1、2020 年北京市高考数学押题试卷（一）年北京市高考数学押题试卷（一） 一、选择题（共 10 小题）. 1已知集合 Ax|1x3，BxZ|x24，则 AB（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D2，1，0，1，2 2已知复数 z ，则|z|（ ） A2 B1 C0 D 3（x ） 6的展开式中的常数项为（ ） A20 B20 C160 D160 4设 a，bR，若 ab，则（ ） A B C2a2b Dlgalgb 5若角 的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是 sin 的是（ ） A B C D 6设 ， 是非零向量，则“ ， 共线”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要
2、而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知双曲线 1 的一条渐近线倾斜角为 ，则 a 的值为（ ） A3 B C3 D 8 某三棱锥的三视图如图所示 （网格纸上小正方形的边长为 1） ， 则该三棱锥的体积为 （ ） A4 B2 C D 9在平行四边形 ABCD 中， ，AB2，AD1，若 M，N 分别是边 BC，CD 上的点， 且满足 ，则 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 10已知函数 ， ， ，且存在不同的实数 x1，x2，x3，使得 f（x1） f（x2）f（x3），则 x1 x2 x3的取值范围是（ ） A（0，3） B（1，2） C（0，2） D（1，3）
3、二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11函数 f（x）sin2x+cos2x 的最小正周期是 12圆（x+3）2+y21 的圆心到直线 的距离为 13设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S927，a61，则数列an的公差为 14 一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图的腰长为 1 的两个等腰直角三角形， 则该几何体外接球的体积为 15已知集合 P（x，y）|（xcos）2+（ysin）24，0由集合 P 中所有的 点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论： “水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为 ， ；
4、 在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 4； 阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则 ； 白色“水滴”图形的面积是 其中正确的有 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 已知ABC 满足 ， 且 b ， A ， 求 sinC 的值及ABC 的面积 从B ， a ，a3 sinB 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 17如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB平面 BB1C1C，ABBB12BC2，BC1 ， 点 E 为 A1C1的中点 （）求证：C
5、1B平面 ABC； （）求二面角 ABCE 的大小 18近年来，随着 5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟为了尽快 在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的 道路安全行驶测试某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆 车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为 4 组：5，6），6，7），7，8），8， 9并整理得到如图的频率分布直方图： （）求 a 的值； （）该机构用分层抽样的方法，从上述 4 组无人驾驶汽车中随机抽取了 10 辆作为样 本从样本中行驶里程不小于 7 万公里的无人驾驶汽车中随机抽取 2 辆，其中有 X
6、辆汽 车行驶里程不小于 8 万公里，求 X 的分布列和数学期望； （）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为 0若用分层抽样的方 法从上述 4 组无人驾驶汽车中随机抽取 10 辆作为样本，其行驶里程的平均数为 1；若用 简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取 10 辆作为样本， 其行驶里程的平均 数为 2有同学认为|01|02|，你认为正确吗？说明理由 19已知函数 （）当 a2 时， （i）求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程； （ii）求函数 f（x）的单调区间； （）若 1a2，求证：f（x）1 20已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点，焦点在 x 轴上，
7、且经过点 A（0，2 ），离心率为 （1）求椭圆 P 的方程； （2）是否存在过点 E（0，4）的直线 l 交椭圆 P 于点 R，T，且满足 若 存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 21已知项数为 m（mN*，m2）的数列an满足如下条件：anN*（n1，2，m）； a1a2am若数列bn满足 bn ，其中 n1，2， m，则称bn为an的“伴随数列” （）数列 1，3，5，7，9 是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若 不存在，请说明理由； （）若bn为an的“伴随数列”，证明：b1b2bm； （）已知数列an存在“伴随数列”bn，且 a11，am2049，求 m
