所选定的 题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑的方

9、框涂黑.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 过点 P(2,2) 以坐标原点为极点,x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 (1)求 C 的直角坐标方程; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,求的最大值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知 f(x)|2x1|+|x+2| (1)求不等式 f(x)5 的解集; (2)若 x1,+)时,f(x)kx+k,求 k 的取值范围 第 6 页(共 23 页) 2020 年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科)

10、年福建省莆田市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只分在每小题给出的四个选项中,只 有项是符合题目要求的有项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 Ax|y,Bx|x2+x20,则 AB( ) Ax|1x1 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|1x2 【分析】分别求出集合 A,B,求出交集即可 【解答】解:已知集合 Ax|y1,+) , Bx|x2+x20(2,1) , 则 AB1,1) , 故选:B 【点评】考查集合的交集运算,考查了解不

11、等式,基础题 2 (5 分)若 iz12i,则|z|( ) A B C3 D5 【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解 【解答】解:iz12i, z,则|z| 故选:B 【点评】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题 3 (5 分)设等差数列an前 n 项和为 Sn,a24,S510,a5( ) A2 B0 C6 D10 【分析】利用等差数列通项公式和前 n 项和公式列出方程组,求出 a16,d2,由此 能求出 a5 【解答】解:等差数列an前 n 项和为 Sn,a24,S510, , 解得 a16,d2, 第 7 页(共 23 页) a56422 故选:A 【点评】本

12、题考查等差数列的第 5 项的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运 算求解能力,是基础题 4 (5 分)函数 f(x)的图象大致是( ) A B C D 【分析】根据函数的零点个数排除 C,D,根据函数在(0,+)上的单调性判断 A,B 即可得出答案 【解答】解:令 f(x)0 得 x0,即 f(x)只有一个零点 x0,排除 C,D f(x),令 f(x)0 得 x1, 当 x1 或 x1 时,f(x)0,当 0x1 时,f(x)0, f(x)在(,1)上是减函数,在(1,1)上是增函数,在(1,+)上是减 函数,排除 B, 故选:A 【点评】本题考查了函数图象的判断,主要考查函数零点,单

13、调性,属于中档题 5 (5 分)已知 2a4,则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】解:a0,b(0,1) ,c1 cba 第 8 页(共 23 页) 故选:D 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 6 (5 分)执行如图的程序框图,则输出 S 的值为( ) A7 B8 C15 D31 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 【解答】解:S1,i1; 第一次执行循环体后,S1+23,i2,

14、不满足退出循环的条件; 第二次执行循环体后,S3+47,i3,不满足退出循环的条件; 第三次执行循环体后,S7+815,i4,满足退出循环的条件; 故输出 S 值为 15, 故选:C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 7 (5 分)已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,A 为 C 上一点,且|AF|5,O 为坐标原点, 则OAF 的面积为( ) A2 B C D4 【分析】利用抛物线的性质计算 A 点坐标,从而得出三角形的面积 【解答】解:F(1,0) , 第 9 页(共 23 页) 设 A(m,n) ,则|PF|m+15,

15、 m4,n4, SAOF142 故选:A 【点评】本题考查了抛物线的性质,属于基础题 8 (5 分)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦 值为,AA1( ) A1 B2 C D 【分析】以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能求出 AA1 【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 AA1为 t,则 A(1,0,0) ,D1(0,0,t) ,B(1,1,0) ,D(0,0,0) , (1,0,t) ,(1,1,0)

16、, 异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦值为, , 由 t0,解得 t2 故选:B 【点评】本题考查线段长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识,考查运算求解能力,是中档题 9 (5 分)有 2 人从一座 6 层大楼的底层进入电梯,假设每个人自第二层开始在每一层离开 电梯是等可能的,则该 2 人在不同层离开电梯的概率是( ) 第 10 页(共 23 页) A B C D 【分析】由题意 2 人共有 25 种结果,2 人在同一层下共 5 种,故先求该事件的概率,再 由对立事件的概率可得 【解答】解:由题意总的基本事件为:两个人各有 5 种不同的下法,故共有 25 种结果,

