1、命题“若 x22，则3x3”的逆否命题是（ ） A若 x22，则 x3 或 x3 B若3x3，则 x22 C若 x3 或 x3，则 x22 D若 x3 或 x3，则 x22 2 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 3（5 分） 98 与 63 的最大公约数为 a， 二进制数 110011（2）化为十进制数为 b， 则 a+b （ ） A53 B54 C58 D60 4 （5 分）在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、 第二、 第三、
2、第四、 第五小组，已知第二小组的频数是 40，则成绩在 80100 分的学生人数是（ ） A15 B18 C20 D25 5 （5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若 将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩 在区间139，151上的运动员人数是（ ） 第 2 页（共 24 页） A3 B4 C5 D6 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出 s 的值为（ ） A16 B8 C4 D2 7 （5 分）已知点 P 在曲线上移动，则点 A（1，0）与点 P 的中点的轨迹方程是 （ ）
3、 A B C D 8 （5 分）某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，则椭圆+1（ab0） 的离心率 e的概率是（ ） A B C D 9 （5 分）设抛物线 E：y22px（p0）的焦点为 F，点 M 为抛物线 E 上一点，|MF|的最小 第 3 页（共 24 页） 值为 3，若点 P 为抛物线 E 上任意一点，A（4，1） ，则|PA|+|PF|的最小值为（ ） A4+ B7 C4+2 D10 10 （5 分）如图，F1F2分别为椭圆+1 的左右焦点，点 P 在椭圆上，POF2的面 积为的正三角形，则 b2的值为（ ） A B2 C3 D4 11 （5 分）如图，分别以正方形 AB
4、CD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域， 若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为（ ） A B C D 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）双曲线1 的离心率为，则 m 等于 第 4 页（共 24 页） 14 （5 分）已知在ABC 中，D 是 BC 的中点，且，现将一
5、粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是 15 （5 分）下列有关命题的说法错误的是 若“pq”为假命题，则 p 与 q 均为假命题 “x1”是“x1”的充分不必要条件 若命题 p：xoR，x020，则命题p：xR，x20 “sinx”的必要不充分条件是“x” 16 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为， 则 p 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已
6、知，q：x24x+4m20（m0） ，命题“若p 则q”为假命题，命 题“若q 则p”为真命题，求实数 m 的取值范围 18某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市” ，现市文明委对甲、乙两地各派 10 名专家进 行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示 （1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数； （2）从乙地所得分数在60，80）间的成绩中随机抽取 2 份做进一步分析，求所抽取的 成绩中，至少有一份分数在75，80）间的概率； （3）在甲、乙两地所得分数超过 90 分的成绩中抽取其中 2 份分析其合理性，求这 2 份 成绩都是来自甲地的概率 19如图，在三棱柱 ABCA1B
7、1C1中，AA1底面 ABC，且ABC 为正三角形，AA1AB 6，D 为 AC 的中点 第 5 页（共 24 页） （1）求证：直线 AB1平面 BC1D； （2）求证：平面 BC1D平面 ACC1A； （3）求三棱锥 CBC1D 的体积 20PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） 为了探究 车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的数据如表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79
8、（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图； （2）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ 21已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（，0） ，F2（，0） ，且椭圆 C 过点 P（3， 2） （）求椭圆 C 的标准方程； （）与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求PAB 面积的最大值 第 6 页（共 24 页） 22已知直线 m：y2x16，抛物线 C：y2ax（a0） （1）当抛物线 C 的焦点在直线 m 上时，确定抛物线
