1、 北大附中 2020 届高三阶段性检测 数 学 2020.62020.6 本试卷共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 1复数 2 1 i （i为虚数单位）的共轭复数是 A. 1i B. 1 i C. 1i D. 1 i 2设集合 13Axx N， 2 1,By yxxR，则AB A. 0,1,2,3 B. 1,2,3 C. 1,3 D. 0,3 3. 设向量(1,1),
2、( 1,3),(2,1) abc，且()abc，则 A3 B. 2 C. 2 D. 3 4. 在 10 1 () x x 的展开式中， 4 x的系数为 A210 B. 120 C. 120 D. 210 5已知平面, 直线,m n满足,mn 则“/ /mn”是 “/ /”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知正项数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ， 222 11 2(2) nnn aaan ，则 6 a等于 A16 B8 C2 2 D4 7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3 2 ，则正视图中的x的值是 A2 B 9 2 C
3、3 2 D3 8.若( )sincosf xxx在, a a上是增函数，则a的最大值是 A 6 B 4 C 3 D 2 9.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金 分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有 两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角 为 36的等腰三角形(另一种是顶角为 108的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形 与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中， 51 2 BC AC .根据这些信 息，可得 sin126 A.1 2 5 4 B.
4、35 8 C. 15 4 D. 45 8 10.甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入第二排的数字，使得第一个数字表明这一排中 0 的数量，第二个数字表明这一排中 1 的数量，第三个数字表明这一排中 2 的数量，依此类 推，最后一个数字表明这一排中 6 的数量。 0 1 2 3 4 5 6 甲说：“第七个数字一定是 0”； 乙说：“这些数字的和是 7，所以第一个数字不能比 3 大”； 丙说：“这七个数字有且只有一种填法” 其中，说法正确的是 A. 甲 B. 乙 C. 甲 乙 D. 甲 乙 丙 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。 11双曲线 2
5、 2 1 4 y x 的渐近线方程为_，焦距为_. 12. 设 n S为等比数列 n a的前n项和， 若 1 1a ， 且 123 3,2,SSS成等差数列， 则 n a 13. 不恒为常数的函数( )f x的定义域为 R，且 ( )f x为奇函数，(1)f x为偶函数， 写出 一个满足条件的( )f x的解析式_. 14已知函数 2 ,0, ( ) ,0. x x f x xx 若( )(1)5f xf x, 则x的取值范围是_. 15已知曲线C是平面内到定点(0,1)F和定直线:1l y 的距离之和等于3的动点P的轨 迹，则曲线C的一条对称轴方程是_,|PF的最小值是_. 三、解答题共 6
6、 题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，BC PB，平面 PAD平面ABCD，且3PC ，E为棱PC的中点. （）求证：PA 平面ABCD； （）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值. 17 （本小题共 14 分） 在ABC中， 3 A ，7a ,_，求AB边上的高 从 21 sin 7 C 2cb 3 3 2 ABC S,这三个条件中任选一个，补充在上面问题 中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 A B C D P E B D 18.（本小题共 14 分） 某
7、学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校 参加上级比赛。选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场） ，胜一场积3分，平一场积1分， 负一场积0分经过三场比赛后，积分状况如下表所示： 甲 乙 丙 丁 积分 名次 甲 3：3 5：3 4：1 7 乙 3：3 1 丙 3：5 0 丁 1：4 0 根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛， 乙队胜或平的概率均为 1 4 ，乙队与丁队比 赛，乙队胜、平、负的概率均为 1 3 ，且四个队之间比赛结果相互独立 （）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第 1 名的概率； （）设随机变量为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量的分布列与数学期望
8、； （）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定 能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由. 19 （本小题共 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点( 2,0), (0, 1)AB. （）求椭圆C的方程及其离心率； （）若P为椭圆C上第一象限的点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N. 求证：四边形MABN的面积S为定值. 20 （本小题共 15 分） 已知函数 1 ( )ln1 (0)f xaxa x . （）讨论函数( )f x的单调性； （）若( )1f xa对(0,)x恒成立，求a的取值范围； （）当 ea
9、 时，关于x的方程 2( ) |( )|0fxb f xc 有 7 个不同实数根，写出 bc的值.(结论不要求证明) 21.（本小题共 14 分） 已知 , i j m n Aa 为m行n列的数表（2,2mn） ，称第i行j列的数 , i j a为数表A 的一个元素. 现给定A中所有元素 , 1 i j a，定义A中第i行最大的数与第二大的数（这两数 可以相等）的比值为 i R，第j列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为 j C， , min , i jij bR C，记 1 AA，由 1 A生成 2, i j m n Ab ，同样的方法，由 2 A生成 3, A 3 A 生成 4
