1、命题“若 x22，则3x3”的逆否命题是（ ） A若 x22，则 x3 或 x3 B若3x3，则 x22 C若 x3 或 x3，则 x22 D若 x3 或 x3，则 x22 2 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 3（5 分） 98 与 63 的最大公约数为 a， 二进制数 110011（2）化为十进制数为 b， 则 a+b （ ） A53 B54 C58 D60 4 （5 分）在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、 第二、 第三、
2、第四、 第五小组，已知第二小组的频数是 40，则成绩在 80100 分的学生人数是（ ） A15 B18 C20 D25 5 （5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若 将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩 在区间139，151上的运动员人数是（ ） 第 2 页（共 25 页） A3 B4 C5 D6 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出 s 的值为（ ） A16 B8 C4 D2 7 （5 分）已知点 P 在曲线上移动，则点 A（1，0）与点 P 的中点的轨迹方程是 （ ）
3、 A B C D 8 （5 分）如图，在四面体 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，则（ ） 第 3 页（共 25 页） A B C D 9 （5 分）某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则椭圆+1（ab0） 的离心率 e的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）如图，F1F2分别为椭圆+1 的左右焦点，点 P 在椭圆上，POF2的面 积为的正三角形，则 b2的值为（ ） A B2 C3 D4 11 （5 分）甲、乙二人约定 7：10 在某处会面，甲在 7：007：20 内某一时刻随机到达， 乙在 7：057：20 内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙 5 分钟的
4、概率是（ ） A B C D 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为（ ） 第 4 页（共 25 页） A B C D 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）双曲线1 的离心率为，则 m 等于 14 （5 分）已知 P 是ABC 所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是 15 （5 分）已知椭圆上相异两点 A（x1，y1
5、） ，B（x2，y2）关于直线 yx+m 对称， 且 x1+x22，则实数 m 16 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为， 则 p 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知，q：x24x+4m20（m0） ，命题“若p 则q”为假 命题，命题“若q 则p”为真命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市” ，现
6、市文明委对甲、乙两地各派 10 名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示 （1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数； （2）从乙地所得分数在60，80）间的成绩中随机抽取 2 份做进一步分析，求所抽取的 成绩中，至少有一份分数在75，80）间的概率； （3）在甲、乙两地所得分数超过 90 分的成绩中抽取其中 2 份分析其合理性，求这 2 份 成绩都是来自甲地的概率 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， 第 5 页（共 25 页） D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （）求证：平面 BDE平面
7、 PAC； （）若 PA平面 BDE，求三棱锥 EBCD 的体积 20 （12 分）PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） 为 了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量 与 PM2.5 的数据如表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图； （2）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （保留 2 位 小数） （3）若周六同一
8、时间段车流量是 25 万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ 参考公式： ， 第 6 页（共 25 页） 21 （12 分）已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（，0） ，F2（，0） ，且椭圆 C 过 点 P（3，2） （）求椭圆 C 的标准方程； （）与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求PAB 面积的最大值 22 （12 分）已知抛物线 C 的方程为 y22px（p0） ，抛物线的焦点到直线 l：y2x+2 的 距离为 （）求抛物线 C 的方程； （）设点 R（x0，2）在抛物线 C 上，过点 Q（1，1）作直线交抛物线
9、C 于不同于 R 的 两点 A，B，若直线 AR，BR 分别交直线 l 于 M，N 两点，求|MN|最小时直线 AB 的方程 第 7 页（共 25 页） 2018-2019 学年广西玉林市容县高中、北流高中高二（上）期中学年广西玉林市容县高中、北流高中高二（上）期中 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）命题“若 x22，则3x3”的逆否命题是（ ） A若 x22，则 x3 或 x3
