1、某地区对当地 3000 户家庭的 2018 年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分 布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为20，40） ，40，60） ，60，80） ， 80，100，则年收入不超过 6 万的家庭大约为（ ） A900 户 B600 户 C300 户 D150 户 2 （4 分）计算 sin133cos197+cos47cos73的结果为（ ） A B C D 3 （4 分）已知向量 ， 满足 （x，1） ， （1，2） ，若 ，则 +2 （ ） A （4，3） B （0，3） C （，3） D （4，3） 4 （4 分）已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）
2、与销售额 y（单位：万元）之间有 如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入 10 万元广告费时，销售额的预 报值为（ ） A75 万元 B85 万元 C99 万元 D105 万元 5 （4 分）已知函数 f（x）3x+x，g（x）log3x+x，h（x）x3+x 的零点分别为 a，b，c， 则 a，b，c 的大小顺序为（ ） 第 2 页（共 25 页） Aabc Bbca Ccab Dbac 6 （4 分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定： 100mL 血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶
3、员可以驾驶汽车， 酒精含量达到 2079mg 的驾 驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其 血液中的酒精含量上升到了 1mg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小 时 30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ） （参考数据：lg0.20.7，1g0.30.5，1g0.70.15，1g0.80.1） A1 B3 C5 D7 7 （4 分）已知 0，0，直线和是函数 f（x）sin（x+）图象的 两条相邻的对称轴，若将函数 f（x）图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变 为原来的 2 倍，则得到的图象的函数解析式是（ ）
4、A B Cy2cos2x D 8 （4 分）已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若，且 ，则的取值范围是（ ） A （1，0） B C D 9 （4 分）已知函数 f（x）x2+bx，若 f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等，则实数 b 的取值范围是（ ） A0，2 B2，0 C （，20，+） D （，02，+） 10 （4 分）给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面； 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 其中正确命题的序
5、号是（ ） A B C D 11 （4 分）抛掷一枚骰子 1 次，记“向上的点数是 4，5，6“为事件 A， “向上的点数是 1， 第 3 页（共 25 页） 2“为事件 B， “向上的点数是 1，2，3“为事件 C， “向上的点数是 1，2，3，4“为事件 D，则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的有（ ） AA 与 B 是互斥事件但不是对立事件 BA 与 C 是互斥事件也是对立事件 CA 与 D 是互斥事件 DC 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 12 （4 分）下列说法中正确的有（ ） A设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为，那么它的体积为 B用斜二测法作ABC 的水平放置直观图得
6、到边长为 a 的正三角形，则ABC 面积为 C三个平面可以将空间分成 4，6，7 或者 8 个部分 D已知四点不共面，则其中任意三点不共线 13 （4 分）下列函数 f（x）对任意的正数 x1，x2，x3满足 f（x1+x2+x3）f（x1）+f（x2） +f（x3）的有（ ） Af（x）4+2sinx B Cf（x）ex Df（x）1n（x+1） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 14（4 分） 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n， 记向量与向量的 夹角为 ，则 为锐角的概率是 15 （4 分）若等腰ABC 的周长为 3，则ABC 的腰 AB 上的
