1、2020 年高考数学模拟试卷（理科）（年高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）月份） 一、选择题（共 12 小题）. 1若集合 Mx|x2，Nx|x26，则 MN（ ） A ， B ， C（，2） D ， ， 2设 z2+（3i）2，则 （ ） A6+10i B610i C10+6i D106i 3已知 P 为椭圆 1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1F2的 面积为（ ） A2 B4 C D2 4 2020 年 1 月， 某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 1
2、0 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 5若函数 f（x）3x+log2（x2），则 （ ） A24 B25 C26 D27 6函数 f（x）|1+2sin2x|的最小正周期为（ ） A B C D2 7在平行四边形 ABCD 中，若 ，则 （ ） A B C D 8已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 ，若 mS32S8+S24，则 m（ ） A B C D 9已知双曲线 ： ， 的右顶点为 A，直线 与 C 的一条 渐近线在第一象限相交于
3、点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D3 10已知函数 f（x） ， ， ， ，若关于 x 的方程（f（x） ） （f（x）m） 0 恰有 5 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A（1，2） B（2，5）1 C1，5 D2，5）1 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A B C25 D32 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 ， ，其中 f（x）为 f（x）的 导函数，则不等式 f（sinx）cos2x0 的解集为（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 二、填空题：本大题
4、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上 13 的展开式的第 2 项的系数为 14设 x，y 满足约束条件 ，则当 z2x+y 取得最大值时，y 15在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BC 的中点，若 BD1与该正四棱柱的每个面所 成角都相等，则异面直线 C1E 与 BD1所成角的余弦值为 16定义 p（n）为正整数 n 的各位数字中不同数字的个数，例如 p（555）1，p（93）2， p（1714）3在等差数列an中，a29，a1025，则 an ，数列p（an）的 前 100 项和为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文
5、字说明、证明过程或演算步 骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求 作答（一）必考题：共 60 分 17设 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，求ABD 的面积 18甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的 2 倍，丙的命中率等于 甲与乙的命中率之和若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率 为 0.18 （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一
6、次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为 X，求 X 的分布列及数学期望 19如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA底面 ABCD （1）证明：平面 PBD平面 PAC （2） 若BAD60， 且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 ， 求PCA 的大小 20设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若 ， ，且 l 的斜率为1，当 Pl 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示），并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 21已知函
7、数 f（x）ex12lnx+x （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）（x2）33（x2） （二）选考题：共 10 分请考生从第 22，23 两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的 第一个题目计分选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x5|2x+1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2
8、）若不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 x R，任意 t R 恒成立，求 m 的取 值范围 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1若集合 Mx|x2，Nx|x26，则 MN（ ） A ， B ， C（，2） D ， ， 【分析】求出集合 M，N，由此能求出 MN 解：集合 Mx|x2，Nx|x26， ， ， ， ， 故选：B 2设 z2+（3i）2，则 （ ） A6+10i B610i C10+6i D106i 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 解：因为 z2+86