10、 B若3x3，则 x22 C若 x3 或 x3，则 x22 D若 x3 或 x3，则 x22 【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可 【解答】解：命题的逆否命题为：若 x3 或 x3，则 x22， 故选：D 【点评】本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的定义是解决本题的关键比较 基础 2 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求 解即可 【解答】解：双曲线的离心率为 e， 则， 即双曲线的渐近线方程为 yxx， 故选：A 【点评】本题主要考查双
11、曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方 程是解决本题的关键 3（5 分） 98 与 63 的最大公约数为 a， 二进制数 110011（2）化为十进制数为 b， 则 a+b （ ） A53 B54 C58 D60 【分析】用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得 第 8 页（共 25 页） 到的余数中较大的除以较小的， 以此类推， 当整除时， 就得到要求的最大公约数， 可求 a， 根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到 b 的 值，求和即可得解 【解答】解：由题意，9863135 6335128， 352817 28
12、74， 98 与 63 的最大公约数为 7，可得：a7， 又110011（2）1+12+022+023+124+12551，可得：b51， a+b51+758 故选：C 【点评】本题考查的知识点是用辗转相除法求两个数的最大公约数，不同进制数之间的 转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则，属于基础题 4 （5 分）在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、 第二、 第三、 第四、 第五小组，已知第二小组的频数是 40，则成绩在 80100 分的学生人数是（ ） A15 B18 C20 D25
13、 【分析】根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出结果即可 【解答】解：根据频率分布直方图，得； 第二小组的频率是 0.04100.4， 第 9 页（共 25 页） 频数是 40， 样本容量是100； 成绩在 80100 分的频率是 （0.01+0.005）100.15， 对应的频数（学生人数）是 1000.1515 故选：A 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问 题，是基础题目 5 （5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若 将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩
14、 在区间139，151上的运动员人数是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比 例为，然后各层按照此比例抽取 【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是130，138，139，151，152，153， 根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为， 所以成绩在区间139，151中共有 20 名运动员，抽取人数为 204； 故选：B 【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用分层抽样抽取个体的方法；关键是正确分层， 明确抽取比例 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出 s 的值为（ ） 第 10
15、 页（共 25 页） A16 B8 C4 D2 【分析】已知 b8，判断循环条件，i8，计算循环中 s，i，k，当 x8 时满足判断框 的条件，退出循环，输出结果 s 即可 【解答】解：开始条件 i2，k1，s1，i8，开始循环， s1（12）2，i2+24，k1+12，i8，继续循环， s（24）4，i6，k3，i8，继续循环； s（46）8，i8，k4，88，循环停止，输出 s8； 故选：B 【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力 7 （5 分）已知点 P 在曲线上移动，则点 A（1，0）与点 P 的中点的轨迹方程是 （ ） A B C D 【分析】设出点 A（
16、1，0）与点 P 连线中点的坐标，利用中点坐标公式可得 P（2x+1， 2y） ，根据动点 P 在曲线上移动，代入方程即可求得点 A（1，0）与点 P 连线中点的轨 第 11 页（共 25 页） 迹方程 【解答】解：设点 A（1，0）与点 P 连线中点坐标为（x，y） ， 则由中点坐标公式可得 P（2x+1，2y） ， 动点 P 在曲线 y2x 上移动， （2y）2（2x+1） 即 y2x+ 故选：C 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查中点坐标公式，考查代入法的运用，解题的关 键是确定动点坐标之间的关系 8 （5 分）如图，在四面体 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，则（ ）