10、A， .为了方便，我们可以把 k A中的 , , i jij aR C记为 , , , i j ki kj k aRC. （）若 1 A如表 1 所示，直接写出 2 A； （）证明： 3 A中一定有一行或者一列为 1； （）若 1 A如表 2 所示，2n，且 12 1. n aaa， 证明：存在, k k A中所有元素都为 1. 1 2 3 6 5 4 1 1 . 1 1 a 2 a . n a 表 1 表 2 北大附中 2020 届高三适应性练习 数学参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）D （2）B （3）A （4）B （5）D （6）D （7）C （
11、8）B （9）C （10）D 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） （11）2 ,2 5yx （12） 1 3n n a （13）( )sin 2 x f x （答案不唯一） （14）(2,) （15） 1 0, 2 x 三、解答题（共 6 小题，共 85 分） （16） （共 14 分） （）证明：在正方形ABCD中，BC AB 因为BC PB，ABPBB， 所以 BC 平面PAB 2 分 因为 PA 平面PAD， 所以 BC PA 3 分 因为 ADBC， 所以 PA AD 又因为平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCD= AD，PA 平面PAD， 所以 PA
12、平面ABCD 6 分 （）解：连接AC，由（）知PA 平面ABCD 因为 AC 平面ABCD， 所以 PAAC 因为 3PC ， 2AC ， 所以 1PA 因为AB，AD，AP两两垂直，如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系 .Axyz 8 分 由题意可得：(0,1,0)B，(1,0,0)D，(1,1,0)C，(0,0,1)P, E(1 2 , 1 2 , 1 2 ) 所以( 1,0,1)DP ，(1, 1,0)BD ， 9 分 设平面PBD的一个法向量( , , )x y zn， 则 即 0 0 xz xy 令1x ，得1,1yz 所以 n=(1,1,1) 11 分 所以 1 1 2 co
13、s 33 3 4 B B B nE n, E |n|E | 13 分 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 1 3 14 分 （17） （共 14 分） 解：选择 2 分 写法一： 在ABC 中，由正弦定理 sinsin ac AC ，4 分 得 7 321 27 c 5 分 所以2c 7 分 由余弦定理 222 2cosbacbcA ， 9 分 得 2 22 1 22 2 2 7bb . 10 分 2 230bb ，解得3b. 12 分 AB边上的高 33 3 sin3 22 hbA 14 分 解：选择 2 分 写法二： 在ABC 中， 213 sin 72 C 3 分 3 C （0，
14、）或 2 , 3 C （） 5 分 z y x A B C D P 因为 3 A ,所以 3 C （0， ） 6 分 22 212 7 cos1sin1() 77 CC 9 分 所以sin sin()sincoscossinBACACAC 11 分 得 3 2 71213 21 sin+ 272714 B 12 分 AB边上的高 3 213 3 sin7 142 haB14 分 解：选择 2 分 在ABC 中，由2cb，得2cb ，3 分 由余弦定理 222 2cosbacbcA ，5 分 得 2 22 1 (2)2 (2) 2 7bbbb . 7 分 化简 2 230bb ，解得1b . 1
15、0 分 AB边上的高 33 3 sin3 22 hbA 14 分 解：选择 2 分 在ABC 中，由 13 3 sin 22 ABC SbcA 4 分 得 133 3 222 bc5 分 所以6bc 6 分 由余弦定理 222 2cosabcbcA ，8 分 得 22 2()2cosbcabcbcA 9 分 2 2 1 ()122 2 71bc. 解得5bc .10 分 所以 2 3 b c 或 3 2 b c 12 分 AB边上的高 3 sin23 2 hbA或 33 3 sin3 22 hbA 14 分 （18） （共 14 分） 解： （）设乙队胜、平、负丙队分别为事件 123 ,A A
16、 A 乙队胜、平、负丁队分别为事件 123 ,B B B 则 123123 111 ()(), ()=()()(). 423 P AP AP AP BP BP B，1 分 设事件C为“选拔赛结束后，乙队与甲队并列第 1 名” ， 2 分 由目前比赛积分榜可知，甲队一定是第 1 名，所以“乙队与甲队并列第 1 名”即乙队的积分 为 7 分，即乙队胜丙队和丁队. 所以 11 111 ( )() (). 4312 P CP A P B 4 分 （） 随机变量的所有可能取值为1,2,3,4,5,7. 5 分 33 111 (1)() (); 236 P XP A P B 2332 11111 (2)(
17、) ()+ () ()+; 43234 P XP A P BP A P B 22 111 (3)() (); 4312 P XP A P B 1331 11111 (4)() ()+ () ()+; 43234 P XP A P BP A P B 1221 11111 (5)() ()+ () ()+; 43436 P XP A P BP A P B 11 111 (7)() (). 4312 P XP A P B 随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 7 P 1 6 1 4 1 12 1 4 1 6 1 12 9 分 11111110 ()123457. 641246123 E X
18、10 分 （） 乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是 1 4 . 11 分 当乙队积 7 分时，乙队与甲队并列第 1 名，满足题意； 当乙队积 5 分时，丙队或丁队的可能积分为 4，3，2，1，0，乙队一定是第 2 名，满足题意； 当乙队的积分小于 5 分时，丙队或丁队均有可能积分为 6 分，不合题意， 所以，当乙队的积分为 5 分或 7 分时，一定能代表学校参加上级比赛，概率为 111 (7)(5). 1264 P XP X 14 分 （19） （共 14 分） 解：（）依题知2,1,ab 2 分 所以 22 3.cab 3 分 所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y ， 离心率 3 .
