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2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题(一)含答案

1、20202020 年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题(年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题(一一) 注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名,考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 1设集合 2 0Mx xx,2Nx x,则MN ( ) A0x x

2、 B12xx C 012x xx或 D01xx 2已知 i 为虚数单位,则复数1 3 1 i i 的虚部为( ) A2 B2i C2 D2i 3设aR,则“1a”是“直线10axy 与直线50xay平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4设向量a,b满足3,1ab,1a b ,则ab( ) A2 B6 C2 2 D10 5在 6 2 2 x x 的二项展开式中, 2 x的系数为( ) A15 4 B 15 4 C 3 8 D 3 8 6已知函数 1f xx x,则不等式 2 20f xf x的解集为( ) A2,1 B1,2 C , 12, D

3、 , 21, 7如图,双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左,右焦点分别为 1 F, 2 F,过 2 F作直线与 C 及其渐近线 分别交于 Q,P 两点,且 Q 为 2 PF的中点若等腰三角形 12 PFF的底边 2 PF的长等于 C 的半焦距则 C 的 离心率为( ) A 22 15 7 B 4 3 C 22 15 7 D 3 2 8将函数sin2yx的图象向右平移0 2 个单位长度得到 yf x的图象若函数 f x在区 间0, 4 上单调递增,且 f x的最大负零点在区间 5 , 126 上,则的取值范围是( ) A, 6 4 B, 6 2 C, 12 4 D, 12 2

4、 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、 “90 后”从 事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中正确的是( ) 注: “90 后”指 1990 年及以后出生的人, “80 后”指 1980-1989 年之间出生的人, “80 前”指 1979 年及以 前出生的人 A互联网行业从业人员中“90 后”占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营

5、岗位的人数“90 后”比“80 前”多 D互联网行业中从事技术岗位的人数“90 后”比“80 后”多 10对于实数 a,b,m,下列说法正确的是( ) A若 22 ambm,则ab B若ab,则a ab b C若0ba,0m,则 ama bmb D若0ab且lnlnab,则23,ab 11已知函数 1 2 2log x f xx,且实数 a,b,0c abc满足 0f a f b f c 若实数 0 x是 函数 yf x的一个零点,那么下列不等式中可能成立的是( ) A 0 xa B 0 xa C 0 xb D 0 xc 12已知函数 lnf xxx,若 f x在 1 xx和 212 xxxx

6、处切线平行,则( ) A 12 111 2xx B 12 128x x C 12 32xx D 22 12 512xx 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知 5 cos 5 ,且, 2 ,则tan2_ 14一组数据的平均数是 8,方差是 16,若将这组数据中的每一个数据都减去 4,得到一组新数据,则所得 新数据的平均数与方差的和是_ 15已知 A,B,C 为球 O 的球面上的三个定点60ABC,2AC ,P 为球 O 的球面上的动点,记 三棱锥ABC的体积为 1 V,三棱锥OABC的体积为 2 V若 1 2 V V 的最大值为 3则球 O 的表面积为 _ 16已

7、知直线:2l yxb与抛物线 2 :20C ypx p相交于 A,B 两点,且5AB ,直线 l 经过 C 的焦点 则p _, 若M为C上的一个动点, 设点N的坐标为3,0, 则MN的最小值为_(本 题第一空 2 分,第二空 3 分) 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 (10 分)已知 a,b,c 分别为ABC内角 A,B,C 的对边,试从下列条件中任选一个作为已 知条件并完成下列(1) (2)两问的解答 sinsininsinsCAA bac B ; 2 coscoscoscCaB bA (1)求角 C; (2)若5c ,11ab,求AB

8、C的面积 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分 18 (12 分)已知数列 n a为公差不为 0 的等差数列满足 1 5a 且 2 a, 9 a, 30 a成等比数列 (1)求 30 a的通项公式; (2)若数列 n b满足 * 1nnn bbanN ,且 1 3b ,求数列 1 n b 的前 n 项和 n T 19 (12 分) 如图所示, 在三棱柱 111 ABCABC中, 侧面 11 ABB A是矩形,2AB , 1 2 2AA , D 是 1 AA 的中点,BD 与 1 AB交于点 O,且CO平面 11 ABB A (1)求证: 1 BCAB; (2)若OCOA,求二面角DB

