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2019-2020学年江苏省南通市海安高中高一(下)3月月考数学试卷(含详细解答)

1、某地区对当地 3000 户家庭的 2018 年所的年收入情况调查统计,年收入的频率分 布直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为20,40) ,40,60) ,60,80) , 80,100,则年收入不超过 6 万的家庭大约为( ) A900 户 B600 户 C300 户 D150 户 2 (4 分)计算 sin133cos197+cos47cos73的结果为( ) A B C D 3 (4 分)已知向量 , 满足 (x,1) , (1,2) ,若 ,则 +2 ( ) A (4,3) B (0,3) C (,3) D (4,3) 4 (4 分)已知某种商品的广告费支出 x(单位:万元)

2、与销售额 y(单位:万元)之间有 如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程,计算得,则当投入 10 万元广告费时,销售额的预 报值为( ) A75 万元 B85 万元 C99 万元 D105 万元 5 (4 分)已知函数 f(x)3x+x,g(x)log3x+x,h(x)x3+x 的零点分别为 a,b,c, 则 a,b,c 的大小顺序为( ) 第 2 页(共 25 页) Aabc Bbca Ccab Dbac 6 (4 分)酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全,根据国家有关规定: 100mL 血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶

3、员可以驾驶汽车, 酒精含量达到 2079mg 的驾 驶员即为酒后驾车,80mg 及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其 血液中的酒精含量上升到了 1mg/mL如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小 时 30%的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车?( ) (参考数据:lg0.20.7,1g0.30.5,1g0.70.15,1g0.80.1) A1 B3 C5 D7 7 (4 分)已知 0,0,直线和是函数 f(x)sin(x+)图象的 两条相邻的对称轴,若将函数 f(x)图象上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变 为原来的 2 倍,则得到的图象的函数解析式是( )

4、A B Cy2cos2x D 8 (4 分)已知ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若,且 ,则的取值范围是( ) A (1,0) B C D 9 (4 分)已知函数 f(x)x2+bx,若 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等,则实数 b 的取值范围是( ) A0,2 B2,0 C (,20,+) D (,02,+) 10 (4 分)给出下列命题: 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面; 棱台的侧棱延长后交于一点,侧面是等腰梯形 其中正确命题的序

5、号是( ) A B C D 11 (4 分)抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6“为事件 A, “向上的点数是 1, 第 3 页(共 25 页) 2“为事件 B, “向上的点数是 1,2,3“为事件 C, “向上的点数是 1,2,3,4“为事件 D,则下列关于事件 A,B,C,D 判断正确的有( ) AA 与 B 是互斥事件但不是对立事件 BA 与 C 是互斥事件也是对立事件 CA 与 D 是互斥事件 DC 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 12 (4 分)下列说法中正确的有( ) A设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为,那么它的体积为 B用斜二测法作ABC 的水平放置直观图得

6、到边长为 a 的正三角形,则ABC 面积为 C三个平面可以将空间分成 4,6,7 或者 8 个部分 D已知四点不共面,则其中任意三点不共线 13 (4 分)下列函数 f(x)对任意的正数 x1,x2,x3满足 f(x1+x2+x3)f(x1)+f(x2) +f(x3)的有( ) Af(x)4+2sinx B Cf(x)ex Df(x)1n(x+1) 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 16 分)分) 14(4 分) 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n, 记向量与向量的 夹角为 ,则 为锐角的概率是 15 (4 分)若等腰ABC 的周长为 3,则ABC 的腰 AB 上的

7、中线 CD 的长的最小值为 16 (4 分) 用一张长为 12, 宽为 8 的铁皮围成圆柱形的侧面, 则这个圆柱的体积为 ; 半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是 17 (4 分)对于函数 yf(x) ,若在其定义域内存在 x0,使得 x0f(x0)1 成立,则称函 数 f(x)具有性质 M (1)下列函数中具有性质 M 的有 (x)x+2 (x)sinx(x0,2) f(x)x+, (x(0,+) ) f(x) 第 4 页(共 25 页) (2)若函数 f(x)a(|x2|1) (x1,+) )具有性质 M,则实数 a 的取值范围 是 三、解答题三、解答题.(共(共