19、2 c e a 5 分 （）设( , ),P m n 则0,0mn， 2 2 1. 4 m n 6 分 所以直线PA的方程为(2). 2 n yx m 7 分 令0,x 得 2 0 2 n y m ，即 2 (0,). 2 n M m 8 分 直线PB的方程为 1 1. n yx m 9 分 令0,y 得0 1 m x n ，即 10 分 所以 1 2 SAN BM 11 分 12 (2)(1) 212 mn nm 2 22 1 (22) 2 (1)(2) 144484 222 1 4488 222 2 mn nm mnmnmn mnmn mnmn mnmn 所以四边形MABN的面积S为定值.
20、 14 分 （20） （共 15 分） （）( )f x的定义域为(0,)，且 22 11 ( ) aax fx xxx -2 分 1当0a 时，( )0fx 恒成立，( )f x的单调减区间为(0,)，无单调增区间； -4 分 2当0a 时， 令( )0fx 得 1 x a -5 分 当x变化时，( ),( )fxf x随之变化的的情况如下： x 1 (0,) a 1 a 1 ( ,) a ( )fx 0 ( )f x 极小值 所以( )f x的单调减区间为 1 (0,) a ，单调增区间为 1 (,) a . -7 分 （II） 1当0a 时， 1 1 1 10,e1 a a 所以 所以
21、111 111 1 (e)(1)e1e21 21 aaa faaaa a ，不合题意； -9 分 2当0a 时，由（I）知( )f x在 1 a 处取得最小值， 所以“( )1f xa对(0,)x恒成立”即 1 ( )1fa a -10 分 即ln11aaaa ，得ln0,a 解得(0,1)a. 综上所述，a的取值范围为(0,1). -12 分 （III）1bc . -15 分 (提示，由第二问画出函数|( )|yf x的函数图象，结合二次方程性质可得七个解中有三个 满足|( )|=1f x，有四个满足|( )| (0,1)f x ，将|( )|=1f x代入方程可得1bc ，同时 也可以利用
22、韦达定理得到(0,1)c.) （21） （共 15 分） 解： （I） 2 A如下： -3 分 3 2 3 2 4 3 6 5 6 5 6 5 （II）证明：由定义，1,1 ij RC，行行交换列列交换，行列互换（行换成列，列换成行） 不影响结果. 因此在 1 A中，不妨设 1,11,12,1,11,12,1,1 min,.,., mn RRRRCCC， -5 分 2 A中， 1, ,21,1,11,1 min, jj aRCR，即 2 A中第 1 行元素全为 1,1 R -7 分 2 A中，因此对应的 1,2 1R 所以 3 A中， 1, ,31,2,21,2 min,1 jj aRCR，即
23、第 1 行所有元素全为 1 -8 分 （III）由定义知 k A中第一行均为 1，在 2 A中第 2 行任取相邻的两数， 2, ,22,1,12,1,22,11,1 min,min, jjjj aRCaRC ,11,11jjjj CaCa ， 2, ,22,1,2jj aa 因此 2 A中，第 2 行也是不减的顺序， 同理 k A中，第 2 行都是不减的顺序. -10 分 因此 k A中最大的数就是第 2 行最后两数，设其分别为, kkkk u v uv 先考虑 2 A中的最后两个数设为 22 ,u v： 21 1 min, n n n a ua a ，2 11 min, nn n nn aa
24、 va aa ， 若 1 1 n n n a a a ，则 22 1 n n a uv a ，即 2 A中最大两数相等，则 3 A中第二行全为 1. 若 1 1 n n n a a a ，则 21 1 n ua ， 2 1 n n a v a ，即第二大数不变，最大数缩小， 存在正整数p满足， 1 11 pp nnn aaa ， 则在数表 p A中，最大两数为 1 1 1 , n pnp p n a uav a 在数表 1p A 中， 111 111 min,min, nnn pnpn ppp nnn aaa uava aaa 因此 1p A 中，第二行所有数相等， 2p A 中全为 1. 由上面两种情况，存在2kp， k A中所有元素都为 1. -14 分
