1、 1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（二）北京卷高考数学押题仿真模拟（二） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1. 已知集合 1 0A ， | 11Bxx ，则AB （A） 1 （B）0 （C） 1 0 ， （D） 1 0 1 ， 2 设 1 3 2a ,
2、3 log 2b ,cosc,则 （A）cba （B）a cb （C）c ab （D）abc 3. 下列函数中，最小正周期为 2 的是 （A） xsiny （B） x2c o sy （C） xtany （D） x2s iny 4. 若OA AB， 2OA ，则OA OB （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 5. 与圆 22 240xyxy相切于原点的直线方程是 （A） 20xy （B） 20xy （C）2 0xy （D）20xy 6. 设 n a是公差为d的等差数列， n S为其前n项和，则“0d ”是“ n S为递增数列”的 2 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分
3、必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 一个几何体的三视图如图所示， 图中直角三角形的直角边长均为 ， 则该几何体体积为 （A） （B） （C） （D） 8. 双曲线C的方程 22 22 1(0,0) xy ab ab ，左右焦点分别为 12 ,F F，P为C右支上的一 点， 12 0PF PF，以O为圆心，a为半径的圆与 1 PF相切，则双曲线的离心率为（ ） A5 B 3 C2 D 2 9. 已知函数 ( )sin(2) 3 f xx， 2 ( )2g xx，若对任意的实数 1 x，总存在实数 2 x使得 12 ()()f xg x 成立，则 2 x的取值范围是 （A） 1,1 （B）
4、3, 3 （C）3, 11, 3 （D）( , 11,) 1 1 6 2 6 3 6 1 2 俯视图 侧（左）视图 正 （主） 视图 3 10. 已知函数，若对于任意实数，与 的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）复数 1i 2 =_ （12）已知, 2 ， 4 sin 5 =，则tan 4 _. （13）在ABC!中,若cossin0bCcB,则C_. （14）为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C（单位: mg/L）随时间t
5、（单位:h）的变化关系为 2 20 4 t C t ,则经过_h后池水中药品浓度达 到最大. （15）我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割， 则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达 式 1 1 1 1 1 中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 1 1x x 求 得 15 2 x ，类似上述过程，则 33_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 在 132 bba， 44 ab， 5 25S 这三个条件中任选一个，补充在下面
6、问题中，若 问题中的k存在，求k的值，若k不存在，请说明理由. 设等差数列 n a的前n项和为 n S， n b是等比数列， ， 152 ,3ba b， 2 ( )22(4)1f xmxm x( )g xmxx( )f x ( )g xm (0,2)(0,8)(2,8)(,0) 4 5 81b ，是否存在k，使得 1kk SS 且 12kk SS ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 17. (本小题共 14 分) 如图， 在四棱锥PABCD中， 平面PAD平面ABCD，E为AD的中点，PA AD ， BE CD,BE AD ，
7、2,1PAAEBECD. （）求证：平面PAD平面PCD； （）求二面角CPBE的余弦值； （18） （本小题 14 分） 5 某单位共有员工 45 人，其中男员工 27 人，女员工 18 人上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 （）求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； （）考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人中男 员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （）考核分笔试和答辩两项5 名员工的笔试成绩分别为 78，85，89，92，96；结合答辩 情况，他们的考核成绩分别为 9
