1、太原市太原市 20202020 年高三年级模拟年高三年级模拟数学数学文科文科试卷试卷（三）（三） （考试时间：下午 3:005:00） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1 至 4 页，第卷 5 至 8 页 2回答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 3回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 4回答第卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效 5考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 1
2、2 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 20 , 210Ax xxBx x ，则AB （ ） A( 1,) B 1 ,1 2 C 1 ,2 2 D 1 , 2 2某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件为了解它们的产品 质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽 取了 4 件，则n（ ） A9 B10 C12 D13 3设复数z满足|1| |zzi（i为虚数单位） ，z在复平面内对应的点为( , )x y，则（ ） Ayx Byx
3、C 22 (1)(1)1xy D 22 (1)(1)1xy 4已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 28 2,10aa ，则 9 S （ ） A45 B42 C25 D36 5“1x ”是“ 2 log0x ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6宋元时期数学名著算学启蒙屮有关于“松竹并生”的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自 倍， 松竹何日而长等， 右图是源于其思想的一个程序框图， 若输入的, a b分别为 3,1， 则输出的n等于 （ ） A5 B4 C3 D2 7已知sincos2,(0, )，则tan（ ） A1 B 2 2
4、 C 2 2 D1 8已知向量 12 ,e e是夹角为 3 的两个单位向量，则 12 2aee与 12 32bee的夹角为（ ） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 9 把函数 2 ( )sinf xx的图象向右平移 12 个单位后， 得到函数( )yg x的图象 则( )g x的解析式是 （ ） A 2 ( )sin 12 g xx B 1 ( )cos 2 212 g xx C 11 ( )cos 2 262 g xx D 11 ( )sin 2 262 g xx 10已知函数( )f x是定义在R上的偶函数，且在区间0,)单调递增若实数a满足 21 2 loglog2 (1)fafa
5、f ，则a的取值范围是（ ） A 1 ,1 2 B1,2 C 1 ,2 2 D(0,2 11 设 12 ,F F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、 右焦点， 若双曲线上存在点P， 使 12 60FPF ， 且 12 2PFPF，则双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C5 D6 12 在三棱锥PABC中，PA PBPC、两两垂直， 1 1, 2 PAPBQ是棱BC上一个动点， 若直线AQ 与平面PBC所成角的正切的最大值为 5 2 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A6 B7 C8 D9 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数
6、1 2 2 log(01), ( ) 1(1), xx f x xx 则 1 8 ff _ 14抛物线 2 ypx经过点（1,4） ，则抛物线的焦点到准线的距离等于_ 15已知数列 n a的前n项和为 n S，且2 nn Sa ，则数列 n a的通项 n a _ 16 对任意正整数n， 函数 32 ( )27cos1f nnnnn， 若(2) 0f， 则的取值范围是_； 若不等式( ) 0f n 恒成立，则的最大值为_ （第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，
7、考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法太原市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进 小区”的评比活动现有甲、乙两个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自小区居民进行了有关垃圾分类知 识的培训， 并参加了评比活动， 评委会随机从两个小区各选出 20 户家庭进行评比打分， 每户成绩满分为 100 分，评分后得到如下茎叶图 （1）依茎叶图判断哪个小区的平均分高？ （2）现从甲小区不低于 80 分的家庭中随机抽取两户，求分数为 87 的家庭至少有一户被抽中的概率； （3）如果规定分数不低于 85 分的家庭为优秀，请填写
