1、 第 1 页 江苏省江苏省西亭西亭高级高级中学中学 2020 届高三数学考前热身训练届高三数学考前热身训练 数学数学卷卷 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应 位置上 ） 1. 已知集合 |03,0,1,3AxxB，则AB= . 2. 已知复数 1 ai z i （i为虚数单位）的实部为零，则复数z的模为 . 3. 已知一组数据4,6,3,7,a的平均数为 5,则该组数据的标准差是 . 4. 在今年的“抗疫”战斗中，某医疗组现有 3 名医生和 2 名 护士，需派遣其中两名医护人员去执行任务，则“至少有一 名医生”的概率为 . 5. 某同学在课
2、外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为 解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此 程序框图，输出 a的值为 . 6. 在一次大学校园双选招聘会上，某公司计划招收x名女生， y名男生，若, x y满足约束条件 25 2 5 xy xy x ，则该公司计划 在本次校招所招收人数的最大值为 . 7. 已知函数( )2sin(2)f xx的图象关于点(,0) 12 对称， 则 当的绝对值取最小时，() 4 f 的值为 . 8. 如图，三棱锥PABC中，点, , ,D E F M N分别为棱 ,PC PA PB BA BC的中点，如果三棱锥PABC的体 积为 8，则几何体NMBDEF的体积为
3、 . 9. 已知定义在实数集R上的函数 | | ( )3cos x f xx， 则不等式 (2)(2 )f xfx的解集是 （结果用区间表示）. nn+1 开始 n1 a0 输出 a 结束 a5n+3 是 否 P A B C D E F M N 第 2 页 10. 已知等差数列 n a中， 2410 18aaa，则 68 4aa . 11.已知双曲线 22 22 :1 (0,0) xy Cab ab 的一条准线与抛物线 2 4yx的准线重 合，当 4 22 4a ab 取得最小值时，双曲线C的离心率为 . 12. 在平面直角坐标系xOy中，动圆 222 :(4)()Cxybr截x轴所得的弦长恒
4、为 4 2若过原点O作圆C的一条切线，切点为A，则点A到直线120xy距 离的最大值为 . 13. 已知函数 32 35 (12) 22 ( ) 11 (2) 22 xxx f x xxe ， （e2.718 28是自然对数的底数） ( )ln2g xxmx，若存在 12 ,1, x xe，使得 12 ()()f xg x成立，则实数m的 取值范围是 . 14. 已知锐角三角形ABC中， BC=3，AHBC于H,若ABAHCAAHACAB44 22 ， 则 sin sinsin A BC 的取值范围是 . 二、解答题（本大题共 5 小题，共计 90 分解答写出必要的过程） 15.（本小题满分
5、14 分） 如图, 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中, 四边形 ABCD 为矩形，E 是 BC 的中点,F 是 1 DC上的点，且满足 1 2.D FFC （1）求证: 1 ADDC； （2）求证： 1 / /D A平面 DEF. F E D C B A D1 C B1 A1 第 3 页 16.（本小题满分 14 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知(54 )cos4 cosacBbC （1）求cosB的值； （2）若 4 C ，6b ，求ABC的面积 S. 17.（本小题满分 14 分） 如图是一块空地 OABC，其中 AB，BC,OC 是直线段，曲线段
6、OA 是抛物线的一部分， 且点 O 是该抛物线的顶点，OC 所在的直线是该抛物线的对称轴经测量：O,A,B 三点 在一条直线上，OC4，2BC ，2BA,（单位：百米） 4 OCB 开发商计划 利用这块空地建造一个矩形游泳池DEFG，矩形顶点都在空地的边界上，其中点 D，E 在直线段 OC 上，设 GDx（百米） ，矩形草坪DEFG的面积为 f（x） （百米）2 （1）求 f（x）的解析式； （2）当 x 为多少时，矩形草坪 DEFG 的面积最大？ 18. （本小题满分 16 分） 已知点F是椭圆:E 22 22 10 xy ab ab 的左焦点， 椭圆E的离心率为 1 2 ， 点 3 ( 1
7、 , )2 在椭圆 E 上. (1) 求椭圆E的方程； (2) 过点F的直线交椭圆E于,P Q两点，设椭圆E的左顶点为 A，记直线 PA，QA 的斜 率分别为 12 ,k k. 求 12 kk的值； 过 P 作垂直于 PA 的直线 l 交 x 轴于点 M.则 A，P，M，Q 四点是否共圆？若共 圆，求出该圆的方程；若不共圆，请说明理由. A B C O D E F G 第 4 页 19.（本小题满分 16 分） 已知正项数列 n a的前 n 项和是 n S * ()nN， 满足 1 (1)(1)() nnn aar Sn （r为 常数） （1）记 2nnn baa ，证明：数列 n b是等差数
