1、已知直线 a，b 和平面 ，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，b，则 a Bab，b，则 a C若 ab，b，则 a D若 ab，b，则 a 4 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年
2、中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 第 2 页（共 26 页） 5 （5 分）已知，则 sin+cos 的值是（ ） A B C D 6 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白 圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数， 则其和等于 11 的概率是（ ） A B C D 7 （5 分）已知定点 F1
3、（4，0） ，F2（4，0） ，N 是圆 O：x2+y24 上的任意一点，点 F1 关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的垂直平分线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨 迹是（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 8 （5 分）已知 a、b、cR，abc，a+b+c0，若实数 x，y 满足不等式组， 则目标函数 z2x+y（ ） A有最大值，无最小值 B无最大值，有最小值 C有最大值，有最小值 D无最大值，无最小值 9 （5 分）已知数列an的首项 a1a（a0） ，且 an+1kan+t，其中 k，tR，nN*，下列 叙述正确的是（ ） A若an是等差数列，则一定有 k1 B
4、若an是等比数列，则一定有 t0 C若an是等差数列，则一定有 k1 第 3 页（共 26 页） D若an不是等比数列，则一定有 t0 10 （5 分）若 a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a3（2x1）3+a4（2x1）4+a5（2x1）5 x5，则 a2（ ） A B C D 11 （5 分）点 P 为棱长是 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 球面上的动点，点 M 为 B1C1的中点，若满足 DPBM，则动点 P 的轨迹的长度为（ ） A B C D 12（5 分） 设函数 f （x） 是奇函数 f （x）（xR） 的导函数， 当 x0 时， 则使得（x21）f（x
5、）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （1，0）（0，1） B （，1）（1，+） C （1，0）（1，+） D （，1）（0，1） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）等边ABC 的边长为 2，则在方向上的投影为 14 （5 分） 设等比数列an的前 n 项和为 Sn， 若 S3+S6S9， 则数列an的公比 q 是 15 （5 分）已知椭圆+1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 16 （5 分）已知函数 f（x），若函数 yf（x）
6、a|x|恰有 4 个零点， 则实数 a 的取值范围为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知 f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x） ，xR （1）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间 （2）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a3，
7、求 BC 边上的高的最大值 第 4 页（共 26 页） 18（12分） 如图， 在四棱锥PABCD中， ADBC， ADCPAB90， BCCDAD E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90 （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； （）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 Q（1，2） ，F（1，0） ，动点 P 满足| | （）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （）过点 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，记直线 QA，QB 的斜率
8、分别为 k1，k2，求证： k1+k2为定值 20 （12 分）已知函数 （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）若，设 f（x）的最大值为 h（a） ，求 h（a）的取值范围 21 （12 分）如图，直角坐标系中，圆的方程为 x2+y21，A（1，0） ，B（，） ，C （，）为圆上三个定点，某同学从 A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子规定： 每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；棋子移动的 方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的 点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动 设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A，B，C
