1、2019-2020学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的）1（4分）空间中一点A（2，3，1）到平面XOY的距离为（）A2B3C1D2（4分）若点P（a，3）到直线4x3y+10的距离为4，且在不等式2x+y30表示的平面区域内，则点P的横坐标是（）A7或3B7C3D7或33（4分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（A若m，n，则mnB若，m，n，则mnC若m，n，nm，则nD若m，mn，n，则4（4分）在平面直角坐标系中，M（x，y）为不等式
2、组所表示的区域上一动点，则的最小值为（）A2B1CD5（4分）直线l1：（3+a）x+4y53a和直线l2：2x+（5+a）y8平行，则a（）A7或1B1C7或1D76（4分）长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，E为A1B1中点，则异面直线AD1与BE所成角为（）A30B45C60D907（4分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定8（4分）已知直线l：yx+m与曲线x有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A2，2）B（2，2C2，2）D（2，29（4分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形
3、，且SASBSCSD，其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EPBD；EP面SBD；EP面SAC，其中恒成立的为（）ABCD10（4分）若圆x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.）11（6分）直线xy+10的斜率为 ；倾斜角的大小是 12（6分）已知方程x2+y2+2x+2y+m0表示圆，则圆心坐标为 ；实数m的取值范围是 13
4、（6分）九章算术中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪在四棱锥PABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB的长分别为1，3，正广AD长为2，PD平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为 ；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为 14（3分）直线x+y+10被圆C：x2+y22所截得的弦长为 ；由直线x+y+30上的一点向圆C引切线，切线长的最小值为 15（3分）已知a0，x，y满足约束条件，若z2x+y的最小值为1，则a 16（3分）如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为4的正方
5、形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成的轨迹长度为 17（3分）在ABC中，已知AB2，BC2，ABC45，D是边AC上一点，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BMx，则x的取值范围为 三、解答题（本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18（14分）已知平面内两点A（8，6），B（2，2）（1）求过P（2，3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（2）一束光线从B点射向（1）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程19（15分）如图
6、，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120G为线段PC的中点（1）证明：BD面PAC；（2）求DG与平面APC所成的角的正弦值；20（15分）已知圆C：x2+y26x8y+210，直线l过定点A（1，0）（1）若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时l的直线方程21（15分）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD，F为PA的中点，PD，ABADCD1，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N（1）求证：AC平面DEF；（2）求二面角APBC的正弦值；（3）在线段EF上
7、是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由22若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，（）求圆C的方程；（）已知点Q（2，2），且|PT|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；（）若（）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论2019-2020学年浙江省宁波市奉化高中、三山高中等六校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共
8、40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的）1（4分）空间中一点A（2，3，1）到平面XOY的距离为（）A2B3C1D【分析】求出A（2，3，1）到平面XOY的投影为A'（2，3，0）再算【解答】解：空间中一点A（2，3，1）到平面XOY的投影为A'（2，3，0）距离为101，故选：C【点评】考查空间点到平面的距离，基础题2（4分）若点P（a，3）到直线4x3y+10的距离为4，且在不等式2x+y30表示的平面区域内，则点P的横坐标是（）A7或3B7C3D7或3【分析】先求出a的范围，利用点到直线的距离求出a【解答】解：把（a，3）代入2x+y30，得2a+330，得
9、a0，点P（a，3）到直线4x3y+10的距离为4，则，得a3或a7，所以a7，故选：B【点评】考查线性规划问题，和求参数的值，基础题3（4分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（A若m，n，则mnB若，m，n，则mnC若m，n，nm，则nD若m，mn，n，则【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合面面垂直的判定定理即可找出正确选项【解答】解：A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；D正确，