8、列； （2）若6r ， 235 ,31a Sa 成等比数列， 求数列 n a的通项公式； 设 1 31 () n n a n n cq ，其中 1 (0, ) 2 q，且对任意的正整数 k， 12kkk ccc 仍在数列 n c中，求 q 的所有值. 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 * ( )() kx f xx e kN，( ),( ,g xcxm c mR),其中 e2.718 28是自然对 数的底数. （1）当1k 时， 若曲线( )yf x在1x 处的切线恰好是直线( )yg x，求 c 的值； 若me ，方程( )( )f xg x有正实数根，求 c 的取值范围 （2）当2
9、,1km时，不等式 2 ( )( )f xeaxbxg x 对于任意1,)x恒成立，当 c 取得最大值时，求实数 a 的最小值 第 5 页 西亭中学西亭中学 2020 届高三数学考前热身训练届高三数学考前热身训练 数学数学 II （理科（理科附加题附加题） 21【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内 作答 ，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 A 【选修 4-2：矩阵与变换】 （本小题满分 10 分） 已知矩阵 M= 1 2 a b ，若点( 1,1)经过变换 M T后得到点(1, 1),求矩阵 M 的特征值. B.
10、 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 已知直线 l 的参数方程为 2 2 2 2 2 xt ymt （t 为参数） ，点 P（1,3）在直线 l 上. （1）求 m 的值； （2）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：2 与直线 l 交于点 A,B，求线段 AB 的长. C 【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知不等式25xxx的解集为,m n. （1）求m，n的值； 第 6 页 （2）若0x，0y ，0nxym，求 11 xy 的最小值. 【必做题】请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤 22.（本小题满分 10 分） 如图， 在以, , , ,A B C D E F为顶点的五面体中， 四边形ABEF为正方形，AFDF， 2 2AFFD，45DFECEF （1）求异面直线 BC，DF 所成角的大小； （2）求二面角DBEC的余弦值 23.（本小题满分 10 分） 当,*nmm nN，时，集合 A1，2，3，n，取集合 A 中 m 个不同元素的 排列分别表示为 M1，M2，M3，MA(n)1，MA(n)，其中 A(n)表示取集合 A 中 m 个不同 元素的排列的个数 设pi为排列Mi中的最大元素， qi为排列Mi中的最小元素， 1iA(n)， 记 Pp1p2pA(n)1pA(
12、n)，Qq1q2qA(n)1qA(n) (1)当 m=2,n3 时，分别求 A(3)，P，Q； (2)对任意的*mN ，求 P 与 Q 的等式关系. A B E F C D 第 7 页 江苏省西亭高级中学江苏省西亭高级中学 2020 届高三数学考前热身训练届高三数学考前热身训练 数数 学学 卷卷 参 考 答 案 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应 位置上 ） 1. 1； 2. 1； 3. 2； 4. 9 10 ； 5. 23； 6. 10； 7.3； 8. 3； 9. 2 ( 2, ) 3 ； 10. 18； 11. 2； 12. 8 2；
13、 13. 3 ,5 2e ； 14. 3 2 (0,) 2 二、解答题 15 证明： （1）在直四棱柱 1111 ABCDABC D中 1 DD 平面 ABCD AD平面 ABCD 1 DDAD 因为四边形 ABCD 为矩形 所以 DCAD 因为 1 ,DC DD 平面 11 CDDC, 1 CDDDD 所以 DA平面 11 CDDC 又因为 1 CD 平面 11 CDDC 所以 1 ADDC7 分 （2）连结 AC，设CADEO,连结 OF 因为，四边形 ABCD 为矩形，所以/ /BCAD且BCAD 又BEEC,所以2AOOC又因为 1 2.D FFC 在 1 ACD中， 1 / /D A