8、5，88，102，106，99这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 2 1 s， 2 2 s，试比较 2 1 s与 2 2 s的大小 （只需写出结论） 19 （本小题满分 15 分） 6 已知函数( )ln1f xxax(Ra), 2 1 ( )( )2 2 g xxf xxx. （）求( )f x的单调区间； （）当1a 时，若函数( )g x在区间( ,1)()m mmZ内存在唯一的极值点，求m的值. 20 （本小题满分 14 分） 已知直线: l xt与椭圆 22 :1 42 xy C相交于A,B两点,M是椭圆C上一点. （）当1t 时,求MAB!面积的最大值; （）设直线M
9、A和MB与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:| |OEOF为定值. 21.（本小题满分 14 分） 7 数字1,2,3,(2)n n的任意一个排列记作 12 ( ,) n a aa,设 n S为所有这样的排列构成 的集合. 集合 12 ( ,)| nnn Aa aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj;集合 12 ( ,)| nnn Ba aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj. （）用列举法表示集合 3 A, 3 B; （）求集合 nn AB的元素个数; （）记集合 n B的元素个数为 n b.证明:数列 n b是等比数列. 2020 北京卷高考数学押
10、题仿真模拟（二）北京卷高考数学押题仿真模拟（二） 8 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。题目要求的一项。 1. 已知集合 1 0A ， | 11Bxx ，则AB （A） 1 （B）0 （C） 1 0 ， （D） 1 0 1 ， 2 设 1 3 2a , 3 log 2b ,cosc
11、,则 （A）cba （B）a cb （C）c ab （D）abc 3. 下列函数中，最小正周期为 2 的是 （A）xsiny （B） x2c o sy （C） xtany （D） x2s iny 4. 若OA AB， 2OA ，则OA OB （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 5. 与圆 22 240xyxy相切于原点的直线方程是 （A） 20xy （B）20xy （C）2 0xy （D）2 0xy 6. 设 n a是公差为d的等差数列， n S为其前n项和，则“0d ”是“ n S为递增数列”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 9 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必
12、要条件 7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为 ，则该几何体体积 为 （A） （B） （C） （D） 8.双曲线C的方程 22 22 1(0,0) xy ab ab ，左右焦点分别为 12 ,F F，P为C右支上的一点， 12 0PF PF，以O为圆心，a为半径的圆与 1 PF相切，则双曲线的离心率为（ ） A5 B 3 C2 D 2 9. 已知函数 ( )sin(2) 3 f xx， 2 ( )2g xx，若对任意的实数 1 x，总存在实数 2 x使得 12 ()()f xg x 成立，则 2 x的取值范围是 （A） 1,1 （B）3, 3 （C）3, 11, 3 （
13、D）( , 11,) 1 1 6 2 6 3 6 1 2 俯视图 侧（左）视图 正 （主） 视图 10 10. 已知函数， 若对于任意实数，与 的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）复数 1i 2 =_ 答案：2 （12）已知, 2 ， 4 sin 5 =，则tan 4 _. 答案： 1 7 （13）在ABC!中,若cossin0bCcB,则C_. 答案： 3 4 （14）为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C（单位: mg/L
14、）随时间t（单位:h）的变化关系为 2 20 4 t C t ,则经过_h后池水中药品浓度达 到最大. 答案：2 （15）我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割， 则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达 2 ( )22(4)1f xmxm x( )g xmxx( )f x( )g x m (0,2)(0,8)(2,8)(,0) 11 式 1 1 1 1 1 中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 1 1x x 求 得 15 2 x ，类似上述过程，则 33_ 答案. 131 2 三、解答题共 6
15、小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 在 132 bba， 44 ab， 5 25S 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若 问题中的k存在，求k的值，若k不存在，请说明理由. 设等差数列 n a的前n项和为 n S， n b是等比数列， ， 152 ,3ba b， 5 81b ，是否存在k，使得 1kk SS 且 12kk SS ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 解析：因为等比数列解析：因为等比数列 n b中， 2 3b ， 5 81b ，所以其公比 3,q 从而 1
