1、第 1页（共 4页） 20192020 学年度联考理科数学试卷学年度联考理科数学试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1i是虚数单位，若复数z满足izi1，则复数z的实部与虚部的和是（） A0B1C2D3 2已知集合4 ,aA ，, 2 2 aB ，且4BA，则BA（） A4 , 2B4 , 2C4 , 2 , 2D4 , 2 , 4 3中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个问题： “三百七十八里关，出行健步不为
2、难， 次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。 ”其大意是： “有一人走 了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到 达目的地。 ”此人第二天走了（） A76里B96里C146里D188里 4在长为cm16的线段MN上任取一点P，以NPMP,为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于 2 60cm的概率为（） A 4 1 B 2 1 C 3 1 D 4 3 5已知函数 2 )ln()(xeexf xx ，则使得)3()2(xfxf成立的x的取值范围是（） A)3 , 1(B), 3()3,(C)3 , 3(D), 3() 1,( 6已
3、知函数)2sin(3)2cos()(xxxf) 2 |(| 的图象向右平移 12 个单位后关于y轴 对称，则)(xf在区间0 , 2 上的最小值为（） A1B3C3D2 7已知 2017 2017 2 210 2017 ) 1() 1() 1()21 (xaxaxaax)(Rx， 则 201720164321 20172016432aaaaaa等于（） A2017B4034C4034D0 8函数x e xf x sin) 1 1 2 ()( 的图象大致形状为（） ABCD 第 2页（共 4页） 9 如图， 圆锥的高2PO， 底面O的直径2AB，C是圆上一点， 且30CAB， D为AC的中点，则
4、直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为（） A 2 1 B 2 3 C 3 2 D 3 1 10中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点，90OPA， 则该椭圆的离心率e的取值范围是（） A) 1 , 2 1 B) 1 , 2 2 (C) 3 6 , 2 1 D) 2 2 , 0( 11在ABCRt中，90A，点D是BC边上的动点，且3|AB，4|AC， )0,(ACABAD，则当取得最大值时，| AD的值为（） A 2 7 B3C 5 12 D 2 5 12在正方体中 1111 DCBAABCD（如图） ，已知点P在直线 1 BC上运动，则下列四个命题： 三棱锥BCD
5、A 1 的体积不变； 直线AP与平面 1 ACD所成的角的大小不变； 二面角CADP 1 的大小不变； M是平面 1111 DCBA内到点D和 1 C距离相等的点，则M点的轨迹是直线 11D A 其中正确命题的编号是（） ABCD 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。 ）分。 ） 13设ykxz，其中实数yx,满足 042 042 2 yx yx x ，若z的最大值为12，则实数k 14若数列 n a的首项2 1 a，且*)(23 1 Nnaa nn ；令) 1(log3 nn ab， 则 10021 bbb 15设F为抛物线C：xy
6、4 2 的焦点，过F的直线l与C相交于BA,两点，线段AB的垂直平分 线交x轴于点M，若6|AB，则| FM的长为 16李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜和桃，价格依次 为 60 元/盒，65 元/盒，80 元/盒，90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销，一次购 买水果的总价达到 120 元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付 第 3页（共 4页） 费的%80当10x时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付元；在促销活动 中，为保证李明每笔订单得到金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为元 （第一 空 2 分，第二空
7、3 分） 三解答题（共三解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；第 1721 为必考题，每个试题 考生都必须作答；第 为必考题，每个试题 考生都必须作答；第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答） 17 （12 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另 一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*” 表示服药者， “+”表示未服药者 从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于 60 的概率； 从图