8、82 分)分) 18 (12 分)某校有教师 400 人,对他们进行年龄状况和学历的调查,其结果如下: 学历 35 岁以下 3555 岁 55 岁及以上 本科 x 60 40 硕士 80 40 y (1)若随机抽取一人,年龄是 35 岁以下的概率为,求 x,y; (2)在 3555 岁年龄段的教师中,按学历状况用分层抽样的方法,抽取一个样本容量 为 5 的样本,然后在这 5 名教师中任选 2 人,求两人中至多有 1 人的学历为本科的概率 19 (12 分)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 ()求角 A; ()若ABC 外接圆的面积为 4,且ABC 的面积,求ABC 的

9、周长 20 (14 分)如图,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、AB 的中点,G、H 分别在 BC、 CD 上,且 BG:GCDH:HC1:2 (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)设 FG 与 HE 交于点 P,求证:P、A、C 三点共线 21 (14 分)已知奇函数 f(x),函数 g()cos2+2sin,m,m, bR (1)求 b 的值; (2)判断函数 f(x)在0,1上的单调性,并证明; (3)当 x0,1时,函数 g()的最小值恰为 f(x)的最大值,求 m 的取值范围 22 (14 分)一走廊拐角下的横截面如图所示,已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径

10、为 1m 的 四分之一圆弧,AB,DC 分别与圆弧 BC 相切于 B、C 两点,EFAB,GHCD,且两组 第 5 页(共 25 页) 平行墙壁间的走廊宽度都是 1m (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M、N 分别在外壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁 圆弧相切于点 P设CMN(rad) ,试用 表示木棒 MN 的长度 f() (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值 23 (16 分) 已知函数 yf1(x) ,yf2(x) ,定义函数 f(x) (1)设函数 f1(x)x+3,f2(x)x2x,求函数 yf(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,g(x)

11、mx+2(mR) ,函数 h(x)f(x)g(x)有三个不 同的零点,求实数 m 的取值范围; (3)设函数 f1(x)x22,f2(x)|xa|,函数 F(x)f1(x)+f2(x) ,求函数 F (x)的最小值 第 6 页(共 25 页) 2019-2020 学年江苏省南通市海安高中高一(下)学年江苏省南通市海安高中高一(下)3 月月考数学月月考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题.(每小题(每小题 4 分,共分,共 52 分,其中分,其中 1-10 为单选题,为单选题,11-13 为多选题)为多选题) 1 (4 分)某地区对当地 3000 户家庭的

12、2018 年所的年收入情况调查统计,年收入的频率分 布直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为20,40) ,40,60) ,60,80) , 80,100,则年收入不超过 6 万的家庭大约为( ) A900 户 B600 户 C300 户 D150 户 【分析】由频率分布直方图可得年收入不超过 6 万的家庭的频率,乘以 3000 得答案 【解答】解:由频率分布直方图可得,年收入不超过 6 万的家庭的频率为(0.005+0.010) 200.3 可得年收入不超过 6 万的家庭大约为 30000.3900 户 故选:A 【点评】本题考查频率分布直方图,是基础的计算题 2 (4 分)计算 s

13、in133cos197+cos47cos73的结果为( ) A B C D 【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式,可得结果 【解答】解:sin133cos197+cos47cos73sin47(cos17)+cos47sin17 sin(1747)sin(30), 故选:B 第 7 页(共 25 页) 【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式,属于基础题 3 (4 分)已知向量 , 满足 (x,1) , (1,2) ,若 ,则 +2 ( ) A (4,3) B (0,3) C (,3) D (4,3) 【分析】根据题意,由向量平行的坐标表示方法可得

14、x 的值,即可得向量 的坐标,进而 计算可得答案 【解答】解:根据题意, (x,1) , (1,2) , 若 ,则有(2)x1,解可得:x,则 (,1) ; 则 +2 (,3) ; 故选:C 【点评】本题考查向量平行的坐标表示,涉及向量的坐标计算,属于基础题 4 (4 分)已知某种商品的广告费支出 x(单位:万元)与销售额 y(单位:万元)之间有 如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程,计算得,则当投入 10 万元广告费时,销售额的预 报值为( ) A75 万元 B85 万元 C99 万元 D105 万元 【分析】由表中数据计算平均数与回