9、处的概率分别为 Pn（A） ，Pn（B） ，Pn（C） 例 如： 掷骰子一次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为 P1（A）0，P1（B），P1（C） （1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 A，B，C 处的概率； 第 5 页（共 26 页） （2）掷骰子 n 次时，若以 x 轴非负半轴为始边，以射线 OA，OB，OC 为终边的角的余 弦值记为随机变量 Xn，求 X4的分布列和数学期望； （3）记 Pn（A）an，Pn（B）bn，Pn（C）cn ，其中 an+bn+cn1证明：数列bn 是等比数列，并求 a2020 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在第分，请考生
10、在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直线坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，以 坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）写出 C1的普通方程和极坐标方程； （2）设 A，B 是 C1上的两点，且 OAOB，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b 为正数，且满足 a+b1 （1）求证：； （2）求证： 第 6 页（共 26 页） 2020 年山西省大同一中高考数学一模试卷（理科
11、）年山西省大同一中高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意本大题共一、选择题（在每小题的四个选项中，只有一项最符合题意本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合，则实数 a 的取 值范围为（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，1 【分析】解不等式简化集合 A、B，由 MNM，得 MN，得不等式 a1，得答案 【解答】解：x23x+20，（x1） （x2）0， 1x2，M1，2， xa0，xa，Na，+） MNM，MN，a1， 实数 a 的取
12、值范围为： （，1 故选：D 【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题 2 （5 分）复数 z 满足（1+i）z|1i|，则 z（ ） A1i B1+i C D 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可 【解答】解：因为（1+i）z|1i|， zi 故选：C 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 3 （5 分）已知直线 a，b 和平面 ，则下列命题正确的是（ ） A若 ab，b，则 a Bab，b，则 a C若 ab，b，则 a D若 ab，b，则 a 【分析】利用空间线面平行与垂直的判定及其性质即可判断出正误
13、 第 7 页（共 26 页） 【解答】解：Aab，b，则 a 或 a，因此不正确； Bab，b，则 a 或 a，因此不正确； Cab，b，则 a，正确； Dab，b，则 a，a，或相交，因此不正确 故选：C 【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 4 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升
14、级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 【分析】通过图结合选项分析 【解答】解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A 错； 由图 2 知，10 年来全球新增装机容量起伏，B 错； 由图1知，10年中国新增装机总容量为 13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2
15、+30.8+23.4+19.7+21.1197.7， 则 10 年来中国新增装机容量平均为 19.77GW，C 错； 第 8 页（共 26 页） 故选：D 【点评】本题考查频率直方图，属于基础题 5 （5 分）已知，则 sin+cos 的值是（ ） A B C D 【分析】利用诱导公式化简已知的等式，求出 tan 的值小于 0，利用同角三角函数间的 基本关系求出 cos 的值，根据 （，） ，得到 的具体范围，再利用同角三角 函数间的基本关系求出 sin 的值，即可求出所求式子的值 【解答】解：tan（）tan0，且 （，） ， cos，（，） ， sin， 则 sin+cos 故选：C 【点
16、评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键， 同时注意角度的范围，属于基础题 6 （5 分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳 上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白 圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数， 则其和等于 11 的概率是（ ） 第 9 页（共 26 页） A B C D 【分析】基本事件总数 n4520，利用列举法求出其和等于 11 包含的基本事件有 4 个，由此能求出其和等于 11 的概率 【解答】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取
