1、已知集合 Ax|1x2，Bx|1x3，则 AB（ ） A1，2 B1，2 C1，3 D1，3 2 （4 分）i 是虚数单位，复数（ ） A2+i B2i C2+i D2i 3 （4 分）sin（）（ ） A B C D 4（4 分） 某校教学大楼共有五层， 每层均有两个楼梯， 一学生由一层到五层的走法有 （ ） A10 种 B25种 C52种 D24种 5 （4 分）函数 f（x）3x2 的零点所在区间是（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 6 （4 分）设 a20.2，blog2，clog0.2e，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbca Cc
2、ab Dcba 7 （4 分）用 mina，b表示 a，b 两个数中的最小值设 f（x）minx4，x6，则 f （x）的最大值为（ ） A4 B5 C6 D10 8 （4 分）用数学归纳法证明+（nN*）由 nk 到 nk+1 时，不 等式左边应添加的项是（ ） A B+ C+ D+ 9 （4 分）已知函数 f（x）是 R 上的偶函数，对于任意 xR 都有 f（x+6）f（x）+f（3） 第 2 页（共 16 页） 成立，当 x1，x20，3，且 x1x2时，都有给出以下三个命题： 直线 x6 是函数 f（x）图象的一条对称轴； 函数 f（x）在区间9，6上为增函数； 函数 f（x）在区间9
3、，9上有五个零点 问：以上命题中正确的个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 10 （4 分）f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）+xf（x）0，且 f（3） 0，则不等式 f（x）0 的解集为（ ） A （3，0）（3，+） B （3，0）（0，3） C （，3）（3，+） D （，3）（0，3） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （4 分）幂函数 f（x）的图象经过点 P（4，2） ，则 f（9） 12 （4 分）已知函数 f（x）在 R 上
4、是减函数，且 f（2）1，则满足 f（2x4）1 的 实数 x 的取值范围是 13 （4 分）从 5 名男生和 4 名女生中，选出 3 名代表，要求至少包含 1 名女生，则不同的 选法有 种 14 （6 分）定义在 R 上的函数 f（x） （xR）既是奇函数又是周期函数，若 f（x） （xR）的 最小正周期是 ，且时 f（x）sinx，则 ，方程 f（x） 0 的解集为 15 （6 分）在二项式的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数 是 16 （6 分）设随机变量 XB（5，） ，则 P（X3） ；D（X） 17 （6 分）已知函数，则函数 f（x）的值域为 ；若方程 f （x）a0
5、有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 18 （14 分）已知集合 Ax|2ax2+a，Bx|x1 或 x4 第 3 页（共 16 页） （1）当 a3 时，求 AB （2）若 AB，求实数 a 的取值范围 19 （14 分）编号为 a，b，c 的三位学生随机入座编号为 a，b，c 的三个座位，每位学生坐 一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 （1）求随机变量 的取值和对应的概率，并列出分布列； （2）求随机变量 的数学期望及方差 2
6、0 （14 分）函数 f（x）2ax2+2x3a （1）当 a1 时，求函数 f（x）在区间1，3上的值域； （2）若任意 x1，x20，1，对任意 a（0，1，总有不等式|f（x1）f（x2）|m22am+1 成立，求 m 的取值范围 21 （16 分）已知函数 g（x）Asin（x+）+k（A0，0，0）的部分图象如 图所示，将函数 g（x）的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数 f（x） 的图象 （1）求函数 g（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在上的值域； （3）求使 f（x）2 成立的 x 取值的集合 22 （16 分）已知函数 f（x）exx2+a，xR 的图象在
7、点 x0 处的切线为 ybx （1）求 a 和 b 的值； （2）当 xR 时，求证：f（x）x2+x； （3）若 f（x）kx 对任意的 x（0，+）恒成立，求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年浙江省奉化高中、三山高中等六校高二（下）期学年浙江省奉化高中、三山高中等六校高二（下）期 中数学试卷中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1