9、i106i， 所以 10+6i 故选：C 3已知 P 为椭圆 1 短轴的一个端点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则PF1F2的 面积为（ ） A2 B4 C D2 【分析】根据方程可得到 b，c 的值，进而可求出面积 解：根据条件可得 b22，c2321，则 b ，c1， 则PF1F2的面积 2cbbc ， 故选：C 4 2020 年 1 月， 某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的 70 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型冠状病
10、毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 【分析】利用平均值的定义求解 解：因为 7， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 7 天， 故选：B 5若函数 f（x）3x+log2（x2），则 （ ） A24 B25 C26 D27 【分析】直接把变量代入解析式，再结合对数的运算性质即可求解 解：因为 f（x）3x+log2（x2）， ， ， 所以 故选：D 6函数 f（x）|1+2sin2x|的最小正周期为（ ） A B C D2 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的图象的变换的应用求出结果 解：设函数 g（x）sin2x，则函数的最
11、小正周期为 ， 所以函数 f（x）|1+2sin2x|的图象相当于函数的图象把 x 轴下面的翻上去，所以函数的 图象的翻折没有影响函数的的最小正周期， 故最小正周期为 故选：B 7在平行四边形 ABCD 中，若 ，则 （ ） A B C D 【分析】利用向量三角形法则、向量的线性运算求出结果 解：在平行四边形 ABCD 中，若 ， 所以 ，则 故选：A 8已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 ，若 mS32S8+S24，则 m（ ） A B C D 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得 q4 ，进而结合等比数列的前 n 项和公式可得 m ，解可得 m 的值，即可得答案 解：根据题意
12、，等比数列an 中 ，则 q 4 ，则有 q82； 若 mS32S8+S24，则有 m ， 变形可得：m（116）（12）+（18），即 15m8，解可得 m ； 故选：C 9已知双曲线 ： ， 的右顶点为 A，直线 与 C 的一条 渐近线在第一象限相交于点 P，若 PA 与 x 轴垂直，则 C 的离心率为（ ） A B C2 D3 【分析】利用已知条件列出方程组，求出 a，b 关系式，然后求解双曲线的离心率即可 解：依题意，联立 ， ， ， ， 得 ，即 b23a2，所以 c2a23a2，即 c24a2， 所以 故选：C 10已知函数 f（x） ， ， ， ，若关于 x 的方程（f（x） ）
13、 （f（x）m） 0 恰有 5 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ） A（1，2） B（2，5）1 C1，5 D2，5）1 【分析】化简方程，求出函数的值，画出函数的图象，利用数形结合，求解函数的实数 根，推出 m 的范围即可 解：函数 ， ， ， ，关于 x 的方程 ，可 得 f（x） 或 f（x）m作出函数 yf（x）的图象，如图所示：方程 f（x） 有 3 个实数根，所以方程 f（x）m 有 2 个实数根，故 m 的取值范围：2，5）1 故选：D 11 某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 则该几何体外接球的表面积为 （ ） A B C25 D32 【分析】由三视图还原原几
14、何体，可知该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形，PA底面 ABC，找出三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球 的表面积公式得答案 解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA底面 ABC， 设底面三角形ABC 的外心为 G， 过G 作底面的垂线GO， 且使GO AP 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，连接 OB， GB ，OG2，三棱锥外接球的半径 ROB 该几何体外接球的表面积为 4 故选：B 12已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 ， ，其中 f（x）为 f（x）的 导函数，则不等式
15、f（sinx）cos2x0 的解集为（ ） A ， ， B ， ， C ， ， D ， ， 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转 化即可得到结论 解：设 g（x）f（x）+2x21， g（x）f（x）+4x0 在 R 上恒成立， g（x）在 R 上单调递增，不等式 f（sinx）cos2xf（sinx）+2sin2x1，且 g（ ）0， 不等式 f（sinx）cos2x0 g（sinx）g（ ）， sinx ， 2kxx ，k Z 故选：D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上 13 的展开式的第 2 项