7、中线 CD 的长的最小值为 16 （4 分） 用一张长为 12， 宽为 8 的铁皮围成圆柱形的侧面， 则这个圆柱的体积为 ； 半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 17 （4 分）对于函数 yf（x） ，若在其定义域内存在 x0，使得 x0f（x0）1 成立，则称函 数 f（x）具有性质 M （1）下列函数中具有性质 M 的有 （x）x+2 （x）sinx（x0，2） f（x）x+， （x（0，+） ） f（x） 第 4 页（共 25 页） （2）若函数 f（x）a（|x2|1） （x1，+） ）具有性质 M，则实数 a 的取值范围 是 三、解答题三、解答题.（共（共
8、82 分）分） 18 （12 分）某校有教师 400 人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下： 学历 35 岁以下 3555 岁 55 岁及以上 本科 x 60 40 硕士 80 40 y （1）若随机抽取一人，年龄是 35 岁以下的概率为，求 x，y； （2）在 3555 岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量 为 5 的样本，然后在这 5 名教师中任选 2 人，求两人中至多有 1 人的学历为本科的概率 19 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 （）求角 A； （）若ABC 外接圆的面积为 4，且ABC 的面积，求ABC 的
9、周长 20 （14 分）如图，空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、AB 的中点，G、H 分别在 BC、 CD 上，且 BG：GCDH：HC1：2 （1）求证：E、F、G、H 四点共面； （2）设 FG 与 HE 交于点 P，求证：P、A、C 三点共线 21 （14 分）已知奇函数 f（x），函数 g（）cos2+2sin，m，m， bR （1）求 b 的值； （2）判断函数 f（x）在0，1上的单调性，并证明； （3）当 x0，1时，函数 g（）的最小值恰为 f（x）的最大值，求 m 的取值范围 22 （14 分）一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径
10、为 1m 的 四分之一圆弧，AB，DC 分别与圆弧 BC 相切于 B、C 两点，EFAB，GHCD，且两组 第 5 页（共 25 页） 平行墙壁间的走廊宽度都是 1m （1）若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M、N 分别在外壁 CD 和 AB 上，且木棒与内壁 圆弧相切于点 P设CMN（rad） ，试用 表示木棒 MN 的长度 f（） （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值 23 （16 分） 已知函数 yf1（x） ，yf2（x） ，定义函数 f（x） （1）设函数 f1（x）x+3，f2（x）x2x，求函数 yf（x）的解析式； （2）在（1）的条件下，g（x）
11、mx+2（mR） ，函数 h（x）f（x）g（x）有三个不 同的零点，求实数 m 的取值范围； （3）设函数 f1（x）x22，f2（x）|xa|，函数 F（x）f1（x）+f2（x） ，求函数 F （x）的最小值 第 6 页（共 25 页） 2019-2020 学年江苏省南通市海安高中高一（下）学年江苏省南通市海安高中高一（下）3 月月考数学月月考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题.（每小题（每小题 4 分，共分，共 52 分，其中分，其中 1-10 为单选题，为单选题，11-13 为多选题）为多选题） 1 （4 分）某地区对当地 3000 户家庭的
12、2018 年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分 布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为20，40） ，40，60） ，60，80） ， 80，100，则年收入不超过 6 万的家庭大约为（ ） A900 户 B600 户 C300 户 D150 户 【分析】由频率分布直方图可得年收入不超过 6 万的家庭的频率，乘以 3000 得答案 【解答】解：由频率分布直方图可得，年收入不超过 6 万的家庭的频率为（0.005+0.010） 200.3 可得年收入不超过 6 万的家庭大约为 30000.3900 户 故选：A 【点评】本题考查频率分布直方图，是基础的计算题 2 （4 分）计算 s
13、in133cos197+cos47cos73的结果为（ ） A B C D 【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果 【解答】解：sin133cos197+cos47cos73sin47（cos17）+cos47sin17 sin（1747）sin（30）， 故选：B 第 7 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，属于基础题 3 （4 分）已知向量 ， 满足 （x，1） ， （1，2） ，若 ，则 +2 （ ） A （4，3） B （0，3） C （，3） D （4，3） 【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得