17、 A B C D 【分析】利用向量加法法则直接求解 【解答】解：在四面体 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点， + +（+） + 故选：A 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查满足向量的表示，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题 9 （5 分）某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则椭圆+1（ab0） 的离心率 e的概率是（ ） A B C D 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别 为 a，b，共有 66 种结果满足条件的事件是 e，得到 a2b，列举符合 a2b 的 情况得到满足条
18、件的事件数，根据概率公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，共有 6636 种结果 满足条件的事件是 e a2b，符合 a2b 的情况有：当 b1 时，有 a3，4，5，6 四种情况； 当 b2 时，有 a5，6 两种情况， 总共有 6 种情况 概率为 故选：C 【点评】本题考查古典概型，考查椭圆的离心率，是一个综合题，解题的关键是解出满 足离心率在规定范围中，椭圆的轴应该满足的条件，本题利用列举得到结果也比较典型 10 （5 分）如图，F1F2分别为椭圆+1 的左右焦点，点 P 在椭圆上，POF2的面 第 13 页（
19、共 25 页） 积为的正三角形，则 b2的值为（ ） A B2 C3 D4 【分析】由POF2的面积为的正三角形，可得，解得 c把 P（1，） 代入椭圆方程可得：，与 a2b2+4 联立解得即可得出 【解答】解：POF2的面积为的正三角形， ， 解得 c2 P（1，）代入椭圆方程可得：，与 a2b2+4 联立解得：b22 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）甲、乙二人约定 7：10 在某处会面，甲在 7：007：20 内某一时刻随机到达， 乙在 7：057：20 内某一时刻随机到达，则甲至少需等待
20、乙 5 分钟的概率是（ ） A B C D 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是 （x，y）|0x20， 5y20，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是 A（x，y）|0 x20，5y20，yx5 ，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式 得答案 【解答】解：由题意知本题是一个几何概型， 设甲和乙到达的分别为 7 时+x 分、7 时+y 分， 则 10x20，5y20， 甲至少需等待乙 5 分钟，即 yx5， 则试验包含的所有区域是 （x，y）|0x20，5y20， 第 14 页（共 25 页） 甲至少需等待乙 5 分钟所表示的区域为 A（x，y）
21、|0x20，5y20，yx5， 如图： 正方形的面积为 2015300，阴影部分的面积为， 甲至少需等待乙 5 分钟的概率是， 故选：C 【点评】本题考查几何概型，这类问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合 起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果，是中档题 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】求得直线 AP 的方程：根据题意求得 P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆 的离心率 【解答】
22、解：由题意可知：A（a，0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， 直线 AP 的方程为：y（x+a） ， 由F1F2P120，|PF2|F1F2|2c，则 P（2c，c） ， 代入直线 AP：c（2c+a） ，整理得：a4c， 题意的离心率 e 故选：D 第 15 页（共 25 页） 【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）双曲线1 的离心率为，则 m 等于 9 【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出 【解答】解：双曲线可得 a21
23、6，b2m， 又离心率为，则， 解得 m9 故答案为 9 【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键 14 （5 分）已知 P 是ABC 所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点 P 是ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点 再根据几何概型公式，将PBC 的面积与ABC 的面积相除可 得本题的答案 【解答】解：以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC，则， 第 16 页（共 25 页） ， ， 得：， 由此可得，P 是ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点， 点 P 到 BC
24、 的距离等于 A 到 BC 的距离的 SPBCSABC 将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率为 P 故答案为： 【点评】本题给出点 P 满足的条件，求 P 点落在PBC 内的概率，着重考查了平面向量 加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题 15 （5 分）已知椭圆上相异两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）关于直线 yx+m 对称， 且 x1+x22，则实数 m 【分析】根据对称性可知线段 AB 被直线 yx+m 垂直平分，且 AB 的中点 M（x0，y0） 在直线 yx+m 上，故可设直线 AB 的方程为 yx+n，联立方程 AB 方程与椭圆方程， 整