9、CA的余弦值 20 (12 分)设点 3,0A , 3,0B,直线 AP 和 BP 相交于点 P,且它们的斜率之积为 2 3 (1)求点 P 的轨迹方程; (2) 设点 P 的轨迹为 C, 点 M 和 N 是轨迹 C 上不同的两点, 且满足/APOM,/BPON, 求证:MON 的面积为定值 21 (12 分)为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性,外出佩戴口罩成为必要某工厂生产 N95 型口 罩并成箱包装,每箱 200 件,每一箱口罩出厂前要对产品进行检验,如检验出不合格品,则更换为合格品, 检验时,先从这箱产品中任取 20 件检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品

10、为不合格品的概率为01pp,且每件产品是否为不合格品相互独立 (1)记 20 件产品中恰有两件不合格品的概率为 fp,求 fp的最大值点 0 p; (2)现对一箱口罩检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格以(1)中确定的 0 p作为 p 的值已知每件产品 的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 ()若不对该箱余下的口罩做检验,这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为 X,求E X ()以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据,是否应该对该箱余下的所有口罩做检验? 22 (12 分)已知定义在区间0,2上的函数 ln m fx x x,mR (

11、1)证明:当1m时, 1f x ; (2)若曲线 yf x过点1,0A的切线有两条,求实数 m 的取值范围 参考答案参考答案 1C 由 2 0xx,解得1x或0x,所以集合 10Mx xx或因为2Nx x,所以 012MNx xx或故选 C 2A 1311324 1 2 1112 iiii i iii ,复数1 3 1 i i 的虚部为2故选 A 3 A 直线10axy 与直线50xay平行, 则 2 1a 且 5 1 a , 解得1a, 所以当1a时, 满足两直线平行,则“1a”是“两条直线平行”的充分不必要条件故选 A 4B 因为3,1ab,所以 2 3110ab,所以 22 4104 1

12、6ababa b ,所 以6ab故选 B 5D 由二项式定理可得 6 2 2 x x 的通项为 6 6 3 166 21 20,1,2,3,6 22 r rr r rrr r x TCCxr x ,令32r ,则1r ,所以 2 x的 系数为 6 1 1 1 6 13 2 28 C 故选 D 6 D 1fxxx, 1fxx xf x , f x为定义域 R 上的奇函数 又当0x 时, 2 1f Xx xxx为增函数, f x在 R 上单调递增由 2 20f xf x知, 2 22f xf xfx , 2 2xx,即 2 20xx,解得2x或1x 故选 D 7 C 连接 1 QF, 由 12 P

13、FF为等腰三角形且 Q 为 2 PF的中点, 由 2 PFc知 12 QFPF, 且 2 2 c QF 由 双曲线的定义知 1 2 2 c QFa,在 12 Rt FQF中, 22 2 22 22 cc ac ,解得双曲线 C 的离心率 22 15 7 e (负值舍去) 故选 C 8C 函数sin2yx的图象向右平移0 2 个单位长度得到函数 sin 22f xx的图象, 则当0, 4 x 时,222 ,2 2 x 由函数 f x在区间0, 4 上单调递增,可知, 22 2 22 22 k kZ k ,解得 4 kkZk 又由0 2 ,可知0 4 函 数 f x的所有零点满足22xkkZ, 即

14、 1 2 kZxk, 由最大负零点在 5 , 126 内, 得 51 1226 Zkk ,即 511 12262 Zkkk ,由0 2 可知,当 1k 时, 123 由可得,的取值范围为, 12 4 故选 C 9ABC 由题图可知,互联网行业从业人员中“90 后”占总人数的 56%,超过一半,A 正确;互联网行业 从业人员中“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%,超过 20%,所以互联网行 业从业人员(包括“90 后” “80 后” “80 前” )从事技术岗位的人数超过总人数的 20%,B 正确;互联网行 业从业人员中“90 后”从事运营岗位的人数占总人数的