14、x 的值，即可得向量 的坐标，进而 计算可得答案 【解答】解：根据题意， （x，1） ， （1，2） ， 若 ，则有（2）x1，解可得：x，则 （，1） ； 则 +2 （，3） ； 故选：C 【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题 4 （4 分）已知某种商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有 如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入 10 万元广告费时，销售额的预 报值为（ ） A75 万元 B85 万元 C99 万元 D105 万元 【分析】由表中数据计算平均数与回
15、归系数，写出线性回归方程， 利用线性回归方程求得 x10 时 的值 【解答】解：由表中数据计算 （2+4+5+6+8）5， （30+40+50+60+70）50， 线性回归方程过样本中心点，则： 5075+ ， 解得 15， 线性回归方程为： 7x+15， 第 8 页（共 25 页） 据此估计，当投入 10 万元广告费时， 销售额为 710+1585（万元） 故选：B 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题 5 （4 分）已知函数 f（x）3x+x，g（x）log3x+x，h（x）x3+x 的零点分别为 a，b，c， 则 a，b，c 的大小顺序为（ ） Aabc Bbc
16、a Ccab Dbac 【分析】求出三个函数零点时 x 的表达式，分别画出四个函数在同一坐标系的图象，即 可得到 a，b，c 的大小关系 【解答】解：f（x）3x+x0，则 x3x， g（x）log3x+x，则 xlog3x， h（x）x3+x，则 xx3， 函数 f（x） ，g（x） ，h（x）的零点分别为 a，b，c， 作出函数 y3x，ylog3x，yx3，yx 的图象如图， 由图可知：bca， 故选：B 【点评】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 6 （4 分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全，根据国家有关规定： 100mL 血液中酒精含量低于
17、 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 酒精含量达到 2079mg 的驾 驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其 血液中的酒精含量上升到了 1mg/mL如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小 时 30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ） （参考数据：lg0.20.7，1g0.30.5，1g0.70.15，1g0.80.1） 第 9 页（共 25 页） A1 B3 C5 D7 【分析】设他至少经过 x 个小时才能驾驶汽车，则 100（130%）x20，解出 x 的范围 即可 【解答】解：设他至少经过 x 个小时才能驾驶汽车，则 10
18、0（130%）x20， 0.7x0.2， ， 他至少经过 5 个小时才能驾驶汽车， 故选：C 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 7 （4 分）已知 0，0，直线和是函数 f（x）sin（x+）图象的 两条相邻的对称轴，若将函数 f（x）图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变 为原来的 2 倍，则得到的图象的函数解析式是（ ） A B Cy2cos2x D 【分析】根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的图象变换关系进行求解即可 【解答】解：直线和是函数 f（x）sin（x+）图象的两条相邻的对称 轴， 周期 T2（）2，即，得 1， 则 f（x）sin（x+） ，由五点对应法
19、得+，得 ， 即 f（x）sin（x+） ， 若将函数 f（x）图象上每一点的横坐标变为原来的倍，得到 ysin（2x+） ， 然后纵坐标变为原来的 2 倍，得到 y2sin（2x+） ， 故选：A 【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合三角函数的图象变换是解决本题 的关键比较基础 8 （4 分）已知ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若，且 第 10 页（共 25 页） ，则的取值范围是（ ） A （1，0） B C D 【分析】首先利用余弦定理求出 C 的值，进一步利用正弦定理求出外接圆的直径，再利 用三角函数关系式的变换，最后利用角的范围确定确定结果 【解答】