16、的系数为 20 【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求出展开式的第 2 项的系数 解： 的展开式的第 2 项的系数为 ， 故答案为：20 14设 x，y 满足约束条件 ，则当 z2x+y 取得最大值时，y 4 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z2x+y 得 y2x+z， 平移直线 y2x+z，当直线 y2x+z 经过 A 点时，直线 y2x+z 的截距最大，此时 z 最大， A（3，4）， 则 z2x+y23+410， 此时 y4 故答案为：4 15在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 BC 的
17、中点，若 BD1与该正四棱柱的每个面所 成角都相等，则异面直线 C1E 与 BD1所成角的余弦值为 【分析】推丑陋同该正四棱柱为正方体，取 B1C1的中点 F，连结 BF，D1F，BD1，则 FBD1是异面直线 C1E 与 BD1所成角， 由此能求出异面直线 C1E 与 BD1所成角的余弦值 解：BD1与该正四棱柱的每个面所成角都相等， 该正四棱柱为正方体， 取 B1C1的中点 F，连结 BF，D1F，BD1， 则FBD1是异面直线 C1E 与 BD1所成角， 设 AB2，则 BFD1F ，BD12 ， cosFBD1 异面直线 C1E 与 BD1所成角的余弦值为 故答案为： 16定义 p（n
18、）为正整数 n 的各位数字中不同数字的个数，例如 p（555）1，p（93）2， p（1714）3在等差数列an中，a29，a1025，则 an 2n+5 ，数列p（an） 的前 100 项和为 227 【分析】在等差数列an中，a29，a1025，公差 d2，利用通项公式可得 an可得 a17，a100205an为奇数，通过分类讨论：p（an）1p（an）2p（an）3即 可得出 解：在等差数列an中，a29，a1025，公差 d 2，an9+2（n2）2n+5 a17，a100205 an为奇数，an7，9，11，33，55，77，99，111 时，p（an）1 an101，113，115
19、，117，119，121，131，133，141，151，155，161，171，177，181， 191，199 时，p（an）2 在an中，小于 100 的项共有 47 项，这 47 项中满足 p（an）2 的共有 47740 项， 故数列p（an）的前 100 项和为：18+2（40+17）+3（10084017）227 故答案为：2n+5，227 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求 作答（一）必考题：共 60 分 17设 a，b，c 分别为ABC
20、内角 A，B，C 的对边已知 acosBbcosA+c， （1）证明：ABC 是直角三角形 （2）若 D 是 AC 边上一点，且 CD3，BD5，BC6，求ABD 的面积 【分析】（1）利用正弦定理化角，然后由三角函数值相等得到角之间的关系，即可求出 A 是直角； （2） 先在DBC 中利用余弦定理求出 C 角， 然后再在直角三角形 ABC 中求出 AB， AC， 则面积可求 【解答】解（1）由正弦定理 acosBbcosA+c 化为： sinAcosBsinBcosA+sinC， sinAcosBsinBcosAsinC，sin（AB）sinC， AB （，），C （0，）， ABC 或 A
21、BC（舍） AB+C， 即ABC 是直角三角形 （2） 在 RtBCD 中， CD3， BD5， BC6， 由余弦定理得 ，ADACCD ，又 18甲、乙、丙三人投篮的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的 2 倍，丙的命中率等于 甲与乙的命中率之和若甲与乙各投篮一次，每人投篮相互独立，则他们都命中的概率 为 0.18 （1）求甲、乙、丙三人投篮的命中率； （2）现要求甲、乙、丙三人各投篮一次，假设每人投篮相互独立，记三人命中总次数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【分析】（1）设甲的命中率为 p，则根据题意可得，p2p0.18，求出即可； （2）根据题意，X 可能取得值为 0，1，2，3，求
22、出 X 的分布列和数学期望，得出答案 解：（1）设甲的命中率为 p，则根据题意可得，p2p0.18， p0.3， 故甲乙丙投篮的命中率分别为 0.3，0.6，0.9； （2）根据题意，X 可能取得值为 0，1，2，3， 则 P（X0）（10.3）（10.6）（10.9）0.028， P（X1）0.3（10.6）（10.9）+（10.3）0.6（10.9）+（10.3） （10.6）0.90.306， P（X2）0.30.6（10.9）+（10.3）0.60.9+0.3（10.6）0.90.504， P（X3）0.30.60.90.162， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.02
23、8 0.306 0.504 0.162 EX00.028+10.306+20.504+30.1621.8 19如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA底面 ABCD （1）证明：平面 PBD平面 PAC （2） 若BAD60， 且平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的余弦值为 ， 求PCA 的大小 【分析】（1）证明 BDACPABD推出 BD平面 PAC即可证明平面 PBD平 面 PAC （2） 设 AC 与 BD 交于点 O， 以 O 为坐标原点， 建立空间直角坐标系 Oxyz， 如图所示， 求出平面 PAB 的法向量， 平面 PCD 的法向量， 设平面 PA
24、B 与平面 PCD 所成的锐二面角 为 ，通过空间向量的数量积求解即可 【解答】（1）证明：因为底面 ABCD 为菱形， 所以 BDAC 因为 PA底面 ABCD， 所以 PABD 又 ACPAA，所以 BD平面 PAC 因为 BD平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAC （2）解：设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图 所示， 设 AB2，PAt（t0）， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 PAB 的法向量为 ， ， ，则 ， ， 令 x1，得 ， ， 设平面 PCD
