2020届北京市北大附中高三阶段性检测(三模)数学试题(含答案)

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1、 北大附中 2020 届高三阶段性检测 数 学 2020.62020.6 本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无 效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 10 题,每题 4 分,共 40 分。在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项。 1复数 2 1 i (i为虚数单位)的共轭复数是 A. 1i B. 1 i C. 1i D. 1 i 2设集合 13Axx N, 2 1,By yxxR,则AB A. 0,1,2,3 B. 1,2,3 C. 1,3 D. 0,3 3. 设向量(1,1),

2、( 1,3),(2,1) abc,且()abc,则 A3 B. 2 C. 2 D. 3 4. 在 10 1 () x x 的展开式中, 4 x的系数为 A210 B. 120 C. 120 D. 210 5已知平面, 直线,m n满足,mn 则“/ /mn”是 “/ /”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知正项数列 n a中, 1 1a , 2 2a , 222 11 2(2) nnn aaan ,则 6 a等于 A16 B8 C2 2 D4 7. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 2 ,则正视图中的x的值是 A2 B 9 2 C

3、3 2 D3 8.若( )sincosf xxx在, a a上是增函数,则a的最大值是 A 6 B 4 C 3 D 2 9.德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金 分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有 两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角 为 36的等腰三角形(另一种是顶角为 108的等腰三角形)。例如,五角星由五个黄金三角形 与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金ABC 中, 51 2 BC AC .根据这些信 息,可得 sin126 A.1 2 5 4 B.

4、35 8 C. 15 4 D. 45 8 10.甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入第二排的数字,使得第一个数字表明这一排中 0 的数量,第二个数字表明这一排中 1 的数量,第三个数字表明这一排中 2 的数量,依此类 推,最后一个数字表明这一排中 6 的数量。 0 1 2 3 4 5 6 甲说:“第七个数字一定是 0”; 乙说:“这些数字的和是 7,所以第一个数字不能比 3 大”; 丙说:“这七个数字有且只有一种填法” 其中,说法正确的是 A. 甲 B. 乙 C. 甲 乙 D. 甲 乙 丙 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 5 题,每题 5 分,共 25 分。 11双曲线 2

5、 2 1 4 y x 的渐近线方程为_,焦距为_. 12. 设 n S为等比数列 n a的前n项和, 若 1 1a , 且 123 3,2,SSS成等差数列, 则 n a 13. 不恒为常数的函数( )f x的定义域为 R,且 ( )f x为奇函数,(1)f x为偶函数, 写出 一个满足条件的( )f x的解析式_. 14已知函数 2 ,0, ( ) ,0. x x f x xx 若( )(1)5f xf x, 则x的取值范围是_. 15已知曲线C是平面内到定点(0,1)F和定直线:1l y 的距离之和等于3的动点P的轨 迹,则曲线C的一条对称轴方程是_,|PF的最小值是_. 三、解答题共 6

6、 题,共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(本小题共 14 分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,BC PB,平面 PAD平面ABCD,且3PC ,E为棱PC的中点. ()求证:PA 平面ABCD; ()求直线BE与平面PBD所成角的正弦值. 17 (本小题共 14 分) 在ABC中, 3 A ,7a ,_,求AB边上的高 从 21 sin 7 C 2cb 3 3 2 ABC S,这三个条件中任选一个,补充在上面问题 中并作答 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 A B C D P E B D 18.(本小题共 14 分) 某

7、学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛,积分前两名的球队将代表学校 参加上级比赛。选拔赛采用单循环制(每两个队比赛一场) ,胜一场积3分,平一场积1分, 负一场积0分经过三场比赛后,积分状况如下表所示: 甲 乙 丙 丁 积分 名次 甲 3:3 5:3 4:1 7 乙 3:3 1 丙 3:5 0 丁 1:4 0 根据以往的比赛情况统计,乙队与丙队比赛, 乙队胜或平的概率均为 1 4 ,乙队与丁队比 赛,乙队胜、平、负的概率均为 1 3 ,且四个队之间比赛结果相互独立 ()求选拔赛结束后,乙队与甲队并列第 1 名的概率; ()设随机变量为选拔赛结束后乙队的积分,求随机变量的分布列与数学期望

8、; ()在目前的积分情况下,不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何,乙队一定 能代表学校参加上级比赛的概率是多少?说明理由. 19 (本小题共 14 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点( 2,0), (0, 1)AB. ()求椭圆C的方程及其离心率; ()若P为椭圆C上第一象限的点,直线PA交y轴于点M,直线PB交x轴于点N. 求证:四边形MABN的面积S为定值. 20 (本小题共 15 分) 已知函数 1 ( )ln1 (0)f xaxa x . ()讨论函数( )f x的单调性; ()若( )1f xa对(0,)x恒成立,求a的取值范围; ()当 ea