15、归系数,写出线性回归方程, 利用线性回归方程求得 x10 时 的值 【解答】解:由表中数据计算 (2+4+5+6+8)5, (30+40+50+60+70)50, 线性回归方程过样本中心点,则: 5075+ , 解得 15, 线性回归方程为: 7x+15, 第 8 页(共 25 页) 据此估计,当投入 10 万元广告费时, 销售额为 710+1585(万元) 故选:B 【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题,是基础题 5 (4 分)已知函数 f(x)3x+x,g(x)log3x+x,h(x)x3+x 的零点分别为 a,b,c, 则 a,b,c 的大小顺序为( ) Aabc Bbc

16、a Ccab Dbac 【分析】求出三个函数零点时 x 的表达式,分别画出四个函数在同一坐标系的图象,即 可得到 a,b,c 的大小关系 【解答】解:f(x)3x+x0,则 x3x, g(x)log3x+x,则 xlog3x, h(x)x3+x,则 xx3, 函数 f(x) ,g(x) ,h(x)的零点分别为 a,b,c, 作出函数 y3x,ylog3x,yx3,yx 的图象如图, 由图可知:bca, 故选:B 【点评】本题考查函数零点的判定,考查数形结合的解题思想方法,是中档题 6 (4 分)酒驾是严重危害交通安全的违法行为为了保障交通安全,根据国家有关规定: 100mL 血液中酒精含量低于

17、 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车, 酒精含量达到 2079mg 的驾 驶员即为酒后驾车,80mg 及以上认定为醉酒驾车假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其 血液中的酒精含量上升到了 1mg/mL如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小 时 30%的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车?( ) (参考数据:lg0.20.7,1g0.30.5,1g0.70.15,1g0.80.1) 第 9 页(共 25 页) A1 B3 C5 D7 【分析】设他至少经过 x 个小时才能驾驶汽车,则 100(130%)x20,解出 x 的范围 即可 【解答】解:设他至少经过 x 个小时才能驾驶汽车,则 10

18、0(130%)x20, 0.7x0.2, , 他至少经过 5 个小时才能驾驶汽车, 故选:C 【点评】本题主要考查了函数的实际运用,是中档题 7 (4 分)已知 0,0,直线和是函数 f(x)sin(x+)图象的 两条相邻的对称轴,若将函数 f(x)图象上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标变 为原来的 2 倍,则得到的图象的函数解析式是( ) A B Cy2cos2x D 【分析】根据条件求出函数的解析式,结合三角函数的图象变换关系进行求解即可 【解答】解:直线和是函数 f(x)sin(x+)图象的两条相邻的对称 轴, 周期 T2()2,即,得 1, 则 f(x)sin(x+) ,由五点对应法

19、得+,得 , 即 f(x)sin(x+) , 若将函数 f(x)图象上每一点的横坐标变为原来的倍,得到 ysin(2x+) , 然后纵坐标变为原来的 2 倍,得到 y2sin(2x+) , 故选:A 【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解,结合三角函数的图象变换是解决本题 的关键比较基础 8 (4 分)已知ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若,且 第 10 页(共 25 页) ,则的取值范围是( ) A (1,0) B C D 【分析】首先利用余弦定理求出 C 的值,进一步利用正弦定理求出外接圆的直径,再利 用三角函数关系式的变换,最后利用角的范围确定确定结果 【解答】

20、解:ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 若, 则:cosC, 由于:0C, 则: 由于 c, 则ABC 得外接圆直径 2R 则:, , , 由于, 所以, 故 故选:B 【点评】本题考查的知识要点:正弦定理和余弦定理的应用和三角函数关系式的变换和 相关的运算问题的应用,属于基础题型 9 (4 分)已知函数 f(x)x2+bx,若 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等,则实数 b 的取值范围是( ) A0,2 B2,0 C (,20,+) D (,02,+) 【分析】首先这个函数 f(x)的图象是一个开口向上的抛物线,也就是说它的值域就是 第 11 页(共 25