16、 ( 3) n n b ， 15 1,ba 若存在k使得 1kk SS ，则 1 0 k a ， 同理： 12kk SS ，得： 2 0 k a .即： 1 2 0 0 k k a a -用求和公式较繁！ 总体分析：等比数列 n b可求！等差数列 n a缺一个条件！ 方案 1： 12 P A B C D E x y z 若选，由 132 bba，得 2 10a ，316 n an.当4k 时， 5 0a ， 6 0a 存在. 或 3(1) 160 3(2)-160 k k ,或 1 12 kk kk SS SS 解不等式组. 方案 2： 若选， 44 27ab ， 5 1a ， -28 +13
17、9 n an是递减数列，不存在 1 0 k a ， 2 0 k a . 当4k 时， 5 0a ， 6 0a . 方案 3： 若选， 5 25S ， 5 1a ，211 n an， 17. (本小题共 14 分) 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平 面ABCD，E为AD的中点，PA AD ，BECD, BEAD ， 2,1PAAEBECD. （）求证：平面PAD平面PCD； （）求二面角CPBE的余弦值； （）证明：由已知平面PAD平面ABCD，PAAD ， 且平面PAD平面ABCDAD ， 所以PA 平面ABCD. 所以PACD . 又因为BEAD，BECD， 13 所以CDAD. 所
18、以CD平面PAD . 因为CD平面PCD， 所以平面PAD 平面PCD. 4 分 （）作 EzAD，以 E 为原点，以,EB ED 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系 Exyz， 则点(0,0 0)，E，(0, 2 2)，P，(0, 2 0)，A，(2,0 0)，B,(1,2 0)，C，(0,2 0)，D. 所以(2,22,)，PB，( 1,2 0)， BC，(0, 2 2)，EP. 设平面PBC的法向量为 n(x，y，z)， 所以 0, 0. n n PB BC 即 0, 20. xyz xy 令1y，解得(2,1,3)n . 设平面PBE的法向量为 m(a
19、，b，c)， 所以 0, 0. PB EP m m 即 0, 0. abc bc 令1b，解得(0,1,1)m . 所以 2 0 1 1 3 12 7 cos, 7142 n m . 由图可知，二面角CPBE的余弦值为 2 7 7 . 14 分 （18） （本小题 14 分） 14 某单位共有员工 45 人，其中男员工 27 人，女员工 18 人上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 （）求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； （）考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人中男 员工人数为X，
20、求随机变量X的分布列和数学期望； （）考核分笔试和答辩两项5 名员工的笔试成绩分别为 78，85，89，92，96；结合答辩 情况，他们的考核成绩分别为 95，88，102，106，99这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 2 1 s， 2 2 s，试比较 2 1 s与 2 2 s的大小 （只需写出结论） 解：（）抽取的 5 人中男员工的人数为 5 273 45 ， 女员工的人数为 5 182 45 4 （）由（）可知，抽取的 5 名员工中，有男员工 3 人，女员工 2 人 所以，随机变量X的所有可能取值为1, 2, 3 根据题意， 12 32 3 5 3 (1) 10 CC P
21、X C ， 21 32 3 5 6 (2) 10 CC P X C ， 30 32 3 5 1 (3) 10 CC P X C 随机变量X的分布列是： X 1 2 3 P 3 10 6 10 1 10 15 数学期望 361189 123 101010105 EX 10 分 （） 22 12 ss 14 分 19 （本小题满分 15 分） 已知函数( )ln1f xxax(Ra), 2 1 ( )( )2 2 g xxf xxx. （）求( )f x的单调区间； （）当1a 时，若函数( )g x在区间( ,1)()m mmZ内存在唯一的极值点，求m的值. 解： （）由已知得0x， 11 (
22、) ax fxa xx . （）当0a时，( )0fx恒成立，则函数( )f x在(0,)为增函数； （）当0a时，由( )0fx，得 1 0x a ； 由( )0fx，得 1 x a ； 所以函数( )f x的单调递增区间为 1 (0,) a ，单调递减区间为 1 (,) a . 4 分 （） 因为 2 1 ( )( )2 2 g xxf xxx 2 1 (ln1)2 2 xxxxx 2 1 ln 2 xxxx， 则( )ln11g xxx ln2( )3xxf x. 由（）可知，函数( )g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减. 又因为 22 11 ()22 ee g 2 1
