1、西城区高三模拟测试数学西城区高三模拟测试数学试卷试卷 2020.6 本试卷共 6 页， 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将条形码贴在答题卡规定处， 并将答案写在答题卡上， 在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项 1设全集UR，集合 |2, |1Ax xBx x，则集合 UA B（ ） A(,2) B2,) C(1,2) D(,1)2,) 2设复数1zi ，则 2 z （ ） A2i B2i C22i D22i 3焦点在 x 轴
2、的正半轴上，且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是（ ） A 2 4xy B 2 4yx C 2 8xy D 2 8yx 4在锐角ABC中，若2,3, 6 abA ，则cosB （ ） A 3 4 B 3 4 C 7 4 D 3 3 4 5函数 1 ( )f xx x 是（ ） A奇函数，且值域为(0,) B奇函数，且值域为 R C偶函数，且值域为(0,) D偶函数，且值域为 R 6圆 22 4210xyxy 截 x 轴所得弦的长度等于（ ） A2 B2 3 C2 5 D4 7设 a，b，c 为非零实数，且abc，则（ ） Aabbc B 111 abc C2abc D以上三个选项都不
3、对 8设向量a，b满足 1 | | 1, 2 aba b,则|()axbxR的最小值为( ) A 5 2 B 3 2 C1 D2 9设 n a为等比数列，则“对于任意的 * 2 , mm mN aa ”是“ n a为递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 10佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效因地方习 俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目 图 1 的ABCD由六个正三角形构成将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中，棱AB与CD所在
4、直线的位置关系为（ ） A平行 B相交 C异面且垂直 D异面且不垂直 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11在 6 (1 5 ) x的展开式中，x 的系数为_ 12在等差数列 n a中，若 125 16,1aaa，则 1 a _；使得数列 n a前 n 项的和 n S取到最 大值的n _ 13某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_ 14能说明“若(2)0m n ，则方程 22 1 2 xy mn 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m，n 的 值是_ 15已知函数( )f x的定义域为 R，满足(2)2 ( )f xf
5、 x，且当(0,2x时，( )23 x f x 有以下三个结论： 1 ( 1) 2 f ； 当 1 1 , 4 2 a 时，方程( )f xa在区间 4,4上有三个不同的实根； 函数( )f x有无穷多个零点，且存在一个零点bZ 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 14 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 1 CC 底面,ABC ACBC D是 11 AC的中点， 且 1 2ACBCAA （）求证： 1/ / BC平面 1 AB D； （）求直线BC与平面 1 AB D所成角的
6、正弦值 17 （本小题满分 14 分） 已知函数( )sin()0,0,0 2 f xAxA 同时 满足下列四个条件中的三个： 最小正周期为；最大值为 2；(0)1f ；0 6 f （）给出函数( )f x的解析式，并说明理由； （）求函数( )f x的单调递增区间 18 （本小题满分 14 分） 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计， 小型视频会议软件下载量前 6 名的依次为 A，B，C，D，E，F 在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样 调查，统计得到这 6 款软件的下载量 W（单位：
7、人次）与使用量 U（单位：人次） ，数据用柱状图表示如下： 定义软件的使用率 U t W ，当0.9t时，称该款软件为“有效下载软件” 调查公司以调查得到的使用率 t 作为实际中该款软件的使用率 （）在这 6 款软件中任取 1 款，求该款软件是“有效下载软件”的概率； （）从这 6 款软件中随机抽取 4 款，记其中“有效下载软件”的数量为 X，求 X 的分布列与数学期望； （）将（）中概率值记为 x%对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有 x%的 软件为“有效下载软件”？说明理由 19 （本小题满分 15 分） 设函数( )lnf xaxx，其中aR曲线( )yf x在点(1