17、1 个数， 基本事件总数 n4520， 其和等于 11 包含的基本事件有： （9，2） ， （3，8） ， （7，4） ， （5，6） ，共 4 个， 其和等于 11 的概率 p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 7 （5 分）已知定点 F1（4，0） ，F2（4，0） ，N 是圆 O：x2+y24 上的任意一点，点 F1 关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的垂直平分线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨 迹是（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 【分析】利用中位线定理可得|MF2|4，由垂直平分线的性质可得|PM|
18、PF1|，故|PF2| |PF1|PF2|PM|MF2|4|F1F2|，由双曲线的定义可得点 P 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线 【解答】解：连接 ON，如图所示： ， 由题意可知|ON|2，且 N 为 MF1的中点， |MF2|2|ON|4， 点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的垂直平分线与直线 F2M 相交于点 P， 由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|， |PF2|PF1|PF2|PM|MF2|4|F1F2|， 由双曲线的定义可得点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线， 故选：B 第 10 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查了定义法求动点轨迹方程，考
19、查了垂直平分线的性质以及中位线 定理，是中档题 8 （5 分）已知 a、b、cR，abc，a+b+c0，若实数 x，y 满足不等式组， 则目标函数 z2x+y（ ） A有最大值，无最小值 B无最大值，有最小值 C有最大值，有最小值 D无最大值，无最小值 【分析】判断直线 bx+ay+c0 由 y 轴的交点位置，画出可行域，即可判断目标函数的最 值情况 【解答】解：a、b、cR，abc，a+b+c0，可得 bx+ay+c0，在 y 轴上的截距为正， 并且2 由 实 数x ， y满 足 不 等 式 组， 的 可 行 域 如 图 ： 第 11 页（共 26 页） 可知目标函数 z2x+y，一定存在最
20、大值和最小值 故选：C 【点评】本题考查线性规划的应用，判断可行域中直线的位置关系是解题的关键 9 （5 分）已知数列an的首项 a1a（a0） ，且 an+1kan+t，其中 k，tR，nN*，下列 叙述正确的是（ ） A若an是等差数列，则一定有 k1 B若an是等比数列，则一定有 t0 C若an是等差数列，则一定有 k1 D若an不是等比数列，则一定有 t0 【分析】由原数列递推式，分 k0 和 k1 分类分析 A 与 C；再由 k0 和 k0 分析 B； 由逆否命题结合等比数列的定义分析 D 【解答】解：数列an的首项 a1a（a0） ，且 an+1kan+t，其中 k，tR，nN*，
21、 当 k0 时，原递推式为 an+1t，若 at，则数列an为等差数列； 当 k1 时，原递推式为 an+1ant，数列an为等差数列 若an是等差数列，则 k0 且 at0，或 k1，故 A 不正确，C 不正确； 当 t0 时，原递推式化为 an+1kan，a1a（a0） ， k0 时，数列an不是等比数列，k0 时，数列an是等比数列 若an是等比数列，则一定有 t0，B 正确； 对于 D，其逆否命题为若 t0，则an是等比数列，不正确，如 k0，故 D 不正确 叙述正确的是 B 故选：B 【点评】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与 第 12 页（共 26
22、 页） 推理论证能力，是中档题 10 （5 分）若 a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a3（2x1）3+a4（2x1）4+a5（2x1）5 x5，则 a2（ ） A B C D 【分析】把二项式变形为 a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a3（2x1）3+a4（2x1）4+a5 （2x1）5x5，利用展开式的通项公式即可求出对应项的系数 【解答】解：令 a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a3（2x1）3+a4（2x1）4+a5（2x1） 5x5 ， 其展开式的通项公式为 Tr+1 （2x1）r， 令 r2，得 a2 故选：C 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应