15、56% 17%9.52%,超过“80 前”的人数占总人 数的比例,且“80 前”中从事运营岗位的比例未知,C 正确;互联网行业从业人员中“90 后”从事技术岗 位的人数占总人数的56% 39.6%22.176%,小于“80 后”的人数占总人数的比例,但“80 后”中从 事技术岗位的比例未知,D 不一定正确故选 ABC 10ABCD 对实数 a,b,m 22 ambm,ab ,A 正确;ab,分三种情况,当0ab时, a ab b成立;当0ab时,a ab b成立;当0ab时,a ab b成立,a ab b成立, B 正确;0ba,0m, 0 () am ba bmba mamaabbmabam

16、 bmbb bmb bmb bm , C 正确; 若0ab, 且lnlnab, 1 a b , 且1a 1 22aba a , 设 1 21f aaa a , 2 1 20 a fa , f a在区间1,上单调递增,当1a时, 3f a , 3f a,即 23,ab ,D 正确 11ABC 由 1 2 2log x f xx,可知函数 f x在区间0,上单调递增因为实数 a,b, 0c abc满足 0f a f b f c ,则 f a, f b, f c可能都小于 0 或有 1 个小于 0,2 个 大于 0,如图则 A,B,C 可能成立, 0 xc,D 不可能成立 12AD 由题意知 11

17、0 2 fxx xx ,因为 f x在 1 xx和 212 xxxx处切线平行,所以 12 fxfx, 即 12 12 1111 22xxxx , 化简得 12 111 2xx , A 正确; 由基本不等式及 12 xx, 可 得 1212 11 2 11 2xxx x , 即 12 256x x , B 错 误 ; 1212 232xxx x, C 错 误 ; 22 1212 2512xxx x,D 正确故选 AD 13 解 析 :( 方 法 一 ) 因 为 5 c o s 5 ,, 2 , 所 以 2 5 sin 5 , 所 以 2222 2 55 2 55 sin22sincos4 an

18、2 cos2cos t sin3 52 5 55 ( 方 法 二 ) 因 为 5 c o s 5 , 且, 2 , 所 以 2 5 sin 5 , 所 以t an2, 所 以 22 222tan4 tan2 1 tan3 12 答案: 4 3 14解析:因为原数据平均数是 8,方差为 16,将这组数据中的每一个数据都减去 4,所以新数据的平均数 为 4,方差不变仍为 16,所以新数据的方差与平均数的和为 20 答案:20 15解析:如图所示,设ABC的外接圆圆心为 1 O,半径为 r,则 1 OO 平面 ABC设球 O 的半径为 R, 1 OOd,则 24 3 2 sinsin603ABC A

19、C r ,即 2 3 3 r 当 P,O, 1 O三点共线时, 1 2 max 3 VRd Vd ,即2Rd由 222 Rdr,得 2 16 9 R ,所以球 O 的 表面积 2 64 4 9 SR 答案: 64 9 16解析:由题意知,直线:2l yxb,即2 2 b yx 直线 l 经过抛物线 2 :20C ypx p的 焦点, 22 bp , 即bp 直线 l 的方程为2yxp 设 11 ,A x y, 22 ,B x y, 联立 2 2 2 yxp ypx , 消去 y 整理可得 22 460xpxp,由一元二次方程根与系数的关系得 12 3 2 p xx,又5AB , 12 5 5

20、2 xppx,则2p ,抛物线 2 :4C yx设 00 ,M x y,由题意知 2 00 4yx,则 2222 2 00000 334188xyxxMNx,当 0 1x 时, 2 MN取得最小值 8,MN的 最小值为2 2 答案:2 2 2 17解: (1)选择, 根据正弦定理得 acab bac , 从而可得 222 acabb, 根据余弦定理 222 2coscababC, 解得 1 cos 2 C , 因为0,C, 故 3 C (5 分) 选择, 根据正弦定理得 sincossincos2sincosABBACC 即sin2sincosABCC, 即sin2sincosCCC, 因为0