8、（4 分）已知集合 Ax|1x2，Bx|1x3，则 AB（ ） A1，2 B1，2 C1，3 D1，3 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|1x2，Bx|1x3， ABx|1x21，2 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （4 分）i 是虚数单位，复数（ ） A2+i B2i C2+i D2i 【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项 【解答】解： 故选：B 【点评】本题考查复合代数形式的乘除运算，属于复数中的基本题型，计算题，解题的 关键熟练掌握分母实数化的化简规则 3
9、 （4 分）sin（）（ ） A B C D 【分析】利用诱导公式sin（2+）sin，利用特殊角的三角函 数值求出值 【解答】解：sin（2+）sin 故选：A 第 5 页（共 16 页） 【点评】求特殊角的三角函数值，应该先利用诱导公式将角转化到0，2） ，属于基础题 4（4 分） 某校教学大楼共有五层， 每层均有两个楼梯， 一学生由一层到五层的走法有 （ ） A10 种 B25种 C52种 D24种 【分析】通过层与层之间的走法，利用分步计数原理求解一层到五层的走法 【解答】解：共分 4 步：一层到二层 2 种，二层到三层 2 种，三层到四层 2 种，四层到 五层 2 种，一共 2416
10、 种 故选：D 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，理解好题意，从一层到五层共分四步 5 （4 分）函数 f（x）3x2 的零点所在区间是（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 【分析】由函数的解析式可得 f（1） ，f（2）的符号，再根据函数零点的判定定理可得函 数 f（x）3x2 的零点所在的区间 【解答】解：由于函数 f（x）3x2， f（1）33220，f（2）90， f（1） f（2）0，函数是连续增函数， 函数 f（x）3x2 的零点所在的区间是（1，2） ， 故选：C 【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，求函数的值，属于基础题 6 （
11、4 分）设 a20.2，blog2，clog0.2e，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbca Ccab Dcba 【分析】容易得出 20.21，0log21，log0.2e0，从而可得出 a，b，c 的大小关系 【解答】解：20.2201，0log1log2log1，log0.2elog0.210， cba 故选：D 【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，函数单调性的定义，考查了计算能 力，属于基础题 7 （4 分）用 mina，b表示 a，b 两个数中的最小值设 f（x）minx4，x6，则 f （x）的最大值为（ ） 第 6 页（共 16 页） A4 B5 C6 D
12、10 【分析】在坐标系内画出函数 yx4，yx6 的图象，根据图象求出 f（x）的最大 值 【解答】解：画出函数 yx4 和 yx6 的图象如图所示： 结合图象，f（x）minx4，x6， 故 f（x）的最大值是 f（1）5， 故选：B 【点评】本题考查了新定义的函数的最值问题，结合图象，容易得出结论 8 （4 分）用数学归纳法证明+（nN*）由 nk 到 nk+1 时，不 等式左边应添加的项是（ ） A B+ C+ D+ 【分析】分别写出不等式在 nk，nk+1 时的式子，两式相减，即可得到所求结论 【解答】解：当 nk 时，有不等式+， 当 nk+1 时，不等式为+， 将上面两式的左边相减
13、可得， 第 7 页（共 16 页） 由 nk 到 nk+1 时，不等式左边应添加的项是+， 故选：C 【点评】本题考查数学归纳法的运用，考查由 nk 到 nk+1 时，不等式的左边的变化， 考查运算能力，属于基础题 9 （4 分）已知函数 f（x）是 R 上的偶函数，对于任意 xR 都有 f（x+6）f（x）+f（3） 成立，当 x1，x20，3，且 x1x2时，都有给出以下三个命题： 直线 x6 是函数 f（x）图象的一条对称轴； 函数 f（x）在区间9，6上为增函数； 函数 f（x）在区间9，9上有五个零点 问：以上命题中正确的个数有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】