21、页) 大于等于它的最小值yf(f(x) )它的图象只能是函数 f(x)上的一段,而要这两个 函数的值域相同, 则函数 y 必须要能够取到最小值, 这样问题就简单了, 就只需要 f (x) 的最小值小于 【解答】解:由于 f(x)x2+bx,xR则当 x时,f(x)min, 又函数 yf(f(x) )的最小值与函数 yf(x)的最小值相等, 则函数 y 必须要能够取到最小值,即, 得到 b0 或 b2, 所以 b 的取值范围为b|b2 或 b0 故选:D 【点评】本题考查函数值域的简单应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题 10 (4 分)给出下列命题: 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平

22、行四边形; 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面; 棱台的侧棱延长后交于一点,侧面是等腰梯形 其中正确命题的序号是( ) A B C D 【分析】,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,不一定是全等平行四边形; ,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ,半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面; ,棱台的侧棱延长后交于一点,侧面不一定是等腰梯形 【解答】解:对于,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,但不一定是全等平行 四边形,所以错误; 对于,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥

23、底面与截面之间的部分是棱台,所以 错误; 对于,半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,正确; 对于,棱台的侧棱延长后交于一点,但侧面不一定是等腰梯形,所以错误 综上知,正确的命题序号是 故选:D 第 12 页(共 25 页) 【点评】本题考查了空间几何体的结构特征应用问题,也考查了命题真假的判断问题, 是基础题 11 (4 分)抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6“为事件 A, “向上的点数是 1, 2“为事件 B, “向上的点数是 1,2,3“为事件 C, “向上的点数是 1,2,3,4“为事件 D,则下列关于事件 A,B,C,D 判断正确的有( ) AA 与

24、 B 是互斥事件但不是对立事件 BA 与 C 是互斥事件也是对立事件 CA 与 D 是互斥事件 DC 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解 【解答】解:抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6“为事件 A, “向上的点数 是 1,2“为事件 B, “向上的点数是 1,2,3“为事件 C, “向上的点数是 1,2,3,4“为事件 D, 在 A 中,A 与 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故 A 正 确; 在 B 中,A 与 C 是互斥事件,也是对立事件,故 B 正确; 在 C 中,A 与 D 能同时发生,不是互斥事

25、件,故 C 错误; 在 D 中,C 与 D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故 D 正确 故选:ABD 【点评】本题考查命题真假的判断,考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识,考查 推理能力与计算能力,属于基础题 12 (4 分)下列说法中正确的有( ) A设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为,那么它的体积为 B用斜二测法作ABC 的水平放置直观图得到边长为 a 的正三角形,则ABC 面积为 C三个平面可以将空间分成 4,6,7 或者 8 个部分 D已知四点不共面,则其中任意三点不共线 【分析】A,计算正六棱锥的底面积和高,求出该棱锥的体积; B,根据水平放置的直观图面积与原平面图形的

26、面积比是 1:2,计算即可; 第 13 页(共 25 页) C,讨论知三个平面可以将空间分成 4,6,7 或 8 部分; D,四点不共面时,其中任意三点不共线 【解答】 解: 对于 A, 正六棱锥的底面边长为 1, 则 S底面积611sin60; 又侧棱长为,则棱锥的高 h2, 所以该棱锥的体积为 VS底面积h2,A 正确; 对于 B,水平放置直观图是边长为 a 的正三角形,直观图的面积为 Sa2sin60 a2, 则原ABC 的面积为 S2S2a2a2,所以 B 错误; 对于 C,若三个平面互相平行,则可将空间分为 4 部分; 若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分

27、为 6 部分; 若三个平面交于一线,则可将空间分为 6 部分; 若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系) ,则可将空间分为 7 部分; 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系) ,则可将空间分为 8 部分; 所以三个平面可以将空间分成 4,6,7 或 8 部分,C 正确; 对于 D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以 D 正确; 综上知,正确的命题序号是 ACD 故选:ACD 【点评】本题考查了立体几何中的锥体的体积计算与直观图的面积计算问题,也考查了 平面与平面的位置关系应用问题,是中档题 13 (4 分)下列函数 f(x)对任意

