1、20202020 年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一一） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1设集合 2 0Mx xx，2Nx x，则MN （ ） A0x x
2、 B12xx C 012x xx或 D01xx 2已知 i 为虚数单位，则复数1 3 1 i i 的虚部为（ ） A2 B2i C2 D2i 3设aR，则“1a”是“直线10axy 与直线50xay平行”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4设向量a，b满足3,1ab，1a b ，则ab（ ） A2 B6 C2 2 D10 5在 6 2 2 x x 的二项展开式中， 2 x的系数为（ ） A15 4 B 15 4 C 3 8 D 3 8 6已知函数 1f xx x，则不等式 2 20f xf x的解集为（ ） A2,1 B1,2 C , 12, D
3、 , 21, 7如图，双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F，过 2 F作直线与 C 及其渐近线 分别交于 Q，P 两点，且 Q 为 2 PF的中点若等腰三角形 12 PFF的底边 2 PF的长等于 C 的半焦距则 C 的 离心率为（ ） A 22 15 7 B 4 3 C 22 15 7 D 3 2 8将函数sin2yx的图象向右平移0 2 个单位长度得到 yf x的图象若函数 f x在区 间0, 4 上单调递增，且 f x的最大负零点在区间 5 , 126 上，则的取值范围是（ ） A, 6 4 B, 6 2 C, 12 4 D, 12 2
4、 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、 “90 后”从 事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ） 注： “90 后”指 1990 年及以后出生的人， “80 后”指 1980-1989 年之间出生的人， “80 前”指 1979 年及以 前出生的人 A互联网行业从业人员中“90 后”占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营
5、岗位的人数“90 后”比“80 前”多 D互联网行业中从事技术岗位的人数“90 后”比“80 后”多 10对于实数 a，b，m，下列说法正确的是（ ） A若 22 ambm，则ab B若ab，则a ab b C若0ba，0m，则 ama bmb D若0ab且lnlnab，则23,ab 11已知函数 1 2 2log x f xx，且实数 a，b，0c abc满足 0f a f b f c 若实数 0 x是 函数 yf x的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A 0 xa B 0 xa C 0 xb D 0 xc 12已知函数 lnf xxx，若 f x在 1 xx和 212 xxxx
6、处切线平行，则（ ） A 12 111 2xx B 12 128x x C 12 32xx D 22 12 512xx 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 5 cos 5 ，且, 2 ，则tan2_ 14一组数据的平均数是 8，方差是 16，若将这组数据中的每一个数据都减去 4，得到一组新数据，则所得 新数据的平均数与方差的和是_ 15已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点60ABC，2AC ，P 为球 O 的球面上的动点，记 三棱锥ABC的体积为 1 V，三棱锥OABC的体积为 2 V若 1 2 V V 的最大值为 3则球 O 的表面积为 _ 16已
7、知直线:2l yxb与抛物线 2 :20C ypx p相交于 A，B 两点，且5AB ，直线 l 经过 C 的焦点 则p _， 若M为C上的一个动点， 设点N的坐标为3,0， 则MN的最小值为_（本 题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知 a，b，c 分别为ABC内角 A，B，C 的对边，试从下列条件中任选一个作为已 知条件并完成下列（1） （2）两问的解答 sinsininsinsCAA bac B ； 2 coscoscoscCaB bA （1）求角 C； （2）若5c ，11ab，求AB
8、C的面积 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列满足 1 5a 且 2 a， 9 a， 30 a成等比数列 （1）求 30 a的通项公式； （2）若数列 n b满足 * 1nnn bbanN ，且 1 3b ，求数列 1 n b 的前 n 项和 n T 19 （12 分） 如图所示， 在三棱柱 111 ABCABC中， 侧面 11 ABB A是矩形，2AB ， 1 2 2AA ， D 是 1 AA 的中点，BD 与 1 AB交于点 O，且CO平面 11 ABB A （1）求证： 1 BCAB； （2）若OCOA，求二面角DB