8、中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于7 . 1的人数， 求的分布列和数学期望)(E； 试判断这 100 名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者批标y数据的方差的大小（只需 写出结论） 18 （12 分）已知函数 2 1 sincos)( 22 xxxf，), 0(x 求)(xf的单调递增区间； 设ABC为锐角三角形，角A所对的边19a，角B所对的边5b若0)(Af， 求ABC的面积 19 （12 分）在四棱锥ABCDP 中，PA平面ABCD，BCAD/，42ADBC， 10 CDAB 证明：BD平面PAC； 若二面角DPCA的大小为60，求AP的值 第 4页
9、（共 4页） 20 （12 分）已知椭圆C：)0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 的上、下两个焦点分别为 1 F， 2 F，过点 1 F与y轴 垂直的直线交椭圆C于NM,两点， 2 MNF的面积为3，椭圆的离心率为 2 3 求椭圆C的标准方程； 已知O为坐标原点，直线l：mkxy与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的 点，若存在实数，使得OPOBOA4，求实数m的取值范围 21 （12 分）已知函数2ln) 1()(axxxxf 若函数)(xf在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围； 求证：) 1ln( 2 1 12 1 7 1 5 1 3 1 n n ，*Nn 请考生在第
10、 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （10 分）已知直线l的参数方程为 ty tx 33 21 （t为参数） ，以原点为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是0cos3sin2 求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程； 求直线l与曲线C交点的极坐标)20 , 0( 23 （10 分）已知函数txxxf| 1|5|)(的定义域为R 求实数t的取值范围； 若t的最小值为s，正实数ba,满足s baba 2 1 2 2 ，求ba54 的最小值 联考理科数学参考答案与评
11、分标准第联考理科数学参考答案与评分标准第 1页（共页（共 5页）页） 20192020 学年度联考理科数学参考答案与评分标准学年度联考理科数学参考答案与评分标准 一选择题CACBDDCCBADC，：121 二填空题13214505015316130，15 三解答题 17由题图知，在服药的 50 名患者中，指标y的值小于 60 的有 15 人， 从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于 60 的概率为3 . 0 50 15 （4 分） 由题图知，DCBA,四人中，指标x的值大于7 . 1的有2人：A和C 的所有可能取值为2 , 1 , 0（5 分） 6 1 )0( 2 4 2 2
12、 C C P， 3 2 ) 1( 2 4 1 2 1 2 C CC P， 6 1 )2( 2 4 2 2 C C P（8 分） 的分布列为 的期望1 6 1 2 3 2 1 6 1 0)(E （10 分） 在这 100 名患者中， 服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差 （12 分） 18 2 1 2cos 2 1 sincos)( 22 xxxxf（1 分） 由kxk222，Zk ，得 kxk 2 ，Zk （3 分） 又), 0(x，)(xf的单调递增区间为), 2 （4 分） 由0)(Af，得0 2 1 2cosA， 2 1 2cosAA为锐角， 3 A（6 分） 由余弦定理可
13、知，Abccbacos2 222 将5,19ba代入并整理得065 2 cc，解得3c或2c（8 分） 又ABC为锐角三角形，0 2 cos 222 ac bca B，0c 即02519 2 c，即6c，3c（10 分） 0 12 P 6 1 3 2 6 1 联考理科数学参考答案与评分标准第联考理科数学参考答案与评分标准第 2页（共页（共 5页）页） 再根据正弦定理得 4 315 2 3 35 2 1 sin 2 1 AbcS ABC （12 分） 19证明：设O为AC与BD的交点，作BCDE 于点E 由四边形ABCD是等腰梯形得 1 2 ADBC CE，3 22 CEDCDE（2 分） DE