25、理可得关于 x 的一元二次方程，结合方程的根与系数关系可求中点 M，由0 可求 b 的范围，由中点 M 在直线 yx+m 可得 b，m 的关系，从而可求 m 的范围故答案为： 【解答】 解： 设椭圆上存在关于直线 yx+m 对称的两点为 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 根据对称性可知线段 AB 被直线 yx+m 垂直平分，且 AB 的中点 M（x0，y0）在直线 y x+m 上，且 KAB1， 故可设直线 AB 的方程为 yx+n 联立方程，整理可得 5x28nx+4n240 x1+x2，y1+y22n（x1+x2），因为 x1+x22，所以 n，y1+y2， 第 17 页
26、（共 25 页） AB 的中点 M（ ，）在直线 yx+m 上， m 故答案为： 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是灵活应用已知中的对称 性设出直线方程，且由中点在 yx+m 上建立 m，n 之间的关系，还要注意方程的根与系 数的关系的应用，是中档题 16 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为， 则 p 2 【分析】求出双曲线（a0，b0）的渐近线方程与抛物线 y22px（p0） 的准线方程， 进而求出 A， B 两点的坐标， 再由双曲线的离
27、心率为 2， AOB 的面积为， 列出方程，由此方程求出 p 的值 【解答】解：双曲线（a0，b0） ， 双曲线的渐近线方程是 yx 又抛物线 y22px（p0）的准线方程是 x， 故 A，B 两点的纵坐标分别是 y， 又由双曲线的离心率为 2，所以，则， A，B 两点的纵坐标分别是 y， 又AOB 的面积为，x 轴是角 AOB 的角平分线 ，得 p2 故答案为：2 【点评】 本题考查圆锥曲线的共同特征， 解题的关键是求出双曲线的渐近线方程， 解出 A， B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算 量，做题时要严谨，防运算出错 第 18 页（共 25 页）
28、三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知，q：x24x+4m20（m0） ，命题“若p 则q”为假 命题，命题“若q 则p”为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】利用不等式的解法分别解出 p，q由“若 p 则 q”假， “若 q 则 p”真，可得 q 为 p 的充分不必要条件，可得 p 为 q 的充分不必要条件 【解答】解：，q：x24x+4m20（m0）2mx2+m 因为“若 p 则 q”假， “若 q 则 p”真，所以 q 为 p 的充分不必要条件， 所以 p 为 q 的充
29、分不必要条件，所以x|0x4x|2mx2+m， 所以有或， （或写成（等号不能同时成立） ） 解得 m2 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 18 （12 分）某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市” ，现市文明委对甲、乙两地各派 10 名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示 （1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数； （2）从乙地所得分数在60，80）间的成绩中随机抽取 2 份做进一步分析，求所抽取的 成绩中，至少有一份分数在75，80）间的概率； （3）在甲、乙两地所得分数超过 90 分的成绩中抽取其中
30、2 份分析其合理性，求这 2 份 成绩都是来自甲地的概率 【分析】 （1）根据题中的茎叶图中数据分别计算即可； （2）乙地得分种分数在（60，80）间的有 65，72，75，79 四份成绩，分别数出所有的 基本事件个数和至少有一份在（70，80）间的情况包含的基本事件个数，代入古典概型 的概率公式即可； 第 19 页（共 25 页） （3）甲乙两地所得分数中超过 90 分的共有 5 份，记甲地中的三份分别为 A，B，C，乙 地中的两份分别为 a，b，列出所有的基本事件，数出基本事件的总数和 2 份成绩都是来 自甲地代入公式即可求得概率 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 得 ， 甲
31、地 得 分 的 平 均 数 为 ： （77+78+83+85+80+89+88+92+97+99）86.8， 乙地得分的平均数为：（65+72+75+79+82+80+84+86+96+91）81， 乙地得分的中位数为81； （2）由茎叶图可知，乙地得分种分数在（60，80）间的有 65，72，75，79 四份成绩， 随机抽取 2 份的情况有： （65，72） ， （65，75） ， （65，79， （72，75） ， （72，79） ， （75，79）共 6 种情况， 其中至少有一份分数在（70，80）间的情况有： （65，75） ， （65，79） ， （72，75） ， （72， 79）
32、 ， （75，79）共 5 种， 故所求概率 P； （3）甲乙两地所得分数中超过 90 分的共有 5 份，记甲地中的三份分别为 A，B，C，乙 地中的两份分别为 a，b，随机抽取其中的两份，所有情况如下： （A，B0） ， （A，C） ， （B， C） ， （a，b） ， （A，a） ， （A，b） ， （B，a） ， （B，b） ， （C，a） ， （B，c）共 10 种，其中两 份成绩都来自甲地的有三种情况： （A，B） ， （A，C） ， （B，C） ， 故所求概率 P1 【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及概率的有关问题，考查运用统计 知识解决简单实际问题的能力，数据处理能
33、力和运用意识属于中档题 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2， D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点 （）求证：平面 BDE平面 PAC； （）若 PA平面 BDE，求三棱锥 EBCD 的体积 第 20 页（共 25 页） 【分析】 （）证明 PA平面 ABC，推出 PABD，BDAC，证明 BD平面 PAC，然 后证明平面 BDE平面 PAC； （）求出底面面积与高，即可求解几何体的体积 【解答】 20 （本小题满分 12 分） （）证明：PAAB，PABCPA平面 ABC 又BD平面 ABCPABD ABBC，D 为 A