14、根据题意，利用特殊值法分析可得 f（3+6）f（3）+f （3） ，结合函数的 奇偶性可得 f（3）0，进而可得 f （x+6）f （x） ，所以 f（x）的周期为 6；据此分析 三个命题，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，对于任意 xR，都有 f （x+6）f （x）+f （3）成立， 令 x3，则 f（3+6）f（3）+f （3） ， 又因为 f（x）是 R 上的偶函数，所以 f（3）0，则有 f （x+6）f （x） ，所以 f（x） 的周期为 6； 据此分析三个命题： 对于，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为 y 轴，又由函数的周期为 6， 则直线 x6 是函数 f（x）图象的一条
15、对称轴，正确； 对于，当 x1，x20，3，且 x1x2时，都有， 则函数 yf（x）在0，3上为增函数， 因为 f（x）是 R 上的偶函数，所以函数 yf（x）在3，0上为减函数， 而 f（x）的周期为 6，所以函数 yf（x）在9，6上为减函数；错误； 对于，f（3）0，f（x）的周期为 6， 所以 f（9）f（3）f（3）f（9）0， 第 8 页（共 16 页） 函数 yf（x）在9，9上有四个零点；错误； 三个命题中只有是正确的； 故选：B 【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出 f（3）的值，分析函数的周期 与对称性 10 （4 分）f（x）是定义在 R 上的奇函数，当
16、x0 时，f（x）+xf（x）0，且 f（3） 0，则不等式 f（x）0 的解集为（ ） A （3，0）（3，+） B （3，0）（0，3） C （，3）（3，+） D （，3）（0，3） 【分析】令 g（x）xf（x） ，g（x）f（x）+xf（x） ，当 x0 时，f（x）+xf（x）0， 可得 x（，0）上，函数 g（x）单调递减由 f（3）0，可得 g（3）0由 函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，可得函数 g（x）是定义在 R 上的偶函数进而得出 不等式的解集 【解答】解：令 g（x）xf（x） ， g（x）f（x）+xf（x） ， 当 x0 时，f（x）+xf（x）0， x（，
17、0）上，函数 g（x）单调递减，f（3）0， g（3）0 函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数， 函数 g（x）是定义在 R 上的偶函数， 函数 g（x）在（0，+）递增， 由 f（x）0，得 x0 时，g（x）0， 而 g（x）g（x） ，故 g（3）g（3）0， 由 g（x）0g（3） ，即 g（x）g（3） ， 此时 x3； 由 f（x）0，得 x0 时，g（x）0， 而 g（x）g（x） ，由 g（x）0g（3） ，即 g（x）g（3） ， 3x0， 不等式 f（x）0 的解集是（3，0）（3，+） 故选：A 第 9 页（共 16 页） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方
18、程与不等式的解法、等价转化方法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （4 分）幂函数 f（x）的图象经过点 P（4，2） ，则 f（9） 3 【分析】设幂函数 f（x）xa，由幂函数 f（x）的图象经过（4，2） ，解得 f（x）， 由此能求出 f（9） 【解答】解：设幂函数 f（x）xa， 幂函数 f（x）的图象经过（4，2） ， 4a2，解得 a， f（x）， f（9）3 故答案为：3 【点评】本题考查幂函数的应用，是基础题解题时要认真审
19、题，仔细解答 12 （4 分）已知函数 f（x）在 R 上是减函数，且 f（2）1，则满足 f（2x4）1 的 实数 x 的取值范围是 （，3） 【分析】根据 f（2）1 可以由 f（2x4）1 得出 f（2x4）f（2） ，再根据 f（x） 在 R 上是减函数即可得出 2x42，解出 x 的范围即可 【解答】解：f（2）1， 由 f（2x4）1 得，f（2x4）f（2） ，且 f（x）在 R 上是减函数， 2x42，解得 x3， 满足 f（2x4）1 的实数 x 的取值范围是（，3） 故答案为： （，3） 【点评】本题考查了函数的单调性的应用，利用函数单调性解不等式，用到转化的思想 方法，属