28、的正数 x1,x2,x3满足 f(x1+x2+x3)f(x1)+f(x2) +f(x3)的有( ) Af(x)4+2sinx B Cf(x)ex Df(x)1n(x+1) 【分析】根据题意,判断出只需设 F(x),判断出只需 F(x)在(0,+)递 减,得到结论 【解答】解:对任意的正数 x1,x2,x3, 第 14 页(共 25 页) 设 F(x),若 F(x)在(0,+)递减, 则 0x1x1+x2+x3, (x1+x2+x3)f(x1)x1f(x1+x2+x3) 同理 (x1+x2+x3)f(x2)x2f(x1+x2+x3) , (x1+x2+x3)f(x3)x3f(x1+x2+x3)

29、以上不等式相加得: (x1+x2+x3)f(x1)+f(x2)+f(x3)(x1+x2+x3)f(x1+x2+x3) 而 x1+x2+x30,f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x1+x2+x3) , 根据选项,易知只有 B,F(x)在(0,+)递减, 故选:B 【点评】考查函数的单调性及其应用,中档题 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 16 分)分) 14(4 分) 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n, 记向量与向量的 夹角为 ,则 为锐角的概率是 【分析】掷两次骰子分别得到的点数 m,n,组成的向量(m,n)个数为 36 个,只需列 举出满足条件的即可 【解答

30、】解:后连掷两次骰子分别得到点数 m,n,所组成的向量(m,n)的个数共有 36 种 由于向量(m,n)与向量(1,1)的夹角 为锐角,(m,n) (1,1)0, 即 mn,满足题意的情况如下: 当 m2 时,n1; 当 m3 时,n1,2; 当 m4 时,n1,2,3; 当 m5 时,n1,2,3,4; 当 m6 时,n1,2,3,4,5;共有 15 种, 故所求事件的概率为:, 故答案为: 【点评】本题考查等可能事件的概率,得出 mn 并正确列举是解决问题的关键,属基础 题 第 15 页(共 25 页) 15(4 分) 若等腰ABC 的周长为 3, 则ABC 的腰 AB 上的中线 CD 的

31、长的最小值为 【分析】设腰长 AB2x,由此表示出 BC,利用中线长定理求出 CD2的解析式,再根据 二次函数的性质求得 CD 的最小值 【解答】解:如图所示,设腰长 AB2x,则 BC34x0, 解得 0x; 由中线长定理可得:2CD2+2x2(2x)2+(34x)2, 化为:CD29(x)2+; x时,CD 取得最小值为 故答案为: 【点评】本题考查了中线长定理和二次函数的最值问题,也考查了推理与计算能力,是 中档题 16 (4 分)用一张长为 12,宽为 8 的铁皮围成圆柱形的侧面,则这个圆柱的体积为 或 ;半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是 R 【分析】分别求

32、出以 12cm,8cm 为圆柱的底面圆周的底面圆半径,再求圆柱的体积; 求出底面圆的半径,得出轴截面为等边三角形,再计算圆锥的高 【解答】解:若圆柱的底面周长为 12,则底面半径为 r,高为 h8, 此时圆柱的体积为 Vr2h; 若圆柱的底面周长为 8cm,则底面半径为 r,h12, 此时圆柱的体积 Vr2h; 所以圆柱的体积为或; 半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 所以底面圆的半径 r 满足 2rR,即 2rR; 第 16 页(共 25 页) 所以该圆锥筒的轴截面是边长为 R 的等边三角形, 则其高为 hR 故答案为:或,R 【点评】本题考查了侧面展开图与原几何体之间的关系应用问题,

33、也考查了分类讨论思 想,是中档题 17 (4 分)对于函数 yf(x) ,若在其定义域内存在 x0,使得 x0f(x0)1 成立,则称函 数 f(x)具有性质 M (1)下列函数中具有性质 M 的有 (x)x+2 (x)sinx(x0,2) f(x)x+, (x(0,+) ) f(x) (2)若函数 f(x)a(|x2|1) (x1,+) )具有性质 M,则实数 a 的取值范围 是 a或 a0 【分析】 (1)利用条件可知 f(x)有解,逐一进行判断即可; (2)因为 f(x)具有性质 M,故 x(|x2|1)有解,根据函数 g(x)x(|x2| 1)的值域即可求出 a 的取值范围 【解答】解