8、下面的2 2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不 超过 0.025 的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关？” 甲 乙 合计 优秀 a b 不优秀 c d 合计 参考公式和数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且cossinabCcB （1）
9、求B； （2）设BAC的平分线AD与边BC交于点D，已知 177 ,cos 725 ADA ，求b的值 19 （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1111, ABAC D是 11 BC的中点， 111 2A AAB （1）求证： 1/ / AB平面 1 ACD； （2）直线 1 AB和BC所成角的余弦值为 26 13 ，求几何体 11 AB DCA的体积 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的焦距为 2，且过点 3 1, 2 （1）求椭圆C的方程； （2）已知BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为BMN的重
10、心，求点O到直线MN距离的最 小值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )lnf xxkx （1）当1k 时，求函数( )f x的极值点； （2）当0k 吋，若( )0( ,) b f xaa bR x 恒成立，求 1 1 a eb 的最大值 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作 答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑， 22 （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知曲线C的极坐标方程是6cos0，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标 系，直线l过点(0,2)M，倾斜角
11、为 3 4 （1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程； （2）设直线l与曲线C交于,A B两点，求 11 |MAMB 的值 23 （本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数( ) |1|2 |f xxxa （1）若1a ，解不等式( )4f x ； （2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 2 24( )mmf x，求实数a的取值范围 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B D C B A C C C B A 二、填空题（每小题 5 分，共 20
12、 分） 138 14 1 8 15 1 1 2 n 16 1313 , 22 三、解答题（共 70 分） 17 （本小题满分 12 分） （1）甲小区分数集中于 6090 之间，乙小区分数集中于 80100 之间，所以乙小区的平均分高 3 分 （2）记分数为 87 的家庭为A B、，其他不低于 80 的家庭为, ,C D E F， 则从甲小区不低于 80 分的家庭中随机抽取两户的基本事件有： ( , ) ( , ) ( ,) ( , ) ( ,) ( , ) ( ,) ( , ) ( ,) A BA CA DA EA FB CB DB EB F， ( ,) ( , ) ( ,) ( , ) (
13、 ,) ( ,) C DC EC FD ED FE F共 15 个 “分数为 87 的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有：( , ),( ,),( ,)A BA CA D， ( , ),( ,),( , )( ,)( , ),( ,)A EA FB CB DB EB F共 9 个， 故所求概率 93 155 P 8 分 （3） 甲 乙 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计 20 20 40 2 2 40 (3 10 17 10) 5.5845.204 20 20 13 27 K 因此可以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有
14、关 12 分 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）因为cossinabCcB, 由 sinsinsin abc ABC ，得sinsincossinsinABCCB 2 分 又因为sinsin()sincoscossinABCBCBC， 所以sincoscossinsincossinsinBCBCBCCB， 即cossinsinsinBCCB 4 分 因为0C，所以sin0C ，所以sincosBB 又0B，所以 4 B 6 分 （2）因为AD是BAC的平分线，设BAD，所以2A， 所以 7 cos2cos 25 A ，即 2 7 2cos1 25 ，所以 2 9 cos 25 ， 因
15、为0A，所以0 2 ，所以 2 34 cos,sin1 cos 55 在ABD中，sinsin()sinsincoscossin 444 ADBB 2347 2 25510 7 分 由 sinsin ADAB BADB ，得 sin177 217 2 sin7105 ADADB AB B 8 分 在ABC中， 2 24 sin1 cos 25 AA， 所以 224717 2 sinsin()sincoscossin 2252550 CABABAB 10 分 由 sinsin bc BC ，所以 172 sin 52 5 sin17 2 50 cB b C 12 分 19 （本小题满分 12 分