20、解：ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 若， 则：cosC， 由于：0C， 则： 由于 c， 则ABC 得外接圆直径 2R 则：， ， ， 由于， 所以， 故 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用和三角函数关系式的变换和 相关的运算问题的应用，属于基础题型 9 （4 分）已知函数 f（x）x2+bx，若 f（f（x） ）的最小值与 f（x）的最小值相等，则实数 b 的取值范围是（ ） A0，2 B2，0 C （，20，+） D （，02，+） 【分析】首先这个函数 f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是 第 11 页（共 25
21、页） 大于等于它的最小值yf（f（x） ）它的图象只能是函数 f（x）上的一段，而要这两个 函数的值域相同， 则函数 y 必须要能够取到最小值， 这样问题就简单了， 就只需要 f （x） 的最小值小于 【解答】解：由于 f（x）x2+bx，xR则当 x时，f（x）min， 又函数 yf（f（x） ）的最小值与函数 yf（x）的最小值相等， 则函数 y 必须要能够取到最小值，即， 得到 b0 或 b2， 所以 b 的取值范围为b|b2 或 b0 故选：D 【点评】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 10 （4 分）给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平
22、行四边形； 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面； 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，不一定是全等平行四边形； ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； ，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面； ，棱台的侧棱延长后交于一点，侧面不一定是等腰梯形 【解答】解：对于，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，但不一定是全等平行 四边形，所以错误； 对于，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥
23、底面与截面之间的部分是棱台，所以 错误； 对于，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，正确； 对于，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，所以错误 综上知，正确的命题序号是 故选：D 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查了空间几何体的结构特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题， 是基础题 11 （4 分）抛掷一枚骰子 1 次，记“向上的点数是 4，5，6“为事件 A， “向上的点数是 1， 2“为事件 B， “向上的点数是 1，2，3“为事件 C， “向上的点数是 1，2，3，4“为事件 D，则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的有（ ） AA 与
24、 B 是互斥事件但不是对立事件 BA 与 C 是互斥事件也是对立事件 CA 与 D 是互斥事件 DC 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解 【解答】解：抛掷一枚骰子 1 次，记“向上的点数是 4，5，6“为事件 A， “向上的点数 是 1，2“为事件 B， “向上的点数是 1，2，3“为事件 C， “向上的点数是 1，2，3，4“为事件 D， 在 A 中，A 与 B 不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故 A 正 确； 在 B 中，A 与 C 是互斥事件，也是对立事件，故 B 正确； 在 C 中，A 与 D 能同时发生，不是互斥事
25、件，故 C 错误； 在 D 中，C 与 D 能同时发生，不是对立事件也不是互斥事件，故 D 正确 故选：ABD 【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查 推理能力与计算能力，属于基础题 12 （4 分）下列说法中正确的有（ ） A设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为，那么它的体积为 B用斜二测法作ABC 的水平放置直观图得到边长为 a 的正三角形，则ABC 面积为 C三个平面可以将空间分成 4，6，7 或者 8 个部分 D已知四点不共面，则其中任意三点不共线 【分析】A，计算正六棱锥的底面积和高，求出该棱锥的体积； B，根据水平放置的直观图面积与原平面图形的