34、:条件等价于方程 f(x)有解, (1)对于:当x+2时,解得 x1,满足条件,故具有性质 M; 对于:因为 f(x)sinx(x0,2)的图象与 y有交点,故 sinx有解,故 具有性质 M; 对于:当 x+时,x0,与 x0 矛盾,故不具有性质 M; 对于:当时,x1,故具有性质 M, 综上:满足性质 M; (2)若 f(x)a(|x2|1) (x1,+) )具有性质 M,即有 a(|x2|1), 第 17 页(共 25 页) 故 x(|x2|1)有解,令 g(x)x(|x2|1) ,则 g(x)的值域为2,+) , 所以2,解得 a或 a0 故答案为;a或 a0 【点评】本题考查的知识点

35、是方程的根,新定义,函数的值域,是方程和函数的综合应 用,难度比较大 三、解答题三、解答题.(共(共 82 分)分) 18 (12 分)某校有教师 400 人,对他们进行年龄状况和学历的调查,其结果如下: 学历 35 岁以下 3555 岁 55 岁及以上 本科 x 60 40 硕士 80 40 y (1)若随机抽取一人,年龄是 35 岁以下的概率为,求 x,y; (2)在 3555 岁年龄段的教师中,按学历状况用分层抽样的方法,抽取一个样本容量 为 5 的样本,然后在这 5 名教师中任选 2 人,求两人中至多有 1 人的学历为本科的概率 【分析】 (1)由题意计算年龄是 35 岁以下的人数,求

36、出 x 的值,再计算 y 的值; (2)用分层抽样法求得抽取本科教师和硕士教师人数,利用列举法求出基本事件数,计 算所求的概率值 【解答】解: (1)由题意知,年龄是 35 岁以下的人数为 400240, 所以 x24080160; 所以 y40024060404020; (2)由题意用分层抽样方法,抽取本科教师为 53(人) ,记为 a、b、c, 抽取硕士教师为 52(人) ,记为 D、E, 在这 5 名教师中任选 2 人,基本事件为: ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE 共 10 种不同取法; 这两人中至多有 1 人的学历为本科的基本事件是 aD、aE、bD、bE、

37、cD、cE、DE 共 7 种不同取法; 故所求的概率值为 P 第 18 页(共 25 页) 【点评】本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题,是基础题 19 (12 分)在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 ()求角 A; ()若ABC 外接圆的面积为 4,且ABC 的面积,求ABC 的周长 【分析】 ()法一:由已知及正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可 得 sinB(2cosA1)0,结合 sinB0,可求,由范围 A(0,) ,可求 A 的 值;法二:由已知及余弦定理得 a2b2+c2bc,进而可求,结合范围 A(0, ) ,可求 A 的值

38、()由ABC 外接圆的面积为 R24,得到 R2,由正弦定理可求 a 的值,进而根 据三角形面积公式即可得解 bc 的值,法一:由余弦定理可求 b+c6,可求ABC 的周 长;法二:由余弦定理得 b2+c220,联立方程解得 b,c 的值,可求三角形周长 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: ()法一:已知,由正弦定理得 2sinAcosB2sinCsinB2sin(A+B) sinB, 可得:2cosAsinBsinB0,可得:sinB(2cosA1)0, sinB0, , A(0,) , (6 分) 法二:已知,由余弦定理得,可得:a2b2+c2bc 又 a2b2+c22bccosA,

39、 , A(0,) , (6 分) ()由ABC 外接圆的面积为 R24,得到 R2, 由正弦定理知, 第 19 页(共 25 页) ABC 的面积,可得 bc8(9 分) 法一:由余弦定理得 a2b2+c22bccosA(b+c)23bc,即 12(b+c)224 从而 b+c6,故ABC 的周长为(12 分) 法二:由余弦定理得 a2b2+c22bccosAb2+c2bc,即 b2+c220 从而或, 故ABC 的周长为(12 分) 【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,余弦 定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中 档题