10、由m，mn便得n，又n，即故选：D【点评】考查根据选项中的条件及结论想象对应图形的能力，两直线平行、两平面平行、线面垂直的概念，以及面面垂直的判定定理4（4分）在平面直角坐标系中，M（x，y）为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值为（）A2B1CD【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论【解答】解：作出线性区域如图：z的几何意义是动点P（x，y）到原点的斜率，由图象可知OA的斜率最小，由，解得，即A（3，1），则z的最小值为，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键5（4分）直线l1：（3+a）
11、x+4y53a和直线l2：2x+（5+a）y8平行，则a（）A7或1B1C7或1D7【分析】利用直线平行的充要条件：斜率相等、截距不等即可得出【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y53a和直线l2：2x+（5+a）y8平行，解得a7故选：D【点评】本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题6（4分）长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，AB2，E为A1B1中点，则异面直线AD1与BE所成角为（）A30B45C60D90【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与BE所成角【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1中，A
12、A1AD1，AB2，E为A1B1中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（1，1，1），B（1，2，0），（1，0，1），（0，1，1），设异面直线AD1与BE所成角为，则cos，60，异面直线AD1与BE所成角为60故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题7（4分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y21外，则直线ax+by1与圆O的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定【分析】由点M（a，b）在圆O：x2+y21外，得a2+b
13、21，求得圆O的圆心到直线ax+by1的距离d1则答案可求【解答】解：点M（a，b）在圆O：x2+y21外，a2+b21圆O：x2+y21的圆心O（0，0）到直线ax+by1的距离d1则直线ax+by1与圆O的位置关系是相交故选：A【点评】本题考查点与圆、直线与圆位置关系的应用，是基础题8（4分）已知直线l：yx+m与曲线x有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A2，2）B（2，2C2，2）D（2，2【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案【解答】解：由x，得x2+y24（x0），如图，当直线l：yx+m与x2+y24（x0）相切时，m若直线l：yx+m与曲线x有两个公共点，则实数
14、m的取值范围是（2，2故选：B【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题9（4分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，且SASBSCSD，其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EPBD；EP面SBD；EP面SAC，其中恒成立的为（）ABCD【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN（1）由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，进而得到SOAC可得AC平面SBD由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EMBD，MNSD
15、，于是平面EMN平面SBD，进而得到AC平面EMN，ACEP（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EPBD；（3）由（1）可知：平面EMN平面SBD，可得EP平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN对于（1），由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBDO，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMNN，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正确对于（2），由异面直线
16、的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EPBD，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确对于（4），由（1）同理可得：EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEME相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确故选：A【点评】本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题10（4分）若圆x2+y24x4y100上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）ABCD【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则圆心到直线的距离应小于