9、CA的余弦值 20 （12 分）设点 3,0A ， 3,0B，直线 AP 和 BP 相交于点 P，且它们的斜率之积为 2 3 （1）求点 P 的轨迹方程； （2） 设点 P 的轨迹为 C， 点 M 和 N 是轨迹 C 上不同的两点， 且满足/APOM，/BPON， 求证：MON 的面积为定值 21 （12 分）为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要某工厂生产 N95 型口 罩并成箱包装，每箱 200 件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品， 检验时，先从这箱产品中任取 20 件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品
10、为不合格品的概率为01pp，且每件产品是否为不合格品相互独立 （1）记 20 件产品中恰有两件不合格品的概率为 fp，求 fp的最大值点 0 p； （2）现对一箱口罩检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格以（1）中确定的 0 p作为 p 的值已知每件产品 的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 （）若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为 X，求E X （）以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？ 22 （12 分）已知定义在区间0,2上的函数 ln m fx x x，mR （
11、1）证明：当1m时， 1f x ； （2）若曲线 yf x过点1,0A的切线有两条，求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 1C 由 2 0xx，解得1x或0x，所以集合 10Mx xx或因为2Nx x，所以 012MNx xx或故选 C 2A 1311324 1 2 1112 iiii i iii ，复数1 3 1 i i 的虚部为2故选 A 3 A 直线10axy 与直线50xay平行， 则 2 1a 且 5 1 a ， 解得1a， 所以当1a时， 满足两直线平行，则“1a”是“两条直线平行”的充分不必要条件故选 A 4B 因为3,1ab，所以 2 3110ab，所以 22 4104 1
12、6ababa b ，所 以6ab故选 B 5D 由二项式定理可得 6 2 2 x x 的通项为 6 6 3 166 21 20,1,2,3,6 22 r rr r rrr r x TCCxr x ，令32r ，则1r ，所以 2 x的 系数为 6 1 1 1 6 13 2 28 C 故选 D 6 D 1fxxx， 1fxx xf x ， f x为定义域 R 上的奇函数 又当0x 时， 2 1f Xx xxx为增函数， f x在 R 上单调递增由 2 20f xf x知， 2 22f xf xfx ， 2 2xx，即 2 20xx，解得2x或1x 故选 D 7 C 连接 1 QF， 由 12 P
13、FF为等腰三角形且 Q 为 2 PF的中点， 由 2 PFc知 12 QFPF， 且 2 2 c QF 由 双曲线的定义知 1 2 2 c QFa，在 12 Rt FQF中， 22 2 22 22 cc ac ，解得双曲线 C 的离心率 22 15 7 e （负值舍去） 故选 C 8C 函数sin2yx的图象向右平移0 2 个单位长度得到函数 sin 22f xx的图象， 则当0, 4 x 时，222 ,2 2 x 由函数 f x在区间0, 4 上单调递增，可知， 22 2 22 22 k kZ k ，解得 4 kkZk 又由0 2 ，可知0 4 函 数 f x的所有零点满足22xkkZ， 即
14、 1 2 kZxk， 由最大负零点在 5 , 126 内， 得 51 1226 Zkk ，即 511 12262 Zkkk ，由0 2 可知，当 1k 时， 123 由可得，的取值范围为, 12 4 故选 C 9ABC 由题图可知，互联网行业从业人员中“90 后”占总人数的 56%，超过一半，A 正确；互联网行业 从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%，超过 20%，所以互联网行 业从业人员（包括“90 后” “80 后” “80 前” ）从事技术岗位的人数超过总人数的 20%，B 正确；互联网行 业从业人员中“90 后”从事运营岗位的人数占总人数的
15、56% 17%9.52%，超过“80 前”的人数占总人 数的比例，且“80 前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗 位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%，小于“80 后”的人数占总人数的比例，但“80 后”中从 事技术岗位的比例未知，D 不一定正确故选 ABC 10ABCD 对实数 a，b，m 22 ambm，ab ，A 正确；ab，分三种情况，当0ab时， a ab b成立；当0ab时，a ab b成立；当0ab时，a ab b成立，a ab b成立， B 正确；0ba，0m， 0 () am ba bmba mamaabbmabam
16、 bmbb bmb bmb bm ， C 正确； 若0ab， 且lnlnab， 1 a b ， 且1a 1 22aba a ， 设 1 21f aaa a ， 2 1 20 a fa ， f a在区间1,上单调递增，当1a时， 3f a ， 3f a，即 23,ab ，D 正确 11ABC 由 1 2 2log x f xx，可知函数 f x在区间0,上单调递增因为实数 a，b， 0c abc满足 0f a f b f c ，则 f a， f b， f c可能都小于 0 或有 1 个小于 0，2 个 大于 0，如图则 A，B，C 可能成立， 0 xc，D 不可能成立 12AD 由题意知 11