40、 20 (14 分)如图,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、AB 的中点,G、H 分别在 BC、 CD 上,且 BG:GCDH:HC1:2 (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)设 FG 与 HE 交于点 P,求证:P、A、C 三点共线 【分析】 (1)推导出 EFBD,GHBD,从而 EFGH,由此能证明 E、F、G、H 四点 共面 (2)由 FGHEP,PFG,PHE,从而 P平面 ABC,P平面 ADC,推导出 P直线 AC由此能证明 P、A、C 三点共线 【解答】证明: (1)ABD 中,E、F 为 AD、AB 中点,EFBD CBD 中,BG:GCDH:HC1:

41、2, GHBD,EFGH(平行线公理) , E、F、G、H 四点共面 (2)FGHEP,PFG,PHE, P平面 ABC,P平面 ADC, 又平面 ABC平面 ADCAC, 第 20 页(共 25 页) P直线 AC P、A、C 三点共线 【点评】本题考查四点共面的证明,考查三点其线的证明,考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识,属于基础题 21 (14 分)已知奇函数 f(x),函数 g()cos2+2sin,m,m, bR (1)求 b 的值; (2)判断函数 f(x)在0,1上的单调性,并证明; (3)当 x0,1时,函数 g()的最小值恰为 f(x)的最大值,求 m 的取值

42、范围 【分析】 (1)直接利用奇函数的性质的应用求出结果 (2)利用函数的增减性的应用求出结果 (3)利用函数的关系式的变换和换元法的应用求出 m 的取值范围 【解答】解: (1)函数 f(x)为奇函数, 所以 f(0)0,解得 b0 (2)函数 f(x)在0,1上的单调递增 证明:设 0x1x21,4 则:f(x2)f(x1), 由于 0x1x21, 所以 x2x10,1x1x20 则: 所以函数 f(x)在0,1上的单调递增 (3)由(2)得:函数 f(x)在0,1上的单调递增, 所以 所以 g()的最小值为 令 ssin,所以 y的最小值为, 第 21 页(共 25 页) 所以, 即,

43、由于 m,m,bR, 所以根据函数 ysin 的图象,得到: 【点评】本题考查的知识要点:函数的性质的应用,函数的单调性的证明和应用,三角 函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力,属于中档题型 22 (14 分)一走廊拐角下的横截面如图所示,已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1m 的 四分之一圆弧,AB,DC 分别与圆弧 BC 相切于 B、C 两点,EFAB,GHCD,且两组 平行墙壁间的走廊宽度都是 1m (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M、N 分别在外壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁 圆弧相切于点 P设CMN(rad

44、) ,试用 表示木棒 MN 的长度 f() (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值 【分析】 (1)如图,设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q,过 Q 点作 CD 垂线,垂足为点 T, 且交 MN 或其延长线与于 S, 并连接 PQ, 再过 N 点作 TQ 的垂线, 垂足为 W 在 RtNWS 中用 NW 和SNW 表示出 NS,在 RtQPS 中用 PQ 和PQS 表示出 QS,然后分别看 S 在线段 TG 上和在线段 GT 的延长线上分别表示出 TSQTQS, 然后在 RtSTM 中表示 出 MS,利用 MNNS+MS 求得 MN 的表达式和 f()的表达式 (2)

45、设出 sin+cost,则 sincos 可用 t 表示出,然后可得 f()关于 t 的表达式, 对函数进行求导,根据 t 的范围判断出导函数小于 0 推断出函数为减函数进而根据 t 第 22 页(共 25 页) 的范围求得函数的最小值 【解答】解: (1)如图,设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q,过 Q 点作 CD 垂线,垂足为 点 T,且交 MN 或其延长线与于 S,并连接 PQ,再过 N 点作 TQ 的垂线,垂足为 W 在 RtNWS 中,因为 NW2,SNW, 所以 因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P,所以 PQMN, 在 RtQPS,因为 PQ1,PQS, 所以, 若 M 在线段 TD 上,即 S 在线段 TG 上,则 TSQTQS, 在 RtSTM 中, 因此 MNNS+MS 若 M 在线段 CT 上,即若 S 在线段 GT 的延长线上,则 TSQSQT, 在 RtSTM 中, 因此 MNNS