20、于基础题 13 （4 分）从 5 名男生和 4 名女生中，选出 3 名代表，要求至少包含 1 名女生，则不同的 选法有 74 种 【分析】根据题意，用间接法分析：先在 9 人中选出 3 人，当做代表，排除其中只有男 生的选法，即可得答案 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：根据题意，从 5 名男生和 4 名女生共 9 人中，选出 3 名当代表，有 C9384 种情况， 其中只有男生，没有女生的选法有 C5310 种， 则至少包含 1 名女生的选法有 841074 种； 故答案为：74 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意间接法分析，可以避免分类讨论 14 （6 分）定义在 R 上的函数
21、 f（x） （xR）既是奇函数又是周期函数，若 f（x） （xR）的 最小正周期是 ，且时 f（x）sinx，则 ，方程 f （x）0 的解集为 x|x，kZ 【分析】首先利用函数的奇偶性和周期求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的应 用求出结果 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x） （xR）既是奇函数又是周期函数，最小正周期是 ，且时 f（x）sinx， 故 x（，0时，f（x）sinx 则f（）f（）f（）sin f（）f（）f（）f（） ，f（）0f（） ，f（） 0，kZ 故 f（x），如图， 故 f（x）0 的解集为 x|x，kZ， 故答案为：；x|x，kZ 第 11 页（共
22、 16 页） 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，正弦函数的奇偶性和周期性 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （6 分）在二项式的展开式中，常数项是 27 ，系数为有理数的项的个 数是 4 【分析】求出展开式的通项公式，结合常数项，系数为有理数的定义分别进行求解即可 【解答】解：展开式的通项公式为 Tk+1C （）7 kxkC 3 xk， 则当 k0 时，常数项为（）727， 若系数为有理数，则为整数， 则 k1，3，5，7，即系数为有理数的项的个数为 4 个， 故答案为：27，4 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，结合条件求出二项展开
23、式的通项公式是解决 本题的关键 16 （6 分）设随机变量 XB（5，） ，则 P（X3） ；D（X） 【分析】由随机变量 XB（5，） ，利用二项分布的性质能求出 P（X3） 求解方差 即可 【解答】解：随机变量 XB（5，） ， P（X3） D（X） 故答案为：； 第 12 页（共 16 页） 【点评】本题考查概率的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 17 （6 分）已知函数，则函数 f（x）的值域为 0，8 ；若方程 f（x）a0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 （0，1） 【分析】根据分段函数解析式分段求出函数的值域即可；最初函数 f（x）的图象，
24、数形 结合即可 【解答】解：当 x2 时，0，当 x2 时，3x18，故 0|3x1|8， 故函数 f（x）的值域为0，8； 根据解析式作出函数图象如图所示： 方程 f（x）a0 有三个不同的实数根等价于函数 f（x）的图象与直线 ya 由 3 个不同 交点， 由图象可知：a 的取值范围是（0，1） ， 故答案为：0，8； （0，1） 【点评】本题考查函数值域的求法，考查函数图象交点个数与零点个数的关系，数形结 合思想，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 18 （14
25、 分）已知集合 Ax|2ax2+a，Bx|x1 或 x4 （1）当 a3 时，求 AB （2）若 AB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出 a3 时集合 A，根据交集的定义写出 AB； 第 13 页（共 16 页） （2）讨论 A和 A时，求出满足 AB 时 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a3 时，A1x5，Bx1 或 x4 AB1x1 或 4x5； （2）AB，Ax|2ax2+a，Bx1 或 x4， 当 2a2+a，即 a0 时，A，此时 AB； 当 a0 时，A；此时应满足， 解得 a1， 0a1； 综上，实数 a 的取值范围是 a1 【点评】本题考查了集合之间的关系与