8、的最大值 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知集合 Ax|1x3，BxZ|x24，则 AB（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D2，1，0，1，2 【分析】容易求出 B1，0，1，然后进行交集的运算即可求出 AB 解：解 x24 得，2x2； 又 xZ； B1，0，1，且 Ax|1x3； AB1，0，1 故选：B 2已知复数 z ，则|z|（ ） A2 B1 C0 D 【分析】通过分母有理化即得结论 解：z i， |z|i|1， 故选：B 3（x ） 6的展开式中的常数项为（ ） A20 B20
9、 C160 D160 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于零，求得 r 的值，即可 求得展开式中的常数项 解：二项式（x ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1 x6r （ ） r（2）r x62r， 令 62r0，解得 r3， 故展开式中的常数项为：（2）3 160 故选：C 4设 a，bR，若 ab，则（ ） A B C2a2b Dlgalgb 【分析】直接利用赋值法的应用和不等式的性质，即可得到正确选项 解：当 a1，b0 时，选项 A、B、D 不成立 ab，2a2b， 故选：C 5若角 的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是 sin 的是（ ） A B C D
10、 【分析】利用诱导公式即可求解 解：对于 A，由于 cos（ ）sin，是 对于 B，由于 sin，是 对于 C， sin，是 对于 D， sin，不是 故选：D 6设 ， 是非零向量，则“ ， 共线”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】若 ， 共线反向，则 ；反之，若 ， 是非零向量，且 ，则 ， 共线，再由充分必要条件的判定得答案 解：若 ， 共线反向，则 ，则不充分； 反之，若 ， 是非零向量，且 ，则 ， 共线同向，且 则“ ， 共线”是“ ”的必要不充分条件 故选：B 7已知双曲线 1 的一条渐近线倾斜角为 ，则
11、a 的值为（ ） A3 B C3 D 【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合题意可得 tan ，则 a 的值可求 解：由双曲线 1 的一条渐近线 y x，一条渐近线的倾斜角为 ， 可得： tan ，解得：a 故选：B 8 某三棱锥的三视图如图所示 （网格纸上小正方形的边长为 1） ， 则该三棱锥的体积为 （ ） A4 B2 C D 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可 解：由题意几何体是直观图如图： 是正方体的一部分，三棱锥 PABC，正方体的棱长为：2， 几何体的体积为： 故选：D 9在平行四边形 ABCD 中， ，AB2，AD1，若 M，N 分别是边 BC，
12、CD 上的点， 且满足 ，则 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】设 k，0k1，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出 的最小值即可 解：设 k，0k1； 建立如图所示的坐标系 A（0，0），B（2，0），D（ ， ），C（ ， ）， 由 k ， k ， 可得 k （2 k， ）， 同理可得 （ 2k， ）， （2 k）（ 2k） kk 22k+5（k+1）2+6， 0k1， 的最小值是 2，当且仅当 M 与点 C 重合，N 与点 D 重合时取得最小值 故选：A 10已知函数 ， ， ，且存在不同的实数 x1，x2，x3，使得 f（x1） f（x2）f（x3），则 x1 x
13、2 x3的取值范围是（ ） A（0，3） B（1，2） C（0，2） D（1，3） 【分析】作出 yf（x）的函数图象，设 x1x2x3，f（x1）f（x2）f（x3）t，1t 2，求得 x1，x2，x3，构造函数 g（t）（t1）（2+log2t），1t2，求得导数，判 断单调性，即可得到所求范围 解：函数 ， ， 的图象如图所示： 设 x1x2x3， 又当 x2，+）时，f（x）2x2是增函数， 当 x3 时，f（x）2， 设 f（x1）f（x2）f（x3）t，1t2， 即有x12+2x1+1x22+2x2+12 t， 故 x1x2x3（1 ）（1 ）（2+log2t） （t1）（2+lo
14、g2t）， 由 g（t）（t1）（2+log2t），1t2， 可得 g（t）2+log2 t 0，即 g（t）在（1，2）递增， 可得 g（t）的范围是（0，3） 故选：A 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11函数 f（x）sin2x+cos2x 的最小正周期是 【分析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性， 得出结论 解：函数 f（x）sin2x+cos2x sin（2x ）的最小正周期是 ， 故答案为： 12圆（x+3）2+y21 的圆心到直线 的距离为 1 【分析】直接利用点到直线的距离公式即可直接求解 解： 圆 （x+3） 2+y21
15、的圆心 （3， 0） 到直线 的距离d 1 故答案为：1 13设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S927，a61，则数列an的公差为 2 【分析】利用等差数列前 n 项和公式和通项公式列出方程组，能求出该数列的首项和公 差 解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，S927，a61， ， 解得 a111，d2 数列an的公差为2 故答案为：2 14 一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图的腰长为 1 的两个等腰直角三角形， 则该几何体外接球的体积为 【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长其四棱锥补成 一个正方体，即可得出外接球 解：该几何体是一个四棱锥，