21、,C, 所以sin0C ,从而有 1 cos 2 C , 故 3 C (5 分) (2)根据余弦定理得 222 2coscababC 得 22 5abab, 即 2 53abab, 解得2ab, 又因为ABC的面积为 1 2 sinabC, 所以ABC的面积为 3 2 (10 分) 18解: (1)设等差数列 n a的公差为0d d 因为 2 a, 9 a, 30 a成等比数列, 所以 2 111 298adadad 又 1 5a ,解得2d 或0d (舍) ,所以23 n an (4 分) (2)依题意得 1 23 nn bbn ,即 1 21 nn bbn (2n且 * nN) , 所以

22、112211nnnnn bbbbbbbb 2 21 3 2121532 2 nn nnnn (7 分) 1 3b 对上式也成立,所以2 n bn n,即 111 11 222 n bn nnn (9 分) 所以 1111111111 1 232435112 n T nnnn 111323 212421 1 1 22 n nnnn (12 分) 19 (1)证明:因为侧面 11 ABB A是矩形,2AB , 1 2 2AA ,D 是 1 AA的中点,所以2AD 在 1 Rt ABB中 , 1 1 2 tan 2 AB AB B BB , 在Rt ABD中 , 2 tan 2 ABD AD AB

23、, 所 以 1 A B BA B D 又 11 90BABAB B,所以 1 90BABABD, 所以在AOB中,90BOA,即 1 BDAB, 又CO平面 11 ABB A, 1 AB 平面 11 ABB A, 所以 1 COAB,又BDCOO,所以 1 AB 平面 BCD 又BC 平面 BCD,所以 1 BCAB (6 分) (2)解:由(1)可知 OD, 1 OB,OC 两两垂直如图,以 O 为坐标原点,分别以 OD, 1 OB,OC 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 2 3 0,0 3 A , 2 6 ,0,0 3 B , 2 3 0,0, 3 C , 6 ,

24、0,0 3 D , 所 以 2623 , 0 33 AB , 2 3 2 3 0, 33 AC , 6,0,0DB , 2 62 3 ,0, 33 BC 设平面 ABC 的一个法向量为 1 , ,nx y z, 则 1 1 0 0 nAB nAC , 即 2 62 3 0 33 2 32 3 0 33 xy yz , 令1x , 得2y , 2z ,则 1 1, 2,2n 又平面 BCD 的一个法向量为 2 0,1,0n , 设二面角DBCA的大小为,由题图可知为锐角, 则 12 12 210 cos 55 n n n n , 所以二面角DBCA的余弦值是 10 5 (12 分) 20 (1)

25、解:设点 P 的坐标为, x y,由题意知 2 333 APBP yy k xx k , 化简得点 P 的轨迹方程为 22 13 32 xy x (4 分) (2)证明:由题意知,直线 AP,BP 斜率存在且不为 0, 又由已知得 2 3 APBP kk , 因为/APOM,/BPON,所以 2 3 OMON kk 设直线 MN 的方程为xmyt, 代入 C 的方程得 222 234260mymtyt, 设 11 ,M x y, 22 ,N x y, 则 12 2 4 23 mt yy m , 2 12 2 26 23 t y y m , (6 分) 又 2 1212 2222 121212

26、262 363 OMON y yy yt k x xm y yyt k mt ytm ,得 22 223tm 所 以 22 12 22 2 61148247216 2223222 MON tmt St yytt mt , 即MON的 面积为 定值 6 2 (12 分) 21解: (1)从这箱产品中任取 20 件检验,每件产品为不合格品的概率为01pp,且每件产品是否 为不合格品相互独立因此设 X 为不合格口罩数,X 符合二项分布 所以 18 22 20 1fpC pp, 所以 17 2 202 11 10fpCppp, 故当 0 0.1p 时, fp取最大值 (5 分) (2) ()设剩余 1