17、而两人在同一层下,共有 5 种结果, 两个人在同一层离开电梯的概率是: 所以 2 个人在不同层离开的概率为:1, 故选:C 【点评】本题考查等可能事件的概率,从对立事件的概率入手是解决问题的关键,属基 础题 10 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0,0)的图象关于直线 x对 称,且当 取最小值时,( ) A B C D 【分析】求 的最小值,由周期和 的关系,需要求周期的最大值,对称轴与对称中心 最近为周期,可求最大周期,从而求得最小的 值,由,结合范围 0 从而可解得 的值 【解答】解:函数 f(x)sin(x+) (0,0)的图象关于直线 x对 称,且 f()0, 则 取最小

18、时, 可得 2,可得 f(x)sin(2x+) , 再根据 可得 2+k,kZ,求得 k,kZ, 因为 0, 所以 , 故选:D 第 11 页(共 23 页) 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质,解题时注意利用数形结合,数形结合比 较直观,一目了然,属于基础题 11 (5 分)已知双曲线 C:0)的右焦点为 F,O 为坐标原点以 F 为 圆心,OF 为半径作圆 F,圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A,B 两点若|AB|OF|, 则 C 的离心率为( ) A B C D2 【分析】连接 NF,设 AB 交 x 轴于点 M,根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性,求 出 A 的坐标,

19、再由|AF|c 在 RtAMF 中利用勾股定理建立关于 a、b、c 的关系式,化 简整理可得该双曲线的离心率 【解答】解:连接 AF,设 AB 交 x 轴于点 M, F 中,A、B 关于 OF 对称, AMF90且|AM|AB|, 设 A(m,) ,可得m,得 m, RtAMF 中,|MF|cm, 由|MF|2+|MA|2|AF|2,得()2+()2c2 化简整理,得 ba,可得 c24a2, 故双曲线 C 的离心率 e2 故选:D 【点评】本题给出以双曲线右焦点 F 为圆心的圆过坐标原点,在已知圆 F 被两条渐近线 截得弦长的情况下求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、

20、 第 12 页(共 23 页) 直线与圆的位置关系等知识,属于基础题 12 (5 分)设函数 f(x)是定义域为 R 的增函数,则实数 a 的取 值范围是( ) A1,+) B C1,2 D 【分析】画出函数的图象,利用分段函数的图象,列出不等式求解即可 【解答】解:函数 f(x) 可得函数的图象如图:|x33x|0,可得 x0,x,可知 x时,y|x33x| 是增函数, 函数 f(x)是定义域为 R 的增函数, 必须满足:a,a33aa2a6 解得 a2,所以 a,2 故选:D 【点评】本题考查分段函数的应用,考查转化思想以及计算能力,数形结合的应用,是 基本知识的考查,中档题 二、填空题:

21、本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)已知向量 (2,x) , (3,2) ,且( ) ,则 x 【分析】根据平面向量坐标运算与共线定理,列方程求出 x 的值 【解答】解:向量 (2,x) , (3,2) , 则 (1,x2) , 又( ) , 第 13 页(共 23 页) 所以123(x2)0, 解得 x 故答案为: 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题,是基础题 14 (5 分)设 x,y 满足约束条件则 z2x+y 的最大值为 10 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求

22、z 的最大 值 【解答】解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分) , 由 z2x+y,得 y2x+z, 平移直线 y2x+z,由图象可知当直线 y2x+z 经过点 C 时,直线 y2x+z 的截距 最大,此时 z 最大 由,解得, 即 C(3,4) 此时 z 的最大值为 z23+410; 故答案为:10 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 15 (5 分)若数列an满足 a12,an+1,a2020 【分析】利用 a12 及递推关系 an+1可求得 a2,a3,a4,a5,从而发现数列 an是周期为 4 的数列,于是可得答案 第 14 页(共 23 页