9、 C 的方程； （2） 若ABC 的三个顶点都在 （1） 所确定的抛物线 C 上， 且点 A 的纵坐标 y8， ABC 的重心恰在抛物线 C 的焦点上，求直线 BC 的方程 第 7 页（共 24 页） 2018-2019 学年广西玉林市容县高中、北流高中高二（上）期中学年广西玉林市容县高中、北流高中高二（上）期中 数学试卷（文科）数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题： （每小题： （每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 （5 分）命题“若 x22，则3x3”的逆
10、否命题是（ ） A若 x22，则 x3 或 x3 B若3x3，则 x22 C若 x3 或 x3，则 x22 D若 x3 或 x3，则 x22 【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可 【解答】解：命题的逆否命题为：若 x3 或 x3，则 x22， 故选：D 【点评】本题主要考查四种命题的求解，结合逆否命题的定义是解决本题的关键比较 基础 2 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求 解即可 【解答】解：双曲线的离心率为 e， 则， 即双曲线的渐近线方
11、程为 yxx， 故选：A 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方 程是解决本题的关键 3（5 分） 98 与 63 的最大公约数为 a， 二进制数 110011（2）化为十进制数为 b， 则 a+b （ ） A53 B54 C58 D60 【分析】用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得 第 8 页（共 24 页） 到的余数中较大的除以较小的， 以此类推， 当整除时， 就得到要求的最大公约数， 可求 a， 根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到 b 的 值，求和即可得解 【解答】解：由题意，98
12、63135 6335128， 352817 2874， 98 与 63 的最大公约数为 7，可得：a7， 又110011（2）1+12+022+023+124+12551，可得：b51， a+b51+758 故选：C 【点评】本题考查的知识点是用辗转相除法求两个数的最大公约数，不同进制数之间的 转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则，属于基础题 4 （5 分）在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、 第二、 第三、 第四、 第五小组，已知第二小组的频数是 40，则成绩在 80100 分的
13、学生人数是（ ） A15 B18 C20 D25 【分析】根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出结果即可 【解答】解：根据频率分布直方图，得； 第二小组的频率是 0.04100.4， 第 9 页（共 24 页） 频数是 40， 样本容量是100； 成绩在 80100 分的频率是 （0.01+0.005）100.15， 对应的频数（学生人数）是 1000.1515 故选：A 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问 题，是基础题目 5 （5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若 将运动员按成绩由好到差编为 135
14、号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩 在区间139，151上的运动员人数是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比 例为，然后各层按照此比例抽取 【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是130，138，139，151，152，153， 根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为， 所以成绩在区间139，151中共有 20 名运动员，抽取人数为 204； 故选：B 【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用分层抽样抽取个体的方法；关键是正确分层， 明确抽取比例 6 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 n
15、 的值为 8，则输出 s 的值为（ ） 第 10 页（共 24 页） A16 B8 C4 D2 【分析】已知 b8，判断循环条件，i8，计算循环中 s，i，k，当 x8 时满足判断框 的条件，退出循环，输出结果 s 即可 【解答】解：开始条件 i2，k1，s1，i8，开始循环， s1（12）2，i2+24，k1+12，i8，继续循环， s（24）4，i6，k3，i8，继续循环； s（46）8，i8，k4，88，循环停止，输出 s8； 故选：B 【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力 7 （5 分）已知点 P 在曲线上移动，则点 A（1，0）与点 P 的中点的轨迹方程
16、是 （ ） A B C D 【分析】设出点 A（1，0）与点 P 连线中点的坐标，利用中点坐标公式可得 P（2x+1， 2y） ，根据动点 P 在曲线上移动，代入方程即可求得点 A（1，0）与点 P 连线中点的轨 第 11 页（共 24 页） 迹方程 【解答】解：设点 A（1，0）与点 P 连线中点坐标为（x，y） ， 则由中点坐标公式可得 P（2x+1，2y） ， 动点 P 在曲线 y2x 上移动， （2y）2（2x+1） 即 y2x+ 故选：C 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查中点坐标公式，考查代入法的运用，解题的关 键是确定动点坐标之间的关系 8 （5 分）某同学同时掷两颗骰子，得到