16、） 解（1）如图，连结 1 AC交 1 AC于点E，连结DE， 1 分 因为四边形 11 AACC是矩形，所以点E是 1 AC的中点， 2 分 因为D是 11 BC的中点，所以 1 / /DEAB， 3 分 因为 1 AB 平面 1 ,ACDDE 平面 1 ACD， 所以 1/ / AB平面 1 ACD， 4 分 （2）因为棱柱 111 ABCABC是直三棱柱，所以 111 AAAC， 因为 1111111 ,ABAC A AAB， 所以 111 ACBC，5 分 因为 1 AB和BC所成角的余弦值为 26 13 ，所以 11 26 cos 13 ABC， 6 分 因为 111111 2,AA
17、ABAAAB，所以 1 2 2AB ， 7 分 在 11 ABC中， 222 111111111 2cosACBCABBCABABC 可得 11 13BC ， 8 分 因为 111111 ,2ABAC AB，所以 11 3AC ， 因为 11111111111 ,C AAB C AA A A AABA，所以 11 C A 平面 1 AB， 同理 11 AB 平面 1 AC， 10 分 所以 1 1111 A B DCAD A ABD AAC VVV ， 11311 2 22 3 12 32232 ， 所以几何体 11 AB DCA的体积为 2 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解（1）
18、因为椭圆C的焦距为 2，所以 22 1ab， 1 分 因为椭圆C过点 3 1, 2 ，所以 22 19 1 4ab 2 分 解得 22 4,3ab， 4 分 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 5 分 （2）设( , )B m n，记线段MN中点为D 因为O为BMN的重心，所以2BOOD，则点D的坐标为, 22 mn 6 分 若0n，则| 2m ，此时直线MN与x轴垂直， 故原点O到直线MN的距离为 2 m ，即为 1 若0n，此时直线MN的斜率存在 设 1122 ,M x yN x y，则 1212 ,xxmyyn 又 2222 1122 1,1 4343 xyxy ，两式相减得 121
19、21212 0 43 xxxxyyyy ， 可得 12 12 3 4 MN yym k xxn 8 分 故直线MN的方程为 3 422 mmn yx n ，即 22 68340mxnymn， 则点O到直线MN的距离为 22 22 34 3664 mn d mn 将 22 1 43 mn ，代入得 2 3 9 d n 10 分 因为 2 03n，所以 min 3 2 d 又 3 1 2 ，故原点O到直线MN距离的最小值为 3 2 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解： （1）( )f x定义域为(0,)， 当1k 时， 1 ( )ln,( )1f xxx fx x ， 1 分 令( )0
20、fx ，得1x ，当( )0,01fxx ；( )0,1fxx ， 3 分 所以( )f x在（0,1）上单调递增，在(1,)上单调递减， 所以( )f x有极大值点1x ，无极小值点 6 分 （2）当0k 时，( )ln bb f xaxa xx 若( )0,( ,) b f xaa bR x 恒成立，则ln0( ,) b xaa bR x 恒成立， 所以ln b ax x 恒成立， 7 分 令ln b yx x ，则 2 xb y x ， 由题意0b，函数在(0, )b上单调递减，在( ,)b 上单调递增， 9 分 所以ln1ab，所以1 lnab 10 分 所以 11 ,1 1 aa e
21、beb 剟， 11 分 故当且仅当 1a eb 时， 1 1 a eb 的最大值为 1 12 分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos，所以 2 6 cos， 所以 22 6xyx，即曲线C的直角坐标方程为 22 (3)9xy， 2 分 直线l的参数方程 3 cos, 4 3 2sin 4 xt yt （t为参数） ，即 2 , 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ， 5 分 （2）设点,A B对应的参数分别为 12 ,t t， 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得 22 22 329 22 tt ， 整理，得 2 5 240tt，所
22、以 12 12 5 2 4 tt t t ， 7 分 121212 0,0,0,0ttt ttt ， 所以 12121 2 |5 2,| |4MAMBttttMAMBt t ， 所以 11|5 2 | |4 MAMB MAMBMAMB 10 分 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解（1）当1a 时，( )4|1|2| 4f xxx， 化为 1 23 x x 或 12 34 x 或 2 214 x x ， 3 分 解得 3 1 2 x 或12x 或 5 2 2 x， 35 22 x即不等式( )4f x 的解集为 3 5 , 2 2 5 分 （2）根据题意，得 2 24mm的取值范围是( )f x值域的子集 22 24(1)33mmm ， 又由于( ) |1|2 | |21|,( )f xxxaaf x的值域为|21|,)a， 8 分 故|21| 3,21aa 即实数a的取值范围为 2,1 10 分 注：以上各题其他正确解法相应得分