17、0 2 fxx xx ，因为 f x在 1 xx和 212 xxxx处切线平行，所以 12 fxfx， 即 12 12 1111 22xxxx ， 化简得 12 111 2xx ， A 正确； 由基本不等式及 12 xx， 可 得 1212 11 2 11 2xxx x ， 即 12 256x x ， B 错 误 ； 1212 232xxx x， C 错 误 ； 22 1212 2512xxx x，D 正确故选 AD 13 解 析 ：（ 方 法 一 ） 因 为 5 c o s 5 ，, 2 ， 所 以 2 5 sin 5 ， 所 以 2222 2 55 2 55 sin22sincos4 an
18、2 cos2cos t sin3 52 5 55 （ 方 法 二 ） 因 为 5 c o s 5 ， 且, 2 ， 所 以 2 5 sin 5 ， 所 以t an2， 所 以 22 222tan4 tan2 1 tan3 12 答案： 4 3 14解析：因为原数据平均数是 8，方差为 16，将这组数据中的每一个数据都减去 4，所以新数据的平均数 为 4，方差不变仍为 16，所以新数据的方差与平均数的和为 20 答案：20 15解析：如图所示，设ABC的外接圆圆心为 1 O，半径为 r，则 1 OO 平面 ABC设球 O 的半径为 R， 1 OOd，则 24 3 2 sinsin603ABC A
19、C r ，即 2 3 3 r 当 P，O， 1 O三点共线时， 1 2 max 3 VRd Vd ，即2Rd由 222 Rdr，得 2 16 9 R ，所以球 O 的 表面积 2 64 4 9 SR 答案： 64 9 16解析：由题意知，直线:2l yxb，即2 2 b yx 直线 l 经过抛物线 2 :20C ypx p的 焦点， 22 bp ， 即bp 直线 l 的方程为2yxp 设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立 2 2 2 yxp ypx ， 消去 y 整理可得 22 460xpxp，由一元二次方程根与系数的关系得 12 3 2 p xx，又5AB ， 12 5 5
20、2 xppx，则2p ，抛物线 2 :4C yx设 00 ,M x y，由题意知 2 00 4yx，则 2222 2 00000 334188xyxxMNx，当 0 1x 时， 2 MN取得最小值 8，MN的 最小值为2 2 答案：2 2 2 17解： （1）选择， 根据正弦定理得 acab bac ， 从而可得 222 acabb， 根据余弦定理 222 2coscababC， 解得 1 cos 2 C ， 因为0,C， 故 3 C （5 分） 选择， 根据正弦定理得 sincossincos2sincosABBACC 即sin2sincosABCC， 即sin2sincosCCC， 因为0
21、,C， 所以sin0C ，从而有 1 cos 2 C ， 故 3 C （5 分） （2）根据余弦定理得 222 2coscababC 得 22 5abab， 即 2 53abab， 解得2ab， 又因为ABC的面积为 1 2 sinabC， 所以ABC的面积为 3 2 （10 分） 18解： （1）设等差数列 n a的公差为0d d 因为 2 a， 9 a， 30 a成等比数列， 所以 2 111 298adadad 又 1 5a ，解得2d 或0d （舍） ，所以23 n an （4 分） （2）依题意得 1 23 nn bbn ，即 1 21 nn bbn （2n且 * nN） ， 所以
22、112211nnnnn bbbbbbbb 2 21 3 2121532 2 nn nnnn （7 分） 1 3b 对上式也成立，所以2 n bn n，即 111 11 222 n bn nnn （9 分） 所以 1111111111 1 232435112 n T nnnn 111323 212421 1 1 22 n nnnn （12 分） 19 （1）证明：因为侧面 11 ABB A是矩形，2AB ， 1 2 2AA ，D 是 1 AA的中点，所以2AD 在 1 Rt ABB中 ， 1 1 2 tan 2 AB AB B BB ， 在Rt ABD中 ， 2 tan 2 ABD AD AB
23、， 所 以 1 A B BA B D 又 11 90BABAB B，所以 1 90BABABD， 所以在AOB中，90BOA，即 1 BDAB， 又CO平面 11 ABB A， 1 AB 平面 11 ABB A， 所以 1 COAB，又BDCOO，所以 1 AB 平面 BCD 又BC 平面 BCD，所以 1 BCAB （6 分） （2）解：由（1）可知 OD， 1 OB，OC 两两垂直如图，以 O 为坐标原点，分别以 OD， 1 OB，OC 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 2 3 0,0 3 A ， 2 6 ,0,0 3 B ， 2 3 0,0, 3 C ， 6 ,
24、0,0 3 D ， 所 以 2623 , 0 33 AB ， 2 3 2 3 0, 33 AC ， 6,0,0DB ， 2 62 3 ,0, 33 BC 设平面 ABC 的一个法向量为 1 , ,nx y z， 则 1 1 0 0 nAB nAC ， 即 2 62 3 0 33 2 32 3 0 33 xy yz ， 令1x ， 得2y ， 2z ，则 1 1, 2,2n 又平面 BCD 的一个法向量为 2 0,1,0n ， 设二面角DBCA的大小为，由题图可知为锐角， 则 12 12 210 cos 55 n n n n ， 所以二面角DBCA的余弦值是 10 5 （12 分） 20 （1）