26、面积比是 1：2，计算即可； 第 13 页（共 25 页） C，讨论知三个平面可以将空间分成 4，6，7 或 8 部分； D，四点不共面时，其中任意三点不共线 【解答】 解： 对于 A， 正六棱锥的底面边长为 1， 则 S底面积611sin60； 又侧棱长为，则棱锥的高 h2， 所以该棱锥的体积为 VS底面积h2，A 正确； 对于 B，水平放置直观图是边长为 a 的正三角形，直观图的面积为 Sa2sin60 a2， 则原ABC 的面积为 S2S2a2a2，所以 B 错误； 对于 C，若三个平面互相平行，则可将空间分为 4 部分； 若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分
27、为 6 部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为 6 部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系） ，则可将空间分为 7 部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系） ，则可将空间分为 8 部分； 所以三个平面可以将空间分成 4，6，7 或 8 部分，C 正确； 对于 D，四点不共面，则其中任意三点不共线，否则是四点共面，所以 D 正确； 综上知，正确的命题序号是 ACD 故选：ACD 【点评】本题考查了立体几何中的锥体的体积计算与直观图的面积计算问题，也考查了 平面与平面的位置关系应用问题，是中档题 13 （4 分）下列函数 f（x）对任意
28、的正数 x1，x2，x3满足 f（x1+x2+x3）f（x1）+f（x2） +f（x3）的有（ ） Af（x）4+2sinx B Cf（x）ex Df（x）1n（x+1） 【分析】根据题意，判断出只需设 F（x），判断出只需 F（x）在（0，+）递 减，得到结论 【解答】解：对任意的正数 x1，x2，x3， 第 14 页（共 25 页） 设 F（x），若 F（x）在（0，+）递减， 则 0x1x1+x2+x3， （x1+x2+x3）f（x1）x1f（x1+x2+x3） 同理 （x1+x2+x3）f（x2）x2f（x1+x2+x3） ， （x1+x2+x3）f（x3）x3f（x1+x2+x3）
29、以上不等式相加得： （x1+x2+x3）f（x1）+f（x2）+f（x3）（x1+x2+x3）f（x1+x2+x3） 而 x1+x2+x30，f（x1）+f（x2）+f（x3）f（x1+x2+x3） ， 根据选项，易知只有 B，F（x）在（0，+）递减， 故选：B 【点评】考查函数的单调性及其应用，中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 14（4 分） 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n， 记向量与向量的 夹角为 ，则 为锐角的概率是 【分析】掷两次骰子分别得到的点数 m，n，组成的向量（m，n）个数为 36 个，只需列 举出满足条件的即可 【解答
30、】解：后连掷两次骰子分别得到点数 m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有 36 种 由于向量（m，n）与向量（1，1）的夹角 为锐角，（m，n） （1，1）0， 即 mn，满足题意的情况如下： 当 m2 时，n1； 当 m3 时，n1，2； 当 m4 时，n1，2，3； 当 m5 时，n1，2，3，4； 当 m6 时，n1，2，3，4，5；共有 15 种， 故所求事件的概率为：， 故答案为： 【点评】本题考查等可能事件的概率，得出 mn 并正确列举是解决问题的关键，属基础 题 第 15 页（共 25 页） 15（4 分） 若等腰ABC 的周长为 3， 则ABC 的腰 AB 上的中线 CD 的
31、长的最小值为 【分析】设腰长 AB2x，由此表示出 BC，利用中线长定理求出 CD2的解析式，再根据 二次函数的性质求得 CD 的最小值 【解答】解：如图所示，设腰长 AB2x，则 BC34x0， 解得 0x； 由中线长定理可得：2CD2+2x2（2x）2+（34x）2， 化为：CD29（x）2+； x时，CD 取得最小值为 故答案为： 【点评】本题考查了中线长定理和二次函数的最值问题，也考查了推理与计算能力，是 中档题 16 （4 分）用一张长为 12，宽为 8 的铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为 或 ；半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 R 【分析】分别求
32、出以 12cm，8cm 为圆柱的底面圆周的底面圆半径，再求圆柱的体积； 求出底面圆的半径，得出轴截面为等边三角形，再计算圆锥的高 【解答】解：若圆柱的底面周长为 12，则底面半径为 r，高为 h8， 此时圆柱的体积为 Vr2h； 若圆柱的底面周长为 8cm，则底面半径为 r，h12， 此时圆柱的体积 Vr2h； 所以圆柱的体积为或； 半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 所以底面圆的半径 r 满足 2rR，即 2rR； 第 16 页（共 25 页） 所以该圆锥筒的轴截面是边长为 R 的等边三角形， 则其高为 hR 故答案为：或，R 【点评】本题考查了侧面展开图与原几何体之间的关系应用问题，