17、点数分别为 a，b，则椭圆+1（ab0） 的离心率 e的概率是（ ） A B C D 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别 为 a，b，共有 66 种结果满足条件的事件是 e，得到 a2b，列举符合 a2b 的 情况得到满足条件的事件数，根据概率公式得到结果 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a，b，共有 6636 种结果 满足条件的事件是 e a2b，符合 a2b 的情况有：当 b1 时，有 a3，4，5，6 四种情况； 当 b2 时，有 a5，6 两种情况， 总共有 6 种情况 概率为 故选
18、：C 【点评】本题考查古典概型，考查椭圆的离心率，是一个综合题，解题的关键是解出满 第 12 页（共 24 页） 足离心率在规定范围中，椭圆的轴应该满足的条件，本题利用列举得到结果也比较典型 9 （5 分）设抛物线 E：y22px（p0）的焦点为 F，点 M 为抛物线 E 上一点，|MF|的最小 值为 3，若点 P 为抛物线 E 上任意一点，A（4，1） ，则|PA|+|PF|的最小值为（ ） A4+ B7 C4+2 D10 【分析】先求出抛物线的标准方程，得焦点 F 的坐标，再设点 P 在准线上的射影为 D， 则根据抛物线的定义可知|PF|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，
19、进而可推断 出当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得 【解答】解：由题意，|MF|的最小值为 3， 3， p6， 抛物线 E：y212x， 抛物线 y212x 的焦点 F 的坐标是（3，0 ） ； 设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|， 要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小， 当 D，P，A 三点共线时|PA|+|PD|最小，为 4（3）7， 故选：B 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当 D，P，A 三 点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键 10 （5 分）如图，F1F2分别
20、为椭圆+1 的左右焦点，点 P 在椭圆上，POF2的面 积为的正三角形，则 b2的值为（ ） A B2 C3 D4 【分析】由POF2的面积为的正三角形，可得，解得 c把 P（1，） 第 13 页（共 24 页） 代入椭圆方程可得：，与 a2b2+4 联立解得即可得出 【解答】解：POF2的面积为的正三角形， ， 解得 c2 P（1，）代入椭圆方程可得：，与 a2b2+4 联立解得：b22 故选：B 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）如图，分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区
21、域， 若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ） A B C D 【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积，而满足 条件的阴影区域，可以通过空白区域面得到，空白区域可以看作是由 8 部分组成，每一 部分是由边长为 的正方形面积减去半径为 的四分之一圆的面积得到 【解答】解：如图，由题意知本题是一个几何概型，设正方形 ABCD 的边长为 2， 试验发生包含的所有事件是矩形面积 S224， 空白区域的面积是 2（4）82， 阴影区域的面积为 4（82）24 由几何概型公式得到 P1， 故选：B 第 14 页（共 24 页） 【点评】本题考查几何概型、等可
22、能事件的概率，且把几何概型同几何图形的面积结合 起来，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文 科会考这种类型的解答 12 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点，A 是 C 的左顶 点，点 P 在过 A 且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】求得直线 AP 的方程：根据题意求得 P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆 的离心率 【解答】解：由题意可知：A（a，0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， 直线 AP 的方程为：y（x+a） ， 由F1F2P120，|P
23、F2|F1F2|2c，则 P（2c，c） ， 代入直线 AP：c（2c+a） ，整理得：a4c， 题意的离心率 e 故选：D 第 15 页（共 24 页） 【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）双曲线1 的离心率为，则 m 等于 9 【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出 【解答】解：双曲线可得 a216，b2m， 又离心率为，则， 解得 m9 故答案为 9 【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键 14 （5 分）已知在A
24、BC 中，D 是 BC 的中点，且，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是 【分析】由题意画出图形，可得三角形 PBC 的面积为三角形 ABC 面积的一半，再由测 度比是面积比得答案 【解答】解：如图， 第 16 页（共 24 页） 由，得 P 为 AD 的中点， 设ABC 的面积为 S，则PBC 的面为S， 黄豆落在PBC 内的概率是 故答案为： 【点评】本题考查了向量相等的概念，考查几何概型的概率，是基础题 15 （5 分）下列有关命题的说法错误的是 若“pq”为假命题，则 p 与 q 均为假命题 “x1”是“x1”的充分不必要条件 若命题 p：xoR，x020，则命