8、,(1)f处的切线经过点(3,2) （）求 a 的值； （）求函数( )f x的极值； （）证明： 2 ( ) x x f x ee 20 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 经过点(0,1)C，离心率为 3 2 O 为坐标原点 （）求椭圆 E 的方程； （）设 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，D 为椭圆 E 上一点（不在坐标轴上） ，直线CD交 x 轴于点 P， Q 为直线AD上一点，且4OP OQ，求证：C，B，Q 三点共线 21 （本小题满分 14 分） 如图， 表 1 是一个由40 20个非负实数组成的 40 行 20 列的数表， 其中
9、 , (1,2,40;1,2,20) m n amn 表示位于第 m 行第 n 列的数将表 1 中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所 在的列的位置） ，得到表 2（即 ,1,i jij bb，其中1,2,39;1,2,20ij） 表 1 1 1 ,a 1,2 a 1,20 a 2,1 a 2,2 a 2,20 a 40,1 a 40,2 a 40,20 a 表 2 1 1 ,b 1 2 ,b 1 20 ,b 2 1 ,b 2 2 ,b 2,20 b 40,1 b 40,2 b 40,20 b （） 判断是否存在表1， 使得表2中的 , (1,2,40;1,2,20) i
10、 j bij等于100ij ？等于2 j i 呢？ （结论不需要证明） （）如果 40,20 1b，且对于任意的1,2,39;1,2,20ij，都有 ,1, 1 i jij bb成立，对于任意的 1,2,40;1,2,19mn，都有 ,1 2 m nm n bb 成立，证明： 1,1 78b ； （ ） 若 , 1, 2, 2 0 1 9 (1, 2 , 4 0 ) iii aaai， 求 最 小 的 正 整 数 k ， 使 得 任 给i k， 都 有 , 1, 2, 2 0 19 iii bbb成立 西城区高三模拟测试数学参考答案西城区高三模拟测试数学参考答案 2020.6 一、选择题：本大
11、题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 1D 2A 3D 4C 5B 6B 7C 8B 9C 10B 二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分 1130 129，5 134 54 14答案不唯一如3,1mn 15 注：第 12 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分其他正确解答过程，请参照评分标准给分 16 （本小题满分 14 分） 解： （）如图，连接 1 AB设 11 ABABE，并连接DE 由三棱柱 111 ABCABC，得 1 AEBE 2 分 又因
12、为 D 是 11 AC的中点， 所以 1/ / BCDE 4 分 4 又因为 1 BC 平面 1 ,AB D DE 平面 1 AB D， 所以 1/ / BC平面 1 AB D 6 分 （）因为 1 CC 底面ABC，ACBC， 所以 1 ,CACB CC两两垂直，故分别以 1 ,CACB CC为 x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 7 分 则 1 (0,0,0), (0,2,0), (2,0,0),(0,2,2),(1,0,2)CBABD， 所以 11 ( 2,2,2),(1, 2,0),(0, 2,0)ABBDBC ， 8 分 设平面 1 AB D的法向量( , , )nx
13、y z， 由 11 0,0AB nBD n，得 2220, 20, xyz xy 令1y ，得(2,1,1)n 11 分 设直线BC与平面 1 AB D所成的角为， 则 6 sin|cos,| 6| | BC n BC n BCn ， 所以直线BC与平面 1 AB D所成角的正弦值为 6 6 14 分 17 （本小题满分 14 分） 解： （）若函数( )f x满足条件， 则(0)sin1fA ， 这与0,0 2 A 矛盾，故( )f x不能满足条件， 所以函数( )f x只能满足条件， 2 分 由条件，得 2 | ， 又因为0，所以2 4 分 由条件，得2A 5 分 由条件，得2sin0 6
14、3 f ， 又因为0 2 ，所以 3 所以( )2sin 2 3 f xx 8 分 （）由222, 232 kxkkZ 剟， 10 分 得 5 1212 kx k 剟， 12 分 所以函数( )f x的单调递增区间为 5 , 1212 kkkZ 14 分 （注：单调区间写成开区间亦可 ） 18 （本小题满分 14 分） 解： （）根据数据，可得软件 A，B，C，D，E，F 的使用率 918469546463 0.9,0.9,0.9,0.9,0.9,0.9 969185746965 ABCDEF tttttt 所以软件 A，B，E，F 为“有效下载软件” 2 分 记事件 M 为“在 6 款软件中
15、任取 1 款，该款软件是有效下载软件” ， 3 分 则事件 M 的概率 42 () 63 P M 4 分 （）随机变量 X 的可能取值为 2，3，4 5 分 则 22314 42424 444 666 281 (2), (3), (4) 51515 C CC CC P XP XP X CCC 8 分 所以随机变量 X 的分布列为： X 2 3 4 P 2 5 8 15 1 15 9 分 所以随机变量 X 的数学期望 2818 234 515153 EX 10 分 （）不能认为大约有 x%的软件为“有效下载软件” 理由如下： 若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载