23、) 【解答】解:a12,an+1, a23, a3, a4, a52, 数列an是周期为 4 的数列, 又 20205054, a2020a4, 故答案为: 【点评】本题考查数列递推式的应用,分析得到数列an是周期为 4 的数列是关键,考 查观察能力与运算能力,属于中档题 16 (5 分)有一根高为 30cm,底面半径为 5cm 的圆柱体原木(图 1) 某工艺厂欲将该原 木加工成一工艺品,该工艺品由两部分组成,其上部分为一个球体,下部分为一个正四 棱柱(图 2) 问该工艺品体积的最大值是 1000+ cm3 【分析】设球的直径为 x,则正四棱柱的高为 30x,当 10x30 时,球体的最大半径

24、 为 r,求出此时工艺品体积的最大值是;当 0x10 时,球体的直径为 x写出工艺品的体积,再由导数求最值 第 15 页(共 23 页) 【解答】解:设球的直径为 x,则正四棱柱的高为 30x, 当 10x30 时,球体的最大半径为 r, 此时正四棱柱的底面积为()250, 当 x10 时,30x301020, 工艺品体积的最大值是; 当 0x10 时,球体的直径为 x 球体体积, 正四棱柱体积, 工艺品体积 V(x)V1+V2, (0x10) , V(x),令 V(x)0,得 x10, x (0,) (,10) V(x) 0 + V(x) 极小值 V(0)1500,V(10)1000+, V

25、(x)maxV(10)1000+, 综上,该工艺品体积的最大值是 1000+, 故答案为:1000+ 【点评】本题考查几何体体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,训练了利用导数求最值, 是中档题 第 16 页(共 23 页) 二、解答题:共二、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作题为选考题,考生根据要求作答答.(一)必考题:共(一)

26、必考题:共 60 分分 17 (12 分)足不出户,手机下单,送菜到家,轻松逛起手机“菜市场” ,拎起手机“菜篮 子” 在省时省心的同时,线上买菜也面临着质量不佳、物流滞后等问题 “指尖”上的 菜篮子该如何守护“舌尖”上的幸福感?某手机 APP(应用程序)公司为了解这款 APP 使用者的满意度,对一小区居民开展“线上购买食品满意度调查”活动,邀请每位使用 者填写一份满意度测评表(满分 100 分) 该公司最后共收回 1100 份测评表,随机抽取 了 100 份作为样本,得到如下数据: 评分 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 合计 男性 1 4

27、7 13 12 8 45 女性 0 5 9 11 16 14 55 (1)从表中数据估计,收回的测评表中,评分不小于 80 分的女性人数; (2)该公司根据经验,对此 APP 使用者划分“用户类型” :评分不小于 80 分的为“A 类用户” ,评分小于 80 分的为“B 类用户 (i)请根据 100 个样本数据,完成下面列联表: 性别用户类型 A 类用户 B 类用户 合计 男性 45 女性 55 合计 100 ()根据列联表判断能否有 95%的把握认为“用户类型”与性别有关? 附:K2 p(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】 (1)

28、根据统计数据求出不小于 80 分的女性比例和对应人数; (2) (i)根据题意,填写列联表即可; (ii)根据列联表计算 K2,对照数表得出概率结论 【解答】解: (1)根据统计数据知,不小于 80 分的女性比例为, 第 17 页(共 23 页) 所以可估计评分不小于 80 分的女性人数为1100330(人) ; (2) (i)根据题意,填写列联表如下; 性别用 户类型 A 类用户 B 类用户 合计 男性 20 25 45 女性 30 25 55 合计 50 50 100 (ii)根据列联表计算 K21.0103.841, 查表得 P(K23.841)0.050; 所以没有 95%的把握认为“

29、用户类型”与性别有关 【点评】本题考查了随机抽样与独立性检验的应用问题,也考查了数据处理能力和运算 求解能力,以及应用意识和统计、概率思想,是中档题 18 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acosC+ccosA+2bcosB0 (1)求 B; (2)设 D 为 AC 上的点,BD 平分ABC,且 AB3BD3,求 sinC 【分析】 (1)由正弦定理得 sin(A+C)+2sinBcosB0,所以 sinB+2sinBcosB0,又 sinB 0,所以 cosB,从而求出角 B; (2)由(1)知 B,因为 BD 平方ABC,所以,在ABD 中,由余 弦