34、C 中点BDAC 又PAACABD平面 PAC 又BD平面 BDE平面 BDE平面 PAC（6 分） （）解：PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDEDEPADE D 为 AC 中点， 由（）知 PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC 所以三棱锥 EBCD 的体积（12 分） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，平面与平面垂直的判定定理的应 用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 20 （12 分）PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） 为 了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量
35、 第 21 页（共 25 页） 与 PM2.5 的数据如表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图； （2）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （保留 2 位 小数） （3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ 参考公式： ， 【分析】 （1）利用描点法可得数据的散点图； （2）根据公式求出 b，a，可写出线性回归方程；
36、（3）根据（2）的性回归方程，代入 x25 求出 PM2.5 的浓度 【解答】解： （1）散点图如图所示（2 分） （2），（6 分） 64， 50， 第 22 页（共 25 页） ， ，（9 分） 故 y 关于 x 的线性回归方程是：8（10 分） （3）当 x2.5 时，y1.2825+4.8836.8837 所以可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37（12 分） 【点评】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以 及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力 21 （12 分）已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（，0） ，F2（，0） ，且椭圆
37、 C 过 点 P（3，2） （）求椭圆 C 的标准方程； （）与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求PAB 面积的最大值 【分析】 （）由题意设椭圆方程为+1，利用椭圆定义求得 a，结合隐含条件求 得 b，则椭圆方程可求； （）求出 kOP，设与直线 OP 平行的直线方程为 yx+m，联立直线和椭圆方程， 运用韦达定理和判别式大于 0， 以及弦长公式， 点到直线的距离公式和三角形的面积公式， 结合基本不等式即可得到所求最大值 【解答】解： （）由题意设椭圆方程为+1， 第 23 页（共 25 页） 椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（，0） ， F2（，0） ，且椭圆 C 过点
38、 P（3，2） ， 由椭圆定义可得 2a+6，即 a3， b2a2c28， 则椭圆 C 的标准方程为+1； （）由 kOP， 设与直线 OP 平行的直线方程为 yx+m， 联立，得 8x2+12mx+9m2720 由判别式144m232（9m272）0，解得 0|m|4 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2m，x1x2， |AB|， 点 O 到直线 AB 的距离为 d|m|， 即有PAB 面积为 S|AB|d 6 当且仅当 9m21449m2，即 m2时，取得最大值 6 第 24 页（共 25 页） 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦
39、长公 式，以及点到直线的距离公式，考查计算能力，是中档题 22 （12 分）已知抛物线 C 的方程为 y22px（p0） ，抛物线的焦点到直线 l：y2x+2 的 距离为 （）求抛物线 C 的方程； （）设点 R（x0，2）在抛物线 C 上，过点 Q（1，1）作直线交抛物线 C 于不同于 R 的 两点 A，B，若直线 AR，BR 分别交直线 l 于 M，N 两点，求|MN|最小时直线 AB 的方程 【分析】 （）可以得到抛物线的焦点为，而根据点到直线的距离公式得到 ，而由 p0 即可得出 p2，从而得出抛物线方程为 y24x； （ ） 容 易 求 出 R 点 坐 标 为 （ 1 ， 2 ） ，
40、 可 设 AB ： x m （ y 1 ） +1 ， ，直线 AB 方程联立抛物线方程消去 x 可得到 y2 4my+4m40，从而有 y1+y24m，y1y24m4可写出直线 AR 的方程，联立 y2x+2 即可得出，而同理可得到，这样即可求出， 第 25 页（共 25 页） 从而看出 m1 时，|MN|取到最小值，并且可得出此时直线 AB 的方程 【解答】解： （）抛物线的焦点为，得 p2，或6（舍 去） ； 抛物线 C 的方程为 y24x； （）点 R（x0，2）在抛物线 C 上； x01，得 R（1，2） ； 设直线 AB 为 xm（y1）+1（m0） ，； 由得，y24my+4m40； y1+y24m，y1y24m4； AR：； 由，得，同理； ； 当 m1 时，此时直线 AB 方程：x+y20 【点评】考查抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标，以及点到直线的距离公式，曲线 上的点的坐标和曲线方程的关系，过定点的直线方程的设法，以及直线的点斜式方程， 韦达定理，弦长公式，复合函数的单调性，要清楚函数的单调性