16、软件”的频率，即是用样本估 计总体 用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取 但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前 6 名”的软件， 不是从所有软件中随机抽取 6 款作为样本 故不能认为大约有 x%的软件为“有效下载软件” 14 分 19 （本小题满分 15 分） 解： （）由( )lnf xaxx，得( )lnfxaxa ， 2 分 则(1)0,(1)ffa 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线为(1)ya x 4 分 将点(3,2)代入切线方程，得1a 5 分 （）由题意，得( )ln ,( )ln1f xxx fxx 令( )
17、0fx ，得 1 x e 随着 x 变化，( )fx 与( )f x的变化情况如下表所示： x 1 0, e 1 e 1 , e ( )fx - 0 + ( )f x 极小值 所以函数( )f x在 1 0, e 上单调递减，在 1 , e 上单调递增 9 分 所以函数( )f x存在极小值，且极小值为 11 f ee ；函数( )f x不存在极大值 10 分 （） “ 2 ( ) x x f x ee ”等价于“ 2 ln0 x x xx ee ” 11 分 由（） ，得 1 ( )lnf xxx e （当且仅当 1 x e 时等号成立） 所以 21 ln xx xx xx eeee 故只要
18、证明 1 0 x x ee 即可（需验证等号不同时成立） 12 分 设 1 ( ),(0,) x x g xx ee ，则 1 ( ) x x g x e 13 分 因为当(0,1)x时， 1 ( )0 x x g x e ；当(1,)x时， 1 ( )0 x x g x e ， 所以函数( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 所以( )(1)0g xg（当且仅当1x 时等号成立） 因为两个不等式中的等号不同时成立， 所以当(0,)x时， 2 ( ) x x f x ee 15 分 20 （本小题满分 14 分） 解： （）由题意，得 3 1, 2 c b a 2 分 又因为
19、 222 abc， 3 分 所以2,3ac 故椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 x y 5 分 （）( 2,0), (2,0)AB 设 0000 ,0D x yx y ，则 2 2 0 0 1 4 x y 6 分 所以直线CD的方程为 0 0 1 1 y yx x ， 7 分 令0y ，得点 P 的坐标为 0 0 ,0 1 x y 8 分 设, QQ Q xy，由4OP OQ，得 0 0 4 1 Q y x x （显然2 Q x ） 9 分 直线AD的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 10 分 将 Q x代入，得 000 00 442 2 Q yyx y xx ，即 0000 0
20、00 4 1442 , 2 yyyx Q xxx 11 分 故直线BQ的斜率存在，且 000 000 442 22442 Q BQ Q yyyx k xxyx 12 分 2 0000 2 0000 22 424 yyx y xx yy 2 0000 2 0000 221 4242 yyx y yx yy 13 分 又因为直线BC的斜率 1 2 BC k ， 所以 BCBQ kk，即 C，B，Q 三点共线 14 分 21 （本小题满分 14 分） 解： （）存在表 1，使得 , 100 i j bij ；不存在表 1，使得 , i j b等于2 j i 3 分 （）因为对于任意的1,2,39;1
21、,2,20ij，都有 ,1, 1 i jij bb， 所以 1,202,202,203,2039,2040,20 1,1,1bbbbbb厖?， 所以 1,202,202,203,2039,2040,20 39bbbbbb， 即 1,2040,20 3940bb 6 分 又因为对于1,2,40;1,2,19mn，都有 ,1 2 m nm n bn ， 所以 1,11,21,21,31,191,20 2,2,2bbbbbb厖?， 所以 1,11,21,21,31,191,20 38bbbbbb， 所以 1,11,20 38 403878bb厖 即 1,1 78b 8 分 （）当表 1 如下图时：
22、0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 其中，每行恰好有 1 个 0 和 19 个 1：每列恰好有 2 个 0 和 38 个 1：因此每行的和均为 19符合题意 重新排序后，对应表 2 中，前 38 行中每行各数均为 1，每行的和均为 20：后 2 行各数均为 0，因此 39k 10 分 以下先证：对于任意满足条件的表 1，在表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行）的全 部实数（即包含 ,1,2,20 , rrr aaa） 假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表 1 中任一行的全部实数 则表 2 的前 39 行中至多含有表 1 中的40 19760个数， 这与表 2 中前 39 行中共有39 20780个数矛盾 所以表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行）的全部实数 12 分 其次，在表 2 中，根据重排规则得：当39i时， ,39, (1,2,20) i jjr j bbaj 剟， 所以 ,1,2,20,1,2,20 19 iiirrr bbbaaa剟 所以39k 综上，39k 14 分