14、BE ，从而得45BCADBC 90BOC，即BDAC （4 分） 由PA平面ABCD得BDPA APAAC，BD平面PAC（5 分） 由知BDAC 以O为原点，OCOB,所在直线为yx,轴，建立空间 直角坐标系xyzO，如图所示由题意知各点坐标如下： )0 ,2, 0( A，)0 , 0 ,22(B，)0 ,22 , 0(C，)0 , 0 ,2(D（7 分） 由PA平面ABCD得zPA/轴，故设点)0)(,2, 0(ttP )0 ,22,2(CD，),2,2(tPD（8 分） 设),(zyxm 为平面PDC的法向量 由CDmPDm,得 022 0222 tzyx yx 取1y，得) 23 ,
15、 1 , 2( t m（10 分） 又平面PAC的法向量为)0 , 0 , 1 (n，于是 2 1 18 5 2 | | |,cos| 2 t nm nm nm 解得 11 223 t， 即 11 223 AP （12 分） 20根据已知设椭圆的焦距为c2当cy 时， a b xxMN 2 21 2 |（1 分） 由题意得 2 MNF的面积3 2 | 2 1 2 21 a cb MNcFFMN（2 分） 联考理科数学参考答案与评分标准第联考理科数学参考答案与评分标准第 3页（共页（共 5页）页） 又 2 3 a c ，解得4, 1 22 ab（3 分） 椭圆C的标准方程是1 4 2 2 y x
16、 （4 分） 当0m时，则)0 , 0(P，由椭圆的对称性得PBAP ，即0OBOA 当0m时，存在实数1，使OPOBOA4（5 分） 当0m时，由OPOBOA4得OBOAOP 44 1 PBA,三点共线，41，3，PBAP3（6 分） 设),(),( 2211 yxByxA由 044 22 yx mkxy 得042)4( 222 mmkxxk 由已知得0)4)(4(44 2222 mkkm，即04 22 mk 且 4 4 , 4 2 2 2 21 2 21 k m xx k km xx（8 分） 由PBAP3得 21 3xx，04)(3 21 2 21 xxxx 0 4 )4(4 )4( 1
17、2 2 2 22 22 k m k mk ,04 2222 kmkm 显然1 2 m不成立， 1 4 2 2 2 m m k（9 分） 04 22 mk，04 1 4 2 2 2 m m m ，即0 1 )4( 2 22 m mm 解得12m或21 m（11 分） 综上所述，m的取值范围为0)2 , 1 () 1, 2(（12 分） 21)0(1 1 ln)(xa x xxf（1 分） 函数)(xf在定义域上单调递减时，0)( x f， x x xa 1 ln 令 x x xxg 1 ln)( ，则 2 1 )( x x xg )(xg在), 1 ( 上为增函数，无最大值，不成立（3 分） 联
18、考理科数学参考答案与评分标准第联考理科数学参考答案与评分标准第 4页（共页（共 5页）页） 函数)(xf在定义域上单调递增时， x x xa 1 ln 令 x x xxg 1 ln)( ，则 2 1 )( x x xg ，0x )(xg在) 1 , 0(上单调递减，在), 1 ( 上单调递增 2) 1 ()( gxg， 故a的取值范围是2 ,( （5 分） 证明：由得当2a时)(xf在), 1 ( 上单调递增 由1),1 ()(xfxf得022ln) 1(xxx 即 1 ) 1(2 ln x x x在), 1 ( 上总成立（7 分） 令 n n x 1 得 1 1 ) 1 1 (2 1 ln
19、n n n n n n ，化简得 12 2 ln) 1ln( n nn（9 分） 12 2 ln) 1ln(, 14 2 2ln3ln, 12 2 1ln2ln n nn 累加得 12 2 5 2 3 2 1ln) 1ln( n n（11 分） 即*),1ln( 2 1 12 1 7 1 5 1 3 1 Nnn n ，命题得证（12 分） 22直线l的参数方程为 ty tx 33 21 （t为参数） ，普通方程为09323yx 直线l的极坐标方程为09sin32cos3（2 分） 曲线C的极坐标方程是0cos3sin2，即cos3sin2 2 曲线C的直角坐标方程为xy3 2 （5 分） 两极
20、坐标方程联立，可得09sin32sin2 2 ， 33sin或3，即 9 33 x y 或 1 3 x y （7 分） 交点坐标为)33 , 9(，)3, 1 ( （8 分） 直线l与曲线C交点的极坐标为) 3 5 , 2(), 6 , 36( （10 分） 联考理科数学参考答案与评分标准第联考理科数学参考答案与评分标准第 5页（共页（共 5页）页） 23研究函数| 1|5|xxy，当5x时，6y；当1x时，6y；（1 分） 当15x时，)6 , 6(42 xy（2 分） 故函数| 1|5|xxy的值域为6 , 6 （3 分） 函数txxxf| 1|5|)(的定义域为R 被开方数的式子恒大于等于0，故6t（5 分） 由知正实数ba,满足6 2 1 2 2 baba 令nbamba2 ,2，则正数nm,满足6 12 nm （6 分） 则) 12 )(2( 6 1 254 nm nmnmba （8 分） 2 3 ) 22 25( 6 1 ) 22 5( 6 1 n m m n n m m n （9 分） 当且仅当 n m m n22 即 2 1 nm时取等号，此时 6 1 ba 故ba54 的最小值是 2 3 （10 分）