23、对二项式进行适当的变形， 属于基础题 11 （5 分）点 P 为棱长是 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球 O 球面上的动点，点 M 为 B1C1的中点，若满足 DPBM，则动点 P 的轨迹的长度为（ ） A B C D 【分析】直线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内又点 P 在内切球的球面上，故点 P 的轨迹是正方体的内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到的小圆，即可得出结论 【解答】解：设 BB1的中点 N，AB1的中点 K，CN 为 DP 在平面 B1C1CB 中的射影，直 线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内又点 P 在内接球的球面上，故点 P
24、的轨迹是正 方体的内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到的小圆，即点 P 的轨迹为过 D，C，N 的平面即为平面 CDKN 与内切球的交线由等体积法h211 2，求得点 O 到此平面 CDKN 的距离 h 为，截得小圆的半径为，所以以点 P 的 轨迹的长度为 故选：C 【点评】本题考查了学生的空间想象力，求出点 P 的轨迹是关键，属于中档题 第 13 页（共 26 页） 12（5 分） 设函数 f （x） 是奇函数 f （x）（xR） 的导函数， 当 x0 时， 则使得（x21）f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （1，0）（0，1） B （，1）（1，+） C （1，0）
25、（1，+） D （，1）（0，1） 【分析】根据题意，设 g（x）lnxf（x） ， （x0） ，对 g（x）求导，利用导数与函数单 调性的关系分析可得 g（x）在（0，+）上为减函数，分析 g（x）的特殊值，结合函数 的单调性分析可得在区间（0，1）和（1，+）上，都有 f（x）0，结合函数的奇偶性 可得在区间（1，0）和（，1）上，都有 f（x）0，进而将不等式变形转化可 得或，解可得 x 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，设 g（x）lnxf（x） ， （x0） ， 其导数 g（x）（lnx）f（x）+lnxf（x）f（x）+lnxf（x） ， 又由当 x0 时，则有 g（x
26、）f（x）+lnxf（x）0， 即函数 g（x）在（0，+）上为减函数，又由 g（1）ln1f（x）0， 则在区间（0，1）上，g（x）lnxf（x）0，又由 lnx0，则 f（x）0， 在区间（1，+）上，g（x）lnxf（x）0，又由 lnx0，则 f（x）0， 则 f（x）在（0，1）和（1，+）上，f（x）0， 又由 f（x）为奇函数，则在区间（1，0）和（，1）上，都有 f（x）0， （x21）f（x）0或， 解可得：x1 或 0x1， 则 x 的取值范围是（，1）（0，1） ； 故选：D 【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析 f （x）0 与
27、 f（x）0 的解集 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）等边ABC 的边长为 2，则在方向上的投影为 1 第 14 页（共 26 页） 【分析】可求出向量 AB，BC 的数量积，由在方向上的投影为，计算即可 【解答】解：|cos（B）22（cos）2， 在方向上的投影为1 故答案为：1 【点评】本题考查平面向量的数量积的定义，投影概念，注意向量的夹角，是一道基础 题 14 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6S9，则数列an的公比 q 是 1 或 1 【分析】分类讨论，q1 满足题意，q1 利用等比数列的前 n 项
28、和的公式化简 S3+S6 S9得到关于 q 的方程，根据 q 不等于 0 和 1，求出方程的解，即可得到 q 的值 【解答】解：若 q1，则有 S33a1，S66a1，S99a1，满足题意； 若 q1，则+ q9q6q3+10 （q3+1） （q31）20 q1，q1 综上知，q1 或1 故答案为：1 或1 【点评】本题考查等比数列的求和，考查分类讨论的数学思想，属于中档题 15 （5 分）已知椭圆+1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 【分析】求得椭圆的 a，b，c，e，设椭圆的右焦点为
29、F，连接 PF，运用三角形的中位 线定理和椭圆的焦半径半径，求得 P 的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值 【解答】解：椭圆1 的 a3，b，c2，e， 设椭圆的右焦点为 F，连接 PF， 第 15 页（共 26 页） 线段 PF 的中点 A 在以原点 O 为圆心，2 为半径的圆， 连接 AO，可得|PF|2|AO|4， 设 P 的坐标为（m，n） ，可得 3m4，可得 m，n， 由 F（2，0） ，可得直线 PF 的斜率为 另解：由|PF|2|AO|4，|PF|642，|FF|2c4， 可得 cosPFF， sinPFF， 可得直线 PF 的斜率为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的定义和
30、方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程 思想和运算能力，属于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x），若函数 yf（x）a|x|恰有 4 个零点， 则实数 a 的取值范围为 （1，2） 【分析】由 yf（x）a|x|0 得 f（x）a|x|，利用数形结合即可得到结论 【解答】解：由 yf（x）a|x|0 得 f（x）a|x|， 作出函数 yf（x） ，ya|x|的图象， 当 a0，不满足条件， 第 16 页（共 26 页） a0， 当 a2 时，此时 ya|x|与 f（x）有三个 交点， 当 a1 时， 当 x0 时，f（x）x25x4， 由 f（x）x25x4x 得 x2+4x+