9、 时,关于x的方程 2( ) |( )|0fxb f xc 有 7 个不同实数根,写出 bc的值.(结论不要求证明) 21.(本小题共 14 分) 已知 , i j m n Aa 为m行n列的数表(2,2mn) ,称第i行j列的数 , i j a为数表A 的一个元素. 现给定A中所有元素 , 1 i j a,定义A中第i行最大的数与第二大的数(这两数 可以相等)的比值为 i R,第j列的最大数与第二大的数(两数也可以相等)的比值为 j C, , min , i jij bR C,记 1 AA,由 1 A生成 2, i j m n Ab ,同样的方法,由 2 A生成 3, A 3 A 生成 4

10、A, .为了方便,我们可以把 k A中的 , , i jij aR C记为 , , , i j ki kj k aRC. ()若 1 A如表 1 所示,直接写出 2 A; ()证明: 3 A中一定有一行或者一列为 1; ()若 1 A如表 2 所示,2n,且 12 1. n aaa, 证明:存在, k k A中所有元素都为 1. 1 2 3 6 5 4 1 1 . 1 1 a 2 a . n a 表 1 表 2 北大附中 2020 届高三适应性练习 数学参考答案 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)B (3)A (4)B (5)D (6)D (7)C (

11、8)B (9)C (10)D 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) (11)2 ,2 5yx (12) 1 3n n a (13)( )sin 2 x f x (答案不唯一) (14)(2,) (15) 1 0, 2 x 三、解答题(共 6 小题,共 85 分) (16) (共 14 分) ()证明:在正方形ABCD中,BC AB 因为BC PB,ABPBB, 所以 BC 平面PAB 2 分 因为 PA 平面PAD, 所以 BC PA 3 分 因为 ADBC, 所以 PA AD 又因为平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCD= AD,PA 平面PAD, 所以 PA

12、平面ABCD 6 分 ()解:连接AC,由()知PA 平面ABCD 因为 AC 平面ABCD, 所以 PAAC 因为 3PC , 2AC , 所以 1PA 因为AB,AD,AP两两垂直,如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系 .Axyz 8 分 由题意可得:(0,1,0)B,(1,0,0)D,(1,1,0)C,(0,0,1)P, E(1 2 , 1 2 , 1 2 ) 所以( 1,0,1)DP ,(1, 1,0)BD , 9 分 设平面PBD的一个法向量( , , )x y zn, 则 即 0 0 xz xy 令1x ,得1,1yz 所以 n=(1,1,1) 11 分 所以 1 1 2 co

13、s 33 3 4 B B B nE n, E |n|E | 13 分 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 1 3 14 分 (17) (共 14 分) 解:选择 2 分 写法一: 在ABC 中,由正弦定理 sinsin ac AC ,4 分 得 7 321 27 c 5 分 所以2c 7 分 由余弦定理 222 2cosbacbcA , 9 分 得 2 22 1 22 2 2 7bb . 10 分 2 230bb ,解得3b. 12 分 AB边上的高 33 3 sin3 22 hbA 14 分 解:选择 2 分 写法二: 在ABC 中, 213 sin 72 C 3 分 3 C (0,

14、)或 2 , 3 C () 5 分 z y x A B C D P 因为 3 A ,所以 3 C (0, ) 6 分 22 212 7 cos1sin1() 77 CC 9 分 所以sin sin()sincoscossinBACACAC 11 分 得 3 2 71213 21 sin+ 272714 B 12 分 AB边上的高 3 213 3 sin7 142 haB14 分 解:选择 2 分 在ABC 中,由2cb,得2cb ,3 分 由余弦定理 222 2cosbacbcA ,5 分 得 2 22 1 (2)2 (2) 2 7bbbb . 7 分 化简 2 230bb ,解得1b . 1

15、0 分 AB边上的高 33 3 sin3 22 hbA 14 分 解:选择 2 分 在ABC 中,由 13 3 sin 22 ABC SbcA 4 分 得 133 3 222 bc5 分 所以6bc 6 分 由余弦定理 222 2cosabcbcA ,8 分 得 22 2()2cosbcabcbcA 9 分 2 2 1 ()122 2 71bc. 解得5bc .10 分 所以 2 3 b c 或 3 2 b c 12 分 AB边上的高 3 sin23 2 hbA或 33 3 sin3 22 hbA 14 分 (18) (共 14 分) 解: ()设乙队胜、平、负丙队分别为事件 123 ,A A

16、 A 乙队胜、平、负丁队分别为事件 123 ,B B B 则 123123 111 ()(), ()=()()(). 423 P AP AP AP BP BP B,1 分 设事件C为“选拔赛结束后,乙队与甲队并列第 1 名” , 2 分 由目前比赛积分榜可知,甲队一定是第 1 名,所以“乙队与甲队并列第 1 名”即乙队的积分 为 7 分,即乙队胜丙队和丁队. 所以 11 111 ( )() (). 4312 P CP A P B 4 分 () 随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,5,7. 5 分 33 111 (1)() (); 236 P XP A P B 2332 11111 (2)(