26、运算问题，是中档题 19 （14 分）编号为 a，b，c 的三位学生随机入座编号为 a，b，c 的三个座位，每位学生坐 一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 （1）求随机变量 的取值和对应的概率，并列出分布列； （2）求随机变量 的数学期望及方差 【分析】 （1）随机变量 的取值为 0，1，3，求出概率，得到分布列； （2）利用分布列求解期望与方差即可 【解答】解： （1）随机变量 的取值为 0，1，3， ， 所以概率分布列为： 0 1 3 P （2）E0+1+31， D（）（10）2（11）2（13）21 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望与方差的求法没看出转化思想以及计 算能
27、力，是基础题 20 （14 分）函数 f（x）2ax2+2x3a 第 14 页（共 16 页） （1）当 a1 时，求函数 f（x）在区间1，3上的值域； （2）若任意 x1，x20，1，对任意 a（0，1，总有不等式|f（x1）f（x2）|m22am+1 成立，求 m 的取值范围 【分析】 （1）当 a1 时，f（x）2x2+2x4，运用配方和二次函数的对称轴和区间的关 系，可得所求值域； （2）考虑 f（x）的对称轴与区间0，1的关系，求得其最值，可得对任意 a（0，1， 不等式 m22am+12a+2 恒成立，设 g（a）2（m+1）a+m21，由一次函数的单调 性，解不等式可得所求范围
28、 【解答】解： （1）当 a1 时， f（x）2x2+2x42（x+）2， 对称轴 x1，3， 可得，f（x）maxf（3）20， 函数 f（x）在1，3上的值域为 （2）a0，对称轴， f（x）在区间0，1上单调递增， f（x）maxf（1）a1，f（x）minf（0）a3， f（x）maxf（x）min2a+2， 即对任意 a（0，1，不等式 m22am+12a+2 恒成立， 设 g（a）（m22am+1）（2a+2）2（m+1）a+m21， 则，即，即有， 得 m1 或 m3 【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值求法，考查不等式恒成立问题解法，考查 转化思想和运算能力、推理能力，属于
29、中档题 21 （16 分）已知函数 g（x）Asin（x+）+k（A0，0，0）的部分图象如 图所示，将函数 g（x）的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数 f（x） 的图象 （1）求函数 g（x）的解析式； 第 15 页（共 16 页） （2）求函数 f（x）在上的值域； （3）求使 f（x）2 成立的 x 取值的集合 【分析】 （1）根据图象求出 A， 和 ，即可求函数 f（x）的解析式； （2）通过平移变换规律即可求解 f（x）进而求得其值域 （3）直接解三角不等式即可 【解答】解： （1）由图象可知：A2，k1， ， 又； 所以； （2） 若， 则， ， 所以 f（x）0，
30、3，即值域为0，3； （3）， 所以， 即， （kZ） 【点评】本题是对三角函数知识的综合考查，属于中档题目，解题的关键在于对三角函 数图象和性质的把握程度 22 （16 分）已知函数 f（x）exx2+a，xR 的图象在点 x0 处的切线为 ybx 第 16 页（共 16 页） （1）求 a 和 b 的值； （2）当 xR 时，求证：f（x）x2+x； （3）若 f（x）kx 对任意的 x（0，+）恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）利用图象在点 x0 处的切线为 ybx，求出 a，b，即可求函数 f（x）的解 析式； （2）令 （x）f（x）+x2xexx1，确定函数的单调性，
31、可得 （x）min（0） 0，即可证明：f（x）x2+x； （3）f（x）kx 对任意的 x（0，+）恒成立对任意的 x（0，+）恒成立，kg （x）ming（1）0，即可求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）exx2+a，f（x）ex2x 由已知得， f（x）exx21 （2）证明：令 （x）f（x）+x2xexx1，（x）ex1，由 （x）0，得 x 0， 当 x（，0）时，（x）0，（x）单调递减； 当 x（0，+）时，（x）0，（x）单调递增 （x）min（0）0，从而 f（x）x2+x （3）f（x）kx 对任意的 x（0，+）恒成立对任意的 x（0，+）恒成 立， 令 g（x），g 由（2）可知当 x（0，+）时，exx10 恒成立， 令 g（x）0，得 x1；g（x）0，得 0x1 g（x）的增区间为（1，+） ，减区间为（0，1） g（x）ming（1）0 kg（x）ming（1）e2，实数 k 的取值范围为（，e2） 【点评】此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性， 属于中档题