16、底面是正方形，高等于正方形的边长 其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球 设其四棱锥的外接球的半径为 r，则 312（2r）2，解得 r 该几何体外接球的体积 （ ）3 故答案为： 15已知集合 P（x，y）|（xcos）2+（ysin）24，0由集合 P 中所有的 点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论： “水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A，则点 A 的坐标为 ， ； 在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 4； 阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则 ； 白色“水滴”图形的面积是 其中正确的有 【分析】方程
17、（xcos）2+（ysin）24 中，令 x0 求得 y 的取值范围，得出最 高点的坐标； 利用参数法求出点 M 到原点的距离 d，求出最大值； 求出知最高点 C 与最低点 D 的距离|CD|； 计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成 解：对于，方程（xcos）2+（ysin）24 中， 令 x0，得 cos2+y22ysin+sin24， 所以 2siny ，其中 0， 所以 sin0，1，所以 y 0，2， 解得 y ，1 ，3； 所以点 A（0， ），点 B（0，1），点 C（0，3），点 D（0， ），所以正确； 对于，由（xcos）2+（ysin）24
18、，设 ， 则 点 M 到 原 点 的 距 离 为 d ， 当 时，cos（）1，d 取得最大值为 3，所以错误； 对于，由知最高点为 C（0，3），最低点为 D（0， ），所以|CD|3 ， 正确； 对于，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成； 计算它的面积是 SS半圆+2S 弓形+S 1 2+2（ ） 2 ， 所以正确； 综上知，正确的命题序号是 故答案为： 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16 已知ABC 满足 ， 且 b ， A ， 求 sinC 的值及ABC 的面积 从B ， a ，a3 sinB 这三个条件中选一个
19、，补充到上面问题中，并完成解答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【分析】选，由 sinCsin（A+B），利用正弦的和角公式展开求解即可得到 sinC，再 由正弦定理求得 a，由此即可求得三角形面积 选，由正弦定理结合已知数据可得 sinB1，此时三角形无解； 选，先由正弦定理结合已知条件求得 ，再根据诱导公式及和差角公式可得 sinC 的值，再进一步求得面积 解：选，由 A+B+C 可知， ； 由正弦定理有 ，即 ，解得 a3， 选，a ，b ，A ， 由正弦定理可得， ，即 ，解得 1，此 时无解； 选，a3 sinB，b ，A ， 由正弦定理可得， ，即 asinBbsi
20、nA， ， ， 又 B 为ABC 内角， ， 又 A ， 故 ， ， ， 17如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB平面 BB1C1C，ABBB12BC2，BC1 ， 点 E 为 A1C1的中点 （）求证：C1B平面 ABC； （）求二面角 ABCE 的大小 【分析】（）证明 ABC1BCBC1B利用直线与平面垂直的判断定理证明 C1B 平面 ABC （）以 B 为原点建立空间直角坐标系 Bxyz求出平面 BCE 的法向量，平面 ABC 的 法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可 【解答】（）证明：因为 AB平面 BB1C1C，C1B平面 BB1C1C， 所以 ABC1B 在B
21、CC1中，BC1， ，CC12， 所以 所以 CBC1B 因为 ABBCB，AB，BC平面 ABC， 所以 C1B平面 ABC （）解：由（）知，ABC1B，BCC1B，ABBC， 如图，以 B 为原点建立空间直角坐标系 Bxyz 则 B （0， 0， 0） ， ， ， ， C （1， 0， 0） . ， ， ， ， ， 设平面 BCE 的法向量为 （x，y，z）， 则 ， 即 ， 令 则 x0，z3， 所以 ， ， 又因为平面 ABC 的法向量为 （0，1，0）， 所以 ， 由题知二面角 ABCE 为锐角，所以其大小为 18近年来，随着 5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成
22、熟为了尽快 在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的 道路安全行驶测试某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆 车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为 4 组：5，6），6，7），7，8），8， 9并整理得到如图的频率分布直方图： （）求 a 的值； （）该机构用分层抽样的方法，从上述 4 组无人驾驶汽车中随机抽取了 10 辆作为样 本从样本中行驶里程不小于 7 万公里的无人驾驶汽车中随机抽取 2 辆，其中有 X 辆汽 车行驶里程不小于 8 万公里，求 X 的分布列和数学期望； （）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为 0