31、40， 则判别式16440， 即此时直线 yx 与 f（x）相切， 此时 ya|x|与 f（x）有五个交点， 要使函数 yf（x）a|x|恰有 4 个零点， 则 1a2， 故答案为： （1，2） 【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性 较强，难度较大 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题
32、：共 60 分分 17 （12 分）已知 f（x）cos2x+2sin（+x）sin（x） ，xR （1）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间 （2）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a3， 求 BC 边上的高的最大值 第 17 页（共 26 页） 【分析】 （1）利用三角函数公式化简 f（x） ，即可求解 f（x）的最小正周期及单调递增区 间 （2）根据 f（A），a3，求解 A，利用余弦定理建立关系，结合不等式的性质 求解 bc 的最大值，根据三角形面积的最大值即可求解 BC 边上的高的最大值 【解答】解： （1）由 f（x） 化简可得：f（x）
33、cos2x2sinxcosx， 即， f（x）的最小正周期 T 由，kZ 得，kZ f（x）的增区间是，kZ （2）由，得， 由余弦定理得：a2b2+c22bccosA， 则 9b2+c2bcbc 即 bc9（当且仅当 bc 取等号） 设 BC 边上的高为 h， 则 得 即 h 的最大值为 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质以及余弦定理，基本不等式的运用，利用 第 18 页（共 26 页） 三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键 18（12分） 如图， 在四棱锥PABCD中， ADBC， ADCPAB90， BCCDAD E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为
34、90 （）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； （）若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值 【分析】 （I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，由点 E 为 AD 的中点，可得 AEEDAD， 由 BCCDAD，可得 EDBC，已知 EDBC可得四边形 BCDE 为平行四边形， 即 EBCD利用线面平行的判定定理证明得直线 CM平面 PBE 即可 （II）如图所示，由ADCPAB90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90ABCD M，可得 AP平面 ABCD由 CDPD，PAAD因此PDA 是二面角 PCDA 的
35、平面角，大小为 45PAAD不妨设 AD2，则 BCCDAD1可得 P（0， 0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计 算公式即可得出 【解答】解： （I）延长 AB 交直线 CD 于点 M，点 E 为 AD 的中点，AEEDAD， BCCDAD，EDBC， ADBC，即 EDBC四边形 BCDE 为平行四边形，即 EBCD ABCDM，MCD，CMBE， BE平面 PBE，CM平面 PBE， MAB，AB平面 PAB， M平面 PAB，故在平面 PAB 内可以找到一点 M（MABCD） ，使得直线 CM平面 PBE （II）如图所示，ADC
36、PAB90，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90，AB CDM， 第 19 页（共 26 页） AP平面 ABCD CDPD，PAAD 因此PDA 是二面角 PCDA 的平面角，大小为 45 PAAD 不妨设 AD2，则 BCCDAD1P（0，0，2） ，E（0，1，0） ，C（1，2，0） ， （1，1，0） ，（0，1，2） ，（0，0，2） ， 设平面 PCE 的法向量为 （x，y，z） ，则，可得： 令 y2，则 x2，z1， （2，2，1） 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ， 则 sin 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象 能力
37、、推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 Q（1，2） ，F（1，0） ，动点 P 满足| | （）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （）过点 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，记直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，求证： k1+k2为定值 【分析】 （）设出 P 点坐标（x，y） ，根据|列出关于 x，y 的方程，化简 即可； （）设出直线方程为 xmy+1，联立直线和抛物线方程，得到关于 y 的方程，设 A（x1， 第 20 页（共 26 页） y1）B（x1，y2） ，根据韦达定理，得到 y1和 y2的关系式，将 k1+k2用 y