25、的法向量为 ， ， ，则 ， ， 令 xt，得 ， ， 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 ，则 ， 解得 t2，则 ，故PCA30 20设抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，直线 l 与抛物线交于 M，N 两点 （1）若 l 过点 F，且|MN|3p，求 l 的斜率； （2）若 ， ，且 l 的斜率为1，当 Pl 时，求 l 在 y 轴上的截距的取值范围（用 p 表示），并证明MPN 的平分线始终与 y 轴平行 【分析】 （1） 当直线 l 的斜率不存在时， 判断是否满足题意； 设其方程为 联立直线与抛物线方程，设 M（x1，y1），N（x2，y2），通过韦达定理以及抛物线
26、 的性质，求解即可 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1），N（x2，y2）直线代入抛物线方程， 利用韦达定理以及判别式，转化求解 kPM+kPN0，说明直线 PM，PN 的斜率互补，从而 MPN 的平分线始终与 y 轴平行 解： （1） 当直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程为 ， 代入抛物线方程可得 y 2p2， 即 yp， 所以|MN|2p， 但|MN|3p，故直线 l 的斜率存在，设其方程为 由 ， ， 得 ， 设 M（x1，y1），N（x2，y2 ），则 ， 所以 ， 解得 ，所以直线 l 的斜率为 （2）设直线 l 的方程为 yx+m，M（x1，y1），N（
27、x2，y2） 得 x2（2m+2p）x+m20， 则 ， 由（2m+2p）24m20，得 又 ，所以 ， 从而 l 在 y 轴上的截距的取值范围为 ， ， ， 所以直线 PM，PN 的斜率互补， 从而MPN 的平分线始终与 y 轴平行 21已知函数 f（x）ex12lnx+x （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）（x2）33（x2） 【分析】（1）求导，令 f（x）0，求得单调减区间，令 f（x）0，求得单调增区 间； （2）当 0x3 时，易得 f（x）（x2）33（x2），当 x3 时，通过多次求导， 进而判断函数单调性，由此求得最值，由此即可得证 解：（1）f（x）的定义
28、域为（0，+）， ， 易知 在（0，+）上单调递增，且 f（1）0， 令 f（x）0，解得 0x1，则 f（x）的单调递减区间为（0，1）； 令 f（x）0，解得 x1，则 f（x）的单调递增区间为（1，+）； （2）证明：设 g（x）（x2）33（x2）（x0），g（x）3（x1）（x3）， 令 g（x）0，解得 1x3，令 g（x）0，解得 0x1 或 x3， 当 x1 时，g（x）取得极大值，且极大值为 2， 由（1）知，f（x）minf（1）2，故当 0x3 时，f（x）（x2）33（x2）， 设 h （x） f （x） g （x） ex12lnx （x2） 3+4x6 （x3） ，
29、则 ， 设 ， ，设 ， ， 易知 q（x）在（3，+）上单调递增，则 ，则 q（x）在 （3，+）上单调递增， 从而 ，则 h（x）在（3，+）上单调递增， 所以 ，则 h（x）在（3，+）上单调递增， 于是 h（x）h（3）e2+52ln30，故当 x3 时，f（x）（x2）33（x2）； 综上，f（x）（x2）33（x2） 一、选择题 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yk|x3|以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 （1）求 E 的直角坐标方程（化为标准方程）； （2）若曲线 E 与 C 恰有 4 个公共点，求 k 的取值范围 【分析】 （
30、1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果 解： （1） 曲线 E 的极坐标方程为 转换为直角坐标方程为 x2+y2 6x12y+270，整理得（x3）2+（y6）218 （2）易知曲线 C 过定点 M（3，0）其图象关于直线 x3 对称的“V”字形 由于曲线 E 是以（3，6）为圆心 3 为半径的圆， 所以 k0， 当 x3 时，曲线 C 的方程为 ykx3k，即 kxy3k0， 则圆心（3，6）到直线的距离 d ， 解得 k21，由于 k0， 所以 k1 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x5|2x
31、+1| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 对任意 x R，任意 t R 恒成立，求 m 的取 值范围 【分析】（1）由绝对值的定义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集； （2） 原不等式等价为|2x5|+|2x+1|tm|t+4|+m， 由绝对值不等式的性质分别求得此 不等式的左右两边的最小值和最大值，解绝对值不等式，可得所求范围 解：（1）|2x5|2x+1|1 等价为 或 或 ， 解得 x 或 x 或 x ， 所以原不等式的解集为（， ）； （2）不等式 f（x）+|4x+2|tm|t+4|+m 等价为|2x5|+|2x+1|tm|t+4|+m， 可令 h（x）|2x5|+|2x+1|，则 h（x）|2x52x1|6， 当且仅当（2x5）（2x+1）0，取得等号，即 h（x）min6， 而|tm|t+4|+m|tmt4|+mm+|m+4|， 由题意可得 6m+|m+4|，即 m6m+46m，解得 m1， 则 m 的取值范围是（，1）