30、定理求出 AD,所以 cosA,sinA, 而 sinCsin() ,再利用两角差的正弦公式即可求出结果 【解答】解: (1)acosC+ccosA+2bcosB0, 由正弦定理得:sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB0, sin(A+C)+2sinBcosB0, 又A+B+C,sin(A+C)sinB, sinB+2sinBcosB0, sinB0,cosB, 第 18 页(共 23 页) 又B(0,) , ; (2)由(1)知 B,因为 BD 平分ABC, , 在ABD 中,AB3BD3, 由余弦定理得, AD2AB2+BD22ABBDcosABD, 即, 即 AD, c

31、osA, 又A(0,) , sinA,又C+A+ABC, sinCsin()sincosAcossinA 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理,是中档题 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 的底面是菱形,ABAC2,PA2,PBPD (1)证明:平面 PAC平面 ABCD; (2)若 PAAC,M 为 PC 的中点,求三棱锥 BCDM 的体积 【分析】 (1)设 BD 交 AC 于点 O,连接 PO,证明 ACBD,POBD,再由线面垂直的 判定可得 BD平面 PAC,进一步得到平面 PAC平面 ABCD; (2)连接 OM,证明 OM平面 ABCD,再由等积法求三棱锥 BCDM

32、的体积 【解答】 (1)证明:设 BD 交 AC 于点 O,连接 PO,在菱形 ABCD 中,ACBD, 又 PBPD,O 是 BD 的中点,POBD, 第 19 页(共 23 页) ACPOO,AC平面 PAC,PO平面 PAC, BD平面 PAC, 又 BD平面 ABCD,故平面 PAC平面 ABCD; (2)解:连接 OM,M 为 PC 的中点,且 O 为 AC 的中点,OMPA, 由(1)知,BDPA,又 PAAC, 则 BDOM,OMAC, 又 ACBDO,OM平面 ABCD, 又, OM, 三棱锥 BCDM 的体积为 1 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查空间想象能力、

33、推理论证能力和运 算求解能力,考查数形结合的解题思想方法,是中档题 20 (12 分)已知 F1,F2为椭圆 E:0)的左、右焦点,且|F1F2|2, 点在 E 上 (1)求 E 的方程; (2)直线 l 与以 E 的短轴为直径的圆相切,l 与 E 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,试判 断 O 与以 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由 【分析】 (1)由椭圆的焦距的定义和 P 满足椭圆方程,及 a,b,c 的关系,解方程可得 第 20 页(共 23 页) a,b,进而得到椭圆方程; (2)讨论直线 l 的斜率不存在,求得圆心和半径,可得 O 与圆的位置关系;当直线 l 的 斜率存在时,

34、设直线 l 的方程为 ykx+m(k0) ,联立椭圆方程,运用韦达定理和向量 数量积的坐标表示,以及点到直线的距离公式,判断AOB 为锐角,可得结论 【解答】解: (1)|F1F2|2,点 P(,)在 E 上, 可得 c,即 a2b23,+1,解得 a2,b1, 则椭圆的方程为+y21; (2)当直线 l 的斜率不存在时,设直线方程为 x1 和 x1, 若 x1, 可得与椭圆的交点为 (1, ) , 以 AB 为直径的圆心为 M (1, 0) , 半径为, |OM|,即 O 在圆外; 同理可得 x1 时,也有 O 在圆外; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 ykx+m(k0) ,

35、 则 O 到 l 的距离为 d1,即 1+k2m2, 联立椭圆方程和直线 l 的方程可得(1+4k2)x2+8kmx+4m240, 64k2m24(1+4k2) (4m24)16(1+4k2m2)0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,即有 x1+x2,x1x2, x1x2+y1y2x1x2+(kx1+m) (kx2+m)(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 (1+k2) +km(, )+m20, 即0,则AOB 为锐角,故 O 在以 AB 为直径的圆外 综上可得,O 在以 AB 为直径的圆外 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的性质,考查点与圆的位置关系, 注