17、) ()+ () ()+; 43234 P XP A P BP A P B 22 111 (3)() (); 4312 P XP A P B 1331 11111 (4)() ()+ () ()+; 43234 P XP A P BP A P B 1221 11111 (5)() ()+ () ()+; 43436 P XP A P BP A P B 11 111 (7)() (). 4312 P XP A P B 随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 7 P 1 6 1 4 1 12 1 4 1 6 1 12 9 分 11111110 ()123457. 641246123 E X

18、10 分 () 乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是 1 4 . 11 分 当乙队积 7 分时,乙队与甲队并列第 1 名,满足题意; 当乙队积 5 分时,丙队或丁队的可能积分为 4,3,2,1,0,乙队一定是第 2 名,满足题意; 当乙队的积分小于 5 分时,丙队或丁队均有可能积分为 6 分,不合题意, 所以,当乙队的积分为 5 分或 7 分时,一定能代表学校参加上级比赛,概率为 111 (7)(5). 1264 P XP X 14 分 (19) (共 14 分) 解:()依题知2,1,ab 2 分 所以 22 3.cab 3 分 所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y , 离心率 3 .

19、2 c e a 5 分 ()设( , ),P m n 则0,0mn, 2 2 1. 4 m n 6 分 所以直线PA的方程为(2). 2 n yx m 7 分 令0,x 得 2 0 2 n y m ,即 2 (0,). 2 n M m 8 分 直线PB的方程为 1 1. n yx m 9 分 令0,y 得0 1 m x n ,即 10 分 所以 1 2 SAN BM 11 分 12 (2)(1) 212 mn nm 2 22 1 (22) 2 (1)(2) 144484 222 1 4488 222 2 mn nm mnmnmn mnmn mnmn mnmn 所以四边形MABN的面积S为定值.

20、 14 分 (20) (共 15 分) ()( )f x的定义域为(0,),且 22 11 ( ) aax fx xxx -2 分 1当0a 时,( )0fx 恒成立,( )f x的单调减区间为(0,),无单调增区间; -4 分 2当0a 时, 令( )0fx 得 1 x a -5 分 当x变化时,( ),( )fxf x随之变化的的情况如下: x 1 (0,) a 1 a 1 ( ,) a ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以( )f x的单调减区间为 1 (0,) a ,单调增区间为 1 (,) a . -7 分 (II) 1当0a 时, 1 1 1 10,e1 a a 所以 所以

21、111 111 1 (e)(1)e1e21 21 aaa faaaa a ,不合题意; -9 分 2当0a 时,由(I)知( )f x在 1 a 处取得最小值, 所以“( )1f xa对(0,)x恒成立”即 1 ( )1fa a -10 分 即ln11aaaa ,得ln0,a 解得(0,1)a. 综上所述,a的取值范围为(0,1). -12 分 (III)1bc . -15 分 (提示,由第二问画出函数|( )|yf x的函数图象,结合二次方程性质可得七个解中有三个 满足|( )|=1f x,有四个满足|( )| (0,1)f x ,将|( )|=1f x代入方程可得1bc ,同时 也可以利用

22、韦达定理得到(0,1)c.) (21) (共 15 分) 解: (I) 2 A如下: -3 分 3 2 3 2 4 3 6 5 6 5 6 5 (II)证明:由定义,1,1 ij RC,行行交换列列交换,行列互换(行换成列,列换成行) 不影响结果. 因此在 1 A中,不妨设 1,11,12,1,11,12,1,1 min,.,., mn RRRRCCC, -5 分 2 A中, 1, ,21,1,11,1 min, jj aRCR,即 2 A中第 1 行元素全为 1,1 R -7 分 2 A中,因此对应的 1,2 1R 所以 3 A中, 1, ,31,2,21,2 min,1 jj aRCR,即

23、第 1 行所有元素全为 1 -8 分 (III)由定义知 k A中第一行均为 1,在 2 A中第 2 行任取相邻的两数, 2, ,22,1,12,1,22,11,1 min,min, jjjj aRCaRC ,11,11jjjj CaCa , 2, ,22,1,2jj aa 因此 2 A中,第 2 行也是不减的顺序, 同理 k A中,第 2 行都是不减的顺序. -10 分 因此 k A中最大的数就是第 2 行最后两数,设其分别为, kkkk u v uv 先考虑 2 A中的最后两个数设为 22 ,u v: 21 1 min, n n n a ua a ,2 11 min, nn n nn aa

24、 va aa , 若 1 1 n n n a a a ,则 22 1 n n a uv a ,即 2 A中最大两数相等,则 3 A中第二行全为 1. 若 1 1 n n n a a a ,则 21 1 n ua , 2 1 n n a v a ,即第二大数不变,最大数缩小, 存在正整数p满足, 1 11 pp nnn aaa , 则在数表 p A中,最大两数为 1 1 1 , n pnp p n a uav a 在数表 1p A 中, 111 111 min,min, nnn pnpn ppp nnn aaa uava aaa 因此 1p A 中,第二行所有数相等, 2p A 中全为 1. 由上面两种情况,存在2kp, k A中所有元素都为 1. -14 分

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