25、题p：xR，x20 “sinx”的必要不充分条件是“x” 【分析】利用复合命题，充要条件以及命题的否定判断选项的正误即可 【解答】解：若“pq”为假命题，则 p 与 q 均为假命题，正确； “x1”可知“x1”反之不成立，所以“x1”是“x1”的的充分不必要条件， 正确； 若命题 p：xoR，x020，则命题p：xR，x20，满足命题的否定形式，正确； “sinx”不能推出“x” ，反之成立，所以“sinx”的充分不必要条件是“x ” ，所以不正确； 故答案为： 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，充要条件等知识， 是基本知识的考查 16 （5 分）已知双曲线（a0，b
26、0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为， 第 17 页（共 24 页） 则 p 2 【分析】求出双曲线（a0，b0）的渐近线方程与抛物线 y22px（p0） 的准线方程， 进而求出 A， B 两点的坐标， 再由双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为， 列出方程，由此方程求出 p 的值 【解答】解：双曲线（a0，b0） ， 双曲线的渐近线方程是 yx 又抛物线 y22px（p0）的准线方程是 x， 故 A，B 两点的纵坐标分别是 y， 又由双曲线的离心率为 2，所以，则， A，B 两点的纵坐标分
27、别是 y， 又AOB 的面积为，x 轴是角 AOB 的角平分线 ，得 p2 故答案为：2 【点评】 本题考查圆锥曲线的共同特征， 解题的关键是求出双曲线的渐近线方程， 解出 A， B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算 量，做题时要严谨，防运算出错 三、解答题： （共三、解答题： （共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知，q：x24x+4m20（m0） ，命题“若p 则q”为假命题，命 题“若q 则p”为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】利用不等式的解法分别解出 p，q由“若 p
28、则 q”假， “若 q 则 p”真，可得 q 为 p 的充分不必要条件，可得 p 为 q 的充分不必要条件 【解答】解：，q：x24x+4m20（m0）2mx2+m 因为“若 p 则 q”假， “若 q 则 p”真，所以 q 为 p 的充分不必要条件， 所以 p 为 q 的充分不必要条件，所以x|0x4x|2mx2+m， 第 18 页（共 24 页） 所以有或， （或写成（等号不能同时成立） ） 解得 m2 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 18某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市” ，现市文明委对甲、乙两地各派 10 名专家进 行打分
29、评优，所得分数情况如下茎叶图所示 （1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数； （2）从乙地所得分数在60，80）间的成绩中随机抽取 2 份做进一步分析，求所抽取的 成绩中，至少有一份分数在75，80）间的概率； （3）在甲、乙两地所得分数超过 90 分的成绩中抽取其中 2 份分析其合理性，求这 2 份 成绩都是来自甲地的概率 【分析】 （1）根据题中的茎叶图中数据分别计算即可； （2）乙地得分种分数在（60，80）间的有 65，72，75，79 四份成绩，分别数出所有的 基本事件个数和至少有一份在（70，80）间的情况包含的基本事件个数，代入古典概型 的概率公式即可；
30、（3）甲乙两地所得分数中超过 90 分的共有 5 份，记甲地中的三份分别为 A，B，C，乙 地中的两份分别为 a，b，列出所有的基本事件，数出基本事件的总数和 2 份成绩都是来 自甲地代入公式即可求得概率 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 得 ， 甲 地 得 分 的 平 均 数 为 ： （77+78+83+85+80+89+88+92+97+99）86.8， 乙地得分的平均数为：（65+72+75+79+82+80+84+86+96+91）81， 乙地得分的中位数为81； （2）由茎叶图可知，乙地得分种分数在（60，80）间的有 65，72，75，79 四份成绩， 第 19 页（共
31、 24 页） 随机抽取 2 份的情况有： （65，72） ， （65，75） ， （65，79， （72，75） ， （72，79） ， （75，79）共 6 种情况， 其中至少有一份分数在（70，80）间的情况有： （65，75） ， （65，79） ， （72，75） ， （72， 79） ， （75，79）共 5 种， 故所求概率 P； （3）甲乙两地所得分数中超过 90 分的共有 5 份，记甲地中的三份分别为 A，B，C，乙 地中的两份分别为 a，b，随机抽取其中的两份，所有情况如下： （A，B0） ， （A，C） ， （B， C） ， （a，b） ， （A，a） ， （A，b） ，
32、（B，a） ， （B，b） ， （C，a） ， （B，c）共 10 种，其中两 份成绩都来自甲地的有三种情况： （A，B） ， （A，C） ， （B，C） ， 故所求概率 P1 【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及概率的有关问题，考查运用统计 知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识属于中档题 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1底面 ABC，且ABC 为正三角形，AA1AB 6，D 为 AC 的中点 （1）求证：直线 AB1平面 BC1D； （2）求证：平面 BC1D平面 ACC1A； （3）求三棱锥 CBC1D 的体积 【分析】 （1）连接 B1C 交 B