23、若用分层抽样的方 法从上述 4 组无人驾驶汽车中随机抽取 10 辆作为样本，其行驶里程的平均数为 1；若用 简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取 10 辆作为样本， 其行驶里程的平均 数为 2有同学认为|01|02|，你认为正确吗？说明理由 【分析】（）利用频率分布直方图列出关系式，求解 a； （）求出 X 的可能取值为：0，1，2；求出概率，得到 X 的分布列然后求解数学期望； （） 判断有可能 1更接近 0， 也有可能 2更接近 0， 说明|01|02|不恒成立， 说明结果即可 解：（）由题意可得 1（0.1+0.2+0.4+a）1 可得 a0.3； （）4 组无人驾驶汽车的数量
24、比为：1：2：4：3；若使用分层抽样抽取 10 辆汽车，则 行驶里程在7，8）这一组的无人驾驶汽车有 10 4 辆，行驶里程在8，9）这一组的 无人驾驶汽车有 10 3 辆， 由题意可知 X 的可能取值为：0，1，2； P（X0） ，P（X1） ，P（X2） ， X 的分布列为： X 0 1 2 P 所以 X 的数学期望：EX （）这种说法不正确理由如下： 由于样本具有随机性， 故 1、 2是随机变量， 受抽样结果影响， 因此有可能 1更接近 0， 也有可能 2更接近 0，所以|01|02|不恒成立，所以这种说法不正确 19已知函数 （）当 a2 时， （i）求曲线 yf（x）在点（1，f（1
25、）处的切线方程； （ii）求函数 f（x）的单调区间； （）若 1a2，求证：f（x）1 【分析】（）（i）根据题意，求出函数的导数，据此计算 f（1）与 f（1），即可得 切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案； （ii）根据题意，令 g（x）2lnx2x2，分析 g（x）的符号，即可得函数 f（x）的导 数的符号，即可得函数 f（x）的单调区间， （）根据题意，f（x）1，即 ，设 ， 对 h（x）求导分析可得 h（x）的单调性，分析 h（x）的最值，即可得结论 解：（）当 a2 时， ，定义域为（0，+）， ， f（1）123， f（1）220； 所以切点坐标为（1，3）
26、，切线斜率为 0 所以切线方程为 y3； （ii）令 g（x）2lnx2x2， 所以 g（x）在（0，+）上单调递减，且 g（1）0 所以当 x（0，1）时，g（x）0 即 f（x）0 所以当 x（1，+）时，g（x）0 即 f（x）0 综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+） （）证明：f（x）1，即 设 ， ， 设 （x）ax2lnx+2 所以 （x）在（0，+）小于零恒成立 即 h（x）在（0，+）上单调递减 因为 1a2， 所以 h（1）2a0，h（e2）a0， 所以在（1，e2）上必存在一个 x0使得 ， 即 ， 所以当 x（0，x0）时，h（x）0，h
27、（x）单调递增， 当 x（x0，+）时，h（x）0，h（x）单调递减， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 令 h（x0）0 得 ， 因为 1a2，所以 ， ， 因为 ， ，所以 h（x0）0 恒成立， 即 h（x）0 恒成立， 综上所述，当 1a2 时，f（x）1 20已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点，焦点在 x 轴上，且经过点 A（0，2 ），离心率为 （1）求椭圆 P 的方程； （2）是否存在过点 E（0，4）的直线 l 交椭圆 P 于点 R，T，且满足 若 存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】（1） 设椭圆 P 的方程为 1 （ab0） ， 由椭圆经过点 A （0，
28、2 ） ， 离心率 为 ，求得 a 和 b 的值， 从而求得椭圆 P 的方程 （2） 由 可得 x 1+x2 和x1 x 2 的值， 可得y1 y 2的值， 根据 ， 求出 k1， 从而得到直线 l 的方程 解：（1）设椭圆 P 的方程为 1 （ab0），由题意得 b2 ， ， a2c，b2a2c23c2，c2，a4，椭圆 P 的方程为： （2）假设存在满足题意的直线 L易知当直线的斜率不存在时， 0，不满足题 意 故设直线 L 的斜率为 k， R （x1， y1） ， T （x2， y2 ） ， x1 x2+y1 y2 ， 由 可得 （3+4k 2 ）x232kx+160，由（32k）24（
29、3+4k2） 16 0， 解得 k2 x1+x2 ，x 1 x2 ， y1 y2（kx14 ）（kx24）k2 x1 x24k（x 1+x2）+16， x1 x2+y1 y2 16 ，k21 ， 由、解得 k1，直线 l 的方程为 yx4， 故存在直线 l：x+y+40，或 xy40，满足题意 21 已知项数为 m （m一、 选择题*， m2） 的数列an满足如下条件： anN*（n1， 2， ， m） ； a1a2am 若数列bn满足 bn ， 其中 n1， 2， ， m，则称bn为an的“伴随数列” （）数列 1，3，5，7，9 是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若 不存在
30、，请说明理由； （）若bn为an的“伴随数列”，证明：b1b2bm； （）已知数列an存在“伴随数列”bn，且 a11，am2049，求 m 的最大值 【分析】（）根据题目中“伴随数列”的定义得 ，所以 数列 1，3，5，7，9 不存在“伴随数列” （）只要用作差法证明bn的单调性即可， （）1ijm，都有 ，因为 ，b1b2bm因为 ，所以 anan1m1，又 ama1（amam1）+（am1 am2）+（a2a1）（m1）+（m1）+（m1）（m1）2所以 20491 （m1）2，即可解得 m 的最大值 解：（）数列 1，3，5，7，9 不存在“伴随数列” 因为 ， 所以数列 1，3，5，7，9 不存在“伴随数列” （）证明：因为 ，1nm1，nN*， 又因为 a1a2am，所以有 anan+10， 所以 ， 所以 b1b2bm成立 （）1ijm，都有 ， 因为 ，b1b2bm 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 anan1m1， 又 ama1（amam1）+（am1am2）+（a2a1）（m1）+（m1）+（m 1）（m1）2 所以 20491（m1）2 所以（m1）22048， 所以 m46， 又 ， 所以 m33， 例如：an64n63（1n33），满足题意， 所以，m 的最大值是 33