17、等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果【解答】解：圆x2+y24x4y100整理为，圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.）11（6分）直线xy+10的斜率为；倾斜角的大小是【分析】化直线的一般方程为斜截式，则斜率可求，再由斜率等于倾斜角的正切值求倾斜角的大小【解答】解：化xy+10为y，可得直线xy+10的斜率为；设其倾斜角为（
18、0），则tan，得故答案为：；【点评】本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题12（6分）已知方程x2+y2+2x+2y+m0表示圆，则圆心坐标为（1，1）；实数m的取值范围是m2【分析】把圆的方程化为标准形式，可得结论【解答】解：方程x2+y2+2x+2y+m0，即 （x+1）2+（y+1）22m，由 2m0，求得 m2它表示圆时，则圆心坐标为（1，1），半径为，故答案为：（1，1）；（，2）【点评】本题主要考查圆的标准方程，属于基础题13（6分）九章算术中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪在四棱锥PABCD中，底面ABCD为邪田，
19、两畔CD，AB的长分别为1，3，正广AD长为2，PD平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为4；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为【分析】过点C作CEAB，交AB于E，则CEAD2，BEABCD2，由此能求出邪田ABCD的邪长；以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出邪所在直线与平面PAD所成角的大小【解答】解：过点C作CEAB，交AB于E，则CEAD2，BEABCD2，邪田ABCD的邪长BC4，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，平面PAD的法向量（0，1，0），C（0，1，0），B（2，3，0），（2，2，0），设邪
20、所在直线与平面PAD所成角的大小为，则sin，邪所在直线与平面PAD所成角的大小为故答案为：4，【点评】本题考查邪田ABCD的邪长、邪所在直线与平面PAD所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题14（3分）直线x+y+10被圆C：x2+y22所截得的弦长为；由直线x+y+30上的一点向圆C引切线，切线长的最小值为【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；求出圆心到直线x+y+30的距离，再由勾股定理求切线长的最小值【解答】解：圆C：x2+y22的圆心坐标为C（0，0），半径r圆心C到直线x+y+10的
21、距离d直线x+y+10被圆C：x2+y22所截得的弦长为；圆心C到直线x+y+30的距离，则由直线x+y+30上的一点向圆C引切线，切线长的最小值为故答案为：；【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题15（3分）已知a0，x，y满足约束条件，若z2x+y的最小值为1，则a【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值判断最优解，利用直线方程求解即可【解答】解：a0，x，y满足约束条件的可行域如图：且目标函数z2x+y的最小值为1，可知目标函数经过可行域的A时，取得最小值，由解得A（1，3），A在直线ya（x3）上
22、，可得3a（13），解得a，故答案为：【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最值与可行域的关系是解题的关键，考查计算能力16（3分）如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为4的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成的轨迹长度为12+【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解【解答】解：线段MN的长度为1，线段MN的中点P，APMN，即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，IJ，LK，部分轨迹的长度等于四个圆弧长加上线
23、段GH，FE，IJ，LK的长，即42+4（41）12+，故答案为：12+【点评】本题考查了点的轨迹与正方形的四条边都相等的性质，判断出轨迹是四条弧与四条相等的线段的和是解题的关键，也是解本题的难点17（3分）在ABC中，已知AB2，BC2，ABC45，D是边AC上一点，将ABD沿BD折起，得到三棱锥ABCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BMx，则x的取值范围为【分析】分析平面图形的折叠问题，把折叠起来的图形和原平面图形结合起来解题，画出大致图，注意两者哪些量不变，AB是RtAMB的斜边，所以BMAB，还有M点的位置在BC的中点一侧接近C，BM1BM，进而求出BM的范围
24、【解答】解：ABC中由余弦定理得：已知AB2，BC2，ABC45，AC2，所以ABC为等腰直角三角形，如下图a所示ABD沿BD折起，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上时，如图b，AM面BCD，MN，AN都于BD垂直，折叠前在图a中AMBD于N点，在图a中过A作AM1BC于M1，动点D与C无限接近时，折痕BD接近BC，这时M接近M1，在图b中，AB是RtAMB的斜边，所以BMAB，BM1BMAB，RtABM1中，BM1BC，BMx（，2）；故答案为：（，2）【点评】考查平面图形的折叠问题，把折叠起来的图形和原平面图形结合起来解题，属于中难度题三、解答题（本大题共5小题，共72分解
25、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18（14分）已知平面内两点A（8，6），B（2，2）（1）求过P（2，3）点且与直线AB平行的直线l的方程；（2）一束光线从B点射向（1）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程【分析】（1）求出AB的斜率，结合点斜式方程进行求解即可（2）设出对称点的坐标，结合点斜式方程进行求解即可【解答】解：（1）由题得 ，由点斜式，直线l的方程4x+3y+10（2）设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n），解得，由点斜式可得，整理得11x+27y+740，反射光线所在的直线方程为11x+27y+740【点评】本题主要考查直线方