14、OF,而OF 平面 DEF， 1 D A平面 DEF 所以， 1 / /D A平面 DEF.14 分 16 解： （1）因为，(54 )cos4 cosacBbC ，由正弦定理sin sinsin abc ABC 得 第 8 页 (5sin4sin)cos4sincosACBBC , 所以，5sincos4(sincossincos )4sin(B C)ABBCCB 因为，在ABC中，180ABC 所以，sin()sin(180)sinBCAA 所以，5sincos4sinABA, 又(0, ),sinA0A，所以 4 cos 5 B 6 分 （2）因为，在ABC中， 4 cos 5 B ，所
15、以 2 3 sinB1cos 5 B 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 得sin5 2 sin b cC B 因为，在ABC中，180ABC 所以， 7 2 sinsin(180)sin()sincoscossin 10 AABCBCBC 所以，ABC的面积 S 1 sin21 2 bcA 14 分 17 解：以 O 为坐标原点，OC 所在的直线是 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy 由于 OC4 ，2 2BC , 4 OCB 所以点 C 的坐标为（4,0）点 B 的坐标为（2,2） 2BA,点 A 的坐标为（1,1） 由于抛物线的顶点为点 O 对称轴是直线 OC，可设抛物线方程
16、为 y2=mx, 将点 A 的坐标代入得 m=100，所以抛物线方程为 y2=x， 直线 CB 的方程是 y=4-x ,直线 AB 的方程是 y=x 2 分 （1）因为设 DG=x，所以当 0x1 时，点 G 的坐标为 2 (, )x x，点 F 的坐标为(4)- x,x 所以矩形 DEFG 的面积 S= 232 (4)4xxxxxx； 当 1x2 时 G 的坐标为),(xx 所以矩形 DEFG 的面积 S= 2 (4)24xxxxx 第 9 页 所以矩形 DEFG 的面积 S= 32 2 4 ,01 ( ) 24 ,12 xxxx f x xxx 6 分 （2）当 0x1 时， 2 ( )3
17、24fxxx 令 2 ( )3240fxxx得 131 1 3 x 所以，当 131 0 3 x 时0)( xf；当 13-1 1 3 x时，0)( xf 所以，当 131 3 x 时，矩形 DEFG 的面积取得最大值；9 分 当 1x，所以 2nnn baar 所以 1 0 nn bb 所以， 数列 n b是等差数列 4 分 （2）因为6r ，所以 2 5a =因为 235 ,31a Sa 成等比数列 所以， 2 11 (211)15(13)aa 由0 n a 解得 1 2a ，所以 21 3aa 由（1）可知数列 n a是以 2 为首项，3 为公差的等差数列 所以，数列 n a的通项公式是
18、31 n an 9 分 1 1 31 () n n an n n cqq ，因为对任意的正整数 k， 12kkk ccc 仍在数列 n c中， 所以 123 ccc仍在数列 n c中， 2 123 1 m cccqqq ， 当时，q 无解； 当时，得； 11 分 当时，即（*） ， 令，则为关于 q 的单调递增函数，来源:学 2，1; 1，3; 3，1； 2，3；3，2 . 则 P=16，Q8 .3 分 (3) 证明 显然 mpin，pi*N，并且以 m 为最大元素的取法有 1 1 m m C 个， 以 m+1 为最大元素的取法有 1m m C 个， 以 m+2 为最大元素的取法有 1 1 m
19、 m C ， 以 k(mkn)为最大元素的取法共有 1 1 m k C ， 以 n 为最大元素的取法有 1 1 m n C 个， Pp1p2pA(n)1pA(n) 1111 111 (1)(2)A mmmmm mmmnm mCmCmCnC 因为 1 1 mm kk kCmC (km，m+1，n)， 第 16 页 所以 Pm 12 () mmmmm mmmnm CCCCA 1 112 ()A mmmmm mmmnm m CCCC 1 22 ()A mmmm mmnm m CCC 1 1 mm nm mCA . 显然 1qinm+1，qi*N，以 1 为最小元素的取法有 1 1 m n C 个， 以 2 为最小元素的取法有 1 2 m n C 个， 以 3 为最小元素的取法有 1 3 m n C 个， 以 k(1knm+1)为最小元素的取法共有 1m n k C ， 以 nm+1 为最小元素的取法有 1 1 m m C 个Qq1q2qA(n)1qA(n)， 则 Q 1111 111 (1)(n)(n1)A mmmmm mmmnm nmCm CmCC 得 PQ(n1) 11_11 111 ()A mmmmm mmmnm CCCC (n1)Am m nm C(m+1) 1 1 Am n mm C ， 则 Q 1 1 mm nm CA ，所以 PmQ.10 分