33、也考查了分类讨论思 想，是中档题 17 （4 分）对于函数 yf（x） ，若在其定义域内存在 x0，使得 x0f（x0）1 成立，则称函 数 f（x）具有性质 M （1）下列函数中具有性质 M 的有 （x）x+2 （x）sinx（x0，2） f（x）x+， （x（0，+） ） f（x） （2）若函数 f（x）a（|x2|1） （x1，+） ）具有性质 M，则实数 a 的取值范围 是 a或 a0 【分析】 （1）利用条件可知 f（x）有解，逐一进行判断即可； （2）因为 f（x）具有性质 M，故 x（|x2|1）有解，根据函数 g（x）x（|x2| 1）的值域即可求出 a 的取值范围 【解答】解
34、：条件等价于方程 f（x）有解， （1）对于：当x+2时，解得 x1，满足条件，故具有性质 M； 对于：因为 f（x）sinx（x0，2）的图象与 y有交点，故 sinx有解，故 具有性质 M； 对于：当 x+时，x0，与 x0 矛盾，故不具有性质 M； 对于：当时，x1，故具有性质 M， 综上：满足性质 M； （2）若 f（x）a（|x2|1） （x1，+） ）具有性质 M，即有 a（|x2|1）， 第 17 页（共 25 页） 故 x（|x2|1）有解，令 g（x）x（|x2|1） ，则 g（x）的值域为2，+） ， 所以2，解得 a或 a0 故答案为；a或 a0 【点评】本题考查的知识点
35、是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应 用，难度比较大 三、解答题三、解答题.（共（共 82 分）分） 18 （12 分）某校有教师 400 人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下： 学历 35 岁以下 3555 岁 55 岁及以上 本科 x 60 40 硕士 80 40 y （1）若随机抽取一人，年龄是 35 岁以下的概率为，求 x，y； （2）在 3555 岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量 为 5 的样本，然后在这 5 名教师中任选 2 人，求两人中至多有 1 人的学历为本科的概率 【分析】 （1）由题意计算年龄是 35 岁以下的人数，求
36、出 x 的值，再计算 y 的值； （2）用分层抽样法求得抽取本科教师和硕士教师人数，利用列举法求出基本事件数，计 算所求的概率值 【解答】解： （1）由题意知，年龄是 35 岁以下的人数为 400240， 所以 x24080160； 所以 y40024060404020； （2）由题意用分层抽样方法，抽取本科教师为 53（人） ，记为 a、b、c， 抽取硕士教师为 52（人） ，记为 D、E， 在这 5 名教师中任选 2 人，基本事件为： ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 种不同取法； 这两人中至多有 1 人的学历为本科的基本事件是 aD、aE、bD、bE、
37、cD、cE、DE 共 7 种不同取法； 故所求的概率值为 P 第 18 页（共 25 页） 【点评】本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题 19 （12 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 （）求角 A； （）若ABC 外接圆的面积为 4，且ABC 的面积，求ABC 的周长 【分析】 （）法一：由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可 得 sinB（2cosA1）0，结合 sinB0，可求，由范围 A（0，） ，可求 A 的 值；法二：由已知及余弦定理得 a2b2+c2bc，进而可求，结合范围 A（0， ） ，可求 A 的值
38、（）由ABC 外接圆的面积为 R24，得到 R2，由正弦定理可求 a 的值，进而根 据三角形面积公式即可得解 bc 的值，法一：由余弦定理可求 b+c6，可求ABC 的周 长；法二：由余弦定理得 b2+c220，联立方程解得 b，c 的值，可求三角形周长 【解答】 （本小题满分 12 分） 解： （）法一：已知，由正弦定理得 2sinAcosB2sinCsinB2sin（A+B） sinB， 可得：2cosAsinBsinB0，可得：sinB（2cosA1）0， sinB0， ， A（0，） ， （6 分） 法二：已知，由余弦定理得，可得：a2b2+c2bc 又 a2b2+c22bccosA，
39、 ， A（0，） ， （6 分） （）由ABC 外接圆的面积为 R24，得到 R2， 由正弦定理知， 第 19 页（共 25 页） ABC 的面积，可得 bc8（9 分） 法一：由余弦定理得 a2b2+c22bccosA（b+c）23bc，即 12（b+c）224 从而 b+c6，故ABC 的周长为（12 分） 法二：由余弦定理得 a2b2+c22bccosAb2+c2bc，即 b2+c220 从而或， 故ABC 的周长为（12 分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦 定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中 档题