38、1和 y2表示，化简 即可得到结论 【解答】解： （）设 P（x，y） ，则（1x，2y） ，（1x，y） ， 由|知，|1x|， 化简得：y24x， 即动点 P 的轨迹 E 方程为 y24x； （）设过点 F（1，0）的直线为：xmy+1，A（x1，y1）B（x1，y2） ， 由得 y24my40， ， k1+k2+，x1my1+1，x2my2+1， k1+k2+ 将代入得， k1+k22， 故 k1+k2为定值2 【点评】本题考查了曲线的轨迹方程的求法，考查了直线斜率和为定值的问题，考查分 析和解决问题的能力和计算能力，属于中档题 20 （12 分）已知函数 （1）当 a1 时，求函数 f
39、（x）的单调区间； （2）若，设 f（x）的最大值为 h（a） ，求 h（a）的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数判断导函数的符号，判断函数的单调性即可 第 21 页（共 26 页） （2）求出，设 然后求解函数的导数，判断函数的单调性求 出导函数的零点，得到函数 f（x）的最大值，再构造函数，求出导数，然后通过二次导 函数判断单调性求解最值的即可 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 当a 1时 ，（ x 0 ）， 则 ， 设 t（x）xex，当 x（0，+）时，t（x）1ex0，t（x）t（0）1 0， 所以： x （0，1） 1 （1，+） f（x） + 0 f（x） 递增 取极大值
40、递减 f（x）的单调递增区间为（0，1） ，单调递减区间为（1，+） ； （2） 设 则： 由（1）可知 t（x）xex100xex x22x+2（x1）2+10， xex（x22x+2）xx（x22x+2）x（x1）20 所以 g（x）f（x）在（0，+）上为减函数， 由题意：且 所以：g（x）f（x）在1，2存在唯一零点，不妨设为 x0 第 22 页（共 26 页） 即 g（x0）f（x0）0， x（0，x0）时，f（x）为增函数，x（x0，+）为减函数， 再由 得： 设：， ， k（x0）对于 x01，2时为单调递增函数， k（1）h（a）k（x0）k（2） ， h（a）的取值范围为：1
41、e，1ln2 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义， 构造法的应用，考查恒成立问题，正确求导是关键是难题 21 （12 分）如图，直角坐标系中，圆的方程为 x2+y21，A（1，0） ，B（，） ，C （，）为圆上三个定点，某同学从 A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子规定： 每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；棋子移动的 方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的 点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动 设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为 Pn（A） ，Pn（B） ，Pn（
42、C） 例 如： 掷骰子一次时，棋子移动到 A，B，C 处的概率分别为 P1（A）0，P1（B），P1（C） （1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 A，B，C 处的概率； 第 23 页（共 26 页） （2）掷骰子 n 次时，若以 x 轴非负半轴为始边，以射线 OA，OB，OC 为终边的角的余 弦值记为随机变量 Xn，求 X4的分布列和数学期望； （3）记 Pn（A）an，Pn（B）bn，Pn（C）cn ，其中 an+bn+cn1证明：数列bn 是等比数列，并求 a2020 【分析】 （1）由概率的乘法公式，可得所求值； （2）随机变量 X4的可能取值为 1，结合（1）运用概率乘法公式
43、，可得随机变量 的分布列和期望； （3）易得 bncn，即 bn1cn1，n2，由条件推得 2bn+bn11，由构造等比数列， 可得 bn+ （）n 1，即可得到所求值 【解答】解： （1）P2（A）+，P2（B），P2（C） ， P3（A）+，P3（B）（+） ，P3（C）（+） ； （2）随机变量 X4的可能取值为 1， 由（1）可得 P（x41）（P3（B）+P3（C） ） （+） ， P（x4）（P3（A）+P3（C） ） +（P3（A）+P3（B） ） ， 则 X4的分布列为 x4 1 P E（X4）1+（） ； （3）证明：易得 bncn，即 bn1cn1，n2， 第 24 页（共
44、 26 页） n2 时，bn（an1+cn1）（an1+bn1） ， 又 an1+bn1+cn11，可得 2bn+bn11， 由 bnbn1+（bn1） ， 可得数列bn是首项为，公比为的等比数列， 则 bn （）n 1，即 b n + （）n 1， 又 an1bn12+ （）n 1 1（）n 1， 故 a20201+（）2019 【点评】本题考查数列与解析几何、概率统计的综合，考查等比数列的定义和通项公式， 考查随机变量概率的求法和期望，考查化简运算能力，属于中档题 （二）选考题（二）选考题：共：共 10 分，请考生在第分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的题中任选一题作答如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分