33、C1于点 O，连接 OD，则点 O 为 B1C 的中点可得 DO 为 AB1C 中位线，A1BOD，结合线面平行的判定定理，得 A1B平面 BC1D； （2）由 AA1底面 ABC，得 AA1BD正三角形 ABC 中，中线 BDAC，结合线面垂 直的判定定理，得 BD平面 ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面 BC1D 平面 ACC1A； （3）利用等体积转换，即可求三棱锥 CBC1D 的体积 【解答】 （1）证明：连接 B1C 交 BC1于点 O，连接 OD，则点 O 为 B1C 的中点 第 20 页（共 24 页） D 为 AC 中点，得 DO 为AB1C 中位线， A1BOD
34、 OD平面 AB1C，A1B平面 BC1D， 直线 AB1平面 BC1D； （2）证明：AA1底面 ABC， AA1BD， 底面 ABC 正三角形，D 是 AC 的中点 BDAC AA1ACA，BD平面 ACC1A1， BD平面 BC1D，平面 BC1D平面 ACC1A； （3）解：由（2）知，ABC 中，BDAC，BDBCsin603， SBCD， VCBC1DVC1BCD69 【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查 了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题 20PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物
35、（也称可入肺颗粒物） 为了探究 车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 的数据如表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图； （2）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； 第 21 页（共 24 页） （3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ 【分析】 （1）利用描点法可得
36、数据的散点图； （2）根据公式求出 b，a，可写出线性回归方程； （3）根据（2）的性回归方程，代入 x25 求出 PM2.5 的浓度 【解答】解： （1）散点图如图所示（2 分） （ 2 ） ， （ 6分 ） ， ， ，（9 分） 故 y 关于 x 的线性回归方程是：（10 分） （3）当 x25 时，y1.2825+4.8836.8837 所以可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37（12 分） 第 22 页（共 24 页） 【点评】本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以 及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力 21已知椭圆 C 的两个焦点
37、分别为 F1（，0） ，F2（，0） ，且椭圆 C 过点 P（3， 2） （）求椭圆 C 的标准方程； （）与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求PAB 面积的最大值 【分析】 （）由题意设椭圆方程为+1，利用椭圆定义求得 a，结合隐含条件求 得 b，则椭圆方程可求； （）求出 kOP，设与直线 OP 平行的直线方程为 yx+m，联立直线和椭圆方程， 运用韦达定理和判别式大于 0， 以及弦长公式， 点到直线的距离公式和三角形的面积公式， 结合基本不等式即可得到所求最大值 【解答】解： （）由题意设椭圆方程为+1， 椭圆 C 的两个焦点分别为 F1（，0） ， F2（，0） ，
38、且椭圆 C 过点 P（3，2） ， 由椭圆定义可得 2a+6，即 a3， b2a2c28， 则椭圆 C 的标准方程为+1； （）由 kOP， 第 23 页（共 24 页） 设与直线 OP 平行的直线方程为 yx+m， 联立，得 8x2+12mx+9m2720 由判别式144m232（9m272）0，解得 0|m|4 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2m，x1x2， |AB|， 点 O 到直线 AB 的距离为 d|m|， 即有PAB 面积为 S|AB|d 6 当且仅当 9m21449m2，即 m2时，取得最大值 6 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆方程联立，
39、运用韦达定理和弦长公 式，以及点到直线的距离公式，考查计算能力，是中档题 22已知直线 m：y2x16，抛物线 C：y2ax（a0） （1）当抛物线 C 的焦点在直线 m 上时，确定抛物线 C 的方程； （2） 若ABC 的三个顶点都在 （1） 所确定的抛物线 C 上， 且点 A 的纵坐标 y8， ABC 的重心恰在抛物线 C 的焦点上，求直线 BC 的方程 【分析】 （1）把抛物线的焦点（，0）代入 y2x16 可求； 第 24 页（共 24 页） （2）易求 A 的坐标，由重心坐标公式可得，再由平方差法可得直线 BC 斜 率，由分点坐标公式可得中线 AF 与 BC 交点坐标，再由点斜式可得所求直线方程； 【解答】解： （1）抛物线的焦点为（，0） ，代入 y2x16，得 a32 抛物线方程为 y232x （2）yA8，xA2 F（8，0）为ABC 的重心， ，则， 又，（yB+yC） （yByC）32（xBxC）4kBC， 又中线 AF 与 BC 交点坐标 x11，y4， BC 的直线方程为 y+44（x11） ，即 4x+y400 【点评】 该题考查抛物线的方程、 直线与抛物线的位置关系， 考查学生的运算求解能力 涉 及“弦中点”问题，可以考虑“平方差法”解决