26、程的求解，求出直线的斜率，利用点斜式方程是解决本题的关键考查学生的计算能力，难度中等19（15分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120G为线段PC的中点（1）证明：BD面PAC；（2）求DG与平面APC所成的角的正弦值；【分析】（1）取AC中点O，推导出CABO，CAOD，CABD，PABD，由此能证明BD面PAC（2）法一：连结OG，推导出BDOG，从而DG与平面PAC所成角为DGO由此能求出DG与平面APC所成的角的正弦值法二：以O为坐标原点，BD，AC，平行于PA的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DG与平面APC所
27、成的角的正弦值【解答】解：（1）证明：取AC中点O，ABBC，ADCD，CABO，CAOD，CABD，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PA平面PAC，AC平面PAC，PAACA，BD面PAC（2）解法一：连结OG，由（1）BD平面PAC，BDOG，DG与平面PAC所成角为DGOG，O分别是PC，AC的中点，ABBC2，ABC120，DO2，DG与平面APC所成的角的正弦值为解法二：以O为坐标原点，BD，AC，平行于PA的直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，ABBC2，ABC120，DO2，从而为平面APC一个法向量，DG与平面APC所成的角的正弦值为【点评】本题考查线
28、面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（15分）已知圆C：x2+y26x8y+210，直线l过定点A（1，0）（1）若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时l的直线方程【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，若直线l的斜率不存在，则直线x1若直线l斜率存在，设直线l：yk（x1），利用垂径定理求k则直线方程可求；（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为kxyk0则圆心到直线l的距离再求出CPQ面积最大时的d，进一步解得k则直线方
29、程可求【解答】解：（1）将圆的一般方程化为标准方程，得（x3）2+（y4）24圆心C（3，4），半径r2若直线l的斜率不存在，则直线x1，符合题意若直线l斜率存在，设直线l：yk（x1），即kxyk0l与圆C相切圆心C（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，即 解得 综上，所求直线方程为x1或3x4y30；（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为kxyk0则圆心到直线l的距离又CPQ面积 当时，Smax2由，解得k1或k7直线方程为xy10或7xy70【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题21（15分）如图所示的几何体中，P
30、D垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD，F为PA的中点，PD，ABADCD1，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N（1）求证：AC平面DEF；（2）求二面角APBC的正弦值；（3）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接FN，证明FNAC，利用直线与平面平行的判定定理证明AC平面DEF（2）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系求出平面PBC的法向量，平面ABP的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角APBC的正弦值（3）解由，设，求出通过直线BQ与平面BC
31、P所成角的大小为，解得21，然后求出FQ的长；【解答】（1）证明：因为四边形PDCE为矩形，所以N为PC的中点连接FN，在PAC中，F，N分别为PA，PC的中点，所以FNAC，因为FN平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF（2）解：易知DA，DC，DP两两垂直，如图以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系则，所以设平面PBC的法向量为，则，不妨y1，则x1，z所以平面PBC的一个法向量为设平面ABP的法向量为，据此可得 ，则平面ABP的一个法向量为，故二面角APBC的正弦值为（3）解：设存在点Q满足条件由，设，整理得，则因为直线BQ与平面
32、BCP所成角的大小为，所以解得21，由01知1，即点Q与E重合故在线段EF上存在一点Q，且【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题22若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，（）求圆C的方程；（）已知点Q（2，2），且|PT|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；（）若（）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论【分析】（I）确定圆心
33、与半径，可求圆C的方程；（）由题可得PTCT，从而可得结论；（III）根据点F在圆E上，故0，从而可得结论【解答】（）解：设圆心C（m，n）由题易得m3（1分） 半径，（2分）得n4，r5（3分） 所以圆C的方程为（x3）2+（y+4）225（4分）（）解：由题可得PTCT（5分） 所以（6分）（7分）所以整理得a2b+40所以点P总在直线x2y+40上（8分）（）证明：F（4，0）（9分） 由题可设点M（6，y1），N（6，y2），则圆心，半径（10分）从而圆E的方程为（11分）整理得x2+y212x（y1+y2）y+36+y1y20又点F在圆E上，故0得y1y2100（12分） 所以x2+y212x（y1+y2）y640令y0得x212x640，（13分） 所以x16或x4所以圆E过定点（16，0）和（4，0）（14分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