36、意运用分类讨论思想和联立方程组,运用韦达定理和向量数量积与夹角的关系,考查 方程思想和运算能力,属于中档题 21 (12 分)已知函数 f(x)(1sinx)ex 第 21 页(共 23 页) (1)求 f(x)在区间(0,)的极值; (2)证明:函数 g(x)f(x)sinx1 在区间(,)有且只有 3 个零点,且之 和为 0 【分析】 (1)求导,利用辅助角公式,根据导数与函数单调性的关系,即可判断函数的 单调性,求得函数的极值; (2)求得 g(x) ,由 g(0)0,根据题意,构造函数,根据函数的零点存在定理,即 可求得 g(x)在区间(0,)有唯一的零点,同理可得,g(x)在区间(,

37、0)有唯 一的零点,并且之和为 0 【 解 答 】 解 :( 1 ) 因 为f ( x ) ( 1 sinx ) ex, 求 导 , , 令 f(x)0,得,x(0,) ,从而, 当时, 所以,f(x)0,从而 f(x)单调递减; 当, 所以,f(x)0,从而 f(x)单调递增, 故 f(x)在区间(0,)有极小值,无极大值; (2)证明:因为 g(x)f(x)sinx1,所以 g(0)0,从而 x0 是 yg(x)的 一个零点; 令 u(x)sinx1,则 u(x)在区间单调递减,在区间单调递 增, 又,g()e10, 所以 g(x)在区间(0,)有唯一的零点,记为 x1, 又因为 g(x)

38、(1+sinx)e x+sinx1 , 所以对于任意的 xR,若 g(x)0,必有 g(x)0, 所以 g(x)在区间(,0)有唯一的零点x1, 故 g(x)在区间(,)的零点为 x1,0,x1, 第 22 页(共 23 页) 所以 g(x)在区间(,)有且只有 3 个零点,且之和为 0 【点评】本题考查导数与函数的综合应用,考查导数与函数单调性及极值的关系,考查 函数零点存在定理,三角函数与导数的综合应用,辅助角公式的应用,考查转化思想, 计算能力,属于难题 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意:只能做所选定的题中任选一题作答注意

39、:只能做所选定的 题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用题目如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑的方框涂黑.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 过点 P(2,2) 以坐标原点为极点,x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 (1)求 C 的直角坐标方程; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,求的最大值 【分析】 (1) 曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 即 22cos24co

40、s0, 把互化公式代入可得普通方程 (2)设直线 l 的倾斜角为 ,0可得参数方程为:(t 为参数) ,代 入抛物线方程可得:t2sin2+(4sin4cos)t40,把根与系数的关系代入可得 进而得出最大值 【解答】解: (1)曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0即 22cos24cos 0,把互化公式代入可得:x2+y2x24x0,即 y24x (2)设直线 l 的倾斜角为 ,0可得参数方程为:(t 为参数) ,代 入抛物线方程可得:t2sin2+(4sin4cos)t40, 则 t1+t2,t1t20, |cossin|cos (+) | 当且仅当 时,等号成立 的最大值为 【点

41、评】本题考查了极坐标参数方程普通方程的互化、参数方程的应用、一元二次方程 的根与系数的关系、三角函数的和差公式及其单调性,考查了推理能力与计算能力,属 第 23 页(共 23 页) 于中档题 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知 f(x)|2x1|+|x+2| (1)求不等式 f(x)5 的解集; (2)若 x1,+)时,f(x)kx+k,求 k 的取值范围 【分析】 (1)利用分段讨论法去掉绝对值,求不等式 f(x)5 的解集; (2)讨论 x1、1x和 x时,得出 f(x) ,再求不等式 f(x)k(x+1)时 k 的取值范围 【解答】解: (1)由 f(x)|2x1|+|x+2|, 不等式 f(x)5 等价于|2x1|+|x+2|5, 可化为, 或, 或; 解得2x, 所以不等式 f(x)5 的解集是x|2x; (2)当 x1 时,f(1)40 成立,kR; 当1x时,f(x)x+3,所以x+3k(x+1) , 即 k1,所以 k; 当 x时,f(x)3x+1,所以 3x+1k(x+1) , 即 k3,所以 k; 综上知,k 的取值范围是(, 【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题,也考查了不等式恒成立问题, 是中档题

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