23、0 e ，(1)10 g ， 所以( )g x在(0,1)上有且只有一个零点 1 x. 16 又在 1 (0,)x上( )0g x，( )g x在 1 (0,)x上单调递减； 在 1 ( ,1)x上( )0g x，( )g x在 1 ( ,1)x上单调递增. 所以 1 x为极值点，此时0m. 又(3)ln3 10 g ，(4)2ln220 g ， 所以( )g x在(3,4)上有且只有一个零点 2 x. 又在 2 (3,)x上( )0g x，( )g x在 2 (3,)x上单调递增； 在 2 (,4)x上( )0g x，( )g x在 2 (,4)x上单调递减. 所以 2 x为极值点，此时3m
24、. 综上所述，0m或3m. 15 分 20 （本小题满分 14 分） 已知直线: l xt与椭圆 22 :1 42 xy C相交于A,B两点,M是椭圆C上一点. （）当1t 时,求MAB!面积的最大值; （）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:| |OEOF为定值. 解:（）将1x 代入 22 1 42 xy , 解得 6 2 y ,所以|6AB . 当M为椭圆C的顶点( 2,0)时,M到直线1x 的距离取得最大值3, 所以MAB面积的最大值是 3 6 2 . 17 （）设,A B两点坐标分别为( , )A t n,( ,)B tn,从而 22 24tn. 设 00 (,
25、)M xy,则有 22 00 24xy, 0 xt, 0 yn . 直线MA的方程为 0 0 () yn ynxt xt , 令0y ,得 00 0 tynx x yn ,从而 00 0 tynx OE yn . 直线MB的方程为 0 0 () yn ynxt xt , 令0y ,得 00 0 tynx x yn ,从而 00 0 tynx OF yn . 所以 0000 00 = tynxtynx OEOF ynyn 2222 00 22 0 = t yn x yn 2222 00 22 0 (42)(42) = nyny yn 22 0 22 0 44 = yn yn = 4. 所以OE
26、OF为定值. 21.（本小题满分 14 分） 18 数字1,2,3,(2)n n的任意一个排列记作 12 ( ,) n a aa,设 n S为所有这样的排列构成 的集合. 集合 12 ( ,)| nnn Aa aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj;集合 12 ( ,)| nnn Ba aaS任意整数, ,1i jijn,都有 ij aiaj. （）用列举法表示集合 3 A, 3 B; （）求集合 nn AB的元素个数; （解:（） 3 (1,2,3)A , 3 (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)B （）考虑集合 n A中的元素 123 (,) n
27、 a a aa. 由已知,对任意整数, ,1i jijn ,都有 ij aiaj , 所以()() ij aiiajj , 所以 ij aa. 由, i j的任意性可知, 123 (,) n a a aa是1,2,3,n的单调递增排列, 所以(1,2,3, ) n An 又因为当 k ak * (kN,1)kn时,对任意整数, ,1i jijn , 都有 ij aiaj . 所以(1,2,3, ) n nB,所以 nn AB. 所以集合 nn AB的元素个数为 1. 19 （）由（）知,0 n b . 因为 2 (1,2),(2,1)B ,所以 2 2b . 当3n 时,考虑 n B中的元素
28、123 (,) n a a aa. （1）假设 k an(1)kn.由已知, 1 (1) kk akak , 所以 1 (1)1 kk aakkn , 又因为 1 1 k an ,所以 1 1 k an . 依此类推,若 k an,则 1 1 k an , 2 2 k an , n ak. 若1k ,则满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1 个. 若2k ,则 2 an, 3 1an, 4 2an,2 n a . 所以 1 1a . 此时满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1 个. 若2kn, 只要 1231 (,) k a a
29、aa 是1,2,3,1k 的满足条件的一个排列,就可以相应得到1,2,3,n的一 个满足条件的排列. 此时,满足条件的1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1k b 个. （2）假设 n an,只需 1231 (,) n a a aa 是1,2,3,1n的满足条件的排列,此时满足条件的 1,2,3,n的排列 123 (,) n a a aa有 1n b 个. 20 综上 231 1 1 nn bbbb ,3n . 因为 322 1 142bbb , 且当4n 时, 23211 (1 1)2 nnnn bbbbbb , 所以对任意 * nN,3n ,都有 1 2 n n b b . 所以 n b成等比数列. ）记集合 n B的元素个数为 n b.证明:数列 n b是等比数列.