25、解：设点 P 的坐标为, x y，由题意知 2 333 APBP yy k xx k ， 化简得点 P 的轨迹方程为 22 13 32 xy x （4 分） （2）证明：由题意知，直线 AP，BP 斜率存在且不为 0， 又由已知得 2 3 APBP kk ， 因为/APOM，/BPON，所以 2 3 OMON kk 设直线 MN 的方程为xmyt， 代入 C 的方程得 222 234260mymtyt， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 则 12 2 4 23 mt yy m ， 2 12 2 26 23 t y y m ， （6 分） 又 2 1212 2222 121212
26、262 363 OMON y yy yt k x xm y yyt k mt ytm ，得 22 223tm 所 以 22 12 22 2 61148247216 2223222 MON tmt St yytt mt ， 即MON的 面积为 定值 6 2 （12 分） 21解： （1）从这箱产品中任取 20 件检验，每件产品为不合格品的概率为01pp，且每件产品是否 为不合格品相互独立因此设 X 为不合格口罩数，X 符合二项分布 所以 18 22 20 1fpC pp， 所以 17 2 202 11 10fpCppp， 故当 0 0.1p 时， fp取最大值 （5 分） （2） （）设剩余 1
27、80 件口罩中不合格品为 Y，则180,0.1YB， 18E Y ，则检验费用和赔偿费用 之和为20 2 25XY ， 4025E XE Y，所以490E X （9 分） （）整箱检验费用为2 200400元，因为490400E X ，所以需要对余下的所有口罩做检 验 （12 分） 22 （1）证明：当1m时， 1 lnfxx x 22 111x fx xxx ， f x在0,1上单调递减，在1,2上单调递增， min 11f xf， 1f x （3 分） （2）解：当0m时， lnf xx，0,2x，可知不符合题意 当0m时，设切点为 00 ,xf x（显然 0 1x ） ，又切线过点1,0
28、A， 000 01f xfxx ， 即 0 0 0 1 f x fx x ， 0 00 2 00 ln 1 m xmx xx x ， 整理得 0 2 00 l10n 21 x mm xx （*） 由题意，得方程（*）在区间0,2上有两个不同的实数解 （5 分） （方法一）令 2 21 ln1 mm g xx xx ， 3 21xmx gx x 当21m，即 1 2 m 时， g x在0,2上单调递增，此时不满足要求 （6 分） 当21m，即 1 2 m 时， g x在0,1上单调递增，在1,2上单调递减或在0,1，2 ,2m上单调递 增，在1,2m上单调递减，而 1 120gmee e ， 1
29、0gm， 321 2ln21ln20 48 m g ， 1 2ln20 4 gmm m ， g x在区间0,1上有唯一的零点，在区间1,2上无零点 此时不满足要求 （8 分） 当021m，即 1 0 2 m， g x在0,2m上单调递增，在2 ,1m上单调递减，在1,2上单调递 增 21 ln10 me emm g eem ， 10gm，20gm ， 20g， g x在区间0,2上有唯一的零点，此时不满足要求 （10 分） 当0m时， g x在0,1上单调递减，在1,2上单调递增 1 120gmee e ， 10gm， 32 2ln2 4 m g 当 20g，即 24ln2 3 m 时， g
30、x在区间0,2上有唯一的零点，此时不满足要求 当 20g，即 24ln2 0 3 m 时， g x在区间0,1和1,2上各有一个零点，设为 1 x， 2 x 此时， 2 1m fx xx ，显然 fx 在区间 0,2上单调递减 12 fxfx，此时满足要求 综上所述，实数 m 的取值范围是 24ln2 ,0 3 （12 分） （方法二） 关于 0 x的方程 0 0 2 00 211 10ln x x x m x 在区间0,2内有两个不同的实数解， 显然 1 2 不是 方程的解，故原问题等价于 22 l 1 2 n xxxx m x 在区间0,2内有两个不同的实数解 设 22 1 1 2 l 2
31、 ln 1 nxxxxxxx s x xx x ，02x， 1 2 x ， 则 2 ln 1 12 1 2 xxx x s x x ，02x， 1 2 x 令 2ln 1 h x x x，02x， 1 2 x ， 则 22 1221x h x xxx ， 故当 1 0, 2 x 时， 0h x，当 1 ,2 2 x 时， 0h x， 1 2ln40 2 h xh 当 1 0, 2 x ， 1 ,1 2 时， 0s x 当1,2x时， 0s x， 从而当 1 0, 2 x ， 1 ,1 2 时， s x单调递增， 当1,2x时， s x单调递减 （9 分） 令 1lnt xxxx ，02x， 1 2 x ， lnt xx， 当 1 0, 2 x ， 1 ,1 2 时， 0t x， 当1,2x 时， 0t x， 10t xt 当 1 0, 2 x 时， 0s x ， 当 1 ,2 2 x 时， 0s x 而当 1 ,2 2 x 时， 10s xs，当 x 从 1 2 右侧趋近 1 2 时， s x ，作出 s x的大致图象如图 所示， 故 22 l 1 2 n xxxx m x 在区间0,2内有两解 20sm，解得 24ln2 0 3 m ，即实数 m 的取值 范围是 24ln2 ,0 3 （12 分）