27、80 件口罩中不合格品为 Y,则180,0.1YB, 18E Y ,则检验费用和赔偿费用 之和为20 2 25XY , 4025E XE Y,所以490E X (9 分) ()整箱检验费用为2 200400元,因为490400E X ,所以需要对余下的所有口罩做检 验 (12 分) 22 (1)证明:当1m时, 1 lnfxx x 22 111x fx xxx , f x在0,1上单调递减,在1,2上单调递增, min 11f xf, 1f x (3 分) (2)解:当0m时, lnf xx,0,2x,可知不符合题意 当0m时,设切点为 00 ,xf x(显然 0 1x ) ,又切线过点1,0

28、A, 000 01f xfxx , 即 0 0 0 1 f x fx x , 0 00 2 00 ln 1 m xmx xx x , 整理得 0 2 00 l10n 21 x mm xx (*) 由题意,得方程(*)在区间0,2上有两个不同的实数解 (5 分) (方法一)令 2 21 ln1 mm g xx xx , 3 21xmx gx x 当21m,即 1 2 m 时, g x在0,2上单调递增,此时不满足要求 (6 分) 当21m,即 1 2 m 时, g x在0,1上单调递增,在1,2上单调递减或在0,1,2 ,2m上单调递 增,在1,2m上单调递减,而 1 120gmee e , 1

29、0gm, 321 2ln21ln20 48 m g , 1 2ln20 4 gmm m , g x在区间0,1上有唯一的零点,在区间1,2上无零点 此时不满足要求 (8 分) 当021m,即 1 0 2 m, g x在0,2m上单调递增,在2 ,1m上单调递减,在1,2上单调递 增 21 ln10 me emm g eem , 10gm,20gm , 20g, g x在区间0,2上有唯一的零点,此时不满足要求 (10 分) 当0m时, g x在0,1上单调递减,在1,2上单调递增 1 120gmee e , 10gm, 32 2ln2 4 m g 当 20g,即 24ln2 3 m 时, g

30、x在区间0,2上有唯一的零点,此时不满足要求 当 20g,即 24ln2 0 3 m 时, g x在区间0,1和1,2上各有一个零点,设为 1 x, 2 x 此时, 2 1m fx xx ,显然 fx 在区间 0,2上单调递减 12 fxfx,此时满足要求 综上所述,实数 m 的取值范围是 24ln2 ,0 3 (12 分) (方法二) 关于 0 x的方程 0 0 2 00 211 10ln x x x m x 在区间0,2内有两个不同的实数解, 显然 1 2 不是 方程的解,故原问题等价于 22 l 1 2 n xxxx m x 在区间0,2内有两个不同的实数解 设 22 1 1 2 l 2

31、 ln 1 nxxxxxxx s x xx x ,02x, 1 2 x , 则 2 ln 1 12 1 2 xxx x s x x ,02x, 1 2 x 令 2ln 1 h x x x,02x, 1 2 x , 则 22 1221x h x xxx , 故当 1 0, 2 x 时, 0h x,当 1 ,2 2 x 时, 0h x, 1 2ln40 2 h xh 当 1 0, 2 x , 1 ,1 2 时, 0s x 当1,2x时, 0s x, 从而当 1 0, 2 x , 1 ,1 2 时, s x单调递增, 当1,2x时, s x单调递减 (9 分) 令 1lnt xxxx ,02x, 1 2 x , lnt xx, 当 1 0, 2 x , 1 ,1 2 时, 0t x, 当1,2x 时, 0t x, 10t xt 当 1 0, 2 x 时, 0s x , 当 1 ,2 2 x 时, 0s x 而当 1 ,2 2 x 时, 10s xs,当 x 从 1 2 右侧趋近 1 2 时, s x ,作出 s x的大致图象如图 所示, 故 22 l 1 2 n xxxx m x 在区间0,2内有两解 20sm,解得 24ln2 0 3 m ,即实数 m 的取值 范围是 24ln2 ,0 3 (12 分)