40、 20 （14 分）如图，空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD、AB 的中点，G、H 分别在 BC、 CD 上，且 BG：GCDH：HC1：2 （1）求证：E、F、G、H 四点共面； （2）设 FG 与 HE 交于点 P，求证：P、A、C 三点共线 【分析】 （1）推导出 EFBD，GHBD，从而 EFGH，由此能证明 E、F、G、H 四点 共面 （2）由 FGHEP，PFG，PHE，从而 P平面 ABC，P平面 ADC，推导出 P直线 AC由此能证明 P、A、C 三点共线 【解答】证明： （1）ABD 中，E、F 为 AD、AB 中点，EFBD CBD 中，BG：GCDH：HC1：
41、2， GHBD，EFGH（平行线公理） ， E、F、G、H 四点共面 （2）FGHEP，PFG，PHE， P平面 ABC，P平面 ADC， 又平面 ABC平面 ADCAC， 第 20 页（共 25 页） P直线 AC P、A、C 三点共线 【点评】本题考查四点共面的证明，考查三点其线的证明，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，属于基础题 21 （14 分）已知奇函数 f（x），函数 g（）cos2+2sin，m，m， bR （1）求 b 的值； （2）判断函数 f（x）在0，1上的单调性，并证明； （3）当 x0，1时，函数 g（）的最小值恰为 f（x）的最大值，求 m 的取值
42、范围 【分析】 （1）直接利用奇函数的性质的应用求出结果 （2）利用函数的增减性的应用求出结果 （3）利用函数的关系式的变换和换元法的应用求出 m 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）为奇函数， 所以 f（0）0，解得 b0 （2）函数 f（x）在0，1上的单调递增 证明：设 0x1x21，4 则：f（x2）f（x1）， 由于 0x1x21， 所以 x2x10，1x1x20 则： 所以函数 f（x）在0，1上的单调递增 （3）由（2）得：函数 f（x）在0，1上的单调递增， 所以 所以 g（）的最小值为 令 ssin，所以 y的最小值为， 第 21 页（共 25 页） 所以， 即，
43、由于 m，m，bR， 所以根据函数 ysin 的图象，得到： 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，函数的单调性的证明和应用，三角 函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于中档题型 22 （14 分）一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1m 的 四分之一圆弧，AB，DC 分别与圆弧 BC 相切于 B、C 两点，EFAB，GHCD，且两组 平行墙壁间的走廊宽度都是 1m （1）若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M、N 分别在外壁 CD 和 AB 上，且木棒与内壁 圆弧相切于点 P设CMN（rad
44、） ，试用 表示木棒 MN 的长度 f（） （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值 【分析】 （1）如图，设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q，过 Q 点作 CD 垂线，垂足为点 T， 且交 MN 或其延长线与于 S， 并连接 PQ， 再过 N 点作 TQ 的垂线， 垂足为 W 在 RtNWS 中用 NW 和SNW 表示出 NS，在 RtQPS 中用 PQ 和PQS 表示出 QS，然后分别看 S 在线段 TG 上和在线段 GT 的延长线上分别表示出 TSQTQS， 然后在 RtSTM 中表示 出 MS，利用 MNNS+MS 求得 MN 的表达式和 f（）的表达式 （2）
45、设出 sin+cost，则 sincos 可用 t 表示出，然后可得 f（）关于 t 的表达式， 对函数进行求导，根据 t 的范围判断出导函数小于 0 推断出函数为减函数进而根据 t 第 22 页（共 25 页） 的范围求得函数的最小值 【解答】解： （1）如图，设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q，过 Q 点作 CD 垂线，垂足为 点 T，且交 MN 或其延长线与于 S，并连接 PQ，再过 N 点作 TQ 的垂线，垂足为 W 在 RtNWS 中，因为 NW2，SNW， 所以 因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P，所以 PQMN， 在 RtQPS，因为 PQ1，PQS， 所以， 若 M 在线段 TD 上，即 S 在线段 TG 上，则 TSQTQS， 在 RtSTM 中， 因此 MNNS+MS 若 M 在线段 CT 上，即若 S 在线段 GT 的延长线上，则 TSQSQT， 在 RtSTM 中， 因此 MNNS
